Сложный коллектор

редактировать

В дифференциальной геометрии и сложной геометрии, сложный коллектор - это коллектор с атласом из диаграмм до открытого единичного диска в C, так что отображения переходов являются голоморфными.

Термин комплексное многообразие по-разному используется для обозначения комплексного многообразия в указанном выше смысле (который может быть определено как интегрируемое комплексное многообразие) и почти комплексное многообразие.

Содержание

  • 1 Значение комплексной структуры
  • 2 Примеры сложных многообразий
    • 2.1 Гладкие комплексные алгебраические многообразия
    • 2.2 Односвязные
  • 3 Диск против пространства против полидиска
  • 4 Почти комплексные структуры
  • 5 Многообразия Кэлера и Калаби – Яу
  • 6 См. Также
  • 7 Сноски
  • 8 Ссылки

Последствия сложной структуры

Поскольку голоморфные функции намного более жесткие, чем гладкие функции, теории гладких и сложных многообразий имеют очень разные вкусы: компактные комплексные многообразия гораздо ближе к алгебраическим, чем к дифференцируемым многообразиям.

Например, теорема вложения Уитни говорит нам, что любое гладкое n-мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие в R, тогда как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в C . Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие M: любая голоморфная функция на нем постоянна по теореме Лиувилля. Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение M в C, то координатные функции C ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на M, что противоречит компактности, за исключением случая, когда M просто точка. Комплексные многообразия, которые могут быть вложены в C, называются многообразиями Штейна и образуют очень специальный класс многообразий, включая, например, гладкие комплексные аффинные алгебраические многообразия.

Классификация комплексных многообразий гораздо более тонкая, чем классификация дифференцируемых многообразий. Например, в то время как в измерениях, отличных от четырех, данное топологическое многообразие имеет самое большее конечное число гладких структур, топологическое многообразие, поддерживающее сложную структуру, может поддерживать и часто поддерживает несчетное количество сложных структур. Римановы поверхности, двумерные многообразия, снабженные сложной структурой, которые топологически классифицируются по роду, являются важным примером этого явления. Множество сложных структур на заданной ориентируемой поверхности, по модулю биголоморфной эквивалентности, само образует сложное алгебраическое многообразие, называемое пространством модулей, структура которого остается областью активных исследований.

Так как карты перехода между картами биголоморфны, комплексные многообразия, в частности, гладкие и канонически ориентированные (не только ориентируемые : биголоморфное отображение в (подмножество) C дает ориентацию, так как биголоморфные карты сохраняют ориентацию).

Примеры комплексных многообразий

Гладкие комплексные алгебраические многообразия

Гладкие комплексные алгебраические многообразия - это комплексные многообразия, в том числе:

Аналогично, кватернионные аналоги этих групп также являются комплексные многообразия.

Односвязные

Односвязные 1-мерные комплексные многообразия изоморфны либо:

Обратите внимание, что между ними есть включения как Δ ⊆ C⊆ Ĉ, но что нет непостоянных отображений в другом направлении по теореме Лиувилля.

Диск по сравнению с пространством по сравнению с полидиском

Следующие пробелы являются различиями Например, комплексные многообразия, демонстрирующие более жесткий геометрический характер комплексных многообразий (по сравнению с гладкими многообразиями):

{z ∈ C n: ‖ z ‖ < 1 }. {\displaystyle \left\{z\in \mathbf {C} ^{n}\ :\ \|z\|<1\right\}.}\ left \ {z \ in {\ mathbf {C}} ^ {n} \: \ \ | z \ | <1 \ right \}.
{z = (z 1, z 2,…, zn) ∈ C n: | z j | < 1, for all j = 1, …, n }. {\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}\ :\ \vert z_{j}\vert <1,{\t_dv{ for all }}j=1,\dots,n\right\}.}{ \ displaystyle \ left \ {z = (z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {n}) \ in \ mathbf {C} ^ {n} \: \ \ vert z_ {j} \ vert <1, {\ t_dv {для всех}} j = 1, \ dots, n \ right \}.}

Почти комплексные структуры

Почти комплексная структура на вещественном 2n-многообразии - это GL (n, C ) -структура (в смысле G-структуры ) - то есть касательное расслоение снабжено линейной комплексной структурой.

Конкретно это эндоморфизм касательного расслоения квадрат которого равен −I; этот эндоморфизм аналогичен умножению на мнимое число i и обозначается J (во избежание путаницы с единичной матрицей I). Почти комплексное многообразие обязательно четномерно.

Почти сложная структура слабее сложной: любое сложное многообразие имеет почти сложную структуру, но не всякая почти сложная структура возникает из сложной структуры. Обратите внимание, что каждое четномерное вещественное многообразие имеет почти сложную структуру, определенную локально из локальной координатной карты. Вопрос в том, можно ли определить эту сложную структуру глобально. Почти сложная структура, возникающая из сложной структуры, называется интегрируемой, и когда кто-то желает определить сложную структуру в противоположность почти сложной структуре, говорят, что это интегрируемая сложная структура. Для интегрируемых сложных структур так называемый тензор Нейенхейса обращается в нуль. Этот тензор определен на парах векторных полей X, Y как

N J (X, Y) = [X, Y] + J [J X, Y] + J [X, J Y] - [J X, J Y]. {\ displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] \.}N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] \.

Например, 6- мерная сфера Sимеет естественную почти сложную структуру, возникающую из-за того, что это ортогональное дополнение к i в единичной сфере октонионов, но это не сложная структура. (Вопрос о том, имеет ли она сложную структуру, известен как проблема Хопфа после Хайнца Хопфа.) Используя почти сложную структуру, мы можем понять смысл голоморфных отображений и спросить о существовании голоморфных координат на многообразие. Существование голоморфных координат равносильно тому, что многообразие является комплексным (что и говорится в определении карты).

Тензорируя касательное расслоение с комплексными числами, мы получаем комплексное касательное расслоение, в котором умножение на комплексные числа имеет смысл (даже если мы начали с реального многообразия). Собственные значения почти комплексной структуры равны ± i, а собственные подпространства образуют подпучки, обозначаемые TM и TM. Теорема Ньюлендера – Ниренберга показывает, что почти комплексная структура на самом деле является сложной структурой именно тогда, когда эти подрасслоения инволютивны, т. Е. Замкнуты относительно скобки Ли векторных полей, и такая почти сложная структура называется интегрируемые.

многообразия Кэлера и Калаби – Яу

Можно определить аналог римановой метрики для комплексных многообразий, называемый эрмитовой метрикой. Подобно римановой метрике, эрмитова метрика состоит из плавно меняющегося положительно определенного внутреннего произведения на касательном расслоении, которое является эрмитовым по отношению к комплексной структуре касательного пространства в каждой точке. Как и в римановом случае, таких метрик всегда в изобилии на любом комплексном многообразии. Если кососимметричная часть такой метрики симплектическая, т.е. замкнутая и невырожденная, то метрика называется кэлерова. Структуры Kähler намного труднее достать и они намного более жесткие.

Примеры кэлеровых многообразий включают гладкие проективные многообразия и вообще любое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия. Многообразия Хопфа являются примерами комплексных многообразий, не являющихся кэлеровыми. Чтобы построить такое, возьмите комплексное векторное пространство без начала координат и рассмотрите действие группы целых чисел на этом пространстве путем умножения на exp (n). Фактор - это комплексное многообразие, первое число Бетти которого равно единице, поэтому по теории Ходжа оно не может быть кэлеровым.

A Многообразие Калаби – Яу можно определить как компактное Риччи-плоское кэлерово многообразие или, что эквивалентно, многообразие, у которого первый класс Черна равен нулю.

См. Также

Сноски

  1. ^В качестве модели необходимо использовать открытый единичный диск в C space вместо C, потому что они не изоморфны, в отличие от реальных многообразий.
  2. ^Это означает, что все комплексные проективные пространства ориентируемы, в отличие от реального случая
  3. ^Agricola, Ilka ; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа».. 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068. doi : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359.

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 08:16:25
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте