Индуктивность

Индуктивность
Общие символы	L
Единица СИ	Генри (H)
В Базовые единицы СИ	kg ⋅m ⋅s ⋅A
Производные от. других величин	L = V / (I / t ) L = Φ / I
Размер	M·L·T·I

В электромагнетизм и электроника, индуктивность - это тенденция электрического проводника противодействовать изменению электрического тока, протекающего через него. Поток электрического тока создает магнитное поле вокруг проводника. Напряженность поля зависит от величины тока и следует за любыми изменениями тока. Согласно закону индукции Фарадея, любое изменение магнитного поля через цепь индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) (напряжение ) в проводниках, процесс, известный как электромагнитная индукция. Это индуцированное напряжение, создаваемое изменяющимся током, имеет эффект противодействия изменению силы тока. Об этом говорит закон Ленца, и напряжение называется противо-ЭДС..

Индуктивность определяется как отношение индуцированного напряжения к скорости изменения вызывающего его тока. Это коэффициент пропорциональности, который зависит от геометрии проводников цепи и магнитной проницаемости близлежащих материалов. Электронный компонент , предназначенный для добавления индуктивности в цепь, называется индуктором. Обычно он состоит из катушки или спирали проволоки.

Термин индуктивность был придуман Оливером Хевисайдом в 1886 году. Обычно для обозначения индуктивности используется символ $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$в честь физика Генрих Ленц. В системе SI единицей индуктивности является генри (Гн), то есть величина индуктивности, которая вызывает напряжение в один вольт, когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду. Он назван в честь Джозефа Генри, который открыл индуктивность независимо от Фарадея.

Содержание

• 1 История
• 2 Источник индуктивности
• 3 Самоиндуктивность и магнитная энергия
• 4 Индуктивное сопротивление
• 5 Расчет индуктивности
  • 5.1 Индуктивность прямого однопроволочного
    • 5.1.1 Практические формулы
  • 5.2 Взаимная индуктивность двух параллельных прямых проводов
  • 5.3 Взаимная индуктивность двухпроводных контуров
  • 5.4 Вывод
  • 5.5 Самоиндукция проволочной петли
  • 5.6 Индуктивность соленоида
  • 5.7 Индуктивность коаксиального кабеля
  • 5.8 Индуктивность многослойных катушек
  • 5.9 Магнитопроводы
• 6 Взаимная индуктивность
  • 6.1 Вычисление взаимной индуктивности
  • 6.2 Взаимная индуктивность и энергия магнитного поля
  • 6.3 Коэффициент связи
  • 6.4 Матричное представление
  • 6.5 Эквивалентные цепи
    • 6.5.1 Т-схема
    • 6.5. 2 π-схема
  • 6.6 Резонансный трансформатор
  • 6.7 Идеальные трансформаторы
• 7 Самоиндукция тонких проволок
• 8 См. Также
• 9 Сноски
• 10 Ссылки
• 11 Общие ссылки
• 12 Внешние ссылки

История

История электромагнитной индукции, аспекта электромагнетизма, началась с наблюдений древних: электрического заряда или статического электричества (натирание шелка по янтарь ), электрический ток (молния ) и магнитное притяжение (магнитный камень ). Понимание единства этих сил природы и научная теория электромагнетизма началась в конце 18 века.

Электромагнитная индукция была впервые описана Майклом Фарадеем в 1831 году. В эксперименте Фарадея он намотал два провода вокруг противоположных сторон железного кольца. Он ожидал, что, когда ток начнет течь по одному проводу, через кольцо пройдет своего рода волна и вызовет электрический эффект на противоположной стороне. С помощью гальванометра он наблюдал переходный ток во второй катушке провода каждый раз, когда батарея была подключена или отключена от первой катушки. Этот ток был индуцирован изменением магнитного потока, которое происходило, когда батарея была подключена и отключена. Фарадей обнаружил несколько других проявлений электромагнитной индукции. Например, он видел переходные токи, когда он быстро вставлял стержневой магнит в катушку проводов и из нее, и он генерировал устойчивый (DC ) ток, вращая медный диск возле стержневого магнита с помощью скользящей электрический провод («диск Фарадея »).

Источник индуктивности

Ток $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, протекающий через проводник создает вокруг проводника магнитное поле, которое описывается законом контура Ампера. Полный магнитный поток через цепь $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$равен произведению перпендикулярной составляющей плотности магнитного потока и площади поверхности, охватывающей текущий путь. Если ток изменяется, магнитный поток $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$через цепь изменяется. Согласно закону индукции Фарадея, любое изменение потока через цепь индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) или напряжение $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$в схема, пропорциональная скорости изменения потока

$v\; (t)\; =\; -\; ddt\; \Phi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d)\; \}\}\; t\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (t)\}$

Отрицательный знак в уравнении указывает, что индуцированное напряжение имеет направление, противоположное изменению тока, создавшего его; это называется законом Ленца. Поэтому потенциал называется обратной ЭДС. Если ток увеличивается, напряжение на конце проводника, через который входит ток, будет положительным, а на конце, через который он выходит, отрицательным, что способствует уменьшению тока. Если ток уменьшается, напряжение положительно на конце, через который ток покидает проводник, стремясь поддерживать ток. Самоиндукция, обычно называемая индуктивностью, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- это отношение между индуцированным напряжением и скоростью изменения тока

$v\; (t)\; =\; L\; didt\; (\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\; =\; L\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (1)\; \backslash ;\}$

Таким образом, индуктивность - это свойство проводника или цепи из-за его магнитного поля, которое имеет тенденцию противодействовать изменениям тока в цепи. Единицей индуктивности в системе SI является генри (H), названный в честь американского ученого Джозефа Генри, который представляет собой величину индуктивности, которая генерирует напряжение. один вольт при изменении тока со скоростью один ампер в секунду.

Все проводники имеют некоторую индуктивность, которая может иметь как желательные, так и отрицательные эффекты в практических электрических устройствах. Индуктивность цепи зависит от геометрии пути прохождения тока и от магнитной проницаемости близлежащих материалов; ферромагнитные материалы с более высокой проницаемостью, такие как железо рядом с проводником, имеют тенденцию увеличивать магнитное поле и индуктивность. Любое изменение в цепи, которое увеличивает поток (общее магнитное поле) через цепь, создаваемую заданным током, увеличивает индуктивность, потому что индуктивность также равна отношению магнитного потока к току

$L\; =\; \Phi \; (i)\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; Phi\; (i)\; \backslash \; over\; i\}\}$

индуктор - это электрический компонент, состоящий из проводника, форма которого увеличивает магнитный поток, чтобы добавить в цепь индуктивность. Обычно он состоит из проволоки, намотанной в спираль или спираль. Спиральный провод имеет более высокую индуктивность, чем прямой провод той же длины, поскольку силовые линии магнитного поля проходят через цепь несколько раз, он имеет несколько магнитных связей. Индуктивность пропорциональна квадрату количества витков в катушке, предполагая, что потокосцепление полное.

Индуктивность катушки можно увеличить, поместив магнитопровод из ферромагнитного материала в отверстие в центре. Магнитное поле катушки намагничивает материал сердечника, выравнивая его магнитные домены, а магнитное поле сердечника складывается с магнитным полем катушки, увеличивая поток, проходящий через катушку. Это называется индуктором с ферромагнитным сердечником. Магнитопровод может увеличить индуктивность катушки в тысячи раз.

Если несколько электрических цепей расположены близко друг к другу, магнитное поле одной может проходить через другую; в этом случае цепи называются индуктивно связанными. Согласно закону индукции Фарадея, изменение тока в одной цепи может вызвать изменение магнитного потока в другой цепи и, таким образом, вызвать напряжение в другой цепи. В этом случае понятие индуктивности можно обобщить, определив взаимную индуктивность $M\; k,\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k,\; \backslash \; ell\}\}$цепи $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и схема $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$как отношение напряжения, индуцированного в цепи $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$к скорости изменения тока в цепи $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Это принцип, лежащий в основе трансформатора . Свойство, описывающее влияние одного проводника на самого себя, более точно называется самоиндукцией, а свойства, описывающие влияние одного проводника с изменяющимся током на соседние проводники, называют взаимной индуктивностью.

Самоиндукция и магнитная энергия

Если ток через проводник с индуктивностью увеличивается, напряжение $v\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\}$индуцируется через проводник с полярностью, противоположной ток - в дополнение к любому падению напряжения, вызванному сопротивлением проводника. Заряды, протекающие по цепи, теряют потенциальную энергию. Энергия от внешней цепи, необходимая для преодоления этого «потенциального холма», накапливается в увеличенном магнитном поле вокруг проводника. Следовательно, индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле. В любой момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$мощность $p\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (t)\}$, текущая в магнитное поле, которое равно скорости изменения запасенной энергии $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, является произведением текущего $i\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (t)\}$и напряжение $v\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\}$на проводнике

$p\; (t)\; =\; d\; U\; dt\; =\; v\; (t)\; i\; (t)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; U\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\; =\; v\; (t)\; \backslash ,\; i\; (t)\}$

Из (1) выше

$d\; U\; dt\; =\; L\; (i)\; ididt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; U\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\; =\; L\; (i)\; \backslash ,\; i\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\}$

$d\; U\; =\; L\; (i)\; idi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; U\; =\; L\; (\; i)\; \backslash ,\; i\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\; \backslash ,\}$

Когда нет тока, нет магнитного поля и накопленная энергия равна нулю. Пренебрегая резистивными потерями, энергия $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$(измеряется в джоулях, в SI ), сохраненная индуктивность с током $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$через него равна количеству работы, необходимой для установления тока через индуктивность от нуля и, следовательно, магнитного поля. Это определяется выражением:

$U\; =\; \int \; 0\; IL\; (i)\; idi\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{I\}\; L\; (i)\; \backslash ,\; i\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\; \backslash ,\}$

Если индуктивность $L\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (i)\}$постоянна в текущем диапазоне, запасенная энергия составляет

$U\; =\; L\; \int \; 0\; I\; idi\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; L\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{I\}\; \backslash ,\; i\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}$

$U\; =\; 1\; 2\; LI\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; L\; \backslash ,\; I\; ^\; \{2\}\}$

Следовательно, индуктивность также пропорциональна энергии, запасенной в магнитном поле для данного тока. Эта энергия сохраняется, пока ток остается постоянным. Если ток уменьшается, магнитное поле уменьшается, вызывая напряжение в проводнике в противоположном направлении, отрицательное на конце, через которое ток входит, и положительное на конце, через которое он выходит. Это возвращает накопленную магнитную энергию во внешнюю цепь.

Если ферромагнитные материалы расположены рядом с проводником, например, в индукторе с магнитным сердечником, приведенное выше уравнение постоянной индуктивности действительно только для линейного области магнитного потока при токах ниже уровня, при котором ферромагнитный материал насыщается, где индуктивность приблизительно постоянна. Если магнитное поле в индукторе приближается к уровню, при котором сердечник насыщается, индуктивность начинает изменяться с током, и необходимо использовать интегральное уравнение.

Индуктивное реактивное сопротивление

Напряжение ($v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$, синий) и ток ($i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, красный) формы сигналов в идеальной катушке индуктивности, к которой приложен переменный ток. Ток отстает от напряжения на 90 °

Когда синусоидальный переменный ток (AC) проходит через линейную индуктивность, индуцированная противо-ЭДС становится тоже синусоидальный. Если ток через индуктивность равен $i\; (t)\; =\; I\; peak\; sin\; \; (\omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (t)\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{peak\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; t\; \backslash \; right)\; \}$, из (1) выше, напряжение на нем равно

$v\; (t)\; =\; L\; didt\; =\; L\; ddt\; [I\; пик\; sin\; sin\; (\omega \; t)]\; =\; \omega \; LI\; пик\; cos\; \; (\omega \; t)\; =\; \omega \; LI\; пик\; греха\; \; (\omega \; T\; +\; \pi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; v\; (t)\; =\; L\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\; \}\; t\}\}\; =\; L\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\; \backslash \; left\; [I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{peak\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; omega\; L\; \backslash ,\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{peak\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; t\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; omega\; L\; \backslash ,\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{peak\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; t\; +\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $пик\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{peak\}\}\}$- это амплитуда (пиковое значение) синусоидального тока в амперах, $\omega \; =\; 2\; \pi \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\}$- это угловая частота переменного тока, где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- его частота в герцах, и $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- индуктивность.

Таким образом, амплитуда (пиковое значение) напряжения на индуктивности составляет

$V\; p\; =\; \omega \; LI\; p\; =\; 2\; \pi \; f\; LI\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; omega\; L\; \backslash ,\; I\_\; \{\; p\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash ,\; L\; \backslash ,\; I\_\; \{p\}\}$

Индуктивное реактивное сопротивление - это сопротивление катушки индуктивности переменному току. Он определяется аналогично электрическому сопротивлению в резисторе, как отношение амплитуды (пикового значения) переменного напряжения к току в компоненте

$XL\; =\; V\; p\; I\; p\; =\; 2\; \pi \; е\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{L\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{p\}\}\; \{I\_\; \{p\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash ,\; L\}$

Реактивное сопротивление имеет единицы Ом.. Можно видеть, что индуктивное реактивное сопротивление катушки индуктивности увеличивается пропорционально частоте $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, поэтому катушка индуктивности проводит меньший ток для данного приложенного переменного напряжения, чем частота увеличивается. Поскольку индуцированное напряжение является наибольшим при увеличении тока, формы волны напряжения и тока не совпадают по фазе ; пики напряжения возникают раньше в каждом цикле, чем пики тока. Разность фаз между током и индуцированным напряжением составляет $\varphi \; =\; 1\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; pi\}$радиан или 90 градусов, показывая что в идеальном индукторе ток отстает от напряжения на 90 °.

Расчет индуктивности

В наиболее общем случае индуктивность может быть рассчитана по уравнениям Максвелла. Многие важные случаи можно решить с помощью упрощений. Когда учитываются высокочастотные токи, с скин-эффектом, плотности поверхностного тока и магнитное поле могут быть получены путем решения уравнения Лапласа. Если проводники представляют собой тонкие проволоки, самоиндукция по-прежнему зависит от радиуса проволоки и распределения тока в проволоке. Это распределение тока примерно постоянное (на поверхности или в объеме провода) для радиуса провода, намного меньшего, чем для других масштабов длины.

Индуктивность прямого однопроволочного

На практике, более длинные провода имеют большую индуктивность, а более толстые - меньшую, аналогично их электрическому сопротивлению (хотя отношения не являются линейными и по своему характеру отличаются от соотношений длины и диаметра к сопротивлению).

Отделение провода от других частей схемы вносит некоторую неизбежную ошибку в результаты любых формул. Эти индуктивности часто называют «частичными индуктивностями», отчасти для того, чтобы стимулировать рассмотрение других вкладов в индуктивность всей цепи, которые не учитываются.

Практические формулы

Для вывода формул, приведенных ниже, см. Rosa (1908). Общая низкочастотная индуктивность (внутренняя и внешняя) прямого провода составляет:

$L\; DC\; =\; 200\; нГн\; м\; \cdot \; \ell \; \cdot \; [ln\; \; (2\; \ell \; r)\; -\; 0,75]\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{DC\}\}\; =\; 200\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; text\; \{nH\}\}\; \{\backslash \; text\; \{m\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ell\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; ell\; \backslash ,\}\; \{r\; \}\}\; \backslash \; right)\; -0,75\; \backslash \; right]\}$

где

• $L\; DC\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{DC\}\}\}$- это «низкочастотная» индуктивность или индуктивность постоянного тока в наногенри. (nH или 10H),
• $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$- длина провода в метрах,
• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус длина провода в метрах (отсюда очень маленькое десятичное число),
• константа $200\; nH\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; 200\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; text\; \{nH\}\}\; \{\backslash \; text\; \{m\}\}\}\}$- проницаемость свободного пространства, обычно называемая $\mu \; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{o\}\}\}$, деленная на $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$; в отсутствие магнитореактивной изоляции точное значение 200.

Константа 0,75 - это всего лишь одно значение параметра из нескольких; разные частотные диапазоны, разные формы или очень длинные провода требуют немного другой постоянной (см. ниже). Этот результат основан на предположении, что радиус $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$намного меньше длины $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$, которая равна общий корпус для проволоки и стержней. Диски или толстые цилиндры имеют немного другую формулу.

Для достаточно высоких частот скин-эффекты вызывают исчезновение внутренних токов, оставляя только токи на поверхности проводника; индуктивность переменного тока, $L\; AC\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{AC\}\}\}$, затем определяется по очень похожей формуле:

$L\; AC\; =\; 200\; нГн\; м\; \cdot \; \ell \; \cdot \; [пер\; \; (2\; \ell \; р)\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{AC\}\}\; =\; 200\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; text\; \{nH\}\}\; \{\backslash \; text\; \{m\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ell\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; ell\; \backslash ,\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; -1\; \backslash \; right]\}$

где переменные $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$и $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$такие же, как указано выше; обратите внимание на измененный постоянный член теперь 1, ранее 0,75.

В примере из повседневного опыта, только один из проводников шнура лампы длиной 10 м, сделанный из провода калибра 18, имел бы индуктивность только около 19 мкГн, если бы он был вытянут прямо.

Взаимная индуктивность двух параллельных прямых проводов

Следует учитывать два случая:

1. Ток течет в одном направлении по каждому проводу, и
2. ток течет в противоположных направлениях.

Токи в проводах не обязательно должны быть равными, хотя они часто бывают равными, как в случае полной цепи, где один провод является источником, а другой - обратным.

Взаимная индуктивность двухпроводных контуров

Это обобщенный случай парадигматической двухконтурной цилиндрической катушки, по которой проходит однородный низкочастотный ток; петли - это независимые замкнутые цепи, которые могут иметь разную длину, любую ориентацию в пространстве и переносить разные токи. Тем не менее, погрешности, которые не включены в интеграл, будут небольшими только в том случае, если геометрия петель в основном гладкая и выпуклая: у них не слишком много изгибов, острых углов, витков, пересечений, параллельных сегментов, вогнутые полости или другие топологические «закрытые» деформации. Необходимым предикатом для сведения формулы интегрирования трехмерного многообразия к интегралу двойной кривой является то, что пути тока представляют собой нитевидные цепи, то есть тонкие провода, у которых радиус провода ничтожно мал по сравнению с его длиной.

Взаимная индуктивность нитевидной цепи $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$в нитевидной цепи $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$определяется выражением двойной интеграл формула Неймана

$L\; m,\; n\; =\; \mu \; 0\; 4\; \pi \; \oint \; C\; m\; \oint \; C\; ndxm\; \cdot \; dxn\; |\; х\; м\; -\; х\; п\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m,\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\_\; \{m\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{m\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\; \}\; |\}\}\}$

где

• $C\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\}$и $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\}$- кривые, за которыми следуют провода.
• $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$- проницаемость свободного пространства (4π × 10 H / m)
• $dxm\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{m\}\}$- это небольшое приращение провода в цепи C m
• $xm\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{m\; \}\}$- позиция $dxm\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{m\}\}$в пространстве
• $dxn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}$- небольшое приращение провода в цепи C n
• $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}$is положение $dxn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}$в пространстве

Производное

$M\; ij\; =\; def\; \Phi \; ij\; I\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{ij\; \}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{ij\}\}\; \{I\_\; \{j\}\}\}\}$

где

• $\Phi \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; \backslash ,\}$- это магнитный поток через i-ю поверхность из-за электрической цепи, обозначенной $C\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{j\}\}$
• $I\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{j\}\}$- это ток через $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-й провод, этот ток создает магнитный поток $\Phi \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; \backslash ,\}$через поверхность $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$th.

$\Phi \; ij\; =\; \int \; S\; i\; B\; j\; \cdot \; da\; =\; \int \; S\; i\; (\nabla \; \times \; A\; j)\; \cdot \; da\; =\; \oint \; C\; i\; A\; j\; \cdot \; dsi\; =\; \oint \; C\; i\; (\mu \; 0\; I\; j\; 4\; \pi \; \oint \; C\; jdsj\; |\; s\; i\; -\; s\; j\; |)\; \cdot \; dsi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\_\; \{i\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\_\; \{\; i\}\}\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{A\_\; \{j\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\_\; \{i\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\_\; \{i\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; I\_\; \{j\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right\; |\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \_\; \{i\}\}$

где

$C\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{i\}\}$- кривая охватывающая поверхность $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$; и $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$- любая произвольно ориентируемая область с краем $C\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{i\}\}$

$B\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{j\}\}$- вектор магнитного поля из-за $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-го тока (цепи $C\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{j\}\}$).

$A\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \_\; \{j\}\}$- векторный потенциал из-за $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-й ток.

Теорема Стокса была использована для третьего шага равенства.

Для последнего шага равенства мы использовали выражение запаздывающего потенциала для $A\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{j\}\}$, и мы игнорируем влияние запаздывающего времени (при условии, что геометрия схем достаточно мала по сравнению с к длине волны переносимого ими тока). Это фактически шаг аппроксимации, и он действителен только для локальных цепей, сделанных из тонких проводов.

Самоиндуктивность проволочной петли

Формально, самоиндуктивность проволочной петли будет задано приведенным выше уравнением с $m\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; n\}$. Однако здесь $1\; /\; |\; х\; -\; х\; \prime \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \text{'}|\}$становится бесконечным, что приводит к логарифмически расходящемуся интегралу. Это требует учета конечного радиуса провода $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и распределения тока в проводе. Остается вклад от интеграла по всем точкам и поправочный член

$L\; =\; \mu \; 0\; 4\; \pi \; [\oint \; C\; \oint \; C\; \prime \; d\; x\; \cdot \; d\; x\; \prime \; |\; х\; -\; х\; \prime \; |\; ]\; +\; \mu \; 0\; 4\; \pi \; \ell \; Y\; +\; O\; для\; |\; s\; -\; s\; \prime \; |\; v>1\; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\; \text{'}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \text{'}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\text{'}\; |\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \{\; 4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; ell\; \backslash ,\; Y\; +\; O\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \text{'}\backslash \; right\; |\; v>\{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; a\}$

где

• $s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\}$и $s\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; \{s\}\; \text{'}\}$- расстояния вдоль кривых $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$и $C\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; C\text{'}\}$соответственно
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- радиус провода
• $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$- длина провода
• $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$- константа, которая зависит от распределения тока в проводе: $Y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; 0\}$, когда ток течет по поверхности ce провода (общий скин-эффект ), $Y\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$при равномерном токе по поперечному сечению провода.
• $O\; \{\backslash \; displaystyle\; O\}$- это член ошибки $O\; (\mu \; 0\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; a)\; \}$, когда петля имеет острые углы, и $O\; (\mu \; 0\; a\; 2\; /\; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; a\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; ell\; \backslash \; right)\}$, когда это плавная кривая. Они маленькие, если длина провода по сравнению с его радиусом.

Индуктивность соленоида

A Соленоид представляет собой длинную тонкую катушку; т.е. катушка, длина которой намного больше ее диаметра. В этих условиях и без использования какого-либо магнитного материала плотность магнитного потока $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$внутри катушки практически постоянна и выражается как

$B\; знак\; равно\; \mu \; 0\; N\; я\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; N\; \backslash \; i\}\; \{\backslash \; ell\}\}\}$

где $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; 0\}\}$- магнитная постоянная, $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$количество витков, $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$ток и $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$длина катушки. Игнорируя конечные эффекты, общий магнитный поток, проходящий через катушку, получается путем умножения плотности потока $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$на площадь поперечного сечения $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$:

$\Phi \; =\; \mu \; 0\; N\; я\; A\; \ell ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; N\; \backslash \; i\; \backslash \; A\}\; \{\backslash \; ell\}\},\}$

В сочетании с из определения индуктивности $L\; =\; N\; \Phi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\; \backslash \; \backslash \; Phi\}\; \{i\}\}\}$следует, что индуктивность соленоида дана по:

$L\; =\; \mu \; 0\; N\; 2\; A\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; N\; ^\; \{2\}\; \backslash \; A\}\; \{\backslash \; ell\}\}.\}$

Следовательно, для катушек с воздушным сердечником индуктивность является функцией катушки геометрия и количество витков и не зависит от тока.

Индуктивность коаксиального кабеля

Пусть внутренний проводник имеет радиус $ri\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{i\}\}$и проницаемость $\mu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\}$, пусть диэлектрик между внутренним и внешним проводником имеет проницаемость $\mu \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{d\}\}$, и пусть внешний проводник имеет внутренний радиус $ro\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{o1\}\}$, внешний радиус $ro\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{o2\}\}$, и проницаемость $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$. Однако для типичного применения коаксиальной линии мы заинтересованы в пропускании (не постоянного тока) сигналов на частотах, для которых нельзя пренебрегать резистивным скин-эффектом. В большинстве случаев члены внутреннего и внешнего проводников пренебрежимо малы, и в этом случае можно приблизиться к

$L\; \prime \; =\; d\; L\; d\; \ell \; \approx \; \mu \; d\; 2\; \pi \; ln\; \; ro\; 1\; ri\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{\{\{\; \backslash \; text\; \{d\}\}\; L\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; ell\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{d\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{o1\}\}\; \{r\_\; \{i\}\}\}\}$

Индуктивность многослойных катушек

Большинство практичных катушек индуктивности с воздушным сердечником представляют собой многослойные цилиндрические катушки с квадратным поперечным сечением для минимизации среднего расстояния между витками (круглое поперечное - было бы лучше, но сложнее сформировать).

Магнитные сердечники

Многие индукторы включают в себя магнитный сердечник в центре обмотки или частично вокруг нее. В достаточно большом диапазоне они демонстрируют нелинейную проницаемость с такими эффектами, как магнитное насыщение. Насыщение делает результирующую индуктивность функцией приложенного тока.

Секущая индуктивность или индуктивность большого сигнала используется в расчетах магнитного потока. Он определяется как:

$L\; s\; (i)\; =\; def\; N\; \Phi \; i\; =\; \Lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{s\}\; (i)\; \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\}\}\; \{=\; \}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{N\; \backslash \; \backslash \; Phi\}\; \{i\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Lambda\}\; \{i\}\}\}$

Дифференциальная индуктивность или индуктивность слабого сигнала, с другой стороны, используется при вычислении напряжения.. Он определяется как:

$L\; d\; (i)\; =\; defd\; (N\; \Phi )\; di\; =\; d\; \Lambda \; di\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{d\}\; (i)\; \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\}\; \}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; (N\; \backslash \; Phi)\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; Lambda\}\; \{\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\}\}$

Напряжение цепи для нелинейной катушки индуктивности получается через дифференциальную индуктивность, как показано законом Фарадея и правилом цепочки исчисления.

$v\; (t)\; =\; d\; \Lambda \; dt\; =\; d\; \Lambda \; dididt\; =\; L\; d\; (i)\; didt\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; Lambda\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d)\; \}\}\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; Lambda\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\; \}\}\; t\}\}\; =\; L\_\; \{d\}\; (i)\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\}$

Аналогичные определения могут быть получены для нелинейной взаимной индуктивности.

Взаимная индуктивность

Расчет взаимной индуктивности

Уравнения индуктивности, приведенные выше, являются следствием уравнений Максвелла. Для важного случая электрических цепей, состоящих из тонких проводов, вывод прост.

В системе $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$витков проводов, каждая с одним или несколькими витками проводов, магнитопровод петли $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, $\lambda \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\}$, задается как

$\lambda \; m\; =\; N\; m\; \Phi \; m\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; KL\; m,\; nin.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; =\; N\_\; \{m\}\; \backslash \; Phi\; \_\; \{m\}\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{K\}\; L\_\; \{m,\; n\}\; \backslash \; i\_\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Здесь $N\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{m\}\}$обозначает количество витков в контуре $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$; $\Phi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{m\}\}$- магнитный поток через контур $м\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$; и $L\; m,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m,\; n\}\}$- некоторые константы, описанные ниже. Это уравнение следует из закона Ампера : магнитные поля и потоки являются линейными функциями токов. Согласно закону индукции Фарадея, мы имеем

$vm\; =\; d\; \lambda \; mdt\; =\; N\; md\; \Phi \; mdt\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; KL\; m,\; ndindt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; v\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\; =\; N\_\; \{m\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; Phi\; \_\; \{m\}\}\; \{\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{K\}\; L\_\; \{m,\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{n\}\}\; \{\{\backslash \; текст\; \{d\}\}\; t\}\},\}$

где $vm\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{m\}\}$обозначает напряжение, индуцированное в цепи $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Это согласуется с приведенным выше определением индуктивности, если коэффициенты $L\; m,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m,\; n\}\}$отождествляются с коэффициентами индуктивности. Поскольку суммарные токи $N\; nin\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{n\}\; \backslash \; i\_\; \{n\}\}$вносят вклад в $\Phi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{m\}\}$также следует, что $L\; m,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m,\; n\}\}$пропорционально произведению витков $N\; m\; N\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{m\}\; \backslash \; N\_\; \{n\}\}$.

Взаимная индуктивность и энергия магнитного поля

Умножение приведенного выше уравнения для v m на i m dt и суммирование по m дает энергию передано в систему в интервале времени dt,

$m\; K\; imvmdt\; =\; \sum \; m,\; n\; =\; 1\; K\; im\; L\; m,\; ndin\; =!\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; K\; \partial \; W\; (я)\; \partial \; я\; N\; д\; я\; н.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{m\}\; ^\; \{K\}\; i\_\; \{m\}\; v\_\; \{m\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{m,\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{K\}\; i\_\; \{m\}\; L\_\; \{m,\; n\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{n\}\; \{\backslash \; overset\; \{!\}\; \{=\}\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{K\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичное\; W\; \backslash \; left\; (i\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; partial\; i\_\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{n\}.\}$

Это должно соответствовать изменению энергии магнитного поля W, вызванному токами. условие интегрируемости

$\partial \; 2\; W\; \partial \; im\; \partial \; in\; =\; \partial \; 2\; W\; \partial \; in\; \partial \; im\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; W\}\; \{\backslash \; partial\; i\_\; \{m\}\; \backslash \; partial\; i\_\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; W\}\; \{\backslash \; partial\; i\_\; \{n\}\; \backslash \; partial\; i\_\; \{m\}\}\}\}$

требует L m, n = L n, m. Таким образом, матрица индуктивности L m, n является симметричной. Интеграл передачи энергии - это энергия магнитного поля как функция токов,

$W\; (i)\; =\; 1\; 2\; m,\; n\; =\; 1\; K\; i\; m\; L\; m,\; n\; i\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; W\; \backslash \; left\; (i\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{m,\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{K\}\; i\_\; \{m\}\; L\_\; \{m,\; n\}\; i\_\; \{n\}.\}$

Это уравнение также является прямым следствием линейности уравнений Максвелла. Полезно связать изменение электрического тока с увеличением или уменьшением энергии магнитного поля. Соответствующая передача энергии требует или генерирует напряжение. Механическая аналогия в случае K = 1 с энергией магнитного поля (1/2) Li - это тело с массой M, скоростью u и кинетической энергией (1/2) Mu. Скорость изменения скорости (тока), умноженная на массу (индуктивность), требует или создает силу (электрическое напряжение).

Принципиальная схема двух взаимно связанных индукторов. Две вертикальные линии между обмотками указывают, что трансформатор имеет ферромагнитный сердечник . «n: m» показывает соотношение между количеством обмоток левой катушки индуктивности и количества обмоток правой катушки индуктивности. На этом рисунке также показано обозначение точкой.

Взаимная индуктивность возникает, когда изменение тока в одной катушке индуктивности индуцирует напряжение в другой соседней катушке индуктивности. Это важно как механизм работы трансформаторов, но он также может вызвать нежелательное соединение между проводниками в цепи.

Взаимная индуктивность, $M\; i\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{ij\}\}$, также является мерой связи между двумя индукторами. Взаимная индуктивность цепи $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$в цепи $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$дается двойным интегралом Неймана формулу, см. методы расчета

Взаимная индуктивность также имеет соотношение:

$M\; 21\; =\; N\; 1\; N\; 2\; P\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{21\}\; =\; N\_\; \{1\}\; \backslash \; N\_\; \{2\}\; \backslash \; P\_\; \{21\}\; \backslash !\}$

где

$M\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{21\}\}$- взаимная индуктивность, а нижний индекс указывает соотношение напряжения, индуцированного в катушке 2 из-за ток в катушке 1.

$N\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{1\}\}$- количество витков в катушке 1,

$N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{2\}\}$- число витков в катушке 2,

$P\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{21\}\}$- проницаемость пространства, занимаемого магнитным потоком.

После определения взаимной индуктивности $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$ее можно использовать для прогнозирования поведения цепи:

$v\; 1\; =\; L\; 1\; di\; 1\; dt\; -\; M\; di\; 2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{1\}\; =\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{1\}\}\; \{\{\backslash \; te\; xt\; \{d\}\}\; t\}\}\; -\; M\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}\}\}$

где

$v\; 1\; \{\backslash \; Displaystyl\; e\; v\_\; \{1\}\}$- напряжение на интересующей катушке индуктивности,

$L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$- индуктивность интересующей катушки индуктивности,

$di\; 1\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{1\}\; \backslash ,\; /\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}$- производная по времени от ток через интересующую катушку индуктивности, обозначенную 1,

$di\; 2\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash ,\; /\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\}$- производная по времени тока через катушку индуктивности, обозначенную 2, которая связана с первой катушкой индуктивности, а

$M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- взаимная индуктивность.

Знак минус возникает из-за того, что текущий $i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{2\}\}$определен на диаграмме. Если оба тока определены в точках, знак $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$будет положительным (вместо этого уравнение будет читаться со знаком плюс).

Коэффициент связи

Коэффициент связи - это отношение фактического отношения напряжения холостого хода к соотношению, которое было бы получено, если бы весь магнитный поток передавался из одной цепи в другую. Коэффициент связи связан с взаимной индуктивностью и собственными индуктивностями следующим образом. Из двух одновременных уравнений, выраженных в двухпортовой матрице, коэффициент напряжения холостого хода определяется следующим образом:

$В\; 2\; В\; 1\; (разомкнутая\; цепь)\; =\; ML\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{V\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; V\_\; \{1\; \}\}\; (\{\backslash \; text\; \{open\; circuit\}\})\; =\; \{M\; \backslash \; over\; L\_\; \{1\}\}\}$

в то время как отношение, если весь поток связан, является отношением витков, следовательно, отношением квадратного корня из индуктивности

$В\; 2\; В\; 1\; (макс.\; связанная)\; =\; L\; 2\; L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{V\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; V\_\; \{1\}\}\; (\{\backslash \; text\; \{max\; connected\}\})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{L\_\; \{\; 2\}\; \backslash \; over\; L\_\; \{1\}\; \backslash \}\}\}$

таким образом,

$M\; =\; k\; L\; 1\; L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; k\; \{\backslash \; sqrt\; \{L\_\; \{1\}\; \backslash \; L\_\; \{2\}\; \backslash \}\}\}$

где

$k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- коэффициент связи,

$L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$- индуктивность первой катушки., а

$L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$- индуктивность второй катушки.

Коэффициент связи - удобный способ указать взаимосвязь между определенной ориентацией катушек индуктивности с произвольная индуктивность. Большинство авторов определяют диапазон как , но некоторые определяют его как . Разрешение отрицательных значений $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$фиксирует инверсию фаз соединений катушек и направление обмоток.

Матричное представление

взаимно связанные индукторы может быть описан любым из представлений матрицы параметров двухпортовой сети. Самыми прямыми являются параметры z, которые задаются как

$[z]\; =\; s\; [L\; 1\; MML\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathbf\; \{z\}]\; =\; s\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; M\; \backslash \backslash \; M\; \backslash \; L\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

где $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- комплексная частота переменная, $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$и $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$- индуктивности первичной и вторичной катушек. соответственно, а $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- взаимная индуктивность между катушками.

Эквивалентные схемы

Т-схема

Т-схема замещения взаимно связанных катушек индуктивности

Взаимосвязанные катушки индуктивности могут быть эквивалентно представлены Т-образной цепью индукторов, как показано. Если связь сильная и индукторы имеют неодинаковые значения, тогда последовательная индуктивность на понижающей стороне может принимать отрицательное значение.

Это можно проанализировать как двухпортовую сеть. Если выход имеет произвольное сопротивление, $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$, коэффициент усиления по напряжению $A\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{v\}\}$равен

$A\; v\; =\; s\; MZ\; s\; 2\; L\; 1\; L\; 2\; -\; s\; 2\; M\; 2\; +\; s\; L\; 1\; Z\; =\; ks\; (1\; -\; k\; 2)\; L\; 1\; L\; 2\; Z\; +\; L\; 1\; L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{v\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{sMZ\}\; \{\backslash ,\; s\; ^\; \{2\}\; L\_\; \{1\}\; L\_\; \{2\}\; -s\; ^\; \{2\}\; M\; ^\; \{2\}\; +\; sL\_\; \{1\}\; Z\; \backslash ,\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{\backslash ,\; s\; \backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{L\_\; \{1\}\; L\_\; \{2\}\}\}\; \{Z\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; frac\; \{L\_\; \{1\}\}\; \{L\_\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\}\}\}$

где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- константа связи, а $s\; \{\; \backslash \; displaystyle\; s\}$- переменная комплексной частоты, как указано выше. Для сильно связанных индукторов, где $k\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1\}$, это сокращается до

$A\; v\; =\; L\; 2\; L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{v\}\}\; =\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{L\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; L\_\; \{1\}\}\}\}$

, который не зависит от импеданса нагрузки. Если индукторы намотаны на один и тот же сердечник и с одинаковой геометрией, то это выражение равно отношению витков двух индукторов, потому что индуктивность пропорциональна квадрату отношения витков.

Входное сопротивление сети определяется как,

$Z\; in\; =\; s\; 2\; L\; 1\; L\; 2\; -\; s\; 2\; M\; 2\; +\; s\; L\; 1\; Z\; s\; L\; 2\; +\; Z\; =\; L\; 1\; L\; 2\; Z\; (\; 1\; 1\; +\; (Z\; s\; L\; 2))\; (1\; +\; (1\; -\; K\; 2)\; (Z\; s\; L\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{in\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\; L\_\; \{1\; \}\; L\_\; \{2\}\; -s\; ^\; \{2\}\; M\; ^\; \{2\}\; +\; sL\_\; \{1\}\; Z\}\; \{sL\_\; \{2\}\; +\; Z\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{1\}\}\; \{L\_\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; Z\; \backslash ,\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{Z\}\; \{\backslash ,\; sL\_\; \{2\}\; \backslash ,\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \{\backslash \; Biggl\; (\}\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1-k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{Z\}\; \{\backslash ,\; sL\_\; \{2\}\; \backslash ,\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \{\; \backslash \; Biggr)\}\}$

Для $k\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1\}$это сокращается до

$Z\; in\; =\; s\; L\; 1\; Z\; s\; L\; 2\; +\; Z\; =\; L\; 1\; L\; 2\; Z\; (1\; 1\; +\; (Z\; s\; L\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{in\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{sL\_\; \{1\}\; Z\}\; \{sL\_\; \{2\}\; +\; Z\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{1\}\}\; \{L\_\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; Z\; \backslash ,\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{Z\}\; \{\backslash ,\; sL\_\; \{2\}\; \backslash ,\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\}$

Таким образом, текущее усиление, $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$не зависит от нагрузки, если не выполняется дополнительное условие

$|\; s\; L\; 2\; |\; \gg \; |\; Z\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; sL\_\; \{2\}\; |\; \backslash \; gg\; |\; Z\; |\}$

выполняется, и в этом случае

$Z\; in\; \approx \; L\; 1\; L\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{in\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; над\; L\_\; \{2\}\}\; Z\}$

и

$A\; i\; \approx \; L\; 1\; L\; 2\; =\; 1\; A\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{L\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; over\; L\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{v\}\}\}\}$

π-схема

π эквивалентная схема связанных катушек индуктивности

В качестве альтернативы, две связанные индукторы могут быть смоделировано с использованием эквивалентной схемы π с дополнительными идеальными трансформаторами на каждом порте. Хотя схема более сложна, чем Т-образная цепь, ее можно обобщить на схемы, состоящие из более чем двух связанных индукторов. Эквивалентные элементы схемы $L\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\}$, $L\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}$имеют физическое значение, соответственно моделируя магнитное сопротивление путей связи и магнитное сопротивление путей утечки. Например, электрические токи, протекающие через эти элементы, соответствуют магнитным потокам связи и утечки. Идеальные трансформаторы нормализуют все самоиндуктивности до 1 Генри для упрощения математических формул.

Эквивалентные значения элементов схемы могут быть вычислены из коэффициентов связи с

$LS\; ij\; =\; det\; (K)\; -\; C\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{S\_\; \{ij\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{K\})\}\; \{-\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \_\; \{ij\}\}\}\}$

$LP\; i\; =\; det\; (K)\; \sum \; j\; =\; 1\; NC\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{P\_\; \{i\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{K\})\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \_\; \{ij\}\}\}\}$

где матрица коэффициентов связи и ее кофакторы определены как

$К\; =\; [1\; К\; 12\; \cdots \; К\; 1\; N\; К\; 12\; 1\; \cdots \; К\; 2\; N\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; К\; 1\; N\; К\; 2\; N\; \cdots \; 1]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; k\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; k\_\; \{1N\}\; \backslash \backslash \; k\_\; \{12\}\; 1\; \backslash \; cdots\; k\_\; \{2N\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; k\_\; \{1N\}\; k\_\; \{2N\}\; \backslash \; cdots\; 1\; \backslash \; end\; \{\; bmatrix\}\}\; \backslash \; quad\}$и $C\; ij\; =\; (-\; 1)\; i\; +\; j\; M\; ij.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \_\; \{ij\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{i\; +\; j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{ij\}.\}$

Для двух связанных индукторов эти формулы упрощаются до

$LS\; 12\; =\; -\; k\; 12\; 2\; +\; 1\; k\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{S\_\; \{12\}\}\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{-k\_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{k\_\; \{12\}\}\}\; \backslash \; quad\; \}$и $LP\; 1\; =\; LP\; 2\; =\; k\; 12\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; L\_\; \{P\_\; \{1\}\}\; =\; L\_\; \{P\_\; \{2\}\}\; \backslash !\; =\; \backslash !\; K\_\; \{12\; \}\; +1,\}$

и для трех связанных индукторов (для краткости показано только для $L\; s12\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s12\}\}\}$и $L\; p1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p1\}\}\}$)

$LS\; 12\; =\; 2\; k\; 12\; k\; 13\; k\; 23\; -\; k\; 12\; 2\; -\; k\; 13\; 2\; -\; k\; 23\; 2\; +\; 1\; k\; 13\; k\; 23\; -\; k\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{S\_\; \{12\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; k\_\; \{12\}\; \backslash ,\; k\_\; \{13\}\; \backslash ,\; k\_\; \{23\}\; -k\_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; -k\_\; \{13\}\; ^\; \{2\}\; -k\_\; \{23\}\; \}\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{k\_\; \{13\}\; \backslash ,\; k\_\; \{23\}\; -k\_\; \{12\}\}\}\; \backslash \; quad\}$и $LP\; 1\; =\; 2\; k\; 12\; k\; 13\; k\; 23\; -\; к\; 12\; 2\; -\; к\; 13\; 2\; -\; к\; 23\; 2\; +\; 1\; к\; 12\; к\; 23\; +\; к\; 13\; к\; 23\; -\; к\; 23\; 2\; -\; к\; 12\; -\; к\; 13\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; L\_\; \{P\_\; \{1\}\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{2\; \backslash ,\; k\_\; \{12\}\; \backslash ,\; k\_\; \{13\}\; \backslash ,\; k\_\; \{23\}\; -k\_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; -k\_\; \{13\}\; ^\; \{2\}\; -k\_\; \{23\}\; ^\; \{2\}\; +1\; \}\; \{k\_\; \{12\}\; \backslash ,\; k\_\; \{23\}\; +\; k\_\; \{13\}\; \backslash ,\; k\_\; \{23\}\; -k\_\; \{23\}\; ^\; \{2\}\; -k\_\; \{12\}\; -k\_\; \{13\}\; +1\}\}.\}$

Резонансный t трансформатор

Когда конденсатор подключен к одной обмотке трансформатора, что делает обмотку настроенной цепью (резонансной цепью), это называется одиночным настроенным трансформатором. Когда конденсатор подключен к каждой обмотке, он называется трансформатором с двойной настройкой. Эти резонансные трансформаторы могут накапливать колеблющуюся электрическую энергию аналогично резонансному контуру и, таким образом, функционировать как полосовой фильтр, позволяя использовать частоты, близкие к их резонансной частоте переходить с первичной обмотки на вторичную, но с блокировкой других частот. Величина взаимной индуктивности между двумя обмотками вместе с добротностью схемы определяют форму кривой частотной характеристики. Преимущество двойного настроенного трансформатора состоит в том, что он может иметь более узкую полосу пропускания, чем простая настроенная схема. Связь схем с двойной настройкой описывается как слабая, критическая или избыточная в зависимости от значения коэффициента связи $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Когда две настроенные схемы слабо связаны через взаимную индуктивность, полоса пропускания узкая. По мере увеличения взаимной индуктивности полоса пропускания продолжает расти. Когда взаимная индуктивность превышает критическое значение связи, пик на кривой частотной характеристики разделяется на два пика, а по мере увеличения связи два пика отдаляются друг от друга. Это называется избыточной связью.

Идеальные трансформаторы

Когда $k\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1\}$, индуктор считается тесно связанным. Если к тому же самоиндуктивности стремятся к бесконечности, индуктор становится идеальным трансформатором. В этом случае напряжения, токи и количество витков могут быть связаны следующим образом:

$V\; s\; =\; N\; s\; N\; p\; V\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{\; \backslash \; text\; \{s\}\}\}\; \{N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}\}\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}$

где

$V\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\}$- напряжение на вторичной катушке индуктивности,

$V\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}$- напряжение на первичной катушке индуктивности (подключенной к источнику питания),

$N\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\}$- количество витков во вторичной катушке индуктивности, а

$N\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\; \}\}\}$- количество витков в первичной катушке индуктивности.

Напротив, ток:

$I\; s\; =\; N\; p\; N\; s\; I\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}\; \{N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\}\}\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}$

где

$I\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; s\}\}\}$- ток через вторичный индуктор,

$I\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}$- ток через первичный индуктор ( один подключен к источнику питания),

$N\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\}$- количество витков во вторичной катушке индуктивности, а

$N\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{p\}\}\}$- количество витков в первичной катушке индуктивности.

Мощность, проходящая через одну катушку индуктивности, равна мощности через другую. В этих уравнениях не учитывается воздействие источников тока или напряжения.

Самоиндукция тонкой проволоки

В таблице ниже приведены формулы для самоиндукции различных простых форм, сделанных из тонких цилиндрических проводников (проводов). Как правило, они точны только в том случае, если радиус провода $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$намного меньше, чем размеры формы, и если поблизости нет ферромагнитных материалов (нет магнитопровода ).

Самоиндукция тонких проволок

Тип	Индуктивность	Комментарий
Однослойный. соленоид	Хорошо известная формула аппроксимации Уиллера. для катушки с воздушным сердечником модели текущего листа:. $L\; =\; N\; 2\; D\; 2\; 18\; D\; +\; 40\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\; ^\; \{2\}\; D\; ^\; \{2\}\}\; \{18D\; +\; 40\; \backslash \; ell\}\}\}$(английский) $L\; =\; N\; 2\; D\; 2\; 45\; D\; +\; 100\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\; ^\; \{2\}\; D\; ^\; \{2\}\}\; \{\; 45D\; +\; 100\; \backslash \; ell\}\}\}$(cgs).. Эта формула дает ошибку не более 1%, когда $\ell \; /\; D>0,4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; /\; D>0.4\}$.	$L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$индуктивность в мкГн (10 Генри) $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$количество витков $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$диаметр в (дюймах) (см) $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$длина в (дюймах) (см)
Коаксиальный кабель (HF).	$L\; знак\; равно\; \mu \; 0\; \ell \; 2\; \pi \; пер\; \; (ба)\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; ell\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\}$	$b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$: Внутренний радиус внешнего проводника. $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$: радиус внутреннего проводника. $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$: длина. $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$: см. Сноску к таблице.
Круговая петля	$\mu \; 0\; r\; [ln\; \; (8\; ra)\; -\; 2\; +\; 1\; 4\; Y\; +\; O\; (a\; 2\; r\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; r\; \backslash \; left\; [\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{8r\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; -2\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; Y\; +\; O\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$	$r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$: радиус контура. $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$: радиус провода. $\mu \; 0,\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\},\; Y\}$: см. Сноски к таблице.
Прямоугольник. из круглой проволоки	$L\; =\; \mu \; 0\; \pi \; [b\; ln\; \; (2\; ba)\; +\; d\; ln\; \; (2\; da)\; +\; 2\; b\; 2\; +\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; biggl\; [\}\; \backslash \; b\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2b\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; +\; d\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; 2d\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; +2\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\}\}\}$ $-\; b\; sinh\; -\; 1\; \; (bd)\; -\; d\; sinh\; -\; 1\; \; (db)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; qquad\; -b\; \backslash \; sh\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\; -d\; \backslash \; sinh\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{b\; \}\}\; \backslash \; right)\}$$-\; (2-1\; 4\; Y)\; (b\; +\; d)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; qquad\; -\; \backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; Y\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (b\; +\; d\; \backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; biggr]\}\}$	$b,\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; b,\; d\}$: длина границы. $d\; \gg \; a,\; b\; \gg \; a\; \{\; \backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; gg\; a,\; b\; \backslash \; gg\; a\}$. $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$: радиус провода. $\mu \; 0,\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\},\; Y\}$: см. Сноски к таблице.
Пара параллельных. проводов	$L\; =\; \mu \; 0\; \ell \; \pi \; [ln\; \; (da)\; +\; 1\; 4\; Y]\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; ell\; \backslash \}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; \backslash \; left\; [\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; Y\; \backslash \; right]\}$	$а\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$: радиус провода. $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$: разделительное расстояние, $d\; \ge \; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; geq\; 2a\}$. $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$: длина пары. $\mu \; 0,\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\},\; Y\}$: см. сноски к таблице..
Пара параллельных. проводов (HF).	$L\; =\; \mu \; 0\; \ell \; \pi \; ch\; -\; 1\; \; (d\; 2\; a)\; =\; \mu \; 0\; \ell \; \pi \; ln\; \; (d\; 2\; a\; +\; d\; 2\; 4\; a\; 2\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; ell\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; cosh\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{2a\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; ell\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{2a\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{4a\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; -\; 1\}\}\; \backslash \; right)\}$	$a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$: радиус провода. $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$: разделение расстояние, $d\; \ge \; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; geq\; 2a\}$. $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$: длина пары. $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$: см. Сноску к таблице.

• Символ $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$обозначает магнитную проницаемость свободного пространства, которая в единицах СИ составляет $0,4\; \pi \; микрометр\; Генри\; \{\backslash \; displaystyle\; 0,4\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; text\; \{micro-Henries\}\}\; \{\backslash \; text\; \{meter\}\}\}\}$, почти точно.

• $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$- приблизительно постоянное значение от 0 до 1, которое зависит от распределения тока в проводе: $Y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; 0\}$, когда ток течет только по поверхности провода (полный скин-эффект ), $Y\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; 1\}$, когда ток равномерно распределить по сечению провода (постоянный ток ). Для круглых проводов Роза (1908) дает формулу, эквивалентную:

$Y\; \approx \; 1\; 1\; +\; a\; 1\; 8\; \mu \; \sigma \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; a\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\{\{\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; mu\; \backslash \; sigma\; \backslash \; omega\; \backslash \}\}\}\}\}$

где $\omega \; =\; 2\; \pi \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\}$- угловая частота в радианах в секунду,. $\mu \; =\; \mu \; 0\; \mu \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{r\}\}\}$- чистая магнитная проницаемость провода,. $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- удельная проводимость провода, а. $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- радиус провода.

• $O\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (x)\}$- представляет собой небольшой термин (ы), который был исключен из формула, чтобы было проще. Считайте символ «$+\; O\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; O\; (x)\}$» как «плюс небольшие исправления порядка» $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. См. Также Обозначение Big O.

См. Также

• Электромагнитная индукция
• Гиратор
• Гидравлическая аналогия
• Индуктивность утечки
• LC-контур, RLC-контур, Схема RL
• Кинетическая индуктивность

Сноски

Ссылки

Общие ссылки

Внешние ссылки

• Лаборатория автомобильной электроники Клемсона: Калькулятор индуктивности