Запаздывающий потенциал

редактировать

Электромагнетизм
Статьи о

Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер Пуассон
v т е

В электродинамики, то запаздывающие потенциалы являются электромагнитные потенциалы для электромагнитного поля, генерируемого, изменяющихся во времени электрического тока или заряда распределений в прошлом. Поля распространяются со скоростью света c, поэтому задержка полей, связывающих причину и следствие в более ранние и более поздние моменты времени, является важным фактором: сигналу требуется конечное время для распространения из точки в распределении заряда или тока (точка причины) в другую точку пространства (где измеряется эффект), см. рисунок ниже.

СОДЕРЖАНИЕ

1 В шкале Лоренца
- 1.1 Для полей, зависящих от времени
- 1.2 По сравнению со статическими потенциалами для не зависящих от времени полей
2 В кулоновской калибровке
3 В линеаризованной гравитации
4 Возникновение и применение
5 Пример
6 См. Также
7 ссылки

В шкале Лоренца

Основные статьи: уравнения Максвелла и математические описания электромагнитного поля

Позиционные векторы r и r ', используемые в расчетах.

Отправной точкой являются уравнения Максвелла в потенциальной формулировке с использованием калибровки Лоренца :

{\ Displaystyle \ Box \ varphi = {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \,, \ quad \ Box \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ Displaystyle \ Box \ varphi = {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \,, \ quad \ Box \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

где φ ( r, t) - электрический потенциал, а A ( r, t) - вектор магнитного потенциала для произвольного источника плотности заряда ρ ( r, t) и плотности тока J ( r, t), а также Оператор Даламбера. Их решение дает запаздывающие потенциалы, указанные ниже (все в единицах СИ ). ${\ displaystyle \ Box}$ $\Коробка$

Для полей, зависящих от времени

Для полей, зависящих от времени, запаздывающие потенциалы равны:

{\ displaystyle \ mathrm {\ varphi} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r } ', t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '}

{\ mathrm \ varphi} ({\ mathbf r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho ({\ mathbf r} ', t_ {r})} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|}} \, {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf r}'

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf { r} ', t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '\,.}

{\ mathbf A} ({\ mathbf r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ mathbf J} ({\ mathbf r} ', t_ {r})} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|}} \, {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf r}' \,.

где r - точка в пространстве, t - время,

{\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|} {c}}}

t_r = t- \ frac {| \ mathbf r - \ mathbf r '|} {c}

- запаздывающее время, а d ³r ' - мера интегрирования с использованием r'.

Из φ ( r, t) и A ( r, t) поля E ( r, t) и B ( r, t) могут быть вычислены с использованием определений потенциалов:

{\ Displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla \ varphi + {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \,, \ quad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} \,.}

- {\ mathbf {E}} = \ nabla \ varphi + {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} \,, \ quad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ раз {\ mathbf A} \,.

и это приводит к уравнениям Ефименко. Соответствующие продвинутые потенциалы имеют идентичную форму, за исключением продвинутого времени.

{\ displaystyle t_ {a} = t + {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|} {c}}}

t_ {a} = t + {\ frac {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|} {c}}

заменяет запаздывающее время.

По сравнению со статическими потенциалами для не зависящих от времени полей

В случае, когда поля не зависят от времени ( электростатическое и магнитостатическое поля), производные по времени в операторах полей равны нулю и уравнения Максвелла сводятся к ${\ displaystyle \ Box}$ $\Коробка$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = - {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \,, \ quad \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \,,}

\ nabla ^ {2} \ varphi = - {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \,, \ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} = - \ mu _ { 0} {\ mathbf {J}} \,,

где ∇ ² - лапласиан, который принимает форму уравнения Пуассона с четырьмя компонентами (одна для φ и три для A), а решениями являются:

{\ displaystyle \ mathrm {\ varphi} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}'}

{\ mathrm \ varphi} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho ({\ mathbf r} ') } {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|}} \, {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf r}'

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '\,.}

{\ mathbf A} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ mathbf J} ({\ mathbf r} ')} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|}} \, {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf r}' \,.

Это также прямо вытекает из запаздывающих потенциалов.

В кулоновской калибровке

В кулоновской калибровке уравнения Максвелла имеют вид

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = - {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}

\ nabla ^ {2} \ varphi = - {\ dfrac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} + {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} \ nabla \ left ({\ dfrac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \ right) \,,}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} - {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} {\ mathbf {A}}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} {\ mathbf {J}} + {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} \ nabla \ left ({\ dfrac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \ right) \,,

хотя решения контрастируют с приведенным выше, поскольку A является запаздывающим потенциалом, но φ изменяется мгновенно, что определяется выражением:

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ dfrac {\ rho (\ mathbf {r} ', t)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}'}

\ varphi ({\ mathbf {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ dfrac {\ rho ({\ mathbf {r}} ', t)} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|}} {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf {r}}'

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ nabla \ times \ int \ mathrm {d} ^ {3 } \ mathbf {r '} \ int _ {0} ^ {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | / c} \ mathrm {d} t_ {r} {\ dfrac {t_ {r} \ mathbf {J} (\ mathbf {r '}, t-t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | ^ {3}}} \ times (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \,.}

{\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ nabla \ times \ int {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf {r '}} \ int _ {0} ^ {{| {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}}' | / c}} {\ mathrm {d}} t_ {r} {\ dfrac {t_ {r} {\ mathbf {J}} ({\ mathbf {r '}}, t-t_ {r})} {| {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} '| ^ {3}}} \ times ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}}') \,.

Это дает преимущество и недостаток кулоновской калибровки - φ легко вычисляется из распределения заряда ρ, но A не так легко вычисляется из распределения тока j. Однако, если мы потребуем, чтобы потенциалы обращались в нуль на бесконечности, их можно аккуратно выразить через поля:

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ nabla \ cdot \ mathbf {E} ({r} ', t) } {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}'}

\ varphi ({\ mathbf {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ nabla \ cdot {\ mathbf {E}} ({r} ', t)} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r} '|}} {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf {r}}'

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ nabla \ times \ mathbf {B} ({r} ', t)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}'}

{\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi}} \ int {\ dfrac {\ nabla \ times {\ mathbf {B}} ({ r} ', t)} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r}' |}} {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf {r}} '

В линеаризованной гравитации

Запаздывающий потенциал в линеаризованной общей теории относительности очень похож на электромагнитный случай. Обращенный по следу тензор играет роль четырехвекторного потенциала, гармоническая калибровка заменяет электромагнитную калибровку Лоренца, уравнения поля имеют вид, а решение для запаздывающих волн имеет вид ${\ displaystyle {\ tilde {h}} _ {\ mu \ nu} = h _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} \ eta _ {\ mu \ nu} h}$ ${\ displaystyle {\ tilde {h}} _ {\ mu \ nu} = h _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} \ eta _ {\ mu \ nu} h}$ ${\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ mu} = 0}$ ${\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ mu} = 0}$ ${\ displaystyle \ Box {\ тильда {h}} _ {\ mu \ nu} = - 16 \ pi GT _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ Box {\ тильда {h}} _ {\ mu \ nu} = - 16 \ pi GT _ {\ mu \ nu}}$

{\ displaystyle {\ tilde {h}} _ {\ mu \ nu} (\ mathbf {r}, t) = 4G \ int {\ frac {T _ {\ mu \ nu} (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}'}

{\ displaystyle {\ tilde {h}} _ {\ mu \ nu} (\ mathbf {r}, t) = 4G \ int {\ frac {T _ {\ mu \ nu} (\ mathbf {r} ', t_ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}'}

Возникновение и применение

Теория многих тел, которая включает в себя среднее значение запаздывающих и опережающих потенциалов Льенара – Вихерта, - это теория поглотителя Уиллера – Фейнмана, также известная как теория Уиллера – Фейнмана с временной симметрией.

Пример

Потенциал заряда с постоянной скоростью на прямой имеет инверсию в точке, которая находится в недавнем положении. Потенциал не меняется в сторону движения.

Смотрите также

использованная литература