Классическая теория поля

A Классическая теория поля - это физическая теория, которая предсказывает как одно или несколько физических полей взаимодействуют с веществом через уравнения поля . Термин «классическая теория поля» обычно используется для описания тех физических теорий, которые описывают электромагнетизм и гравитацию, две из фундаментальных сил природы. Теории, которые включают квантовую механику, называются квантовыми теориями поля.

Физическое поле можно рассматривать как присвоение физической величины в каждой точке пространства и время. Например, в прогнозе погоды скорость ветра в течение дня над страной описывается путем присвоения вектора каждой точке в пространстве. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра в области в данный момент времени составляет векторное поле . С течением дня направления, в которых указывают векторы, изменяются вместе с изменением направления ветра.

Первые теории поля, ньютоновская гравитация и уравнения Максвелла электромагнитных полей были разработаны в классической физике до появления теории относительности в 1905 году., и его пришлось пересмотреть, чтобы привести в соответствие с этой теорией. Следовательно, классические теории поля обычно делятся на нерелятивистские и релятивистские. Современные теории поля обычно выражаются с помощью математики тензорного исчисления. Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как части математических объектов, называемых пучками волокон.

. В 1839 году Джеймс МакКуллах представил уравнения поля для описания отражения и преломления. в «Очерке динамической теории отражения и преломления кристаллов».

• 1 Нерелятивистские теории поля
  • 1.1 Ньютоновская гравитация
  • 1.2 Электромагнетизм
    • 1.2.1 Электростатика
    • 1.2.2 Магнитостатика
    • 1.2.3 Электродинамика
  • 1.3 Механика сплошной среды
    • 1.3.1 Гидродинамика
• 2 Теория потенциала
• 3 Релятивистская теория поля
  • 3.1 Лагранжева динамика
• 4 Релятивистские поля
  • 4.1 Электромагнетизм
    • 4.1.1 Лагранжиан
    • 4.1.2 Уравнения
  • 4.2 Гравитация
• 5 Попытки объединения
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
  • 8.1 Цитаты
  • 8.2 Источники
• 9 Внешние ссылки

Некоторые из простейших физических полей являются векторной силой. е поля. Исторически впервые поля были восприняты всерьез с помощью силовых линий Фарадея при описании электрического поля. Затем аналогичным образом описывалось гравитационное поле.

Ньютоновская гравитация

Первой полевой теорией гравитации была теория гравитации Ньютона, в которой взаимное взаимодействие между двумя массами подчиняется закону обратных квадратов. Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Любое массивное тело M имеет гравитационное поле g, которое описывает его влияние на другие массивные тела. Гравитационное поле M в точке r в пространстве определяется путем определения силы F, которую M оказывает на небольшую пробную массу m, расположенную в r, а затем делим на m:

$g\; (r)\; =\; F\; (r)\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{m\}\}.\}$

Предполагая, что m намного меньше M гарантирует, что присутствие m имеет незначительное влияние на поведение M.

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, F(r) дается как

$F\; (r)\; =\; -\; GM\; mr\; 2\; р\; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\},\}$

где $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$- это единичный вектор, указывающий вдоль линии от M до m, а G - Гравитационная постоянная Ньютона. Следовательно, гравитационное поле Mis

$g\; (r)\; =\; F\; (r)\; m\; =\; -\; G\; M\; r\; 2\; r\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{m\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}.\}$

Экспериментальное наблюдение, что инертная масса и гравитационная масса равны беспрецедентному уровню точности, приводит к определению силы гравитационного поля как идентично ускорению, испытываемому частицей. Это отправная точка принципа эквивалентности, который приводит к общей теории относительности.

Для дискретного набора масс M i, расположенных в точках, ri, гравитационное поле в точке r из-за масс равно

$g\; (r)\; =\; -\; G\; \sum \; i\; M\; i\; (r\; -\; ri)\; |\; г\; -\; г\; я\; |\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; G\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{i\}\})\; \}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; |\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,,\}$

Если вместо этого у нас есть непрерывное распределение масс ρ, сумма заменяется интегралом,

$g\; (r)\; =\; -\; G\; \iiint \; V\; \rho \; (x)\; d\; 3\; x\; (r\; -\; x)\; |\; г\; -\; х\; |\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; G\; \backslash \; iiint\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; d\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; |\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,,\}$

Обратите внимание, что направление поля указывает от положение r к положению масс ri; это обеспечивается знаком минус. Короче говоря, это означает, что привлекаются все массы.

В интегральной форме закон Гаусса для гравитации равен

$\iint \; g\; \cdot \; d\; S\; =\; -\; 4\; \pi \; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iint\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{\; S\}\; =\; -4\; \backslash \; pi\; GM\}$

, а в дифференциальной форме это

$\nabla \; \cdot \; g\; =\; -\; 4\; \pi \; G\; \rho \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; =\; -4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; rho\; \_\; \{m\}\}$

Следовательно, гравитационное поле g можно записать в терминах градиента гравитационного потенциала φ(r):

$g\; (r)\; =\; -\; \varphi \; (r).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}).\}$

Это следствие гравитационной силы F, которая консервативный.

электромагнетизм

электростатический

A заряженная пробная частица с зарядом q испытывает силу F, основанную исключительно на ее заряде. Мы можем аналогичным образом описать электрическое поле Eтак, чтобы F = q E . Используя это и закон Кулона, электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно

$E\; =\; 1\; 4\; \pi \; ϵ\; 0\; q\; r\; 2\; r\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \}\}\; \backslash ,.\}$

Электрическое поле является консервативным и, следовательно, задается градиентом скалярного потенциала V (r)

$E\; (r)\; =\; -\; \nabla \; V\; (r).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \backslash \; nabla\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash ,.\}$

Закон Гаусса для электричества находится в интегральной форме

$\iint \; E\; \cdot \; d\; S\; =\; qe\; ϵ\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iint\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\_\; \{e\}\}\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\}\}$

в дифференциальная форма

$\nabla \; \cdot \; E\; =\; \rho \; e\; ϵ\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{e\}\}\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,.\; \}$

Магнитостатика

Постоянный ток I, протекающий по пути ℓ, будет оказывать на соседние заряженные частицы силу, количественно отличную от силы электрического поля, описанной выше. Сила, действующая со стороны I на соседний заряд q со скоростью v равно

$F\; (r)\; =\; qv\; \times \; B\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; q\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}),\}$

, где B(r) - магнитное поле, которое определяется из I по закону Био – Савара :

$B\; (r)\; =\; \mu \; 0\; I\; 4\; \pi \; \int \; d\; \ell \; \times \; dr\; ^\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; I\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; раз\; d\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Магнитное поле в общем случае не консервативно и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать в терминах векторного потенциала, A(r):

$B\; (r)\; =\; \nabla \; \times \; A\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$

закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме:

$\iint \; B\; \cdot \; d\; S\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iint\; \backslash \; mathbf\; \{\; B\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; =\; 0,\}$

, а в дифференциальной форме это

$\nabla \; \cdot \; B\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; 0.\}$

Физическая интерпретация состоит в том, что не существует магнитных монополей.

Электродинамика

В общем, при наличии как плотности заряда ρ (r, t), так и плотности тока J(r, t), будет и электрическое, и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла, набором дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают E и B с плотностью электрического заряда (заряд на единицу объема) ρ и плотность тока (электрический ток на единицу площади) J.

В качестве альтернативы можно описать систему в терминах ее скалярных и векторных потенциалов V и A . Набор интегральных уравнений, известных как запаздывающие потенциалы, позволяет вычислить V и A из ρ и J, и отсюда электрические и магнитные поля определяются через отношения

$E\; =\; -\; \nabla \; V\; -\; \partial \; A\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; V\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

$B\; =\; \nabla \; \times \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{A\}.\}$

Механика сплошной среды

Гидродинамика

Гидродинамика имеет поля давления, плотности и потока скорости, которые связаны законами сохранения энергии и импульса. Уравнение неразрывности массы - это уравнение неразрывности, представляющее сохранение массы

$\partial \; \rho \; \partial \; t\; +\; \nabla \; \cdot \; (\rho \; u)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; 0\}$

и уравнения Навье – Стокса представляют сохранение количества движения в жидкости, найденное из законов Ньютона, примененных к жидкости,

$\partial \; \partial \; T\; (\rho \; U)\; +\; \nabla \; \cdot \; (\rho \; U\; \otimes \; U\; +\; p\; I)\; =\; \nabla \; \cdot \; \tau \; +\; \rho \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (\backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{u\; \})\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; +\; p\; \backslash \; mathbf\; \{I\})\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; tau\}\}\; +\; \backslash \; rho\; \backslash \; mathbf\; \{b\; \}\}$

, если заданы плотность ρ, давление p, тензор девиаторных напряжений τжидкости, а также внешние объемные силы b . Поле скорости u- это векторное поле, для которого необходимо найти.

Термин «теория потенциала » возникает из того факта, что в физике 19 века фундаментальные силы природы считались производными от скалярные потенциалы, которые удовлетворяли уравнению Лапласа. Пуассон обратился к вопросу устойчивости планетарных орбит, который уже был решен Лагранжем в первой степени приближения на основе сил возмущения, и вывел уравнение Пуассона, названное в честь ему. Общая форма этого уравнения:

$\nabla \; 2\; \varphi \; =\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; sigma\}$

, где σ - функция источника (как плотность, количество на единицу объема) и φ - скалярный потенциал, который необходимо найти.

В ньютоновской гравитации; массы являются источниками поля, так что силовые линии заканчиваются на объектах, имеющих массу. Точно так же заряды являются источниками и стоками электростатических полей: положительные заряды испускают силовые линии электрического поля, а силовые линии заканчиваются отрицательными зарядами. Эти концепции поля также проиллюстрированы в общей теореме о расходимости, в частности в законе Гаусса для гравитации и электричества. Для случаев не зависящей от времени гравитации и электромагнетизма поля представляют собой градиенты соответствующих потенциалов

$g\; =\; -\; \nabla \; \varphi \; g,\; E\; =\; -\; \nabla \; \varphi \; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; \_\; \{\; g\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; \_\; \{e\}\}$

, поэтому подставив их в закон Гаусса для каждого случая, получаем

$\nabla \; 2\; \varphi \; =\; 4\; \pi \; G\; \rho \; g,\; \nabla \; 2\; \varphi \; знак\; равно\; -\; \rho \; е\; ϵ\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; 4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; rho\; \_\; \{g\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; -\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{e\}\; \backslash \; over\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\}$

где ρ g - это массовая плотность, а ρ e - плотность заряда.

Между прочим, это сходство возникает из-за сходства между законом всемирного тяготения и законом Кулона.

. В случае отсутствия источника (например, вакуума или парных зарядов) эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа :

$\nabla \; 2\; \varphi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; 0\}$

Для распределения массы (или заряда) потенциал можно разложить в ряд сферических гармоник, а n-й член в ряду может быть e рассматривается как потенциал, возникающий из 2-моментов (см. мультипольное разложение ). Для многих целей в расчетах нужны только члены монополя, диполя и квадруполя.

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют лоренцевой ковариации, поскольку теперь это признано фундаментальным аспектом природы. Теория поля обычно выражается математически с помощью лагранжианов. Это функция, которая, когда подчиняется принципу действия , порождает уравнения поля и закон сохранения для теории. Действие является скаляром Лоренца, из которого можно легко получить уравнения поля и симметрии.

Повсюду мы используем такие единицы измерения, что скорость света в вакууме равна 1, т.е. c = 1.

Лагранжева динамика

Учитывая тензор поля φ, скаляр, называемый плотность лагранжиана

$L\; (\varphi ,\; \partial \; \varphi ,\; \partial \; \partial \; \varphi ,\dots ,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; phi,\; \backslash \; partial\; \backslash \; phi,\; \backslash \; partial\; \backslash \; partial\; \backslash \; phi,\; \backslash \; ldots,\; x)\}$

можно построить из φ и его производных.

Из этой плотности можно построить функционал действия путем интегрирования по пространству-времени,

$S\; =\; \int \; L\; -\; g\; d\; 4\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; int\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{4\}\; x\}.\}$

Где $-\; gd\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{4\}\; x\}$- форма объема в искривленном пространстве-времени. $(g\; \equiv \; det\; (g\; \mu \; \nu ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (g\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; text\; \{det\}\}\; (g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}))\}$

Следовательно, сам лагранжиан равен интеграл от плотности лагранжиана по всему пространству.

Тогда, применяя принцип действия , получаем уравнения Эйлера – Лагранжа

$\delta \; S\; \delta \; \varphi \; =\; \partial \; L\; \partial \; \varphi \; -\; \partial \; \mu \; (\partial \; L\; \partial \; (\partial \; \mu \; \varphi ))\; +\; \cdots \; +\; (-\; 1)\; m\; \partial \; \mu \; 1\; \partial \; \mu \; 2\; \cdots \; \partial \; \mu \; m\; -\; 1\; \partial \; \mu \; m\; (\partial \; L\; \partial \; (\partial \; \mu \; 1\; \partial \; \mu \; 2\; \cdots \; \partial \; \mu \; m\; -\; 1\; \partial \; \mu \; m\; \varphi ))\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; phi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi)\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{\; m\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{m-1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{m-1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{m\}\}\; \backslash \; phi)\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0.\}$

Два самых известных поля Лоренца. -ковариантные классические теории поля.

Электромагнетизм

Исторически первыми (классическими) теориями поля были теории, описывающие электрическое и магнитное поля (по отдельности). После многочисленных экспериментов было обнаружено, что эти два поля связаны или, фактически, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитного поля. Теория Максвелла электромагнетизма описывает взаимодействие заряженной материи с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрического и магнитного полей. С появлением специальной теории относительности была найдена более полная формулировка с использованием тензорных полей. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

электромагнитный четырехпотенциал определяется как A a = (-φ, A ), а электромагнитный четырехпотенциал -ток ja= (-ρ, j ). Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается тензором антисимметричного (0,2) ранга электромагнитного поля

$F\; a\; b\; =\; \partial \; a\; A\; b\; -\; \partial \; b\; A\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{ab\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{a\}\; A\_\; \{b\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{b\}\; A\_\; \{a\}.\}$

Лагранжиан

Чтобы получить динамику для этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме

$L\; =\; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; a\; b\; F\; a\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; F\; ^\; \{ab\}\; F\_\; \{ab\}\; \backslash ,.\}$

Мы можем использовать калибровочная теория поля, чтобы получить член взаимодействия, и это дает нам

$L\; =\; -\; 1\; 4\; \mu \; 0\; F\; ab\; F\; ab\; -\; ja\; A\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; F\; ^\; \{ab\}\; F\_\; \{ab\}\; -j\; ^\; \{a\}\; A\_\; \{a\}\; \backslash ,.\; \}$

Уравнения

Чтобы получить уравнения поля, электромагнитный тензор в плотности лагранжиана необходимо заменить его определением в терминах 4-потенциала A, и именно этот потенциал входит в эйлерову систему. Уравнения Лагранжа. ЭМ поле F не изменяется в уравнениях ЭЛ. Следовательно,

$\partial \; b\; (\partial \; L\; \partial \; (\partial \; b\; A\; a))\; =\; \partial \; L\; \partial \; A\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{b\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{b\}\; A\_\; \{a\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{a\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Вычисление производной плотности лагранжиана по компонентам поля

$\partial \; L\; \partial \; A\; a\; =\; \mu \; 0\; ja,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{a\}\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; j\; ^\; \{a\}\; \backslash ,,\}$

и производные компонентов поля

$\partial \; L\; \partial \; (\partial \; b\; A\; a)\; =\; F\; ab,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\; b\}\; A\_\; \{a\})\}\}\; =\; F\; ^\; \{ab\}\; \backslash ,,\}$

дает уравнения Максвелла в вакууме. Уравнения источника (закон Гаусса для электричества и закон Максвелла-Ампера):

$\partial \; b\; F\; a\; b\; =\; \mu \; 0\; j\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{b\}\; F\; ^\; \{ab\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; j\; ^\; \{a\}\; \backslash ,.\}$

, а два других (закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея) получаются из тот факт, что F является 4-ротором A, или, другими словами, из того факта, что тождество Бьянки выполняется для тензора электромагнитного поля.

$6\; F\; [ab,\; c]\; =\; F\; ab,\; c\; +\; F\; ca,\; b\; +\; F\; bc,\; a\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 6F\; \_\; \{[ab,\; c]\}\; \backslash ,\; =\; F\_\; \{ab,\; c\}\; +\; F\_\; \{ca,\; b\}\; +\; F\_\; \{bc,\; a\}\; =\; 0.\}$

где запятая указывает на частную производную.

Гравитация

После того, как ньютоновская гравитация оказалась несовместимой с специальной теорией относительности, Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общей теорией относительности. Это рассматривает гравитацию как геометрическое явление ('искривленное пространство-время '), вызванное массами, и представляет гравитационное поле математически с помощью тензорного поля называется метрическим тензором . Уравнения поля Эйнштейна описывают, как возникает эта кривизна. Ньютоновская гравитация теперь заменена теорией Эйнштейна общей теории относительности, в которой гравитация рассматривается как результат искривленного пространства-времени, вызвано массами. Уравнения поля Эйнштейна,

$G\; ab\; =\; \kappa \; T\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{ab\}\; =\; \backslash \; kappa\; T\_\; \{ab\}\}$

, описывают, как эта кривизна создается веществом и излучением, где G ab - тензор Эйнштейна,

$G\; ab\; =\; R\; ab\; -\; 1\; 2\; R\; gab\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{ab\}\; \backslash ,\; =\; R\_\; \{ab\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Rg\_\; \{ab\; \}\}$

, записанный в терминах тензора Риччи Rabи скаляра Риччи R = R ab g, T ab - это тензор энергии-импульса и κ = 8πG / c является константой. В отсутствие вещества и излучения (включая источники) 'уравнения вакуумного поля,

$G\; ab\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{ab\}\; =\; 0\; \backslash ,\}$

могут быть получены путем изменения Действие Эйнштейна – Гильберта,

$S\; =\; \int \; R\; -\; gd\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; R\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{4\}\; x\}$

относительно метрики, где g - определитель метрического тензора g. Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями. Альтернативная интерпретация, связанная с Артуром Эддингтоном, заключается в том, что $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является фундаментальным, $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$является лишь одним аспектом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, а $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$определяется выбором единиц измерения.

Попытки создать единую теорию поля на основе классической физики являются классическими объединенными теориями поля. В период между двумя мировыми войнами идея объединения гравитации с электромагнетизмом активно преследовалась несколькими математиками и физиками, такими как Альберт Эйнштейн, Теодор Калуца ​​, Герман Вейл, Артур Эддингтон, Густав Ми и Эрнст Райхенбахер.

Ранние попытки создать такую ​​теорию были основаны о включении электромагнитных полей в геометрию общей теории относительности. В 1918 году случай первой геометризации электромагнитного поля был предложен в 1918 году Германом Вейлем. В 1919 г. идею пятимерного подхода предложил Теодор Калуца ​​. На основе этого была разработана теория под названием Теория Калуцы-Клейна. Он пытается объединить гравитацию и электромагнетизм в пятимерном пространстве-времени. Эйнштейн и другие исследователи рассматривали несколько способов расширения представительной основы единой теории поля. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах. Первый вариант основан на ослаблении условий, наложенных на исходную формулировку, а второй основан на введении в теорию других математических объектов. Примером первого варианта является ослабление ограничений четырехмерного пространства-времени путем рассмотрения многомерных представлений. Это используется в теории Калуцы-Клейна. Что касается второго, наиболее ярким примером является концепция аффинной связи, которая была введена в общую теорию относительности в основном благодаря работе Туллио Леви-Чивита и Герман Вейль.

Дальнейшее развитие квантовой теории поля сместило фокус поиска единой теории поля с классического на квантовое описание. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поиска классической единой теории поля. Квантовая теория поля должна включать объединение двух других фундаментальных сил природы, сильной и слабой ядерной силы, которые действуют на субатомном уровне.

• Релятивистские волновые уравнения
• Квантовая теория поля
• Классические объединенные теории поля
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Поле Хиггса (классическое)
• Лагранжиан (теория поля)
• Гамильтониан теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

Цитаты

Источники

• Thidé, Bo. «Теория электромагнитного поля» (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 17 сентября 2003 г. Получено 14 февраля 2006 г.
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспект лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc / 9712019. Bibcode : 1997gr.qc.... 12019C. Cite journal требует | journal =()
• Бинни, Джеймс Дж.. «Конспект лекций по классическим полям» (PDF). Проверено 30 апреля 2007 г.
• Сарданашвили Г. (ноябрь 2008 г.). «Advanced Classical Field Theory». International Journal of Geometric Методы современной физики. 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331. Bibcode : 2008IJGMM.. 05.1163S. doi : 10.1142 / S0219887808003247. ISBN 978-981-283-895-7. S2CID 13884729.