LC-контур

Электрический «резонаторный» контур, состоящий из индуктивных и емкостных элементов без сопротивления Схема LC-контура LC-контур ( слева), состоящий из ферритовой катушки и конденсатора, используемых в качестве настроенной цепи в приемнике для радиочасов

LC-цепи, также называемой резонансной цепью, контур резервуара, или настроенный контур, представляет собой электрическую цепь, состоящую из катушки индуктивности, обозначенной буквой L, и конденсатора., представленный буквой C, соединены вместе. Схема может действовать как электрический резонатор, электрический аналог камертона, накапливая энергию, колеблющуюся на резонансной частоте схемы..

LC-контуры используются либо для генерации сигналы на определенной частоте или выделение сигнала на определенной частоте из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, особенно радиооборудования, используемых в таких схемах, как генераторы, фильтры, тюнеры и смесители частоты.

LC-схема является идеальной моделью, поскольку предполагает, что из-за сопротивления не происходит рассеивания энергии. Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери из-за небольшого, но ненулевого сопротивления компонентов и соединительных проводов. Целью LC-цепи обычно является колебание с минимальным демпфированием, поэтому сопротивление должно быть как можно более низким. Хотя ни одна практическая схема не обходится без потерь, тем не менее поучительно изучить эту идеальную форму схемы, чтобы получить понимание и физическую интуицию. Для модели схемы, включающей сопротивление, см. Схема RLC.

• 1 Терминология
• 2 Эксплуатация
• 3 Эффект резонанса
• 4 Приложения
• 5 Решение во временной области
  • 5.1 Кирхгофа законы
  • 5.2 Дифференциальное уравнение
  • 5.3 Решение
  • 5.4 Начальные условия
• 6 Последовательная цепь
  • 6.1 Резонанс
  • 6.2 Импеданс
• 7 Параллельная цепь
  • 7.1 Резонанс
  • 7.2 Импеданс
• 8 Решение Лапласа
• 9 История
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Двухэлементная LC-схема, описанная выше, является самым простым типом цепи индуктивности-конденсатора (или сети LC ). Его также называют LC-цепью второго порядка, чтобы отличить ее от более сложных (более высокого порядка) LC-цепей с большим количеством катушек индуктивности и конденсаторов. Такие LC-сети с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты.

Порядок сети - это порядок рациональной функции, описывающей сеть на комплексной частоте переменная s. Как правило, порядок равен количеству элементов L и C в схеме и в любом случае не может превышать это количество.

Анимированная диаграмма, показывающая работу настроенной схемы (LC-цепи). Конденсатор C накапливает энергию в своем электрическом поле E, а индуктор L накапливает энергию в своем магнитном поле B (зеленый). Анимация показывает схему в прогрессивных точках колебания. Колебания замедляются; в реальной настроенной цепи заряд может колебаться от тысячи до миллиардов раз в секунду.

LC-контур, колеблющийся на своей естественной резонансной частоте, может накапливать электрическую энергию. Смотрите анимацию. Конденсатор накапливает энергию в электрическом поле (E) между своими пластинами, в зависимости от напряжения на нем, а индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле ( B), в зависимости от текущего через него.

Если индуктор подключен к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет пропускать ток через индуктор, создавая вокруг него магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется текущим током. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, потому что индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начать перезаряжать конденсатор напряжением, противоположным полярности его первоначального заряда. Согласно закону Фарадея, ЭДС, возбуждающая ток, вызывается уменьшением магнитного поля, таким образом, энергия, необходимая для зарядки конденсатора, извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова сохраняется в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, и ток будет течь в обратном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через катушку индуктивности. Энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности, пока (если она не пополняется из внешней цепи) внутреннее сопротивление не заставит колебания затухнуть. Действие настроенной схемы, математически известной как гармонический осциллятор, похоже на маятник, раскачивающийся взад и вперед, или плеск воды в баке; по этой причине контур также называют контуром резервуара. собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться, когда он изолирован от любой другой системы, как описано выше), определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве приложений настроенная схема является частью более крупной схемы, которая применяет к ней переменный ток, вызывая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой цепи (собственная частота $f\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$ниже), резонанс, и небольшой управляющий ток может вызвать колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных схемах электронного оборудования колебания происходят очень быстро, от тысяч до миллиардов раз в секунду.

Резонанс возникает, когда LC-цепь возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω 0, при которой индуктивное и емкостное реактивные сопротивления равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретного контура, называется резонансной частотой. резонансная частота контура LC составляет

$\omega \; 0\; =\; 1\; LC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\}$

где L - индуктивность в генри, а C - емкость в фарадах. Угловая частота ω0имеет единицы радиан в секунду.

Эквивалентная частота в единицах герц равна

$f\; 0\; =\; \omega \; 0\; 2\; \pi \; =\; 1\; 2\; \pi \; L\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\}.\}$

Резонансный эффект LC-контура имеет много важных применений в системах обработки сигналов и связи.

• Наиболее распространенное применение контуров резервуара - настройка радиопередатчиков и приемников. Например, когда мы настраиваем радио на определенную станцию, LC-контуры устанавливаются в резонанс для этой конкретной несущей частоты.
• Последовательный резонансный контур обеспечивает увеличение напряжения .
• Параллельный резонансный контур обеспечивает увеличение тока .
• Параллельный резонансный контур можно использовать в качестве импеданса нагрузки в выходных цепях РЧ-усилителей. Из-за высокого импеданса коэффициент усиления усилителя максимален на резонансной частоте.
• В индукционном нагреве.

LC-контуры действуют как электронные резонаторы, как параллельные, так и последовательные резонансные цепи., которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:

• Усилители
• Осцилляторы
• Фильтры
• Тюнеры
• Смесители
• Дискриминатор Фостера-Сили
• Бесконтактные карты
• Графические планшеты
• Электронное наблюдение за изделиями (теги безопасности)

Законы Кирхгофа

Согласно закону напряжения Кирхгофа, напряжение на конденсаторе, В C, плюс напряжение на катушке индуктивности, V L должно быть равно нулю:

$VC\; +\; VL\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{C\}\; +\; V\_\; \{L\}\; =\; 0\; \backslash ,.\}$

Аналогично, согласно закону Кирхгофа, ток через конденсатор равен току через катушку индуктивности:

$IC\; =\; IL.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{C\}\; =\; I\_\; \{L\}\; \backslash ,.\}$

Из определяющих соотношений для элементов схемы мы также знаем, что

$VL\; (t)\; =\; L\; d\; IL\; dt,\; IC\; (t)\; =\; C\; d\; VC\; dt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\_\; \{L\}\; (t)\; =\; L\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; I\_\; \{L\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; I\_\; \{C\; \}\; (t)\; =\; C\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\_\; \{C\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Дифференциальное уравнение

Перестановка и подстановка дает дифференциальное уравнение второго порядка

$d\; 2\; dt\; 2\; I\; (t)\; +\; 1\; LCI\; (t)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; I\; (t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{LC\}\}\; I\; (t)\; =\; 0\; \backslash ,.\}$

Параметр ω 0, резонансная угловая частота, определяется как:

$\omega \; 0\; =\; 1\; LC.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\; \backslash ,.\}$

С его помощью можно упростить дифференциальное уравнение

$d\; 2\; dt\; 2\; I\; (t)\; +\; \omega \; 0\; 2\; I\; (t)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; I\; (t)\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; I\; (t)\; =\; 0\; \backslash ,.\}$

Соответствующее преобразование Лапласа равно

$s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; =\; 0\; \backslash ,;\}$

таким образом,

$s\; =\; \pm \; j\; \omega \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; pm\; j\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; \backslash ,,\}$

где j - мнимая единица.

Решение

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения:

$I\; (t)\; =\; A\; e\; +\; J\; \omega \; 0\; T\; +\; В\; е\; -\; J\; \omega \; 0\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; (t)\; =\; Ae\; ^\; \{+\; j\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t\}\; +\; Be\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t\}\; \backslash ,\; \}$

и может быть решен для A и B с учетом начальных условий. Поскольку экспонента комплексная, решение представляет собой синусоидальный переменный ток. Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен быть действительным. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно сопряженными :

$A\; =\; B\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; B\; ^\; \{*\}\}$

Теперь пусть

$A\; =\; I\; 0\; 2\; e\; +\; j\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{0\}\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{+\; j\; \backslash \; phi\}\}$

Следовательно,

$B\; =\; I\; 0\; 2\; e\; -\; j\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{0\}\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; phi\}\}$

Затем мы можем использовать формулу Эйлера, чтобы получить действительное число синусоида с амплитудой I0, угловой частотой ω0= 1 / √LC и фазовым углом $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$

Таким образом, получившийся решение становится:

$I\; (t)\; =\; I\; 0\; cos\; \; (\omega \; 0\; t\; +\; \varphi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (t)\; =\; I\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

и

$V\; (t)\; =\; L\; d\; I\; dt\; =\; -\; \omega \; 0\; LI\; 0\; sin\; \; (\omega \; 0\; t\; +\; \varphi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (t)\; =\; L\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; I\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; LI\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\; 0\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Начальные условия

Начальные условия, которые удовлетворяют этому результату, следующие:

$I\; (0)\; =\; I\; 0\; cos\; \; \varphi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; (0)\; =\; I\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash ,.\}$

и

$V\; (0)\; =\; L\; d\; I\; d\; t\; |\; t\; =\; 0\; =\; -\; \omega \; 0\; L\; I\; 0\; sin\; \; \varphi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (0)\; =\; L\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; I\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; |\}\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; LI\_\; \{\; 0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash ,.\}$

Последовательная LC-цепь

В последовательной конфигурации LC-контура индуктор (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано Вот. Общее напряжение V на открытых клеммах - это просто сумма напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I, подаваемый на положительный вывод схемы, равен току через конденсатор и катушку индуктивности.

$V\; =\; V\; L\; +\; V\; C\; I\; =\; I\; L\; =\; I\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\; =\; V\_\; \{L\}\; +\; V\_\; \{C\}\; \backslash \backslash \; I\; =\; I\_\; \{L\}\; =\; I\_\; \{C\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Резонанс

Индуктивное реактивное сопротивление величина X L увеличивается с увеличением частоты, в то время как величина емкостного реактивного сопротивления величина X C уменьшается с увеличением частоты. На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны по величине, но противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f 0 для данной цепи.

Следовательно, при резонансе:

$X\; L\; =\; X\; C\; \omega \; L\; =\; 1\; \omega \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; X\_\; \{L\}\; =\; X\_\; \{C\}\; \backslash \backslash \backslash \; omega\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; C\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Решая относительно ω, мы получаем

$\omega \; =\; \omega \; 0\; =\; 1\; LC,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\; \backslash ,,\}$

которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразуя угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах), получаем

$f\; 0\; =\; \omega \; 0\; 2\; \pi \; =\; 1\; 2\; \pi \; L\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\}\; \backslash ,.\}$

В последовательной конфигурации X C и X L компенсируют друг друга. В реальных, а не в идеализированных компонентах току противодействует, в основном, сопротивление обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, является максимальным при резонансе.

• В пределах f → f 0 ток максимален. Импеданс цепи минимальный. В этом состоянии схема называется приемной схемой
• Для f < f0, X L ≪ -X C. Следовательно, схема является емкостной.
• Для f>f 0, X L ≫ -X C. Следовательно, цепь является индуктивной.

Импеданс

В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексный электрический импеданс цепи приближается к нулю.

Сначала рассмотрим импеданс последовательной LC-цепи. Полный импеданс определяется суммой индуктивного и емкостного сопротивлений:

$Z\; =\; ZL\; +\; ZC\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; Z\_\; \{L\}\; +\; Z\_\; \{C\}\}$

Запись индуктивного сопротивления как Z L = jωL, а емкостное сопротивление как Z C = 1 / jωC, и замена дает

$Z\; (\omega )\; =\; j\; \omega \; L\; +\; 1\; j\; \omega \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; j\; \backslash \; omega\; L\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{j\; \backslash \; omega\; C\}\}\; \backslash ,.\}$

Запись этого выражения под общим знаменателем дает

$Z\; (\omega )\; =\; j\; (\omega \; 2\; LC\; -\; 1\; \omega \; C).\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; j\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; LC-1\}\; \{\backslash \; omega\; C\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Наконец, определение собственной угловой частоты поскольку

$\omega \; 0\; =\; 1\; LC,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\; \backslash ,,\}$

импеданс становится

$Z\; (\omega )\; =\; j\; L\; (\omega \; 2\; -\; \omega \; 0\; 2\; \omega ).\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; jL\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Числитель означает, что в пределе ω → ± ω 0 полный импеданс Z будет равен нулю, а в противном случае отличен от нуля. Следовательно, последовательный LC-контур при последовательном включении с нагрузкой будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевой импеданс на резонансной частоте LC-контура.

Параллельная LC-цепь

Когда индуктор (L) и конденсатор (C) подключены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых клеммах равно как напряжению на индуктор и напряжение на конденсаторе. Полный ток I, протекающий через положительный вывод схемы, равен сумме тока, протекающего через катушку индуктивности, и тока, протекающего через конденсатор:

$V\; =\; V\; L\; =\; V\; C\; I\; =\; I\; L\; +\; I\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\; =\; V\_\; \{L\}\; =\; V\_\; \{C\}\; \backslash \backslash \; I\; =\; I\_\; \{L\}\; +\; I\_\; \{C\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Резонанс

Когда X L равно X C, два тока ответвления равны и противоположны. Они компенсируют друг друга, чтобы обеспечить минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и катушкой индуктивности циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но на самом деле он ограничен сопротивлением в цепи, особенно сопротивлением обмоток индуктора. Поскольку общий ток минимален, в этом состоянии общий импеданс максимален.

Резонансная частота определяется как

$f\; 0\; =\; \omega \; 0\; 2\; \pi \; =\; 1\; 2\; \pi \; L\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Обратите внимание, что любой ток ответвления не является минимальным при резонансе, но каждый определяется отдельно путем деления напряжения источника (V) на реактивное сопротивление (Z). Следовательно, I = V / Z согласно закону.

• Ома. При f 0 линейный ток минимален. Полный импеданс максимально. В этом состоянии цепь называется схемой отражателя.
• Ниже f 0 цепь является индуктивной.
• Выше f 0 цепь является емкостным.

Импеданс

Такой же анализ можно применить к параллельной LC-цепи. Общий импеданс тогда определяется как:

$Z\; =\; ZLZCZL\; +\; ZC,\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{L\}\; Z\_\; \{C\}\}\; \{Z\_\; \{L\}\; +\; Z\_\; \{C\}\}\}\; \backslash ,,\; \}$

и после замены Z L = jωL и Z C = 1 / jωC и упрощения дает

$Z\; (\omega )\; =\; -\; j\; \cdot \; \omega \; L\; \omega \; 2\; LC\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; -\; j\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; L\}\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; LC-1\}\}$

Используя

$\omega \; 0\; =\; 1\; LC,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\; \backslash ,,\}$

далее упрощается до

$Z\; (\omega )\; =\; -\; j\; (1\; C)\; (\; \omega \; \omega \; 2\; -\; \omega \; 0\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; -\; J\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{C\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\}\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Обратите внимание, что

$lim\; \omega \; \to \; \omega \; 0\; Z\; (\omega )\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; to\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; \}\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; infty\}$

, но для всех других значений ω импеданс конечен. Параллельная LC-цепь, соединенная последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечный импеданс на резонансной частоте LC-цепи. Параллельная LC-цепь, подключенная параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр.

LC-цепь может быть решена с помощью преобразования Лапласа.

Пусть общее уравнение быть:

$v\; С\; (t)\; =\; v\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{C\}\; (t)\; =\; v\; (t)\}$

$i\; (t)\; =\; C\; dv\; C\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (t)\; =\; C\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; v\_\; \{C\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\}$

$v\; L\; (t)\; =\; L\; didt\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{L\}\; (t)\; =\; L\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; i\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\}$

Пусть дифференциальное уравнение серии LC имеет вид:

$vin\; (t)\; =\; v\; L\; (t)\; +\; v\; C\; (t)\; =\; L\; didt\; +\; v\; =\; LC\; d\; 2\; vdt\; 2\; +\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{in\}\; (t)\; =\; v\_\; \{L\}\; (t)\; +\; v\_\; \{C\}\; (t)\; =\; L\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; i\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; +\; v\; =\; LC\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; v\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; v\}$

С начальным условием:

$\{v\; (0)\; =\; v\; 0\; i\; (0)\; =\; i\; 0\; =\; C\; \cdot \; v\; \prime \; (0)\; =\; C\; \cdot \; v\; 0\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; v\; (0)\; =\; v\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; i\; (0)\; =\; i\_\; \{0\}\; =\; C\; \backslash \; cdot\; v\; \text{'}(0)\; =\; C\; \backslash \; cdot\; v\text{'}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Позвольте определить:

$\omega \; 0\; знак\; равно\; 1\; LC\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{LC\}\}\}\}$

$е\; (т)\; =\; \omega \; 0\; 2\; vin\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; v\_\; \{in\}\; (t)\}$

дает:

$f\; (t)\; =\; d\; 2\; vdt\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; v\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; v\}$

Преобразование с помощью Лапласа:

$L\; [f\; (t)]\; =\; L\; [d\; 2\; vdt\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2\; v]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; left\; [f\; (\; t)\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; v\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{2\}\; v\; \backslash \; right]\}$

$F\; (s)\; =\; s\; 2\; V\; (s)\; -\; sv\; 0\; -\; v\; 0\; \prime \; +\; \omega \; 0\; 2\; V\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\; =\; s\; ^\; \{\; 2\}\; V\; (s)\; -sv\_\; \{0\}\; -v\; \text{'}\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; V\; (s)\}$

$V\; (s)\; =\; sv\; 0\; +\; v\; 0\; \prime \; +\; F\; s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{sv\_\; \{0\}\; +\; v\; \text{'}\_\; \{0\}\; +\; F\; (s)\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Тогда антитрансформация:

$v\; (t)\; =\; v\; 0\; cos\; \; (\omega \; 0\; t)\; +\; v\; 0\; \prime \; \omega \; 0\; sin\; \; (\omega \; 0\; t)\; +\; L\; -\; 1\; [F\; (s)\; s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\; =\; v\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \text{'}\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{\; 0\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{F\; (s)\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

Если входное напряжение шаг Хевисайда f unction :

$vin\; (t)\; =\; M\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{in\}\; (t)\; =\; Mu\; (t)\}$

$L\; -\; 1\; [\omega \; 0\; 2\; V\; in\; (s)\; s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2]\; =\; L\; -\; 1\; [\omega \; 0\; 2\; M\; 1\; s\; (s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2)]\; =\; M\; (1\; -\; соз\; \; (\omega \; 0\; t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{in\}\; (s)\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; M\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\})\; \}\}\; \backslash \; right]\; =\; M\; (1-\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t))\}$

$v\; (t)\; =\; v\; 0\; cos\; \; (\omega \; 0\; t)\; +\; v\; 0\; \prime \; \omega \; 0\; sin\; \; (\omega \; 0\; T)\; +\; M\; (1\; -\; соз\; \; (\omega \; 0\; T))\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; (t)\; =\; v\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \text{'}\_\; \{0\}\; \}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; +\; M\; (1-\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t))\}$

Если входное напряжение является синусоидальной функцией:

$vin\; (t)\; =\; U\; грех\; \; (\omega \; ft)\; \Rightarrow \; V\; in\; (s)\; =\; U\; \omega \; fs\; 2\; +\; \omega \; f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{in\}\; (t)\; =\; U\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{f\; \}\; t)\; \backslash \; Rightarrow\; V\_\; \{in\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$L\; -\; 1\; [\omega \; 0\; 2\; 1\; s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2\; U\; \omega \; fs\; 2\; +\; \omega \; f\; 2]\; =\; L\; -\; 1\; [\omega \; 0\; 2\; U\; \omega \; f\; \omega \; f\; 2\; -\; \omega \; 0\; 2\; (1\; s\; 2\; +\; \omega \; 0\; 2\; -\; 1\; s\; 2\; +\; \omega \; f\; 2)]\; =\; \omega \; 0\; 2\; U\; \omega \; f\; \omega \; f\; 2\; -\; \omega \; 0\; 2\; (1\; \omega \; 0\; грех\; \; (\omega \; 0\; T)\; -\; 1\; \omega \; е\; грех\; \; (\omega \; ft))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; U\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; U\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\; \}\; t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; t)\; \backslash \; right)\}$

$v\; (t)\; =\; v\; 0\; cos\; \; (\omega \; 0\; t)\; +\; v\; 0\; \prime \; \omega \; 0\; sin\; \; (\omega \; 0\; t)\; +\; \omega \; 0\; 2\; U\; \omega \; f\; \omega \; f\; 2\; -\; \omega \; 0\; 2\; (1\; \omega \; 0\; sin\; \; (\omega \; 0\; t)\; -\; 1\; \omega \; f\; sin\; \; (\omega \; ft))\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\; =\; v\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \text{'}\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; U\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{f\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\; \backslash \; omega\; \_\; \{f\}\; t)\; \backslash \; right)\}$

Первое свидетельство того, что емкость r, а индуктор мог производить электрические колебания, был открыт в 1826 году французским ученым Феликсом Савари. Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжалась через проволоку, намотанную вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно пришел к выводу, что это было вызвано затухающим колеблющимся током разряда в проводе, который менял намагниченность иглы назад и вперед до тех пор, пока она не становилась слишком маленькой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, по-видимому, независимо. Британский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и определил его резонансную частоту. Британский радиоисследователь Оливер Лодж, разрядив большую батарею лейденских банок по длинному проводу, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который воспроизводил музыкальный тон из искры при ее разряде.. В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, вызванную резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимые доказательства колебаний. В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вычислил эффект приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. Первый пример электрической резонансной кривой был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, показывающей длину искры, получаемой от его искры. детекторы с зазором LC-резонатора как функция частоты.

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными схемами был эксперимент Лоджа с "синтонными банками" около 1889 года. Он поместил две резонансные схемы рядом с каждой другие, каждая из которых состоит из лейденской банки, соединенной с регулируемой однооборотной катушкой с искровым разрядником. Когда высокое напряжение от индукционной катушки прикладывалось к одному настроенному контуру, создавая искры и, следовательно, колеблющиеся токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочли термин «синтония» для этого эффекта, но термин «резонанс» в конце концов прижился. Первое практическое использование LC-цепей было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым разрядником, что позволило настроить приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, позволяющую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони.

• Схема RL
• RC схема
• Схема RLC

В Wikibook Circuit Idea есть страница по теме: Как мы создаем синусоидальные колебания ?

• Электрический маятник Тони Купхалдта - это классическая история о работе резервуара LC.
• Как контур параллельного LC хранит энергию. - еще один отличный ресурс LC.