Линеаризованная гравитация

редактировать

В теории общей теории относительности, линеаризованная гравитация является приложением теории возмущений к метрическому тензору , который описывает геометрию пространства-времени. Как следствие, линеаризованная гравитация является эффективным методом моделирования эффектов гравитации, когда гравитационное поле является слабым. Использование линеаризованной гравитации является неотъемлемой частью исследования гравитационных волн и слабого поля гравитационного линзирования.

Содержание

1 Приближение слабого поля
- 1.1 Калибровочная инвариантность
- 1.2 Выбор датчика
  - 1.2.1 Поперечный датчик
  - 1.2.2 Синхронный датчик
  - 1.2.3 Гармонический датчик
2 См. Также
3 Примечания
4 Ссылки
5 Дополнительная литература

Приближение слабого поля

уравнение поля Эйнштейна (EFE), описывающее геометрию пространства-времени, дается как (с использованием натуральных единиц )

R μ ν - 1 2 R g μ ν знак равно 8 π GT μ ν {\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi GT _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi GT _ {\ mu \ nu}}

где $R μ ν {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {\ mu \ nu}$ - тензор Риччи, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - это скаляр Риччи, $T μ ν {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ - энергия-импульс тензор, а $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ - это пространство-время метрический тензор, представляющий t решения уравнения.

Хотя кратко, если записано с использованием нотации Эйнштейна, внутри тензора Риччи и скаляра Риччи скрыты исключительно нелинейные зависимости от метрики, которые дают возможность найти точные решения непрактично в большинстве систем. Однако при описании конкретных систем, для которых кривизна пространства-времени мала (это означает, что члены EFE, которые являются квадратичными в $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ не вносят значительного вклада в уравнения движения), решение уравнений поля можно смоделировать как метрику Минковского $η μ ν {\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ $\ eta _ {\ mu \ nu}$ плюс небольшой член возмущения $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ . Другими словами:

g μ ν = η μ ν + h μ ν, | h μ ν | ≪ 1. {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu}, \ qquad | h _ {\ mu \ nu} | \ ll 1.}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu}, \ qquad | h _ {\ mu \ nu} | \ ll 1.}

В этом режиме замена общей метрики $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ на это пертурбативное приближение приводит к упрощенному выражению для тензора Риччи:

R μ ν знак равно 1 2 (∂ σ ∂ μ час ν σ + ∂ σ ∂ ν h μ σ - ∂ μ ∂ ν h - ◻ час μ ν), {\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {1 } {2}} (\ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ mu} h _ {\ nu} ^ {\ sigma} + \ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {\ sigma} - \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} h- \ square h _ {\ mu \ nu}),}

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ mu} h _ {\ nu} ^ {\ sigma } + \ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {\ sigma} - \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} h- \ square h _ {\ mu \ nu}),}

где $h = η μ ν h μ ν { \ displaystyle h = \ eta ^ {\ mu \ nu} h _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle h = \ eta ^ {\ mu \ nu} h_ { \ mu \ nu}}$ - это след возмущения, $∂ μ {\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$ $\ partial _ {\ mu}$ обозначает частную производную по координате $x μ {\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ $x ^ \ mu$ пространства-времени, а $◻ знак равно η μ ν ∂ μ ∂ ν {\ displaystyle \ square = \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ square = \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu}}$ - это d Аламбер оператор.

Вместе со скаляром Риччи

R = η μ ν R μ ν = ∂ μ ∂ ν h μ ν - ◻ h, {\ displaystyle R = \ eta _ {\ mu \ nu} R ^ { \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} h ^ {\ mu \ nu} - \ square h,}

{\ displaystyle R = \ eta _ {\ mu \ nu} R ^ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} h ^ {\ mu \ nu} - \ квадрат h,}

левая часть уравнения поля сводится к

R μ ν - 1 2 R g μ ν = 1 2 (∂ σ ∂ μ h ν σ + ∂ σ ∂ ν h μ σ - ∂ μ ∂ ν h - ◻ h μ ν - η μ ν ∂ ρ ∂ λ h ρ λ + η μ ν ◻ h). {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ mu} h _ {\ nu} ^ {\ sigma} + \ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {\ sigma} - \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ Nu} h- \ square h _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ rho} \ partial _ {\ lambda} h ^ {\ rho \ lambda} + \ eta _ {\ mu \ nu} \ square h).}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ mu} h _ {\ nu} ^ {\ sigma} + \ partial _ {\ sigma} \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {\ sigma} - \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} h- \ square h _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ rho} \ partial _ {\ lambda} h ^ {\ rho \ lambda} + \ eta _ {\ mu \ nu} \ квадрат h).}

и, таким образом, EFE сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в терминах $h μ ν {\ displaystyle h_ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ .

Калибровочная инвариантность

Процесс разложения общего пространства-времени $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ на Метрика Минковского плюс член возмущения не уникальна. Это связано с тем, что разные варианты выбора координат могут давать разные формы для $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ . Чтобы уловить это явление, вводится применение калибровочной симметрии .

Калибровочные симметрии - это математический аппарат для описания системы, которая не изменяется, когда базовая система координат "сдвигается" на бесконечно малую величину. Таким образом, хотя метрика возмущения $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ не определяется единообразно для разных систем координат, общая система, которую она описывает.

Чтобы зафиксировать это формально, неединственность возмущения $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ представляется как следствие разнообразия набор диффеоморфизмов в пространстве-времени, которые оставляют $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ достаточно малым. Следовательно, для продолжения требуется, чтобы $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ был определен в терминах общего набора диффеоморфизмов, а затем выберите подмножество из них, которое сохраняет малый масштаб, необходимый для приближения слабого поля. Таким образом, можно определить $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ для обозначения произвольного диффеоморфизма, который отображает плоское пространство-время Минковского в более общее пространство-время, представленное метрикой $g μ ν {\ displaystyle g_ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ . При этом метрика возмущения может быть определена как разница между откатом $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ и метрикой Минковского:

h μ ν = (ϕ ∗ g) μ ν - η μ ν. {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} = (\ phi ^ {*} g) _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} = (\ phi ^ {*} g) _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu}.}

Диффеоморфизмы $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , таким образом, может быть выбран так, что $| h μ ν | ≪ 1 {\ displaystyle | h _ {\ mu \ nu} | \ ll 1}$ ${\ displaystyle | h _ {\ mu \ nu} | \ ll 1}$ .

Если задано векторное поле $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ , определенное на плоское, фоновое пространство-время, дополнительное семейство диффеоморфизмов $ψ ϵ {\ displaystyle \ psi _ {\ epsilon}}$ $\ psi _ {\ epsilon}$ можно определить как те, которые генерируются $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ и параметризовано $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ . Эти новые диффеоморфизмы будут использоваться для представления преобразований координат для "бесконечно малых сдвигов", как обсуждалось выше. Вместе с $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , семейство возмущений задается формулой

h μ ν (ϵ) = [(ϕ ∘ ψ ϵ) ∗ g] μ ν - η μ ν = [ψ ϵ ∗ (ϕ ∗ g)] μ ν - η μ ν = ψ ϵ ∗ (h + η) μ ν - η μ ν = (ψ ϵ ∗ h) μ ν + ϵ [(ψ ϵ ∗ η) μ ν - η μ ν ϵ]. {\ displaystyle {\ begin {align} h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = [(\ phi \ circ \ psi _ {\ epsilon}) ^ {*} g] _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \\ = [\ psi _ {\ epsilon} ^ {*} (\ phi ^ {*} g)] _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \\ = \ psi _ {\ epsilon} ^ {*} (h + \ eta) _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \\ = (\ psi _ {\ epsilon} ^ {*} h) _ {\ mu \ nu} + \ epsilon \ left [{ \ frac {(\ psi _ {\ epsilon} ^ {*} \ eta) _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu}} {\ epsilon}} \ right]. \ end {выровнено} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = [(\ phi \ circ \ psi _ {\ epsilon}) ^ {*} g] _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \\ = [\ psi _ {\ epsilon} ^ {*} ( \ phi ^ {*} g)] _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \\ = \ psi _ {\ epsilon} ^ {*} (h + \ eta) _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu} \\ = (\ psi _ {\ epsilon} ^ {*} h) _ {\ mu \ nu} + \ epsilon \ left [{\ frac {(\ psi _ {\ epsilon} ^ {*} \ eta) _ {\ mu \ nu} - \ eta _ {\ mu \ nu}} {\ epsilon}} \ right]. \ en d {выровнено}}}

Следовательно, в пределе $ϵ → 0 {\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$ $\ epsilon \ rightarrow 0$ ,

h μ ν (ϵ) = h μ ν + ϵ L ξ η μ ν {\ displaystyle h_ { \ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = h _ {\ mu \ nu} + \ epsilon {\ mathcal {L}} _ {\ xi} \ eta _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = h _ {\ mu \ nu} + \ epsilon {\ mathcal {L}} _ {\ xi} \ eta _ { \ му \ ню}}

где $L ξ {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ xi}}$ ${ \ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ xi}}$ - производная Ли вдоль векторного поля $ξ μ {\ displaystyle \ xi _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ mu}}$ .

Производная Ли дает окончательное калибровочное преобразование метрики возмущения $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ :

h μ ν (ϵ) знак равно час μ ν + ϵ (∂ μ ξ ν + ∂ ν ξ μ), {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = h _ {\ mu \ nu} + \ epsilon (\ partial _ {\ m u} \ xi _ {\ nu} + \ partial _ {\ nu} \ xi _ {\ mu}),}

{\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = h _ {\ mu \ nu} + \ epsilon (\ partial _ {\ mu} \ xi _ {\ nu} + \ partial _ {\ nu} \ xi _ {\ mu}),}

, которые точно определяют набор метрик возмущений, описывающих одну и ту же физическую систему. Другими словами, он характеризует калибровочную симметрию линеаризованных уравнений поля.

Выбор калибровки

Используя калибровочную инвариантность, можно гарантировать определенные свойства метрики возмущения путем выбора подходящего векторного поля $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu} }$ $\ xi ^ {\ mu}$ .

Поперечный калибр

Чтобы изучить, как возмущение $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ $h _ {{\ mu \ nu}}$ искажает измерения длины, полезно определить следующий пространственный тензор:

sij = hij - 1 3 δ klhkl δ ij {\ displaystyle s_ {ij} = h_ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ delta ^ {kl} h_ {kl } \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle s_ {ij} = h_ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ delta ^ {kl} h_ {kl} \ delta _ {ij}}

(Обратите внимание, что индексы охватывают только пространственные компоненты: $i, j ∈ {1, 2, 3} {\ displaystyle i, j \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle i, j \ in \ {1,2,3 \}}$ ). Таким образом, используя $sij {\ displaystyle s_ {ij}}$ $s_ {ij}$ , пространственные компоненты возмущения можно разложить как

hij = sij - Ψ δ ij {\ displaystyle h_ {ij} = s_ {ij} - \ Psi \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle h_ {ij} = s_ {ij} - \ Psi \ delta _ {ij}}

где $Ψ = - 1 3 δ klhkl {\ displaystyle \ Psi = - {\ frac {1} {3}} \ delta ^ { kl} h_ {kl}}$ ${\ displaystyle \ Psi = - {\ frac {1} {3}} \ delta ^ {kl} h_ {kl}}$ .

Тензор $sij {\ displaystyle s_ {ij}}$ $s_ {ij}$ по построению бесследный и называется деформацией, поскольку он представляет собой величину, на которую возмущение растягивает и сжимает измерения пространства. В контексте изучения гравитационного излучения деформация особенно полезна при использовании с поперечным датчиком. Эта калибровка определяется выбором пространственных компонентов $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ для удовлетворения соотношению

∇ 2 ξ j + 1 3 ∂ j ∂ i ξ я знак равно - ∂ isij, {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ xi ^ {j} + {\ frac {1} {3}} \ partial _ {j} \ partial _ {i} \ xi ^ {i } = - \ partial _ {i} s ^ {ij},}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ xi ^ {j} + {\ frac {1 } {3}} \ partial _ {j} \ partial _ {i} \ xi ^ {i} = - \ partial _ {i} s ^ {ij},}

затем выбирая компонент времени $ξ 0 {\ displaystyle \ xi ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ xi ^ { 0}}$ , чтобы удовлетворить

∇ 2 ξ 0 знак равно ∂ ih 0 i + ∂ 0 ∂ i ξ i. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ xi ^ {0} = \ partial _ {i} h_ {0i} + \ partial _ {0} \ partial _ {i} \ xi ^ {i}.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ xi ^ {0} = \ partial _ {i} h_ {0i} + \ partial _ {0} \ partial _ {i} \ xi ^ {i}.}

После выполнения калибровочного преобразования с использованием формулы из предыдущего раздела деформация становится пространственно поперечной:

∂ is (ϵ) ij = 0, {\ displaystyle \ partial _ {i} s _ {(\ epsilon)} ^ {ij } = 0,}

{\ displaystyle \ partial _ {i} s _ {(\ epsilon)} ^ {ij} = 0,}

с дополнительным свойством:

∂ ih (ϵ) 0 i = 0. {\ displaystyle \ partial _ {i} h _ {(\ epsilon)} ^ {0i} = 0.}

{\ displaystyle \ partial _ {i} h _ {(\ epsilon)} ^ {0i} = 0.}

Синхронный датчик

Синхронный датчик упрощает метрику возмущения, требуя, чтобы метрика не искажала измерения времени. Точнее, синхронный калибр выбирается таким образом, чтобы непространственные компоненты $h μ ν (ϵ) {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)}}$ ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)}}$ были ноль, а именно

час 0 ν (ϵ) = 0. {\ displaystyle h_ {0 \ nu} ^ {(\ epsilon)} = 0.}

{\ displaystyle h_ {0 \ nu} ^ {(\ epsilon)} = 0.}

Этого можно достичь, потребовав компонент времени $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ для удовлетворения

∂ 0 ξ 0 = - h 00 {\ displaystyle \ partial _ {0} \ xi ^ {0} = - h_ {00}}

{\ displaystyle \ partial _ {0} \ xi ^ {0} = - h_ {00}}

и требование, чтобы пространственные компоненты удовлетворяли

∂ 0 ξ i = ​​∂ i ξ 0 - h 0 i. {\ displaystyle \ partial _ {0} \ xi ^ {i} = \ partial _ {i} \ xi ^ {0} -h_ {0i}.}

{\ displaystyle \ partial _ {0} \ xi ^ {i} = \ partial _ {i} \ xi ^ {0} -h_ { 0i}.}

Гармонический датчик

гармоническая калибровка (также называемая калибровкой Лоренца) выбирается всякий раз, когда необходимо максимально сократить линеаризованные уравнения поля. Это можно сделать, если выполняется условие

∂ μ час ν μ = 1 2 ∂ ν h {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} h _ {\ nu} ^ {\ mu} = {\ frac {1} {2 }} \ partial _ {\ nu} h}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} h _ {\ ню} ^ {\ му} = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ partial _ {\ nu} h}

верно. Для этого необходимо, чтобы $ξ μ {\ displaystyle \ xi _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ mu}}$ удовлетворял соотношению

◻ ξ μ = - ∂ ν h μ ν + 1 2 ∂ μ ч. {\ displaystyle \ square \ xi _ {\ mu} = - \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {\ nu} + {\ frac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} h.}

{\ displaystyle \ square \ xi _ {\ mu} = - \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {\ nu} + {\ frac {1} {2}} \ partial _ {\ mu} h.}

Следовательно, используя гармоническую калибровку, тензор Эйнштейна $G μ ν = R μ ν - 1 2 R g μ ν {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu } - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle G _ {\ му \ ну} = R _ {\ му \ ню} - {\ гидроразрыва {1} {2}} Rg _ {\ му \ ню}}$ сводится к

G μ ν = - 1 2 ◻ (h μ ν (ϵ) - 1 2 h (ϵ) η μ ν). {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {1} {2}} \ square \ left (h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} - {\ frac {1} {2 }} h ^ {(\ epsilon)} \ eta _ {\ mu \ nu} \ right).}

{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {1} {2}} \ square \ left (h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} - {\ frac {1} {2}} h ^ {( \ epsilon)} \ eta _ {\ mu \ nu} \ right).}

Следовательно, записывая это в терминах метрики с обратным следом, $h ¯ μ ν (ϵ) знак равно час μ ν (ϵ) - 1 2 час (ϵ) η μ ν {\ displaystyle {\ bar {h}} _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} - {\ frac {1} {2}} h ^ {(\ epsilon)} \ eta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle {\ bar {h}} _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = h _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} - {\ frac {1} {2}} h ^ {(\ epsilon)} \ eta _ {\ mu \ nu}}$ , линеаризованные уравнения поля сводят to

◻ h ¯ μ ν (ϵ) = - 16 π GT μ ν. {\ displaystyle \ square {\ bar {h}} _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = - 16 \ pi GT _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle \ square {\ bar {h}} _ {\ mu \ nu} ^ {(\ epsilon)} = - 16 \ pi GT_ {\ mu \ nu}.}

Что может быть решено точно с помощью волновые решения, которые определяют гравитационное излучение.

См. Также

Примечания

^Предполагается, что фоновое пространство-время является плоским. Теория возмущений, применяемая в уже искривленном пространстве-времени, может работать так же хорошо, если заменить этот термин метрикой, представляющей искривленный фон.
^Не путать с Лоренцем.

Ссылки

Дополнительная литература

Шон М. Кэрролл (2003). Пространство-время и геометрия, введение в общую теорию относительности. Пирсон. ISBN 978-0805387322.