Симеон Дени Пуассон

Французский математик и физик

Симеон Пуассон
Симеон Дени Пуассон (1781–1840)
Родился	(1781-06-21) 21 июня 1781 г.. Питивье, Орлеана, Королевство Франции. (ныне Луаре, Франция)
Умер	25 апреля 1840 г. (1840-04-25) (58 лет). Со, От-де-Сен, Июльская монархия
Национальность	Французский
Alma mater	École Polytechnique
Известен	процессом Пуассона. уравнением Пуассона. ядро ​​Пуассона. Распределение Пуассона. скобка Пуассона. Алгебра Пуассона. регрессия Пуассона. Формула суммирования Пуассона. Пятно Пуассона. Коэффициент Пуассона. Нули Пуассона. Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона. Уравнение Эйлера – Пуассона – Дарбу
Научная карьера
Области	Математика
Учреждения	Политехническая школа. Бюро долгот. [fr ]. Школа Сен-Сир
Научные консультанты	Жозеф-Луи s Лагранж. Пьер-Симон Лаплас
Докторанты	Мишель Часлес. Жозеф Лиувиль
Другие известные студенты	Николя Леонар Сади Карно. Питер Густав Лежен Дирихле

Барон Симеон Дени Пуассон FRS FRSE (французский: ; 21 июня 1781 г. - 25 апреля 1840 г.) был французским математиком, инженером и физиком, добившимся многих научных успехов.

• 1 Биография
• 2 Вклад
  • 2.1 Теория потенциала
    • 2.1.1 Уравнение Пуассона
    • 2.1.2 Электричество и магнетизм
  • 2.2 Оптика
  • 2.3 Чистая математика и статистика
  • 2.4 Механика
    • 2.4.1 Аналитическая механика и вариационное исчисление
    • 2.4.2 Механика сплошной среды и поток жидкости
  • 2.5 Термодинамика
  • 2.6 Другие работы
• 3 Взаимодействие с Эваристом Галуа
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Пуассон родился в Питивье, Луаре в Франции., сын Симеона Пуассона, офицера французской армии.

В 1798 году он поступил в Политехническую школу в Париже как первый в своем классе, и сразу же начал привлекать внимание профессоров школы, которые оставили он свободен принимать собственные решения относительно того, что он будет изучать. В 1800 году, менее чем через два года после своего вступления в должность, он опубликовал два мемуара: один о методе исключения Этьена Безу, другой о количестве интегралов от конечно-разностное уравнение. Последний был исследован Сильвестром-Франсуа Лакруа и Адрианом-Мари Лежандром, которые рекомендовали опубликовать его в Recueil des savants étrangers, что является беспрецедентной честью для восемнадцатилетнего юноши. Этот успех сразу же обеспечил Пуассону доступ в научные круги. Жозеф Луи Лагранж, чьи лекции по теории функций он посещал в Политехнической школе, рано распознал его талант и стал его другом. Между тем Пьер-Симон Лаплас, по стопам которого пошел Пуассон, считал его почти своим сыном. Остальная часть его карьеры, вплоть до его смерти в Sceaux под Парижем, была почти занята составлением и публикацией его многочисленных работ, а также выполнением обязанностей на многочисленных образовательных должностях, на которые он был последовательно назначен. 315>

Сразу после окончания учебы в Политехнической школе он был назначен там на должность répétiteur (ассистент преподавателя) - должность, которую он занимал как любитель, еще будучи учеником школы; ведь его одноклассники имели обыкновение приходить к нему в комнату после необычайно сложной лекции, чтобы послушать, как он ее повторяет и объясняет. Он был назначен заместителем профессора (professeur suppléant) в 1802 году, а в 1806 году - полным профессором, сменившим Жана Батиста Жозефа Фурье, которого Наполеон послал в Гренобль. В 1808 году он стал астрономом в Бюро долгот ; и когда [fr ] был учрежден в 1809 году, он был назначен профессором рациональной механики (professeur de mécanique rationelle). В 1812 году он стал членом института, экзаменатором в военной школе (École Militaire) в Сен-Сир в 1815 году, выпускным экзаменатором в Политехнической школе в 1816 году, советником университета в 1820 году., и геометром Бюро долгот, сменившим Пьера-Симона Лапласа в 1827 году.

В 1817 году он женился на Нанси де Барди, и от нее у него было четверо детей. Его отец, чей ранний опыт привел его к ненависти к аристократам, воспитал его в строгом кредо Первой республики. Во время Революции, Империи и последующей реставрации Пуассон не интересовался политикой, сосредоточиваясь на математике. Он был назначен на сан барона в 1821 г.; но он не вынул диплом и не использовал титул. В марте 1818 г. он был избран членом Королевского общества, в 1822 г. - иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук, а в 1823 г. - иностранным членом Шведская королевская академия наук. июльская революция 1830 г. грозила ему потерей всех почестей; но этот позор для правительства Луи-Филиппа был ловко предотвращен Франсуа Жан Доминик Араго, который, пока совет министров планировал его «отзыв», обеспечил ему приглашение отобедать в Пале-Рояль, где он был открыто и горячо встречен королем-гражданином, который «вспомнил» его. После этого, конечно, его деградация была невозможна, и семь лет спустя он стал пэром Франции не по политическим причинам, а как представитель французской науки.

Как преподаватель В области математики Пуассон, как говорят, был чрезвычайно успешен, как и следовало ожидать от его раннего обещания стать репетитором в Политехнической школе. Его производительность как научного работника редко, если вообще когда-либо, была равной. Несмотря на свои многочисленные официальные обязанности, он нашел время опубликовать более трехсот работ, некоторые из которых были обширными трактатами, и многие из них были мемуарами, касающимися самых сложных разделов чистой математики, прикладной математики, математическая физика и рациональная механика. (Араго приписал ему цитату: «Жизнь хороша только для двух вещей: заниматься математикой и преподавать ее».)

Дается список работ Пуассона, составленный им самим. в конце биографии Араго. Все, что можно, - это краткое упоминание наиболее важных из них. Именно в применении математики к физике были выполнены его величайшие заслуги перед наукой. Возможно, наиболее оригинальными и, безусловно, наиболее прочными по своему влиянию были его мемуары по теории электричества и магнетизма, которые фактически создали новую отрасль математической физики

.

Следующими (или, по мнению некоторых, первыми) по важности стоят мемуары по небесной механике, в которых он показал себя достойным преемником Пьера-Симона Лапласа. Наиболее важными из них являются его мемуары «Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes», «Sur la вариация постоянных арбитров в вопросах механики», оба опубликованные в «Журнале Политехнической школы» (1809); Sur la libration de la lune, в Connaissance des temps (1821) и т. Д.; и Sur le mouvement de la terre autour de son center de gravité, в Mémoires de l'Académie (1827) и т. д. В первом из этих мемуаров Пуассон обсуждает знаменитый вопрос стабильности планетарного орбиты, которые уже были определены Лагранжем в первой степени приближения для возмущающих сил. Пуассон показал, что результат может быть расширен до второго приближения, и тем самым сделал важный шаг вперед в теории планет. Мемуары примечательны тем, что побудили Лагранжа после некоторого периода бездействия написать в старости один из величайших из своих мемуаров, озаглавленный Sur la théorie deschanges des éléments des planètes, et en specialulier deschanges des grands axes de leurs orbites. Он так высоко оценил мемуары Пуассона, что собственноручно сделал с них копию, которая после его смерти была найдена среди его бумаг. Пуассон внес важный вклад в теорию притяжения.

Его имя - одно из 72 имен, начертанных на Эйфелевой башне.

Теория потенциала

Пуассонова уравнение

Уравнения Пуассона для электричества (вверху) и магнетизма (внизу) в единицах СИ на передней обложке учебника для бакалавров.

Известное обобщение Пуассона второго порядка уравнения в частных производных Лапласа для потенциала $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$

$\nabla \; 2\; \varphi \; =\; -\; 4\; \pi \; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; -4\; \backslash \; pi\; \backslash \; rho\; \backslash ;\; \}$

, известное как уравнение Пуассона после него, было впервые опубликовано в Bulletin de la société philomatique (1813 г.). Если $\rho \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; 0\}$, мы получаем уравнение Лапласа

$\nabla \; 2\; \varphi \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; =\; 0.\; \backslash ;\}$

Если $\rho \; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; y,\; z)\}$является непрерывной функцией и если для $r\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$(или если точка «перемещается» в бесконечность ) функция $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$переходит в 0 достаточно быстро, решением уравнения Пуассона является ньютоновский потенциал функции $\rho \; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; y,\; z)\}$

$\varphi \; =\; -\; 1\; 4\; \pi \; \iiint \; \rho \; (x,\; y,\; z)\; rd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 4\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; iiint\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (\; x,\; y,\; z)\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\; dV\; \backslash ;\}$

где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- расстояние между элементом объема $d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\}$и точка $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Интеграция распространяется на все пространство.

Двумя наиболее важными мемуарами Пуассона по этому поводу являются Sur l'attraction des sphéroides (Connaiss. Ft. Temps, 1829) и Sur l'attraction d'un ellipsoide homogène (Mim. Ft. L'acad., 1835).

Электричество и магнетизм

Когда восемнадцатый век подошел к концу, человеческое понимание электростатики приблизилось к зрелости. Бенджамин Франклин уже установил понятие электрического заряда и сохранения заряда ; Шарль-Огюстен де Кулон сформулировал свой закон электростатики. В 1777 году Жозеф-Луи Лагранж представил концепцию потенциальной функции, которую можно использовать для вычисления силы тяжести протяженного тела. В 1812 году Пуассон принял эту идею и получил соответствующее выражение для электричества, которое связывает потенциальную функцию $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$с плотностью электрического заряда $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$. Пуассон обнаружил, что уравнение Лапласа справедливо только вне твердого тела. Строгое доказательство существования масс с переменной плотностью было впервые дано Карлом Фридрихом Гауссом в 1839 году. Работа Пуассона по теории потенциала вдохновила Джорджа Грина на статью 1828 года «Очерк Применение математического анализа к теориям электричества и магнетизма. Уравнение Пуассона применимо не только к гравитации, но также к электричеству и магнетизму.

В 1820 году Ганс Кристиан Орстед продемонстрировал, что можно отклонить магнитную стрелку, замыкая или размыкая электрическую цепь. рядом, поблизости. Был опубликован поток статей, пытающихся объяснить это явление. Закон Ампера и закон Био-Савара были быстро выведены. Так родилась наука электромагнетизм. Пуассон также исследовал явление магнетизма в то время, хотя он настаивал на том, чтобы рассматривать электричество и магнетизм как отдельные явления. Он опубликовал два мемуара о магнетизме в 1826 году. К 1830-м годам главный исследовательский вопрос в изучении электричества заключался в том, является ли электричество жидкостью или жидкостями, отличными от материи, или чем-то, что просто действует на материю, как гравитация. Кулон, Ампер и Пуассон считали электричество жидкостью, отличной от материи. В своих экспериментальных исследованиях, начиная с электролиза, Майкл Фарадей пытался показать, что это не так. Электричество, как считал Фарадей, было частью материи.

Оптика

Фотография пятна Араго в тени круглого препятствия 5,8 мм.

Пуассон был членом академической "старой гвардии" в Королевской академии наук Института Франции, которые твердо верили в теорию света и скептически относились к ее альтернативе, волновой теории. В 1818 году Академия установила тему своей премии как дифракция. Один из участников, инженер-строитель и оптик Огюстен-Жан Френель представил диссертацию, объясняющую дифракцию, полученную на основе анализа как принципа Гюйгенса-Френеля, так и эксперимента Юнга с двойной щелью.

Пуассон подробно изучил теорию Френеля и искал способ доказать, что она ошибочна. Пуассон подумал, что он обнаружил изъян, когда продемонстрировал, что теория Френеля предсказывает осевое яркое пятно в тени круглого препятствия, блокирующего точечный источник света, где теория частиц света предсказывает полное тьма. Пуассон утверждал, что это абсурд, а модель Френеля ошибочна. (Такое пятно нелегко наблюдать в повседневных ситуациях, потому что большинство повседневных источников света не являются хорошими точечными источниками.)

Глава комитета, Доминик-Франсуа-Жан Араго, провел эксперимент. Он прилепил металлический диск диаметром 2 мм к стеклянной пластине с помощью воска. К всеобщему удивлению, он заметил предсказанное яркое пятно, которое подтвердило волновую модель. Френель выиграл соревнование.

После этого корпускулярная теория света умерла, но была возрождена в двадцатом веке в другой форме, дуальности волна-частица. Позже Араго заметил, что дифракционное яркое пятно (которое позже стало известно как пятно Араго и пятно Пуассона) уже наблюдалось Жозефом-Николасом Делислем и Джакомо Ф. Маральди веком раньше.

Чистая математика и статистика

В чистой математике наиболее важными работами Пуассона были его серия воспоминаний о определенных интегралах и его обсуждение Ряд Фурье, последний проложивший путь классическим исследованиям Петера Густава Лежена Дирихле и Бернхарда Римана по той же теме; их можно найти в Журнале Политехнической школы с 1813 по 1823 год и в Memoirs de l'Académie за 1823 год. Он также изучал интегралы Фурье.

Пуассон написал эссе по исчислению вариации (Mem. de l'acad., 1833) и воспоминания о вероятности средних результатов наблюдений (Connaiss. d. temps, 1827, c). Распределение Пуассона в теории вероятностей названо в его честь.

В 1820 году Пуассон изучал интеграции вдоль путей в комплексной плоскости, став первым человеком, сделавшим это.

В 1829 году Пуассон опубликовал статью об упругих телах, содержащую утверждение и доказательство особого случая того, что стало известно как теорема о расходимости.

Механика

Аналитическая механика и вариационное исчисление

Основанное в основном Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в восемнадцатом веке, вариационное исчисление получило дальнейшее развитие и применение в девятнадцатом веке.

Пусть

$S\; =\; \int \; abf\; (x,\; y\; (x),\; y\; \prime \; (x))\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; y\; (x),\; y\; \text{'}(x))\; \backslash ,\; dx,\}$

где $y\; \prime \; =\; dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\}$. Тогда $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$экстремизируется, если он удовлетворяет уравнениям Эйлера – Лагранжа

$\partial \; f\; \partial \; y\; -\; ddx\; (\partial \; f\; \partial \; y\; \prime )\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0.\}$

Но если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$зависит от производных более высокого порядка от $y\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\}$, то есть если

$S\; =\; \int \; abf\; (x,\; y\; (x),\; y\; \prime \; (x),...,\; y\; (n)\; (x))\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; \backslash \; left\; (x,\; y\; (x),\; y\; \text{'}(x),...,\; y\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx,\}$

затем $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$должен удовлетворять уравнению Эйлера – Пуассона,

$\partial \; f\; \partial \; y\; -\; ddx\; (\partial \; f\; \partial \; y\; \prime )\; +...\; +\; (-\; 1)\; ndndxn\; [\partial \; е\; \partial \; Y\; (n)]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; +...\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{(n)\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; 0.\}$

Методы Пуассона Traité de mécanique (2 тома 8vo, 1811 и 1833 гг.) был написан в стиле Лапласа и Лагранжа и долгое время был стандартным произведением. Пусть $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- позиция, $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- кинетическая энергия, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$потенциальная энергия, независимо от времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Уравнение движения Лагранжа выглядит так:

$d\; d\; t\; (\partial \; T\; \partial \; q\; \dot{}\; i)\; -\; \partial \; T\; \partial \; q\; i\; +\; \partial \; V\; \partial \; q\; i\; =\; 0,\; i\; =\; 1,\; 2,...,\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; =\; 0,\; ~~~~\; i\; =\; 1,2,...,\; n.\}$

Здесь используется точечная запись для производной по времени, $dqdt\; =\; q\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dq\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}$. Множество Пуассона $L\; =\; T\; -\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; T-V\}$. Он утверждал, что если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$не зависит от $q\; \dot{}\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}$, он мог написать

$\partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; T\; \partial \; q\; \dot{}\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\},\}$

давая

$ddt\; (\partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; i)\; -\; \partial \; L\; \partial \; qi\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; =\; 0.\}$

Он ввел явную формулу для импульсов,

$pi\; =\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; T\; \partial \; q\; \dot{}\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\; \}\; \_\; \{i\}\}\}.\}$

Таким образом, из уравнения движения он получил

$p\; \dot{}\; i\; =\; \partial \; L\; \partial \; qi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}.\}$

Текст Пуассона повлиял на работу Уильяма Роуэна Гамильтона и Карл Густав Якоб Якоби. Перевод Трактата по механике Пуассона был опубликован в Лондоне в 1842 году. Пусть $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$быть функциями канонических переменных движения $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. Тогда их скобка Пуассона имеет вид

$[u,\; v]\; =\; \partial \; u\; \partial \; q\; i\; \partial \; v\; \partial \; p\; i\; -\; \partial \; u\; \partial \; p\; i\; \partial \; v\; \partial \; q\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; [u,\; v]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}.\}$

Очевидно, операция антикоммутируется. Точнее, $[u,\; v]\; =\; -\; [v,\; u]\; \{\backslash \; displaystyle\; [u,\; v]\; =\; -\; [v,\; u]\}$. Согласно уравнениям движения Гамильтона, полная производная по времени $u\; =\; u\; (q,\; p,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; u\; (q,\; p,\; t)\}$is

$dudt\; =\; \partial \; u\; \partial \; qiq\; \dot{}\; i\; +\; \partial \; u\; \partial \; pip\; \dot{}\; i\; +\; \partial \; u\; \partial \; t\; =\; \partial \; u\; \partial \; qi\; \partial \; H\; \partial \; pi\; -\; \partial \; u\; \partial \; pi\; \partial \; H\; \partial \; qi\; +\; \partial \; u\; \partial \; t\; =\; [u,\; H]\; +\; \partial \; u\; \partial \; т,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{я\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{\; i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; [u,\; H]\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- гамильтониан. Тогда в терминах скобок Пуассона уравнения Гамильтона могут быть записаны как $q\; \dot{}\; i\; =\; [qi,\; H]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; [q\_\; \{i\},\; H]\}$и $p\; \dot{}\; i\; =\; [pi,\; H]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; [p\_\; \{i\},\; H]\}$. Предположим, что $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$является константой движения, тогда она должна удовлетворять

$[H,\; u]\; =\; \partial \; u\; \partial \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; u]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}.\}$

Более того, теорема Пуассона утверждает, что скобка Пуассона любых двух постоянных движения также является константой движения.

В сентябре 1925 года Поль Дирак получил доказательства основополагающей статьи Вернера Гейзенберга по новому разделу физики, известному как квантовая механика. Вскоре он осознал, что ключевой идеей статьи Гейзенберга является антикоммутативность динамических переменных, и вспомнил, что аналогичная математическая конструкция в классической механике - это скобки Пуассона. Он нашел необходимое лечение в E. Аналитическая динамика частиц и твердых тел Т. Уиттакера .

Пуассон также опубликовал мемуары по теории волн (Mém. Ft. L'acad., 1825).

Механика сплошной среды и течение жидкости

Нерешенная физическая проблема :. При каких условиях решения уравнений Навье – Стокса существуют и являются гладкими ? Это Задача Премии тысячелетия по математике. (больше нерешенных задач в физике)

В 1821 году, используя аналогию с упругими телами, Клод-Луи Навье пришел к основные уравнения движения для вязких жидкостей, которые теперь называются уравнениями Навье – Стокса. В 1829 году Пуассон независимо получил тот же результат. Джордж Габриэль Стоукс восстановил их в 1845 году, используя механику сплошной среды. Пуассон, Огюстен-Луи Коши и Софи Жермен внесли основной вклад в теорию упругости в девятнадцатом веке. Для решения задач часто использовалось вариационное исчисление.

Термодинамика

В своей работе по теплопроводности Джозеф Фурье утверждал, что произвольную функцию можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда, и сделал явным возможность расширения функций в терминах функций Бесселя и полиномов Лежандра, в зависимости от контекста задачи. На то, чтобы принять его идеи, потребовалось некоторое время, так как он использовал математику не так строго. Хотя первоначально он был настроен скептически, Пуассон принял метод Фурье. Примерно с 1815 года он изучал различные проблемы теплопроводности. Он опубликовал свою Théorie mathématique de la chaleur в 1835 году.

В начале 1800-х годов Пьер-Симон де Лаплас разработал сложное, хотя и умозрительное, описание газов, основанное на старой калорийной теории тепло, к которому более молодые ученые, такие как Пуассон, были менее привержены. Успехом Лапласа было исправление формулы Ньютона для скорости звука в воздухе, которая дает удовлетворительные ответы по сравнению с экспериментами. В формуле Ньютона – Лапласа используется удельная теплоемкость газов при постоянном объеме $c\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{V\}\}$и при постоянном давлении $c\; P\; \{\backslash \; Displaystyle\; c\_\; \{P\}\}$. В 1823 году Пуассон переделал работу своего учителя и достиг тех же результатов, не прибегая к сложным гипотезам, ранее применявшимся Лапласом. Кроме того, используя газовые законы Роберта Бойля и Джозефа Луи Гей-Люссака, Пуассон получил уравнение для газов, претерпевающих адиабатические изменения, а именно $PV\; \gamma \; =\; константа\; \{\backslash \; displaystyle\; PV\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\}$, где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- давление газ, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$его объем и $\gamma \; =\; c\; P\; c\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{P\}\}\; \{c\_\; \{V\}\; \}\}\}$.

Другие работы

Mémoire sur le calculate numerique des integles définies, 1826 г.

Помимо своих многочисленных мемуаров, Пуассон опубликовал ряд трактатов, большинство из которых должны были стать частью большой работы по математике. физика, которую он не дожил. Среди них можно упомянуть:

• Nouvelle théorie de l'action capillaire (4to, 1831);
• Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (4to, 1837), все опубликовано в Париже.
• Каталог всех статей и работ Пуассона можно найти в Oeuvrescompétes de François Arago, Vol. 2
• Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques (v. 8 в Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, 1829), оцифрованная копия из Bibliothèque nationale де Франс

После того, как политический активист Эварист Галуа вернулся к математике после исключения из Эколь Нормаль, Пуассон попросил его представить свою работу по теорию уравнений, которую он сделал в январе 1841 года. В начале июля Пуассон объявил работу Галуа «непонятной», но призвал Галуа «опубликовать всю свою работу, чтобы сформировать окончательное мнение». Хотя доклад Пуассона был сделан до ареста Галуа 14 июля, Галуа попал в тюрьму только в октябре. В свете его характера и ситуации в то время неудивительно, что Галуа категорически отказался публиковать свои статьи через Академию и вместо этого опубликовал их в частном порядке через своего друга Огюста Шевалье. И все же Галуа не проигнорировал совет Пуассона. Он начал собирать все свои математические рукописи, еще находясь в тюрьме, и продолжал совершенствовать свои идеи до своего освобождения 29 апреля 1832 года, после чего его каким-то образом уговорили принять участие в дуэли, которая должна была стать роковой.

• Список вещей, названных в честь Симеона Дени Пуассона

• Цитаты, связанные с Симеоном Дени Пуассоном в Wikiquote
• О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., «Симеон Дени Пуассон», Архив истории математики Мактьютора, Университет Сент-Эндрюс.
• Симеон Дени Пуассон в Проекте математической генеалогии