Теорема Гротендика – Римана – Роха

Теорема Гротендика – Римана – Роха

Комментарий Гротендика к теореме Гротендика – Римана – Роха
Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Александра Гротендика
Первое доказательство в	1957
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе
Последствия	Хирцебрух– Теорема Римана – Роха. Теорема Римана – Роха для поверхностей. Теорема Римана – Роха

В математике, особенно в алгебраической геометрии, Гротендика – Римана –Теорема Роха является далеко идущим результатом о когерентных когомологиях. Это обобщение теоремы Хирцебруха – Римана – Роха о комплексных многообразиях, которая сама по себе является обобщением классической теоремы Римана – Роха для линейные расслоения на компактных римановых поверхностях.

теоремы типа Римана – Роха связывают характеристики Эйлера когомологий векторного расслоения с их топологические степени или, в более общем смысле, их характеристические классы в (ко) гомологиях или их алгебраических аналогах. Классическая теорема Римана – Роха делает это для кривых и линейных расслоений, тогда как теорема Хирцебруха – Римана – Роха обобщает это на векторные расслоения над многообразиями. Теорема Гротендика – Римана – Роха устанавливает обе теоремы в относительной ситуации морфизма между двумя многообразиями (или более общих схем ) и заменяет теорему утверждением об одном расслоении, к одному приложению к цепным комплексам из пучков.

Теорема оказала большое влияние, не в последнюю очередь на развитие теоремы об индексе Атьи – Сингера. И наоборот, комплексно-аналитические аналоги теоремы Гротендика – Римана – Роха могут быть доказаны с помощью теоремы об индексе для семейств. Александр Гротендик дал первое доказательство в рукописи 1957 года, позже опубликованной. Арман Борель и Жан-Пьер Серр написали и опубликовали доказательство Гротендика в 1958 году. Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство.

• 1 Формулировка
• 2 Обобщение и конкретизация
• 3 Примеры
  • 3.1 Векторные расслоения на кривой
    • 3.1.1 Степень вектора расслоение на кривой
  • 3.2 Гладкие собственные отображения
    • 3.2.1 Модули кривых
  • 3.3 Замкнутое вложение
• 4 Приложения
  • 4.1 Квазипроективность пространств модулей
• 5 История
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Пусть X будет гладкой квазипроективной схемой над поле . При этих предположениях группа Гротендика $K\; 0\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; (X)\}$из связанных комплексов из когерентные пучки канонически изоморфны группе Гротендика ограниченных комплексов векторных расслоений конечного ранга. Используя этот изоморфизм, рассмотрим символ Черна (рациональная комбинация классов Черна ) как функториальное преобразование :

$ch:\; K\; 0\; (X)\; \to \; A\; (X,\; Q),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; \backslash \; двоеточие\; K\_\; \{0\}\; (X)\; \backslash \; to\; A\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}),\}$

где $A\; d\; (X,\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{d\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$- это группа Чоу циклов на X размерности d по модулю рациональной эквивалентности, с тензором с рациональными числами. В случае, если X определен над комплексными числами, последняя группа отображается в топологическую группу когомологий :

$H\; 2\; dim\; \; (X)\; -\; 2\; d\; (X,\; Q).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2\; \backslash \; dim\; (X)\; -2d\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}).\}$

Теперь рассмотрим правильный морфизм $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$между гладкими квазипроективными схемами и ограниченным комплексом пучков $F\; \bullet \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\}\}$на $X.\; \{\backslash \; displaystyle\; X.\}$

Теорема Гротендика – Римана – Роха связывает прямое отображение

$f!\; Знак\; равно\; \sum \; (-\; 1)\; я\; R,\; если\; \ast :\; К\; 0\; (Икс)\; \to \; К\; 0\; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; \_\; \{!\}\; =\; \backslash \; Sum\; (-1)\; ^\; \{i\}\; R\; ^\; \{i\}\; f\; \_\; \{*\}\; \backslash \; двоеточие\; K\_\; \{0\}\; (X)\; \backslash \; to\; K\_\; \{0\}\; (Y)\}$

(чередующаяся сумма более высоких прямых изображений ) и прямое движение вперед

$f\; \ast :\; A\; (X)\; \to \; A\; (Y),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\; \backslash \; двоеточие\; A\; (X)\; \backslash \; to\; A\; (Y),\}$

по формуле

Здесь $td\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{td\}\; (X)\}$- это род Тодда (касательного расслоения ) X. Таким образом, теорема дает точную меру отсутствия коммутативности взятия продвиньте вперед в вышеуказанных смыслах и символе Черна и покажите, что необходимые поправочные коэффициенты зависят только от X и Y. Фактически, поскольку род Тодда является функториальным и мультипликативным в точных последовательностях, мы можем переписать формулу Гротендика – Римана – Роха как

$ch\; (f!\; F\; \bullet )\; =\; f\; \ast \; (ch\; (F\; \bullet )\; td\; (T\; е)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (f\; \_\; \{!\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\})\; =\; f\; \_\; \{*\}\; (\backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{\; F\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\})\; \backslash \; mathrm\; \{td\}\; (T\_\; \{f\})),\}$

где $T\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{f\}\}$- относительный тангенс связка f, определенная как элемент $TX\; -\; f\; \ast \; (TY)\; \{\backslash \; displaystyle\; TX-f\; ^\; \{*\}\; (TY)\}$в $K\; 0\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; К\_\; \{0\}\; (X)\}$. Например, когда f - это гладкий морфизм, $T\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{f\}\}$- это просто векторное расслоение, известное как касательное расслоение вдоль слоев f.

Используя теорию A-гомотопии, теорема Гротендика – Римана – Роха была расширена Наварро и Наварро (2017) на ситуацию, когда f является правильная карта между двумя гладкими схемами.

Обобщения теоремы на негладкий случай можно сделать, рассмотрев соответствующее обобщение комбинации $ch\; (-)\; td\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (-)\; \backslash \; mathrm\; \{td\}\; (X)\}$и к неподходящему случаю, рассматривая когомологии с компактным носителем.

арифметика Римана – Роха Теорема расширяет теорему Гротендика – Римана – Роха на арифметические схемы.

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха (по сути) является частным случаем, когда Y - точка, а поле поле комплексных чисел.

Версия теоремы Римана-Роха для ориентированных теорий когомологий была доказана Иваном Паниным и Александром Смирновым. Он связан с мультипликативными операциями между алгебраическими ориентированными теориями когомологий (например, Алгебраический кобордизм ). Гротендик-Риман-Рох является частным случаем этого, и персонаж Черна естественно появляется в этом контексте.

Векторные связки на кривой

Вектор пучок $E\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; to\; C\}$ранга $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и степени $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$на гладкой проективной кривой над полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$имеет формулу, аналогичную Riemann-Roch для линейных пучков. Если мы возьмем $X\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; C\}$и $Y\; =\; \{\ast \}\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; \{*\; \backslash \}\}$точку то формула Гротендика-Римана-Роха может быть прочитана как

$ch\; (f!\; F\; \bullet )\; =\; h\; 0\; (C,\; E)\; -\; h\; 1\; (C,\; E)\; f\; \ast \; (ch\; (E)\; td\; (X))\; =\; f\; \ast \; ((n\; +\; c\; 1\; (E))\; (1\; +\; (1/2)\; c\; 1\; (TC)))\; =\; f\; \ast \; (n\; +\; c\; 1\; (E)\; +\; (n\; /\; 2)\; c\; 1\; (TC))\; =\; е\; *\; (c\; 1\; (E)\; +\; (n\; /\; 2)\; c\; 1\; (TC))\; =\; d\; +\; n\; (1\; -\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (f\_\; \{!\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\})\; =\; h\; ^\; \{0\}\; (C,\; E)\; -h\; ^\; \{1\}\; (C,\; E)\; \backslash \backslash \; f\; \_\; \{*\}\; (\backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (E)\; \backslash \; mathrm\; \{td\}\; (X))\; =\; f\; \_\; \{*\}\; ((n\; +\; c\_\; \{1\}\; (E))\; (1+\; (1/2)\; c\_\; \{1\}\; (T\_\; \{C\})))\; \backslash \backslash \; =\; f\; \_\; \{*\}\; (n\; +\; c\_\; \{1\}\; (E)\; +\; (n\; /\; 2)\; c\_\; \{1\}\; (T\_\; \{C\}))\; \backslash \backslash \; =\; f\; \_\; \{*\}\; (c\_\; \{1\}\; (E)\; +\; (n\; /\; 2)\; c\_\; \{1\}\; (T\_\; \{C\}))\; \backslash \backslash \; =\; d\; +\; n\; (1-g)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, следовательно,

$\chi \; (C,\; E)\; =\; d\; +\; п\; (1\; -\; г).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (C,\; E)\; =\; d\; +\; n\; (1-g).\}$

Эта формула также верна для когерентных пучков ранга $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и степени $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$.

Степень векторного расслоения на кривой

Обратите внимание на степень векторного расслоения на кривой, включенной в формулу. Поскольку $\chi \; (C,\; OC)\; =\; 1\; -\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; =\; 1-g\}$, степень $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$можно принять как

$deg\; \; (E)\; =\; \chi \; (C,\; E)\; -\; rank\; (E)\; \chi \; (C,\; OC)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (\; E)\; =\; \backslash \; chi\; (C,\; E)\; -\; \{\backslash \; text\; \{rank\}\}\; (E)\; \backslash \; chi\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\}$

Гладкие собственные отображения

Одно из преимуществ формулы Гротендика – Римана – Роха заключается в том, что ее можно интерпретировать как относительную версию формулы Хирцебруха – Римана – Роха. Например, гладкий морфизм $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$имеет слои, которые все равномерны (и изоморфны как топологические пространства при изменении базы на $С\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$). Этот факт полезен в теории модулей при рассмотрении пространства модулей $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, параметризующего гладкие собственные пространства. Например, Дэвид Мамфорд использовал эту формулу, чтобы вывести отношения кольца Чоу на пространстве модулей алгебраических кривых.

Модули кривых

для стека модулей рода $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$кривые (без отмеченных точек) $M\; ¯\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}$существует универсальная кривая $\pi :\; C\; ¯\; g\; \to \; M\; ¯\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}$где $C\; ¯\; g\; =\; M\; ¯\; g,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g,\; 1\}\}$(- стек модулей кривых рода $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и одна отмеченная точка. Затем он определяет тавтологические классы

$KC\; ¯\; g\; /\; M\; ¯\; g\; =\; c\; 1\; (\omega \; C\; ¯\; g\; /\; M\; ¯\; g)\; \kappa \; l\; =\; \pi \; \ast \; (KC\; ¯\; g\; /\; M\; ¯\; gl\; +\; 1)\; E\; знак\; равно\; \pi \; \ast \; (\omega \; C\; ¯\; г\; /\; M\; ¯\; g)\; \lambda \; l\; =\; cl\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; K\; \_\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}\; =\; c\_\; \{1\}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\})\; \backslash \backslash \backslash \; kappa\; \_\; \{l\}\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{*\}\; (K\; \_\; \{\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}\; ^\; \{l\; +\; 1\})\; \backslash \backslash \backslash \; mathbb\; \{E\}\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{*\; \}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\})\; \backslash \backslash \backslash \; lambda\; \_\; \{l\}\; =\; c\_\; \{l\}\; (\backslash \; mathbb\; \{E\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $1\; \le \; l\; \le \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; l\; \backslash \; leq\; g\}$и $\omega \; С\; ¯\; г\; /\; М\; ¯\; г\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}\}$- относительный дуализирующий пучок. Обратите внимание на волокно $\omega \; C\; ¯\; g\; /\; M\; ¯\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}\}$над точкой $[C]\; \in \; M\; ¯\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; [C]\; \backslash \; in\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}$это дуализирующая связка $\omega \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{C\}\}$. Ему удалось найти отношения между $\lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$и $\kappa \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{i\}\}$описывая $\lambda \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$в виде суммы $\kappa \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{i\}\}$(следствие 6.2) на кольце для еды $A\; \ast \; (M\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \_\; \{g\})\}$гладкого множества используя Grothendieck-Riemann-Roch. Поскольку $M\; ¯\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}$представляет собой гладкую стек Делиня – Мамфорда, он считал покрытие по схеме $M\; ~\; g\; \to \; M\; ¯\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}$что представляет собой $M\; ¯\; g\; =\; [M\; ~\; g\; /\; G]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\; =\; [\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \}\}\; \_\; \{g\}\; /\; G]\}$для некоторой конечной группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Он использует Гротендика-Римана-Роха на $\omega \; C\; ~\; g\; /\; M\; ~\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\; \}\}\}\; \_\; \{g\}\}\}$, чтобы получить

$ch\; (\pi !\; (\omega \; C\; ~\; /\; M\; ~))\; =\; \pi \; \ast \; (ch\; (\omega \; C\; ~\; /\; M\; ~)\; T\; d\; \vee \; (\; \Omega \; С\; ~\; /\; M\; ~\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (\backslash \; pi\; \_\; \{!\}\; (\backslash \; Omega\; \_\; \{\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; /\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\})\; \}\}\}))\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{*\}\; (\backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; /\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\})\; \backslash \; mathrm\; \{Td\}\; ^\; \{\backslash \; vee\}\; (\backslash \; Omega\; \_\; \{\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; /\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\}\; ^\; \{1\}))\}$

Потому что

$R\; 1\; \pi !\; (\omega \; С\; ~\; г\; /\; М\; ~\; г)\; \cong \; ОМ\; ~,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{!\}\; (\{\backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; тильда\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; \_\; \{g\}\; /\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \_\; \{g\}\}\})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; tilde\; \{M\}\},\}$

это дает формулу

$ch\; (E)\; =\; 1\; +\; \pi \; \ast \; (ch\; (\omega \; C\; ~\; /\; M\; ~)\; Td\; \vee \; (\Omega \; C\; ~\; /\; M\; ~\; 1)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (\backslash \; mathbb\; \{E\})\; =\; 1\; +\; \backslash \; pi\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; text\; \{ch\}\}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; /\; \{\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\})\; \{\backslash \; text\; \{Td\}\}\; ^\; \{\backslash \; vee\}\; (\backslash \; Omega\; \_\; \{\{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}\; /\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\})\; \}\}\}\; ^\; \{1\})).\}$

Вычисление $ch\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (\backslash \; mathbb\; \{E\})\}$затем может быть сокращено Еще больше. В четных измерениях $2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 2k\}$,

$ch\; (E)\; 2\; k\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{ch\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{E\})\; \_\; \{2k\}\; =\; 0.\}$

Кроме того, в размерности 1

$\lambda \; 1\; =\; c\; 1\; (E)\; =\; 1\; 12\; (\kappa \; 1\; +\; \delta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; c\_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{E\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12\}\}\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; delta),\}$

где $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- класс на граница. В случае $g\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 2\}$и на гладком геометрическом месте $M\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \_\; \{g\}\}$есть отношения

$\lambda \; 1\; =\; 1\; 12\; \kappa \; 1\; \lambda \; 2\; =\; \lambda \; 1\; 2\; 2\; =\; \kappa \; 1\; 2\; 288\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{12\}\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\; \_\; \{\; 1\}\; ^\; \{2\}\}\; \{288\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, который может быть выведен путем анализа символа Черна $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\}$.

Закрытое встраивание

Замкнутые вложения $f:\; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; Y\; \backslash \; to\; X\}$также имеют описание с использованием формулы Гротендика-Римана-Роха, показывающее другое тривиальный случай, когда формула верна. Для гладкого множества $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$размерности $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и подмножества $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$коразмерности $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, существует формула

$ck\; (OY)\; =\; (-\; 1)\; k\; -\; 1\; (k\; -\; 1)!\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{Y\})\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\; [Y]\}$

Использование краткого точная последовательность

$0\; \to \; IY\; \to \; OX\; \to \; OY\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; O\}\}\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; to\; 0\}$,

есть формула

$ck\; (IY)\; =\; (-\; 1)\; k\; (k\; -\; 1)!\; [Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{Y\})\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; (k-1)!\; [Y]\}$

для идеального пучка, поскольку $1\; =\; c\; (OX)\; =\; c\; (OY)\; c\; (IY)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; c\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\; =\; c\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{Y\; \})\; c\; (\{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{Y\})\}$.

Квазипроективность пространств модулей

Гротендик-Риман-Рох может быть использован для доказательства того, что грубое пространство модулей $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, такое как пространство модулей остроконечных алгебраических кривых $M\; g,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{g,\; n\; \}\}$, допускает вложение в проективное пространство, следовательно, является квазипроективным многообразием. Это может быть выполнено путем просмотра канонически связанных пучков на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и изучения степени связанных линейных пучков. Например, $M\; g,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{g,\; n\}\}$имеет семейство кривых

$\pi :\; C\; g,\; n\; \to \; M\; g,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; двоеточие\; C\_\; \{g,\; n\}\; \backslash \; to\; M\_\; \{g,\; n\}\}$

с разделами

$si:\; M\; g,\; n\; \to \; C\; g,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\; \backslash \; двоеточие\; M\_\; \{g,\; n\; \}\; \backslash \; to\; C\_\; \{g,\; n\}\}$

, соответствующие отмеченным точкам. Поскольку каждое волокно имеет каноническое расслоение $\omega \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{C\}\}$, существуют соответствующие линейные расслоения

$\Lambda \; g,\; n\; (\pi )\; =\; det\; (R\; \pi \; *\; (\Omega \; C\; g,\; n\; /\; M\; g,\; n))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{g,\; n\}\; (\backslash \; pi)\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{*\}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{C\_\; \{g,\; n\}\; /\; M\_\; \{g,\; n\}\}))\}$и $\chi \; g,\; n\; (i)\; =\; si\; \ast \; (\omega \; C\; g,\; n\; /\; M\; g,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{g,\; n\}\; ^\; \{(i)\}\; =\; s\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{C\_\; \{g,\; n\}\; /\; M\_\; \{g,\; n\}\})\}$.

Получается из этого

$\Lambda \; g,\; N\; (\pi )\; \otimes \; (⨂\; я\; =\; 1\; N\; \chi \; g,\; n\; (i))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{g,\; n\}\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; otimes\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigotimes\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{g,\; n\}\; ^\; \{(i)\}\; \backslash \; right)\}$

- это обильное линейное расслоение, следовательно, грубое пространство модулей $M\; g,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{g,\; n\}\}$квазипроективен.

Версия теоремы Римана – Роха, разработанная Александром Гротендиком, была первоначально передана в письме Жан-Пьеру Серру примерно в 1956–1957 гг. Он был обнародован на первоначальном Bonn Arbeitstagung в 1957 году. Серр и Арман Борель впоследствии организовали семинар в Принстонском университете, чтобы понять его. Последняя опубликованная статья была экспозицией Бореля – Серра.

Значение подхода Гротендика основывается на нескольких моментах. Во-первых, Гротендик изменил само утверждение: в то время теорема понималась как теорема о многообразии, тогда как Гротендик видел ее как теорему о морфизме между многообразиями. Найдя правильное обобщение, доказательство стало проще, а вывод - более общим. Короче говоря, Гротендик применил строгий категориальный подход к жесткой части анализа. Более того, Гротендик ввел K-группы, как обсуждалось выше, что проложило путь для алгебраической K-теории.

• формулу Римана – Роха Кавасаки

• Бертло, Пьер (1971). Александр Гротендик ; Люк Иллюзи (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. xii + 700. doi : 10.1007 / BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
• Борел, Арманд ; Серр, Жан-Пьер (1958), «Le théorème de Riemann-Roch», Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 86 : 97–136, ISSN 0037-9484, MR 0116022
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323, Zbl 0885.14002
• Наварро, Альберто; Наварро, Хосе (2017), О формуле Римана-Роха без проективной гипотезы, arXiv : 1705.10769, Bibcode : 2017arXiv170510769N
• Панин, Иван; Смирнов, Александр (2000). «Продвижение вперед в ориентированных теориях когомологий алгебраических многообразий».

• Теорема Гротендика-Римана-Роха
• Тема «Приложения Гротендика-Римана-Роха? " на MathOverflow.
• Поток «Как понять GRR? (Гротендик Риман Рох)» на MathOverflow.
• Поток «Класс идеала Черна sheaf "на Stack Exchange.