Почти комплексное многообразие

редактировать

В математике почти комплексное многообразие - это гладкое многообразие оборудован гладкой линейной сложной структурой на каждом касательном пространстве. Каждое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но есть почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти сложные структуры имеют важные приложения в симплектической геометрии.

. Эта концепция принадлежит Чарльзу Эресманну и Хайнцу Хопфу в 1940-х годах.

Содержание

  • 1 Формальное определение
  • 2 Примеры
  • 3 Дифференциальная топология почти комплексных многообразий
  • 4 Интегрируемые почти сложные структуры
  • 5 Совместимые тройки
  • 6 Обобщенная почти комплексная структура
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки

Формальное определение

Пусть M - гладкое многообразие. почти комплексная структура J на ​​M - это линейная комплексная структура (то есть линейное отображение, которое квадратирует до −1) на каждом касательном пространстве многообразия, которое плавно изменяется на многообразие. Другими словами, у нас есть smooth тензорное поле J степени (1, 1) такое, что J 2 = - 1 {\ displaystyle J ^ {2} = - 1}J ^ {2} = - 1 , если рассматривать его как векторное расслоение изоморфизм J: TM → TM {\ displaystyle J \ двоеточие TM \ to TM}{\ displaystyle J \ двоеточие TM \ to TM} на касательной связке . Многообразие, снабженное почти комплексной структурой, называется почти комплексным многообразием .

. Если M допускает почти комплексную структуру, оно должно быть четномерным. Это можно увидеть следующим образом. Предположим, что M n-мерно, и пусть J: TM → TM - почти комплексная структура. Если J = −1, то (det J) = (−1). Но если M - вещественное многообразие, то det J - действительное число, поэтому n должно быть даже, если M имеет почти комплексную структуру. Можно показать, что он также должен быть ориентируемым.

Простое упражнение в линейной алгебре показывает, что любое четномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, четномерное многообразие всегда допускает поточечный тензор (1, 1) -ранга (который является просто линейным преобразованием на каждом касательном пространстве) такой, что J p = −1 в каждой точке p. Только когда этот локальный тензор может быть скомпонован для глобального определения, точечно-линейная комплексная структура дает почти сложную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность этого склеивания и, следовательно, существования почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентна редукции структурной группы касательного расслоения из GL (2n, R ) в GL (n, C ). Тогда вопрос о существовании является чисто алгебраической топологической проблемой, и он довольно хорошо понят.

Примеры

Для любого целого n плоское пространство R допускает почти сложную структуру. Пример такой почти сложной структуры: (1 ≤ i, j ≤ 2n): J ij = - δ i, j - 1 {\ displaystyle J_ {ij} = - \ delta _ {i, j-1 }}J _ {{ij}} = - \ delta _ {{i, j-1}} для четного i, J ij = δ i, j + 1 {\ displaystyle J_ {ij} = \ delta _ {i, j + 1}}J _ {{ij}} = \ delta _ {{i, j + 1 }} для нечетный я.

Единственными сферами, допускающими почти сложные структуры, являются S и S(Borel Serre (1953)). В частности, S не может иметь почти сложную структуру (Эресманн и Хопф). В случае S почти сложная структура происходит от честной сложной структуры на сфере Римана. 6-сфера, S, когда рассматривается как набор мнимых октонионов единичной нормы, наследует почти сложную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, имеет ли оно комплексную структуру, известен как проблема Хопфа после Хайнца Хопфа.

Дифференциальная топология почти комплексных многообразий

Так же, как комплексная структура на векторное пространство V допускает разложение V на V и V (собственные подпространства J, соответствующие + i и −i, соответственно), поэтому почти комплексная структура на M позволяет разложить комплексифицированное касательное расслоение TM (которое является векторным расслоением комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) на TM и TM. Раздел TM называется векторным полем типа (1, 0), а раздел TM является векторным полем типа (0, 1). Таким образом, J соответствует умножению на i на (1, 0) -векторных полях комплексного касательного расслоения и умножению на −i на (0, 1) -векторных полях.

Так же, как мы строим дифференциальные формы из внешних степеней котангенсного пучка, мы можем построить внешние степени комплексифицированного котангенсного пучка ( которое канонически изоморфно расслоению сопряженных пространств комплексифицированного касательного расслоения). Почти комплексная структура индуцирует разложение каждого пространства r-форм

Ω r (M) C = ⨁ p + q = r Ω (p, q) (M). {\ Displaystyle \ Omega ^ {r} (M) ^ {\ mathbf {C}} = \ bigoplus _ {p + q = r} \ Omega ^ {(p, q)} (M). \,}\ Omega ^ { r} (M) ^ {{\ mathbf {C}}} = \ bigoplus _ {{p + q = r}} \ Omega ^ {{(p, q)}} (M). \,

Другими словами, каждое Ω (M) допускает разложение в сумму Ω (M) с r = p + q.

Как и в случае любой прямой суммы, существует каноническая проекция π p, q из Ω (M) в Ω. У нас также есть внешняя производная d, которая отображает Ω (M) в Ω (M). Таким образом, мы можем использовать почти сложную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определенного типа

∂ = π p + 1, q ∘ d {\ displaystyle \ partial = \ pi _ {p + 1, q } \ circ d}\ partial = \ pi _ {{p + 1, q}} \ circ d
∂ ¯ = π p, q + 1 ∘ d {\ displaystyle {\ overline {\ partial}} = \ pi _ {p, q + 1} \ circ d}\ overline {\ partial} = \ pi _ {{p, q + 1}} \ circ d

так, чтобы ∂ {\ displaystyle \ partial}\ partial - карта, увеличивающая голоморфную часть типа на единицу (принимает формы типа (p, q) в формы типа (p + 1, q)), а ∂ ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}\ overline {\ partial} - карта, которая увеличивает антиголоморфную часть типа на единицу. Эти операторы называются операторами Дольбо.

. Поскольку сумма всех проекций должна быть тождественной картой, отметим, что внешняя производная может быть записана как

d = ∑ r + s = p + q + 1 π r, s ∘ d = ∂ + ∂ ¯ +…. {\ displaystyle d = \ sum _ {r + s = p + q + 1} \ pi _ {r, s} \ circ d = \ partial + {\ overline {\ partial}} + \ dots.}{\ displaystyle d = \ sum _ {r + s = p + q + 1} \ pi _ {r, s} \ circ d = \ partial + {\ overline {\ partial}} + \ dots.}

Интегрируемые почти комплексные структуры

Каждое комплексное многообразие само является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах z μ = x μ + iy μ {\ displaystyle z ^ {\ mu} = x ^ {\ mu} + iy ^ {\ mu}}z ^ {\ mu} = x ^ {\ mu} + iy ^ {\ mu} можно определить карты

J ∂ ∂ x μ знак равно ∂ ∂ y μ J ∂ ∂ y μ = - ∂ ∂ x μ {\ displaystyle J {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {\ mu}}} \ qquad J {\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {\ mu}}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}}}J {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {\ mu}}} \ qquad J {\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {\ mu}}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu} }}

(точно так же, как поворот π / 2 против часовой стрелки) или

J ∂ ∂ z μ = i ∂ ∂ z μ J ∂ ∂ z ¯ μ = - i ∂ ∂ z ¯ μ. {\ Displaystyle J {\ frac {\ partial} {\ partial z ^ {\ mu}}} = я {\ frac {\ partial} {\ partial z ^ {\ mu}}} \ qquad J {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ mu}}} = - i {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ mu}}}.}J {\ frac {\ partial} {\ partial z ^ {\ mu}}} = i {\ frac {\ partial} {\ partial z ^ {\ mu}}} \ qquad J {\ frac {\ partial} {\ par tial {\ bar {z}} ^ {\ mu}}} = - i {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ mu}}}.

Легко проверить, что эта карта определяет почти сложную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии порождает почти комплексную структуру, которая называется «индуцированной» сложной структурой, а комплексная структура называется «совместимой с» почти комплексной структурой.

Обратный вопрос, подразумевает ли почти сложная структура существование сложной структуры, гораздо менее тривиален и в целом неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанный выше канонический вид в любой заданной точке p. В общем, однако, невозможно найти координаты, при которых J принимает каноническую форму на всей окрестности точки p. Такие координаты, если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если M допускает локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, тогда эти фрагменты вместе образуют голоморфный атлас для M, придавая ему сложную структуру, которая, кроме того, индуцирует J. Тогда говорят, что J быть «интегрируемым ». Если J индуцирован сложной структурой, то он индуцирован уникальной комплексной структурой.

Дано любое линейное отображение A на каждом касательном пространстве M; т. е. A - тензорное поле ранга (1, 1), тогда тензор Нейенхейса является тензорным полем ранга (1,2), задаваемого

NA (X, Y) = - A 2 [X, Y] + A ([AX, Y] + [X, AY]) - [AX, AY]. {\ Displaystyle N_ {A} (X, Y) = - A ^ {2} [X, Y] + A ([AX, Y] + [X, AY]) - [AX, AY]. \,}N_ {A} (X, Y) = - A ^ {2} [X, Y] + A ([AX, Y] + [X, AY]) - [AX, AY]. \,

или для обычного случая почти сложной структуры A = J такой, что J 2 = - I d {\ displaystyle J ^ {2} = - Id}{\ displaystyle J ^ {2} = - Id} ,

NJ (X, Y) = [ X, Y] + J ([JX, Y] + [X, JY]) - [JX, JY]. {\ displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J ([JX, Y] + [X, JY]) - [JX, JY]. \,}{\ displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J ([JX, Y] + [X, JY]) - [JX, JY]. \,}

Отдельные выражения на правая часть зависит от выбора гладких векторных полей X и Y, но левая часть фактически зависит только от поточечных значений X и Y, поэтому N A является тензором. Это также ясно из формулы компонентов

- (N A) i j k = A i m ∂ m A j k - A j m ∂ m A i k - A m k (∂ i A j m - ∂ j A i m). {\ displaystyle - (N_ {A}) _ {ij} ^ {k} = A_ {i} ^ {m} \ partial _ {m} A_ {j} ^ {k} -A_ {j} ^ {m} \ partial _ {m} A_ {i} ^ {k} -A_ {m} ^ {k} (\ partial _ {i} A_ {j} ^ {m} - \ partial _ {j} A_ {i} ^ {m}).}- (N_ {A}) _ {{ij}} ^ {k} = A_ {i} ^ {m} \ partial _ {m} A_ {j} ^ {k} -A_ {j} ^ {m} \ partial _ {m} A_ {i} ^ {k} -A_ {m} ^ {k} (\ partial _ {i} A_ {j} ^ {m} - \ partial _ { j} A_ {i} ^ {m}).

В терминах скобки Фрелихера – Нийенхейса, которая обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нейенхейса N A составляет лишь половину [А, А].

Теорема Ньюлендера – Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда N J = 0. Как обсуждалось, совместимая комплексная структура уникальна. над. Поскольку существование интегрируемой почти сложной структуры эквивалентно существованию сложной структуры, это иногда принимают как определение сложной структуры.

Существует несколько других критериев, которые эквивалентны обращению в нуль тензора Нейенхейса, и поэтому предоставляют методы для проверки интегрируемости почти сложной структуры (и фактически каждый из них можно найти в литературе) :

  • Скобка Ли любых двух (1, 0) -векторных полей снова имеет тип (1, 0)
  • d = ∂ + ∂ ¯ {\ displaystyle d = \ partial + {\ bar {\ partial }}}d = \ partial + {\ bar \ partial}
  • ∂ ¯ 2 = 0. {\ displaystyle {\ bar {\ partial}} ^ {2} = 0.}{\ bar \ partial} ^ {2} = 0.

Любое из этих условий подразумевает существование уникальной совместимой комплексной структуры.

Существование почти сложной структуры - это топологический вопрос, на который относительно легко ответить, как обсуждалось выше. С другой стороны, существование интегрируемой почти сложной структуры - гораздо более сложный аналитический вопрос. Например, до сих пор неизвестно, допускает ли S интегрируемую почти сложную структуру, несмотря на долгую историю совершенно непроверенных утверждений. Вопросы плавности важны. Для вещественно-аналитического J теорема Ньюлендера – Ниренберга следует из теоремы Фробениуса ; для C (и менее гладкого) J требуется анализ (с более сложными методами, поскольку гипотеза регулярности ослабевает).

Совместимые тройки

Предположим, что M наделено симплектической формой ω, римановой метрикой g и почти сложной структурой J. Поскольку ω и g являются невырожденными, каждая из них индуцирует изоморфизм расслоений TM → T * M, где первое отображение, обозначенное φ ω, задается внутренним произведением φω( u) = i u ω = ω (u, •), а другое, обозначенное φ g, определяется аналогичной операцией для g. При таком понимании три структуры (g, ω, J) образуют совместимую тройку, когда каждая структура может быть определена двумя другими следующим образом:

  • g (u, v) = ω (u, Jv)
  • ω (u, v) = g (Ju, v)
  • J (u) = (φ g) (φ ω (u)).

В каждом из этих уравнений две структуры в правой части называются совместимыми, если соответствующая конструкция дает структуру указанного типа. Например, ω и J совместимы тогда и только тогда, когда ω (•, J •) - риманова метрика. Расслоение на M, сечения которого являются почти комплексными структурами, совместимыми с ω, имеет стягиваемые слои : комплексные структуры на касательных слоях, совместимые с ограничением на симплектические формы.

Используя элементарные свойства симплектической формы ω, можно показать, что согласованная почти комплексная структура J является почти кэлеровой структурой для римановой метрики ω (u, Jv). Кроме того, если J интегрируемо, то (M, ω, J) является кэлеровым многообразием. Эти тройки связаны со свойством 2 из 3 унитарной группы.

Обобщенная почти комплексная структура

Найджел Хитчин ввел понятие обобщенной почти сложной структуры на многообразие M, разработанное в докторских диссертациях его учеников и. Обычная почти комплексная структура - это выбор полумерного подпространства каждого слоя комплексифицированного касательного расслоения TM. Обобщенная почти комплексная структура - это выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированного касательного и кокасательного пучков. В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подгруппы и ее комплексного конъюгата давала исходный набор.

Почти сложная структура интегрируется в сложную структуру, если полумерное подпространство замкнуто под скобкой Ли. Обобщенная почти комплексная структура интегрируется в обобщенную комплексную структуру , если подпространство замкнуто под скобкой Куранта. Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистого спинора, то M является обобщенным многообразием Калаби – Яу.

См. Также

Литература

  1. ^Агрикола, Илка ; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа».. 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068.
Последняя правка сделана 2021-06-11 01:39:13
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте