G-структура на коллекторе

редактировать

подгруппа структурной группы на связке касательной рамы

В дифференциальной геометрии, G-структура на n- многообразии M, для данной структурной группы G, является G- подгруппой связки касательных реперов FM (или GL (M)) к M.

Понятие G-структур включает различные классические структуры, которые могут быть определены на многообразиях, которые в некоторых случаях являются тензорные поля. Например, для ортогональной группы O (n) -структура определяет риманову метрику, а для специальной линейной группы SL (n, R ) -структура такая же, как объемная форма. Для тривиальной группы {e} -структура состоит из абсолютного параллелизма многообразия.

Обобщая эту идею на произвольные главные связки в топологических пространствах, можно спросить, объединяет ли основной $G {\ displaystyle G}$ $G$ -бандл на группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ "происходит от" подгруппы $H {\ displaystyle H}$ $H$ из $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Это называется сокращением структурной группы (до $H {\ displaystyle H}$ $H$ ).

Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура, симплектическая структура или кэлерова структура, являются G-структурами с дополнительное условие интегрируемости.

Содержание

1 Редукция структурной группы
- 1.1 Определение
  - 1.1.1 В терминах конкретных связок
  - 1.1.2 В терминах классификации пространств
- 1.2 Свойства и примеры
2 G-структуры
- 2.1 Примеры
- 2.2 Основные расслоения
3 Условия интегрируемости и плоские G-структуры
4 Изоморфизм G-структур
5 Связности на G-структурах
- 5.1 Кручение G-структуры
- 5.2 Пример: кручение для почти сложных структур
6 G-структуры более высокого порядка
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки

Редукция структурной группы

Можно спросить, объединяет ли основной $G {\ displaystyle G}$ $G$ -бандл над group $G {\ displaystyle G }$ $G$ "происходит от" подгруппы $H {\ displaystyle H}$ $H$ из $G {\ dis стиль игры G}$ $G$ . Это называется редукцией структурной группы (до $H {\ displaystyle H}$ $H$ ) и имеет смысл для любой карты $H → G {\ displaystyle H \ в G}$ $H \ to G$ , который не обязательно должен быть картой включения (несмотря на терминологию).

Определение

Далее пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет топологическим пространством, $G, H {\ displaystyle G, H}$ $G, H$ топологические группы и групповой гомоморфизм $ϕ: H → G {\ displaystyle \ phi \ двоеточие H \ to G}$ ${\ displaystyle \ phi \ двоеточие H \ to G}$ .

в терминах конкретных связок

Дан принципал $G {\ displaystyle G}$ $G$ -bundle $P {\ displaystyle P}$ $P$ над $X {\ displaystyle X}$ $X$ , сокращение структурной группы (с $G {\ displaystyle G}$ $G$ до $H {\ displaystyle H}$ $H$ ) является $H {\ displaystyle H}$ $H$ -bundle $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ и изоморфизм $ϕ Q: Q × HG → P {\ displaystyle \ phi _ { Q} \ двоеточие Q \ times _ {H} G \ to P}$ ${ \ Displaystyle \ phi _ {Q} \ двоеточие Q \ times _ {H} G \ to P}$ связанного пакета с исходным пакетом.

С точки зрения классификации пространств

Дана карта $π: X → BG {\ displaystyle \ pi \ двоеточие X \ to BG}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие X \ to BG}$ , где $BG {\ displaystyle BG}$ $BG$ - это классифицирующее пространство для $G {\ displaystyle G}$ $G$ -bundles, сокращение структурной группы является карта $π Q: X → BH {\ displaystyle \ pi _ {Q} \ двоеточие X \ to BH}$ ${\ displaystyle \ pi _ {Q} \ двоеточие X \ to BH}$ и гомотопия $ϕ Q: B ϕ ∘ π Q → π {\ displaystyle \ phi _ {Q} \ двоеточие B \ phi \ circ \ pi _ {Q} \ to \ pi}$ ${\ displaystyle \ phi _ {Q} \ двоеточие B \ phi \ circ \ pi _ {Q} \ to \ pi}$ .

Свойства и примеры

Редукции структурной группы не всегда существуют. Если они существуют, они обычно не являются уникальными, поскольку изоморфизм $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ является важной частью данных.

В качестве конкретного примера каждое четномерное реальное векторное пространство изоморфно лежащему в основе действительному пространству комплексного векторного пространства: оно допускает линейную комплексную структуру. Реальное векторное расслоение допускает почти сложную структуру тогда и только тогда, когда оно изоморфно нижележащему действительному расслоению комплексного векторного расслоения. Тогда это сокращение по включению GL (n, C ) → GL (2n, R)

В терминах отображений переходов, G-расслоение может быть сокращено тогда и только тогда, когда если можно принять, что карты переходов имеют значения в H. Обратите внимание, что термин сокращение вводит в заблуждение: он предполагает, что H является подгруппой G, что часто имеет место, но не обязательно (например, для спиновых структур ): это правильно называется поднятием.

Более абстрактно, «G-расслоения над X» - это функтор в G: дано отображение H → G, карта получается из H-расслоения в G-расслоения посредством индуцирования (как указано выше). Редукция структурной группы G-расслоения B - это выбор H-расслоения, образ которого равен B.

отображение из H-расслоений в G-расслоения в общем случае не является ни на, ни взаимно однозначным, поэтому структурная группа не всегда может быть сокращена, а когда это возможно, это сокращение не обязательно должно быть уникальным.Например, не каждое многообразие ориентируемые, а ориентируемые допускают ровно две ориентации.

Если H i как замкнутая подгруппа группы G, то существует естественное взаимно однозначное соответствие между редукциями G-расслоения B к H и глобальными сечениями расслоения B / H, полученными факторизацией B по правому действие группы H. В частности, расслоение B → B / H является главным H-расслоением над B / H. Если σ: X → B / H - секция, то обратное расслоение BH= σB является редукцией B.

G-структуры

Каждый вектор пучок измерения $n {\ displaystyle n}$ $n$ имеет канонический $GL (n) {\ displaystyle GL (n)}$ $GL (n)$ -bundle, комплект кадров. В частности, каждое гладкое многообразие имеет каноническое векторное расслоение, касательное расслоение. Для группы Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ и гомоморфизма группы $ϕ: G → GL (n) {\ displaystyle \ phi \ двоеточие G \ to GL (n)}$ ${\ displaystyle \ phi \ двоеточие G \ to GL (n)}$ , $G {\ displaystyle G}$ $G$ -структура - это сокращение структурной группы пакета кадров до $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Примеры

Следующие примеры определены для вещественных векторных расслоений, в частности касательного расслоения к гладкому многообразию.

Групповой гомоморфизм	Group $G {\ displaystyle G}$ $G$	$G {\ displaystyle G}$ $G$ -structure	Препятствие
$GL + (n) < G L ( n) {\displaystyle GL^{+}(n)$ ${\ displaystyle GL ^ {+} (n) <GL (n)}$	Общая линейная группа положительного определителя	Ориентация	Связка должна быть ориентируемой
$SL (n) < G L ( n) {\displaystyle SL(n)$ ${\ displaystyle SL (n) <GL (n)}$	Специальная линейная группа	Форма объема	Связка должна быть ориентируемой ( $SL → GL + {\ displaystyle SL \ to GL ^ {+}}$ $SL \ to GL ^ +$ - это деформационный отвод )
$SL ± (n) < G L ( n) {\displaystyle SL^{\pm }(n)$ ${\ displaystyle SL ^ {\ pm} (n) <GL (n)}$	Определитель $± 1 {\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$	Псевдо- форма объема	Всегда возможно
$O (n) < G L ( n) {\displaystyle O(n)$ $O (n) <GL (n)$	Ортогональная группа	Риманова метрика	Всегда возможна ( $O (n) {\ displaystyle O (n)}$ $O (n)$ - максимальная компактная подгруппа, поэтому включение является деформационный ретракт)
$O (1, n - 1) < G L ( n) {\displaystyle O(1,n-1)$ $O (1, n-1) <GL (n)$	Неопределенная ортогональная группа	Псевдориманова метрика	Топологическое препятствие
$GL (n, C) < G L ( 2 n, R) {\displaystyle GL(n,\mathbf {C})$ $GL (n, \ mathbf {C}) <GL (2n, \ mathbf {R})$	Комплексная общая линейная группа	Почти сложная структура	Топологическое препятствие
$GL (n, H) ⋅ S p (1) < G L ( 4 n, R) {\displaystyle GL(n,\mathbf {H})\cdot Sp(1)$ $GL (n, \ mathbf {H}) \ cdot Sp (1) <GL (4n, \ mathbf {R})$	$GL (n, H) {\ displaystyle GL (n, \ mathbf {H})}$ $GL (n, \ mathbf {H})$ : кватернионная общая линейная группа, действующая на $H n ≅ R 4 n {\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {n} \ cong \ mathbf {R} ^ {4n}}$ $\ mathbf {H} ^ n \ cong \ mathbf {R} ^ {4n}$ из left $S p (1) = S pin (3) {\ displaystyle Sp (1) = Spin (3)}$ ${\ displaystyle Sp (1) = Spin (3)}$ : группа кватернионов единиц, действующих на $H n {\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {n}}$ $\ mathbf {H} ^ n$ справа	почти кватернионная структура	Топологическое препятствие
$GL (k) × GL (n - k) < G L ( n) {\displaystyle GL(k)\times GL(n-k)$ $GL (k) \ times GL (nk) <GL (n)$	Общие линейная группа	Разложение как сумма Уитни (прямая сумма) подгруппы s ранга $k {\ displaystyle k}$ $k$ и $n - k {\ displaystyle nk}$ $nk$ .	Топологическое препятствие

Некоторые $G {\ displaystyle G}$ $G$ -структуры - это определенные термины других: дана риманова метрика на ориентированном многообразии, $G {\ displaystyle G}$ $G$ -структура для 2-кратного покрытия $Spin (n) → SO (n) {\ displaystyle {\ t_dv {Spin}} (n) \ to {\ t_dv {SO}} (n)}$ $\ t_dv {Spin} (n) \ to \ t_dv {SO} (n)$ - это спиновая структура. (Обратите внимание, что гомоморфизм групп здесь не является включением.)

Основные расслоения

Хотя теория главных расслоений играет важную роль в изучении G-структур, эти два понятия различны. G-структура является основным подгруппой связки касательных кадров , но тот факт, что связка G-структуры состоит из касательных кадров, рассматривается как часть данных. Например, рассмотрим две римановы метрики на R . Ассоциированные O (n) -структуры изоморфны тогда и только тогда, когда метрики изометричны. Но поскольку R стягиваемо, лежащие в основе O (n) -расслоения всегда будут изоморфны как главные расслоения, потому что единственные расслоения над стягиваемыми пространствами являются тривиальными расслоениями.

Это фундаментальное различие между двумя теориями можно уловить, предоставив дополнительные данные о базовом G-пучке G-структуры: припой. Форма припоя - это то, что связывает основное основное расслоение G-структуры с локальной геометрией самого многообразия, задавая канонический изоморфизм касательного расслоения M к ассоциированному векторному расслоению. Хотя форма припоя не является формой соединения , иногда ее можно рассматривать как предшественницу такой формы.

Подробно предположим, что Q является основным расслоением G-структуры. Если Q реализуется как уменьшение связки рам M, то форма припоя задается посредством отката тавтологической формы связки рам вдоль включения. Абстрактно, если рассматривать Q как главное расслоение независимо от его реализации как редукции расслоения фреймов, то форма припоя состоит из представления ρ группы G на R и изоморфизма расслоений θ: TM → Q × ρR.

Условия интегрируемости и плоские G-структуры

Несколько структур на многообразиях, например, комплексная структура, симплектическая структура или кэлерова структура, являются G-структурами (и, следовательно, могут быть заблокированы), но должны удовлетворять дополнительному условию интегрируемости. Без соответствующего условия интегрируемости структура вместо этого называется «почти» структурой, как в почти комплексной структуре, почти симплектической структуре или почти кэлеровской структуре.

В частности, структура симплектического многообразия является более сильным понятием, чем G-структура для симплектической группы. Симплектическая структура на многообразии - это невырожденная 2-форма ω на M (которая является $S p {\ displaystyle Sp}$ $Sp$ -структурой или почти симплектическая структура) вместе с дополнительным условием dω = 0; это последнее называется условием интегрируемости.

Аналогично, слоения соответствуют G-структурам, происходящим из блочных матриц, вместе с условиями интегрируемости, так что теорема Фробениуса применяется.

A плоская G-структура представляет собой G-структуру P, имеющую глобальную секцию (V 1,..., V n), состоящую из коммутирующего вектора поля. G-структура является интегрируемой (или локально плоской), если она локально изоморфна плоской G-структуре.

Изоморфизм G-структур

Набор диффеоморфизмов M, которые сохраняют G-структуру, называется группой автоморфизмов этой структуры. Для O (n) -структуры они являются группой изометрий римановой метрики и для SL (n, R ) -структуры сохраняющих объем отображений.

Пусть P - G-структура на многообразии M, а Q - G-структура на многообразии N. Тогда изоморфизм G-структур является диффеоморфизмом f: M → N такое, что продвижение вперед линейных кадров f * : FM → FN ограничивает отображение P в Q. (Обратите внимание, что достаточно, чтобы Q содержался в изображении f *.) G-структуры P и Q локально изоморфны, если M допускает покрытие открытыми множествами U и семейством диффеоморфизмов f U : U → f (U) ⊂ N такая, что f U индуцирует изоморфизм P | U → Q | f (U).

Автоморфизм G-структуры является изоморфизмом G-структуры P самой себе. Автоморфизмы часто возникают при изучении групп преобразований геометрических структур, так как многие важные геометрические структуры на многообразии могут быть реализованы как G-структуры.

Широкий класс проблем эквивалентности можно сформулировать на языке G-структур. Например, пара римановых многообразий (локально) эквивалентна тогда и только тогда, когда их пучки ортонормированных реперов являются (локально) изоморфными G-структурами. С этой точки зрения, общая процедура решения проблемы эквивалентности состоит в построении системы инвариантов для G-структуры, которых затем достаточно для определения, является ли пара G-структур локально изоморфной или нет.

Связности на G-структурах

Пусть Q будет G-структурой на M. главная связность на главном расслоении Q индуцирует связность на любом ассоциированном векторном расслоении: в частности на касательном расслоении. линейное соединение <на TM, возникающее таким образом, называется совместимым с Q. Соединения, совместимые с Q, также называются адаптированными соединениями .

Конкретно, адаптированными соединениями можно понимать в терминах подвижной рамки. Предположим, что V i является базисом локальных секций TM (т. Е. Фрейм на M), который определяет секцию Q. Любая связь ∇ определяет систему зависимых от базиса 1-форм ω через

∇XVi= ω i (X) V j

где в качестве матрицы 1-форм ω ∈ Ω (M) ⊗ gl (n). Адаптированное соединение - это соединение, для которого ω принимает свои значения в алгебре Ли g из G.

Кручение G-структуры

Связано с любой G-структурой. понятие кручения, связанное с кручением соединения. Обратите внимание, что данная G-структура может допускать множество различных совместимых соединений, которые, в свою очередь, могут иметь разные кручения, но, несмотря на это, можно дать независимое понятие кручения G-структуры следующим образом.

Разница двух адаптированных соединений - это 1-форма на M со значениями в сопряженном связке AdQ. Другими словами, пространство A адаптированных связей является аффинным пространством для Ω (Ad Q).

кручение адаптированного соединения определяет карту

AQ → Ω 2 (TM) {\ displaystyle A ^ {Q} \ to \ Omega ^ {2} (TM) \,}

A ^ {Q} \ to \ Omega ^ {2} (TM) \,

в 2-формы с коэффициентами в TM. Эта карта линейна; его линеаризация

τ: Ω 1 (A d Q) → Ω 2 (TM) {\ displaystyle \ tau: \ Omega ^ {1} (\ mathrm {Ad} _ {Q}) \ to \ Omega ^ {2 } (TM) \,}

\ tau: \ Omega ^ {1} ({\ mathrm {Ad}} _ {Q}) \ to \ O мега ^ {2} (TM) \,

называется алгебраическим торсионным отображением . Для двух адаптированных связностей ∇ и ∇ ′ их тензоры кручения T ∇, T ∇ ′ отличаются на τ (∇ − ∇ ′). Следовательно, образ T ∇ в coker (τ) не зависит от выбора ∇.

Образ T ∇ в установке для коксования (τ) для любого адаптированного соединения ∇ называется кручением G-структуры. G-структура называется без кручения, если ее кручение обращается в нуль. Это происходит именно тогда, когда Q допускает адаптированное соединение без кручения.

Пример: кручение для почти сложных структур

Примером G-структуры является почти сложная структура, то есть сокращение структурной группы четного -мерное многообразие в GL (n, C ). Такая редукция однозначно определяется C-линейным эндоморфизмом J ∈ End (TM) таким, что J = −1. В этой ситуации кручение можно явно вычислить следующим образом.

Простой подсчет измерений показывает, что

Ω 2 (TM) = Ω 2, 0 (TM) ⊕ im (τ) {\ displaystyle \ Omega ^ {2} (TM) = \ Omega ^ { 2,0} (TM) \ oplus \ mathrm {im} (\ tau)}

\ Omega ^ {2} ( TM) = \ Omega ^ {{2,0}} (TM) \ oplus {\ mathrm {im}} (\ tau)

где Ω (TM) - пространство форм B ∈ Ω (TM), удовлетворяющих

B (JX, Y) = B (X, JY) = - JB (X, Y). {\ displaystyle B (JX, Y) = B (X, JY) = - JB (X, Y). \,}

B (JX, Y) = B (X, JY) = - JB (X, Y). \,

Следовательно, кручение почти сложной структуры можно рассматривать как элемент в Ω (TM). Легко проверить, что кручение почти комплексной структуры равно ее тензору Нейенхейса.

G-структурам более высокого порядка

Наложение условий интегрируемости на конкретную G- структура (например, в случае симплектической формы) может быть обработана через процесс продолжения. В таких случаях продолженная G-структура не может быть отождествлена с G-подрасслоением пучка линейных реперов. Однако во многих случаях продолжение является самостоятельным главным расслоением, и его структурная группа может быть идентифицирована с подгруппой более высокого порядка группы струй. В этом случае это называется G-структурой более высокого порядка [Кобаяши]. Как правило, к таким случаям применяется метод эквивалентности Картана.

См. Также

G2-структура

Примечания

^Которая является группой Ли $G → GL (n, R) {\ displaystyle G \ to GL ( n, \ mathbf {R})}$ $G \ to GL (n, {\ mathbf {R}})$ отображение на общую линейную группу $GL (n, R) {\ displaystyle GL (n, \ mathbf {R})}$ $GL (n, {\ mathbf {R}})$ . Часто, но не всегда, это подгруппа Ли ; например, для спиновой структуры карта представляет собой , покрывающее пространство на ее изображении.
^Действительно, это бифунктор в G и X.
^В классической теории поля такой раздел $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ описывает классическое поле Хиггса (Сарданашвили Г. (2006). «Геометрия классических полей Хиггса». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 03 : 139–148. arXiv : hep-th / 0510168. doi : 10.1142 / S0219887806001065.).
^Это гравитационное поле в калибровочной теории гравитации (Сарданашвили Г. (2006). «Калибровочная теория гравитации с геометрической точки зрения». International Journal of Geometric Методы современной физики. 3 (1): v – xx. arXiv : gr-qc / 0512115. Bibcode : 2005gr.qc.... 12115S.)
^ Besse 1987, §14.61 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBesse1987 (help )
^Kobayashi (1972).
^Kobayashi (1972) I.4.
^Gauduchon (1997).

Ссылки

Chern, Shiing-Shen (1966). «Геометрия G-структур». Bulletin of the American Mathematical Society. 72(2): 167–219. doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11473-8.
Gauduchon, Paul (1997). «Канонические связи для почти -гиперкомплексные структуры ". Комплексный анализ и геометрия. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman. pp. 123–136.
Kobayashi, Shoshichi (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии. Классика в математике. Весна э. ISBN 978-3-540-58659-3. OCLC 31374337.
Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co. ISBN 978-0-8218-1385-0. OCLC 43032711.
Година, Марко; Маттеуччи, Паоло (2003). «Редуктивные G-структуры и производные Ли». Журнал геометрии и физики. 47(1): 66–86. arXiv : math / 0201235. Bibcode : 2003JGP.... 47... 66G. doi :10.1016/S0393-0440(02)00174-2. MR 2006228.