Войти
Модель «Простой гравитационный маятник» не предполагает трения или сопротивления воздуха. A маятник - это груз, подвешенный к оси оси, так что он может свободно качаться. Когда маятник смещается в сторону от своего покоящегося, положения равновесия, на него действует восстанавливающая сила из-за силы тяжести, которая ускоряет его обратно в положение равновесия.. При отпускании восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, раскачиваясь назад и вперед. Время для одного полного цикла, поворота влево и поворота вправо, называется периодом . Период зависит от длины маятника, а также в небольшой степени от амплитуды , ширины качания маятника.
Начиная с первых научных исследований маятника около 1602 года Галилео Галилей, регулярное движение маятников использовалось для хронометража и было самой точной технологией в мире до 1930-х годов. маятниковые часы, изобретенные Кристианом Гюйгенсом в 1658 году, стали мировым стандартом для хронометража, использовались в домах и офисах в течение 270 лет и обеспечивали точность около одной секунды в год, прежде чем они были заменены на эталон времени по кварцевым часам в 1930-х годах. Маятники также используются в научных приборах, таких как акселерометры и сейсмометры. Исторически они использовались как гравиметры для измерения ускорения свободного падения в геофизических исследованиях и даже в качестве эталона длины. Слово «маятник» - это новое латинское, от латинского pendulus, означающее «висит».
Простой гравитационный маятник - это идеализированная математическая модель маятника. Это груз (или bob ) на конце безмассового шнура, подвешенного на оси, без трения. При первоначальном толчке он будет качаться вперед и назад с постоянной амплитудой . Настоящие маятники подвержены трению и сопротивлению воздуха, поэтому амплитуда их колебаний уменьшается.
Маятник
Анимация маятника, показывающая силы, действующие на боб: натяжение Т в стержне и гравитационная сила mg. 
Анимация маятника, показывающая скорость и векторы ускорения. 
Период маятника увеличивается по мере увеличения амплитуды θ 0 (ширины качания). Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины, локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла, под которым маятник отклоняется от вертикали, θ 0, называемая амплитудой. Он не зависит от массы боба. Если амплитуда ограничена небольшими колебаниями, период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла, составляет:
где 
Для небольших качелей период качания примерно одинаков для качелей разного размера: то есть период не зависит от амплитуды. Это свойство, называемое изохронизмом, является причиной того, что маятники так полезны для хронометража. Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое время.
Для больших амплитуд период постепенно увеличивается с амплитудой, поэтому он больше, чем заданный уравнением (1). Например, при амплитуде θ 0 = 0,4 радиана (23 °) это на 1% больше, чем указано в (1). Период увеличивается асимптотически (до бесконечности), когда θ 0 приближается к 
![{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ left (2n \ right)!} {2 ^ {2n} \ left ( n! \ right) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2n} \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) \ right] = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11} {3072 }} \ theta _ {0} ^ {4} + \ cdots \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8421cbd1dd0d5564c5f84120bb9f8a68e7e6312)
где 
Разница между этим истинным периодом и периодом малых колебаний (1) выше называется круговой ошибкой. В случае типичных напольных часов, маятник которых имеет угол поворота 6 ° и, следовательно, амплитуду 3 ° (0,05 радиана), разница между истинным периодом и приближением малого угла (1) составляет около 15 секунд в день.
Для небольших колебаний маятник приближается к гармоническому осциллятору, а его движение как функция времени, t, приблизительно равно простому гармоническому движению :
где 
Для реальных маятников период незначительно меняется в зависимости от таких факторов, как таких как плавучесть и вязкое сопротивление воздуха, масса струны или стержня, размер и форма боба и то, как он прикреплен к струне, а также гибкость и растяжение струны. В точных приложениях, возможно, потребуется применить поправки к этим факторам к ур. (1) точно указать период.
Любое качающееся твердое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной горизонтальной оси, называется составным маятником или физическим маятником . Соответствующая эквивалентная длина 
Радиус колебаний или эквивалентная длина
где 
для достаточно малых колебаний.
Например, жесткий однородный стержень длиной 
Христиан Гюйгенс доказал в 1673 году, что точка поворота и центр колебаний взаимозаменяемы. Это означает, что если какой-либо маятник перевернуть вверх дном и качнуть от оси, расположенной в его предыдущем центре колебаний, он будет иметь тот же период, что и раньше, а новый центр колебаний будет в старой точке поворота. В 1817 году Генри Катер использовал эту идею для создания типа обратимого маятника, теперь известного как маятник Катера, для улучшенных измерений ускорения свободного падения.
Копия сейсмометра Чжана Хэна. Маятник находится внутри. Одним из самых первых известных применений маятника был сейсмометр 1-го века устройство династии Хань Китайский ученый Чжан Хэн. Его функция заключалась в том, чтобы раскачивать и активировать один из нескольких рычагов после того, как он был потревожен сотрясением землетрясения далеко. Выпущенный рычагом, маленький шарик выпадал из устройства в форме урны в одну из восьми металлических пастей жаб внизу, в восьми точках компаса, что указывало на направление землетрясения.
Многие источники утверждают, что египетский астроном 10 века Ибн Юнус использовал маятник для измерения времени, но эта ошибка возникла в 1684 году у британского историка Эдварда Бернарда.
в период Возрождения., большие маятники с ручной накачкой использовались в качестве источников энергии для ручных поршневых машин, таких как пилы, сильфоны и насосы. Леонардо да Винчи сделал множество рисунков движения маятников, хотя и не осознавал этого. значение для хронометража.
Итальянский ученый Галилео Галилей был первым, кто изучал свойства маятников, начиная примерно с 1602 года. Самый ранний сохранившийся отчет о его исследованиях содержится в письмо Гвидо Убальдо дал Монте из Падуи от 29 ноября 1602 года. Его биограф и ученик, Винченцо Вивиани, утверждал, что его интерес возник примерно в 1582 году из-за раскачивания люстры в Пизанский собор. Галилей открыл важнейшее свойство, которое делает маятники полезными для хронометража, - изохронизм; период маятника приблизительно не зависит от амплитуды или ширины качания. Он также обнаружил, что период не зависит от массы боба и пропорционален квадратному корню из длины маятника. Он первым применил маятники со свободным покачиванием в простых приложениях для измерения времени. Его друг, врач, Санторио Сантори, изобрел устройство, которое измеряет пульс пациента по длине маятника; пульсилогиум. В 1641 году Галилей задумал и продиктовал своему сыну Винченцо проект маятниковых часов; Винченцо начал строительство, но не завершил его, когда умер в 1649 году. Маятник был первым гармоническим осциллятором, используемым человеком.
Первые маятниковые часы В 1656 году голландский ученый Христиан Гюйгенс построил первые маятниковые часы. Это было большим улучшением по сравнению с существующими механическими часами; их максимальная точность была улучшена с отклонения примерно с 15 минут в день до примерно 15 секунд в день. Маятники распространились по Европе, поскольку существующие часы были модернизированы ими.
Английский ученый Роберт Гук изучал конический маятник около 1666 года, состоящий из маятник, который может свободно качаться в двух измерениях, при этом боб вращается по кругу или эллипсу. Он использовал движения этого устройства в качестве модели для анализа орбитальных движений планет. Гук предположил Исаака Ньютона в 1679 году, что компоненты орбитального движения состоят из инерционного движения в касательном направлении плюс притягивающего движения в радиальном направлении. Это сыграло свою роль в формулировке Ньютоном закона всемирного тяготения. Роберт Гук также был ответственен за предположение еще в 1666 году, что маятник можно использовать для измерения силы тяжести.
Во время своей экспедиции на Кайенну, Французскую Гвиану в 1671 году Жан Риче обнаружил, что маятниковые часы были на 2 / 2 минут в день медленнее в Кайенне, чем в Париже. Из этого он сделал вывод, что на Кайенне сила тяжести была меньше. В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это произошло потому, что Земля не была настоящей сферой, а слегка сплющенной (сплющенной на полюсах) из-за эффекта центробежной силы из-за его вращения, вызывающего увеличение силы тяжести с широтой. Переносные маятники стали использоваться в путешествиях в далекие страны, в качестве прецизионных гравиметров для измерения ускорения свободного падения в разных точках на Земле, что в конечном итоге привело к созданию точных моделей формы . Земли.
В 1673 году, через 17 лет после изобретения маятниковых часов, Христиан Гюйгенс опубликовал свою теорию маятника Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. Марин Мерсенн и Рене Декарт около 1636 года обнаружили, что маятник не является полностью изохронным; его период несколько увеличивался с увеличением амплитуды. Гюйгенс проанализировал эту проблему, определив, по какой кривой должен следовать объект, чтобы спуститься под действием силы тяжести в ту же точку за тот же интервал времени, независимо от начальной точки; так называемая таутохронная кривая. С помощью сложного метода, который был одним из первых применений исчисления, он показал, что эта кривая представляет собой циклоиду, а не дугу окружности маятника, подтверждая, что маятник не был изохронным и кривая Галилея наблюдение изохронизма было точным только для небольших колебаний. Гюйгенс также решил проблему вычисления периода маятника произвольной формы (называемого составным маятником), обнаружив центр колебаний и его взаимозаменяемость с точкой поворота.
Существующий часовой механизм спусковой механизм заставлял маятники качаться по очень широким дугам около 100 °. Гюйгенс показал, что это является источником неточности, из-за чего период изменяется с изменениями амплитуды, вызванными небольшими неизбежными изменениями движущей силы часов. Чтобы сделать его период изохронным, Гюйгенс установил металлические «отбивные» циклоидальной формы рядом с осями в своих часах, которые стесняли подвесной шнур и заставляли маятник следовать по циклоидной дуге (см. циклоидный маятник ). Это решение оказалось не таким практичным, как простое ограничение качания маятника небольшими углами в несколько градусов. Осознание того, что только небольшие колебания были изохронными, послужило поводом для разработки анкерного спуска около 1670 года, который уменьшил колебание маятника в часах до 4 ° –6 °.
Маятник Фуко в 1851 году был первой демонстрацией вращения Земли, не связанной с наблюдениями за небом, и вызвал «маятниковую манию». В этой анимации скорость прецессии сильно преувеличена. В XVIII и XIX веках роль маятниковых часов как наиболее точных хронометров стимулировала проведение многих практических исследований по совершенствованию маятников. Было обнаружено, что основной причиной ошибок было то, что стержень маятника расширялся и сжимался при изменении температуры окружающей среды, изменяя период качания. Эта проблема была решена с изобретением маятников с температурной компенсацией, ртутного маятника в 1721 году и маятника с координатной сеткой в 1726 году, что снизило погрешность точных маятниковых часов до нескольких секунд в неделю.
измерений силы тяжести, выполненных с помощью маятников, было ограничено трудностью определения местоположения их центра колебаний. В 1673 году Гюйгенс обнаружил, что маятник имеет тот же период, когда он висит на его центре колебаний, что и когда он висит на его оси, а расстояние между двумя точками равно длине простого гравитационного маятника того же периода. В 1818 году британский капитан Генри Катер изобрел обратимый маятник Катера, который использовал этот принцип, позволяя очень точно измерять силу тяжести. В течение следующего столетия обратимый маятник был стандартным методом измерения абсолютного ускорения свободного падения.
В 1851 году Жан Бернар Леон Фуко показал, что плоскость колебаний маятника, как гироскоп, стремится чтобы оставаться постоянным независимо от движения оси вращения, и что это можно использовать для демонстрации вращения Земли. Он подвесил маятник, который мог свободно качаться в двух измерениях (позже названный маятник Фуко ), от купола Пантеона в Париже. Длина шнура составляла 67 м (220 футов). После того как маятник был приведен в движение, наблюдалось, что плоскость качания прецессирует или вращается на 360 ° по часовой стрелке примерно за 32 часа. Это была первая демонстрация вращения Земли, не зависящая от небесных наблюдений, и разразилась "маятниковая мания", поскольку маятники Фуко были показаны во многих городах и привлекали большие толпы.
Примерно в 1900 году материалы с низким тепловым расширением начали использоваться для маятниковых стержней в часах высочайшей точности и других приборах, в первую очередь инвар, сплав никелевой стали., а позже плавленый кварц, что сделало компенсацию температуры тривиальной. Прецизионные маятники размещались в резервуарах низкого давления, в которых давление воздуха поддерживалось постоянным, чтобы предотвратить изменения периода из-за изменений плавучести маятника из-за изменения атмосферного давления. Лучшие маятниковые часы обеспечивали точность около секунды в год.
Точность отсчета времени маятника была превышена кварцевым кварцевым генератором, изобретенным в 1921 году, и кварцевые часы, изобретенные в 1927 году, заменили маятниковые часы как лучшие в мире хронометры. Маятниковые часы использовались в качестве эталонов времени до Второй мировой войны, хотя французская служба времени продолжала использовать их в своем официальном эталонном ансамбле до 1954 года. Маятниковые гравиметры были заменены гравиметрами «свободного падения» в 1950-х, но маятниковые инструменты продолжали использоваться в 1970-е годы.
Маятники для часов
Часы с длинным корпусом (Напольные часы) маятник 
Украшенный маятник во французских часах Комтуаза 
Маятник Меркурий 
Маятник Gridiron 
Маятник Элликотта, другой тип с температурной компенсацией 
Инвар маятник в баке низкого давления в часах регулятора Riefler, которые использовались в качестве стандарта времени США с 1909 по 1929 год 
Маятник и анкерный спуск из напольных часов 
Анимация анкерного спуска, одного из наиболее широко используемых спусков в маятниковых часах.В течение 300 лет, с момента его открытия около 1582 года до разработки кварцевые часы в 1930-х годах маятник был мировым стандартом для точного хронометража. Помимо часовых маятников, маятники с свободным ходом секунд широко использовались в качестве точных таймеров в научных экспериментах 17 и 18 веков. Маятники требуют большой механической устойчивости: изменение длины всего 0,02%, 0,2 мм в маятнике напольных часов, вызовет ошибку в минуту в неделю.
Маятники в часах ( см. пример справа) обычно изготавливаются из груза или боба (b), подвешенного на стержне из дерева или металла (а). Для уменьшения сопротивления воздуха (на которое приходится большая часть потерь энергии в точных часах) боб традиционно представляет собой гладкий диск с линзовидным поперечным сечением, хотя в старинных часах он часто имел резьбу или украшения, характерные для тип часов. В качественных часах боб делается настолько тяжелым, насколько может выдерживать подвеска и движение, поскольку это улучшает регулировку часов (см. Точность ниже). Обычный вес бобов с маятником секунд составляет 15 фунтов (6,8 кг). Вместо того, чтобы висеть на оси оси, маятники часов обычно поддерживаются короткой прямой пружиной (d) гибкой металлической ленты. Это позволяет избежать трения и «люфта», вызванного шарниром, а небольшая изгибающая сила пружины просто добавляет маятнику восстанавливающую силу. Часы высочайшей точности имеют шарниры «ножевых» лезвий, опирающихся на агатовые пластины. Импульсы, заставляющие маятник качаться, передаются рукой, висящей за маятником, называемой костылем (e), которая заканчивается вилкой (f), зубцы которой охватывают стержень маятника. Костыль перемещается вперед и назад спусковым механизмом часов, (g, h).
Каждый раз, когда маятник движется через свое центральное положение, он освобождает один зуб спускового колеса (g). Сила ходовой пружины часов или движущей силы, подвешенной на шкиве, передаваемая через зубчатую передачу часов, заставляет колесо вращаться, и зуб прижимается к одному из поддонов ( з), коротко толкнув маятник. Колеса часов, привязанные к спусковому колесу, перемещаются вперед на фиксированную величину при каждом качании маятника, перемещая стрелки часов с постоянной скоростью.
Маятник всегда имеет средства регулировки периода, обычно с помощью регулировочной гайки (c) под бобом, которая перемещает его вверх или вниз на стержне. Перемещение боба вверх уменьшает длину маятника, заставляя маятник качаться быстрее, а часы выигрывают время. Некоторые прецизионные часы имеют небольшой вспомогательный юстировочный груз на валу с резьбой на бобе для более точной регулировки. В некоторых башенных часах и точных часах используется лоток, прикрепленный к середине стержня маятника, на который можно добавлять или снимать небольшие грузы. Это эффективно смещает центр колебаний и позволяет регулировать скорость, не останавливая часы.
Маятник должен быть подвешен на жесткой опоре. Во время работы любая эластичность допускает крошечные незаметные покачивания опоры, которые нарушают период часов, что приводит к ошибке. Часы с маятником должны быть надежно прикреплены к прочной стене.
Самая распространенная длина маятника в качественных часах, которая всегда используется в старых часах, - это секундный маятник, длиной около 1 метра (39 дюймов). В каминных часах используются полусекундные маятники длиной 25 см (9,8 дюйма) или короче. Лишь в некоторых больших башенных часах используются более длинные маятники, 1,5-секундный маятник длиной 2,25 м (7,4 фута) или иногда двухсекундный маятник длиной 4 м (13 футов), который используется в Биг Бен.
Меркурийный маятник в часах астрономического регулятора Говарда, 1887 г. Самым большим источником ошибок в ранних маятниках были небольшие изменения длины из-за теплового расширения и сжатия стержня маятника при изменении температуры окружающей среды. Это было обнаружено, когда люди заметили, что маятниковые часы летом работают медленнее, на целую минуту в неделю (одним из первых был Годфрой Венделин, как сообщил Гюйгенс в 1658 году). Тепловое расширение стержней маятника было впервые изучено Жаном Пикаром в 1669 году. Маятник со стальным стержнем будет расширяться примерно на 11,3 частей на миллион (ppm) с увеличением на каждый градус Цельсия, вызывая он теряет около 0,27 секунды в день при повышении температуры на каждый градус Цельсия или 9 секунд в день при изменении температуры на 33 ° C (59 ° F). Деревянные стержни расширяются меньше, теряя всего около 6 секунд в день на изменение температуры на 33 ° C (59 ° F), поэтому качественные часы часто имеют деревянные стержни маятника. Древесину пришлось покрыть лаком, чтобы внутрь не проникал водяной пар, потому что изменение влажности также сказывалось на длине.
Первым устройством для компенсации этой ошибки был ртутный маятник, изобретенный Джорджем Грэмом в 1721 году. Жидкий металл ртуть увеличивается в объеме с температурой. В ртутном маятнике вес маятника (боб) представляет собой сосуд с ртутью. С повышением температуры стержень маятника удлиняется, но ртуть также расширяется, и уровень ее поверхности в контейнере немного поднимается, перемещая его центр масс ближе к оси маятника. При использовании правильной высоты ртути в контейнере эти два эффекта нейтрализуются, оставляя центр масс маятника и его период неизменными с температурой. Его главный недостаток состоял в том, что при изменении температуры стержень быстро достигал новой температуры, но массе ртути могло потребоваться день или два, чтобы достичь новой температуры, что привело к изменению скорости в течение этого времени. Для улучшения теплового размещения часто использовалось несколько тонких контейнеров, сделанных из металла. В 20-м веке ртутные маятники были стандартом, который использовался в точных часах-регуляторах.
Схема маятника Gridiron. A: внешняя схема. B: нормальная температура. C: более высокая температура Наиболее широко применяемым компенсированным маятником был маятник с решеткой, изобретенный в 1726 году Джоном Харрисоном. Он состоит из чередующихся стержней из двух разных металлов: один с меньшим тепловым расширением (CTE ), сталь, а другой с более высоким тепловым расширением, цинк или латунь. Стержни соединены рамой, как показано на рисунке справа, так что увеличение длины цинковых стержней толкает боб вверх, укорачивая маятник. При повышении температуры стальные стержни с низким коэффициентом расширения удлиняют маятник, а цинковые стержни с высоким коэффициентом расширения - короче. При изготовлении стержней правильной длины большее расширение цинка нейтрализует расширение стальных стержней, которые имеют большую общую длину, и маятник остается той же длины с температурой.
Маятники с решетчатой решеткой из цинка и стали состоят из 5 стержней, но тепловое расширение латуни ближе к стали, поэтому для решетчатых решеток из стали обычно требуется 9 стержней. Маятники Gridiron приспосабливаются к изменениям температуры быстрее, чем маятники ртути, но ученые обнаружили, что трение стержней, скользящих в их отверстиях в раме, заставляет маятники Gridiron настраиваться в серии крошечных скачков. В часах высокой точности из-за этого частота часов внезапно изменялась с каждым скачком. Позже было обнаружено, что цинк подвержен ползучести. По этим причинам ртутные маятники использовались в часах высочайшей точности, а гридироны использовались в часах регулятора качества.
Маятники Gridiron настолько ассоциируются с хорошим качеством, что и по сей день многие маятники обычных часов имеют декоративные «поддельные» решетки, которые фактически не имеют функции температурной компенсации.
Примерно в 1900 году были разработаны материалы с низким тепловым расширением, которые можно было использовать в качестве стержней маятника, чтобы избежать необходимости в сложной температурной компенсации. Они использовались только в нескольких часах высочайшей точности, прежде чем маятник стал устаревшим в качестве эталона времени. В 1896 году Шарль Эдуард Гийом изобрел никель сталь сплав инвар. У этого есть CTE около 0,5 мкдюймов / (в · ° F), что приводит к ошибкам маятниковой температуры свыше 71 ° F всего 1,3 секунды в день, и эту остаточную ошибку можно компенсировать до нуля с помощью нескольких сантиметры алюминия под маятником (это можно увидеть на изображении часов Riefler выше). Инварные маятники были впервые использованы в 1898 году в часах-регуляторах Riefler, точность которых составляла 15 миллисекунд в день. Пружины подвески Elinvar использовались для устранения температурных колебаний возвращающей силы пружины на маятник. Позже был использован плавленый кварц , который имел еще более низкий КТР. Эти материалы - лучший выбор для современных высокоточных маятников.
Воздействие окружающего воздуха на движущийся маятник является сложным и требует механики жидкости для точного расчета, но для большинства целей его влияние на период можно объяснить тремя эффектами:
Повышение барометрического давления увеличивает a период маятника немного из-за первых двух эффектов, примерно на 0,11 секунды в день на килопаскаль (0,37 секунды в день на дюйм ртутного столба или 0,015 секунды в день на торр ). Исследователи, использующие маятники для измерения ускорения свободного падения, должны были скорректировать период для давления воздуха на высоте измерения, вычислив эквивалентный период качания маятника в вакууме. Маятниковые часы впервые были установлены в резервуаре постоянного давления Фридрихом Тиеде в 1865 году в Берлинской обсерватории, а к 1900 году часы высочайшей точности были установлены в резервуарах, которые поддерживались при постоянном давлении, чтобы исключить изменения в атмосферное давление. В качестве альтернативы, в некоторых небольших барометрах-анероидах механизм, прикрепленный к маятнику, компенсировал этот эффект.
На маятники влияют изменения гравитационного ускорения, которое варьируется на 0,5% в разных точках Земли, поэтому точные маятниковые часы необходимо откалибровать после движения. Даже перемещение маятниковых часов на вершину высокого здания может привести к потере измеримого времени из-за уменьшения силы тяжести.
Элементы хронометража во всех часах, включая маятники, балансир, кристаллы кварца, используемые в кварцевые часы и даже колеблющиеся атомы в атомных часах в физике называются гармоническими осцилляторами. Гармонические осцилляторы используются в часах потому, что они колеблются или колеблются с определенной резонансной частотой или периодом и сопротивляются колебаниям с другими частотами. Однако резонансная частота не может быть бесконечно «резкой». Вокруг резонансной частоты находится узкая собственная полоса частот (или периодов), называемая шириной резонанса или шириной полосы, где будет колебаться гармонический осциллятор. В часах фактическая частота маятника может произвольно изменяться в пределах этой ширины резонанса в ответ на возмущения, но на частотах вне этого диапазона часы не будут работать вообще.
A Свободные маятниковые часы Shortt-Synchronome, самые точные маятниковые часы из когда-либо созданных, в музее NIST, Гейтерсбург, Мэриленд, США. Он отсчитывал время с помощью двух синхронизированных маятников. Главный маятник в вакуумном резервуаре (слева) качался практически без каких-либо помех и управлял ведомым маятником в корпусе часов (справа), который выполнял задачи по подаче импульсов и хронометражу. Его точность составляла около секунды в год. Мерой сопротивления гармонического осциллятора возмущениям в период его колебаний является безразмерный параметр, называемый добротностью, равной резонансной частоте, деленной на ширина резонанса. Чем выше добротность, тем меньше ширина резонанса и более постоянна частота или период генератора для данного возмущения. Величина, обратная Q, примерно пропорциональна предельной точности, достигаемой гармоническим осциллятором в качестве эталона времени.
Q относится к тому, как долго колебания осциллятора затухают. Q маятника можно измерить, подсчитав количество колебаний, необходимое для того, чтобы амплитуда качания маятника снизилась до 1 / e = 36,8% от его начального колебания, и умножив его на 2π.
В часах маятник должен получать толчки от движения часов, чтобы поддерживать его качание, чтобы восполнить энергию, которую маятник теряет на трение. Эти толчки, прикладываемые механизмом, называемым спусковым механизмом , являются основным источником помех для движения маятника. Q равно 2π, умноженной на энергию, запасенную в маятнике, деленную на энергию, потерянную на трение в течение каждого периода колебаний, что равно энергии, добавляемой спусковым механизмом каждый период. Можно видеть, что чем меньше доля энергии маятника, которая теряется на трение, тем меньше энергии необходимо добавить, чем меньше возмущение от спускового механизма, тем более `` независимым '' маятник от часового механизма и более постоянен его период. Q маятника определяется выражением:
где M - масса боба, ω = 2π / T - радианная частота колебаний маятника, а Γ - сила трения демпфирования маятника на единицу скорости.
ω фиксируется периодом маятника, а M ограничивается грузоподъемностью и жесткостью подвески. Таким образом, добротность часовых маятников увеличивается за счет минимизации потерь на трение. (Γ). Прецизионные маятники подвешены на шарнирах с низким коэффициентом трения, состоящих из «ножевых» краев треугольной формы, опирающихся на агатовые пластины. Около 99% потерь энергии в свободно раскачивающемся маятнике происходит из-за трения воздуха, поэтому установка маятника в вакуумном резервуаре может увеличить добротность и, следовательно, точность в 100 раз.
Количество маятников колеблется от нескольких тысяч в обычных часах до нескольких сотен тысяч у маятников прецизионных регуляторов, качающихся в вакууме. Качественные домашние маятниковые часы могут иметь добротность 10 000 и точность до 10 секунд в месяц. Наиболее точными коммерчески производимыми маятниковыми часами были маятниковые часы со свободным синхронизацией и коротким замыканием, изобретенные в 1921 году. Их главный маятник Invar, раскачивающийся в вакуумном резервуаре, имел добротность 110 000 и частоту ошибок. около секунды в год.
Их Q = 10–10 - одна из причин, по которой маятники более точные хронометры, чем балансировочные колеса в часах, с Q около 100–300, но меньше точнее, чем кристаллы кварца в кварцевых часах, с Q 10–10.
Маятники (в отличие, например, от кристаллов кварца) имеют достаточно низкую добротность, так что помехи, вызываемые импульсами, заставляющими их двигаться, обычно являются ограничивающим фактором их точности измерения времени. Следовательно, конструкция спуска , механизма, который выдает эти импульсы, имеет большое влияние на точность часового маятника. Если бы импульсы, подаваемые на маятник спусковым механизмом, каждое качание могло быть в точности идентичным, реакция маятника была бы одинаковой, а его период был бы постоянным. Однако это недостижимо; Неизбежные случайные колебания силы из-за трения поддонов часов, изменения смазки и изменения крутящего момента, создаваемого источником питания часов, когда он работает, означают, что сила импульса, прикладываемого спусковым механизмом, изменяется.
Если эти колебания силы спускового механизма вызывают изменения ширины качания маятника (амплитуды), это вызовет соответствующие незначительные изменения периода, поскольку (как обсуждалось выше) маятник с конечным ходом не является довольно изохронный. Следовательно, цель традиционной конструкции спуска состоит в том, чтобы приложить усилие с правильным профилем и в правильной точке цикла маятника, чтобы изменения силы не влияли на амплитуду маятника. Это называется изохронным спуском.
Часовщики на протяжении столетий знали, что мешающее влияние движущей силы спускового механизма на период маятника минимально, если оно дается в виде короткого импульса, когда маятник проходит через его дно. положение равновесия. Если импульс возникает до того, как маятник достигнет дна, во время нисходящего колебания, это приведет к сокращению естественного периода маятника, поэтому увеличение движущей силы уменьшит период. Если импульс возникает после того, как маятник достигает дна, во время подъема он удлиняет период, поэтому увеличение движущей силы увеличит период маятника. В 1826 году британский астроном Джордж Эйри доказал это; в частности, он доказал, что если маятник приводится в движение импульсом, который симметричен относительно его нижнего положения равновесия, период маятника не будет зависеть от изменений движущей силы. Наиболее точные спусковые механизмы, такие как простой ход, приблизительно удовлетворяют этому условию.
Наличие ускорения свободного падения g в уравнение периодичности (1) для маятника означает, что локальное ускорение свободного падения Земли может быть рассчитано по периоду маятника. Таким образом, маятник можно использовать в качестве гравиметра для измерения локальной силы тяжести, которая изменяется более чем на 0,5% по поверхности Земли. Маятник в часах возмущается толчками, которые он получает от часового механизма, поэтому использовались свободно раскачивающиеся маятники, которые были стандартными инструментами гравиметрии до 1930-х годов.
Разница между маятником часов и маятником гравиметра заключается в том, что для измерения силы тяжести необходимо измерить длину маятника, а также его период. Период свободно раскачивающихся маятников можно было определить с большой точностью, сравнив их колебания с точными часами, которые были настроены так, чтобы следить за правильным временем по прохождению звезд над головой. В ранних измерениях груз на шнуре был подвешен перед маятником часов, и его длина регулировалась до тех пор, пока два маятника не качнулись в точной синхронности. Затем измеряли длину шнура. По длине и периоду g можно рассчитать по уравнению (1).
Маятник секунд, маятник с периодом две секунды, поэтому каждое колебание занимает одну секунду Маятник секунд, маятник с периодом два секунд, поэтому каждое колебание занимает одну секунду, широко использовалось для измерения силы тяжести, поскольку его период можно было легко измерить, сравнив его с точными часами регулятора, у всех которых были секундные маятники. К концу 17 века длина секундного маятника стала стандартной мерой силы гравитационного ускорения в определенном месте. К 1700 году его длина была измерена с субмиллиметровой точностью в нескольких городах Европы. Для секундного маятника g пропорциональна его длине:
Измерение длины секундного маятника Борда и Кассини 1792 г. 
 Маятник и стойка Катера |  Измерение силы тяжести с помощью обратимого маятника Катера, из статьи Катера 1818 года |
A Kater's маятник Точность ранних измерений силы тяжести, описанных выше, была ограничена трудностью измерения длины маятника L. L была длиной идеализированного простого гравитационного маятника (описанного вверху), вся масса которого сосредоточена в точке на конце шнура. В 1673 году Гюйгенс показал, что период твердого стержневого маятника (называемого составным маятником) равен периоду простого маятника, длина которого равна расстоянию между точкой поворота и точкой, называемой точкой центр колебаний, расположенный под центром тяжести, который зависит от распределения массы вдоль маятника. Но не было точного способа определения центра колебаний реального маятника.
Чтобы обойти эту проблему, ранние исследователи, описанные выше, максимально приблизили идеальный простой маятник, используя металлическую сферу, подвешенную на легком проводе или шнуре. Если проволока была достаточно легкой, центр колебаний находился близко к центру тяжести шара, в его геометрическом центре. Этот тип маятника типа «шарик и проволока» не был очень точным, потому что он не качался как твердое тело, а из-за эластичности проволоки его длина слегка изменялась при качании маятника.
Однако Гюйгенс также доказал, что в любом маятнике точка поворота и центр колебаний взаимозаменяемы. То есть, если бы маятник был перевернут вверх дном и свисал с его центром колебаний, он имел бы тот же период, что и в предыдущем положении, а старая точка поворота была бы новым центром колебаний.
Британский физик и капитан армии Генри Катер в 1817 году понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для определения длины простого маятника с тем же периодом, что и у настоящего маятника. Если бы маятник был построен со второй регулируемой точкой поворота около дна, чтобы его можно было повесить вверх дном, а второй поворотный механизм регулировался до тех пор, пока периоды, когда подвешивание к обоим поворотам не было одинаковым, вторая точка поворота была бы в центре колебаний., а расстояние между двумя точками поворота будет длиной L простого маятника с тем же периодом.
Катер построил реверсивный маятник (показан справа), состоящий из латунного стержня с двумя противоположными шарнирами, сделанными из коротких треугольных «ножевых» лезвий (а) на каждом конце. Его можно было поворачивать с любого стержня, а лезвия ножа опирались на агатовые пластины. Вместо того чтобы регулировать один шарнир, он прикрепил их на расстоянии метра друг от друга и вместо этого отрегулировал периоды с помощью подвижного груза на стержне маятника (b, c). Во время работы маятник подвешен перед точными часами, и период отсчитывается, затем перевернут, и период снова отсчитывается. Вес регулируется регулировочным винтом до тех пор, пока периоды не сравняются. Затем указание этого периода и расстояния между шарнирами в уравнении (1) дает очень точное ускорение свободного падения g.
Катер рассчитал время качания своего маятника, используя «метод совпадений», и измерил расстояние между двумя осями с помощью микрометра. После внесения поправок на конечную амплитуду качания, плавучесть боба, атмосферное давление, высоту и температуру, он получил значение 39,13929 дюйма для секундного маятника в Лондоне, в вакууме, на уровне моря, при 62 ° F.. Наибольшее отклонение от среднего значения из его 12 наблюдений составило 0,00028 дюйма, что соответствует точности измерения силы тяжести 7 × 10 (7 мГал или 70 мкм / с ). Измерение Катера использовалось в качестве официального британского стандарта длины (см. ниже) с 1824 по 1855 год.
Обратимые маятники (известные как «конвертируемые» маятники), основанные на принципе Катера, использовались для определения абсолютной силы тяжести. измерения в 1930-е годы.
Повышенная точность, которая стала возможной благодаря маятнику Катера, помогла сделать гравиметрию стандартной частью геодезии. Поскольку точное местоположение (широта и долгота) «станции», на которой проводились гравиметрические измерения, было необходимо, гравиметрические измерения стали частью съемки, а маятники были взяты при больших геодезических съемках 18 века, в частности Великое тригонометрическое исследование Индии.
Измерение силы тяжести с помощью неизменного маятника, Мадрас, Индия, 1821 г. 
Маятник Репсольда, 1864 г. 
Маятники, использованные в гравиметрах Менденхолла, 1890 г. 
Кварцевые маятники, использованные в гравиметре Персидского залива, 1929 г. На смену относительным маятниковым гравиметрам пришел более простой пружинный гравиметр нулевой длины LaCoste, изобретенный в 1934 году Люсьеном ЛаКостом. Абсолютные (обратимые) маятниковые гравиметры были заменены в 1950-х годах гравиметрами свободного падения, в которых груз может падать в вакуумный резервуар, а его ускорение измеряется оптическим интерферометром.
Поскольку ускорение свободного падения постоянно в данной точке на Земле, период простого маятника в данном месте зависит только от его длины. Кроме того, сила тяжести в разных местах меняется незначительно. Практически с момента открытия маятника до начала 19 века это свойство побудило ученых предложить использовать маятник определенного периода в качестве эталона длины.
. До 19 века страны основывали свои системы измерения длины прототипов, металлических стержней первичных эталонов, таких как эталон ярд в Великобритании, хранящийся в здании парламента, и эталон туаз во Франции, хранится в Париже. Они были уязвимы для повреждения или разрушения на протяжении многих лет, и из-за сложности сравнения прототипов один и тот же блок часто имел разную длину в отдаленных городах, что создавало возможности для мошенничества. Во время Просвещения ученые выступали за стандарт длины, основанный на некотором свойстве природы, которое можно было определить путем измерения, создавая нерушимый универсальный стандарт. Период маятников можно было очень точно измерить, отсчитывая их по часам, установленным по звездам. Стандарт маятника заключался в определении единицы длины по гравитационной силе Земли, по сути, постоянной, а секунда, которая определялась скоростью вращения Земли, также постоянной. Идея заключалась в том, что любой, где угодно на Земле, мог бы воссоздать эталон, построив маятник, который качался с определенным периодом, и измерив его длину.
Практически все предложения были основаны на секундном маятнике, в котором каждое колебание (половина периода ) занимает одну секунду, что составляет около метра (39 дюймов). долго, потому что к концу 17 века он стал эталоном для измерения силы тяжести (см. предыдущий раздел). К 18 веку его длина была измерена с точностью до миллиметра в ряде городов Европы и по всему миру.
Первоначальная привлекательность эталона длины маятника заключалась в том, что считалось (ранними учеными, такими как Гюйгенс и Рен), что гравитация постоянна над поверхностью Земли, поэтому данный маятник имел одинаковый период в любой точке на Земля. Таким образом, длину стандартного маятника можно измерить в любом месте и не привязать к какой-либо стране или региону; это был бы поистине демократический мировой стандарт. Хотя Ричер в 1672 году обнаружил, что сила тяжести изменяется в разных точках земного шара, идея эталона длины маятника оставалась популярной, поскольку было обнаружено, что сила тяжести изменяется только с широтой. Ускорение свободного падения плавно увеличивается от экватора к полюсам из-за сжатой формы Земли, поэтому на любой заданной широте (линия восток-запад) гравитация была достаточно постоянной, чтобы длина секундного маятника была такой же в пределах измерительных возможностей 18 века. Таким образом, единицу длины можно определить на данной широте и измерить в любой точке на этой широте. Например, эталон маятника, определенный на 45 ° северной широты, популярный выбор, может быть измерен в некоторых частях Франции, Италии, Хорватии, Сербии, Румынии, России, Казахстана, Китая, Монголии, США и Канады. Кроме того, его можно было воссоздать в любом месте, где было точно измерено ускорение свободного падения.
К середине 19 века все более точные измерения маятника, выполненные Эдвардом Сабином и Томасом Янгом, показали, что сила тяжести и, следовательно, длина любого эталона маятника изменяется в зависимости от местные геологические особенности, такие как горы и плотные подземные породы. Таким образом, эталон длины маятника должен был быть определен в одной точке на Земле, и его можно было измерить только там. Это потребовало значительной части привлекательности концепции, и попытки принять маятниковые стандарты были оставлены.
Одним из первых, кто предложил определять длину с помощью маятника, был фламандский ученый Исаак Бикман, который в 1631 году рекомендовал сделать секундный маятник «неизменной мерой для всех». люди всегда и везде ». Марин Мерсенн, который впервые измерил секундный маятник в 1644 году, также предложил это. Первое официальное предложение по стандарту маятника было сделано Британским Королевским обществом в 1660 году, его поддержали Христиан Гюйгенс и Оле Рёмер, основываясь на работе Мерсенна. и Гюйгенс в Horologium Oscillatorium предложил «хорарную ногу», определяемую как 1/3 секундного маятника. Кристофер Рен был еще одним ранним сторонником. Идея маятникового эталона длины, должно быть, была знакома людям еще в 1663 году, потому что Сэмюэл Батлер высмеивает ее в Hudibras :
В 1671 году Жан Пикар предложил определение маятника » универсальная ступня »в его влиятельном« Mesure de la Terre ». Габриэль Мутон около 1670 года предложил определять туаз либо секундным маятником, либо минутой земного градуса. План полной системы единиц, основанной на маятнике, был выдвинут в 1675 году итальянским эрудитом Тито Ливио Бурратини. Во Франции в 1747 году географ Шарль Мари де ла Кондамин предложил определять длину секундным маятником на экваторе; так как в этом месте качание маятника не будет искажено вращением Земли. Джеймс Стюарт (1780) и Джордж Скин Кейт также были сторонниками.
К концу 18 века, когда многие страны реформировали свои системы измерения и измерения, секундный маятник стал основным выбором для нового определения длины., за которую выступают выдающиеся ученые в нескольких крупных странах. В 1790 году тогдашний государственный секретарь США Томас Джефферсон предложил Конгрессу исчерпывающую десятичную "метрическую систему" США, основанную на секундном маятнике на 38 ° северной широты, средней широте Соединенных Штатов. Никаких действий по этому предложению принято не было. В Великобритании ведущим сторонником маятника был политик Джон Риггс Миллер. Когда в 1790 году его усилия по продвижению совместной британо-французско-американской метрической системы провалились, он в Лондоне предложил британскую систему, основанную на длине секундного маятника. Этот стандарт был принят в 1824 году (см. Ниже).
В дискуссиях, приведших к принятию во Франции метрической системы в 1791 году, главным кандидатом на определение новой единицы длины, метр - секундный маятник на 45 ° северной широты. Его отстаивала группа, возглавляемая французским политиком Талейраном и математиком Антуаном Николя Карита де Кондорсе. Это был один из трех последних вариантов, рассмотренных комитетом Французской академии наук. Однако 19 марта 1791 года комитет вместо этого решил основать метр на длине меридиана через Париж. Определение маятника было отклонено из-за его изменчивости в разных местах и из-за того, что оно определяло длину как единицу времени. (Однако с 1983 года метр был официально определен как длина секунды и скорость света.) Возможной дополнительной причиной является то, что радикальная Французская академия не хотела основывать свою новую систему на секунде, традиционная и недесятичная единица из старого режима.
Хотя и не определяется маятником, окончательная длина, выбранная для метра, 10 от полюса до экватора дуги меридиана, была очень близка к длина секундного маятника (0,9937 м) в пределах 0,63%. Хотя в то время не было указано никаких причин для этого конкретного выбора, вероятно, он должен был облегчить использование секундного маятника в качестве вторичного эталона, как было предложено в официальном документе. Таким образом, стандартная единица измерения длины в современном мире, безусловно, исторически тесно связана с секундным маятником.
Великобритания и Дания, кажется, единственные страны, которые (на короткое время) основывали свои единицы длины на маятнике. В 1821 году датский дюйм был определен как 1/38 длины маятника средней солнечной секунды на 45 ° широты на меридиане Скаген, на уровне моря, в вакууме. Британский парламент принял Закон об имперских мерах и весах в 1824 году, реформу британской стандартной системы, которая объявила, что если прототип стандарта ярд будет уничтожен, он будет восстановлен путем определения дюйма так, что длина маятника солнечных секунд в Лондоне на уровне моря в вакууме при 62 ° F составляла 39,1393 дюйма. Это также стало стандартом США, поскольку в то время США использовали британские меры. Однако, когда верфь прототипа была потеряна в 1834 г. в результате пожара в здании парламента, оказалось невозможным точно воссоздать ее по определению маятника, и в 1855 г. Великобритания отменила стандарт маятника и вернулась к стандартам прототипа.
Маятник, стержень которого не вертикальный, а почти горизонтальный, использовался в ранних сейсмометрах для измерения подземных толчков. Боб маятника не двигается при его установке, и разница в перемещениях фиксируется на диаграмме ударных.
Как впервые объяснил Максимилиан Шулер в статье 1923 года, маятник, период которого точно равен периоду обращения гипотетического спутника, вращающегося над поверхностью Земли. Земля (около 84 минут) будет иметь тенденцию оставаться направленной в центр Земли, когда ее опора внезапно смещается. Этот принцип, называемый настройкой Шулера, используется в инерциальных системах наведения на кораблях и самолетах, которые работают на поверхности Земли. Никакой физический маятник не используется, но система управления , которая поддерживает инерциальную платформу , содержащую гироскопы, стабильной, модифицируется так, что устройство действует так, как будто оно прикреплено к такому маятник, удерживающий платформу всегда обращенной вниз, когда транспортное средство движется по искривленной поверхности Земли.
Повторение эксперимента Гюйгенса, показывающее синхронизацию двух часов В 1665 году Гюйгенс сделал любопытное наблюдение о маятниковых часах. На его накидке были помещены два часа, и он отметил, что они приобрели противоположный ход. То есть их маятники бились в унисон, но в противоположном направлении; 180 ° сдвинут по фазе. Он обнаружил, что независимо от того, как были запущены два часа, они в конечном итоге вернутся в это состояние, что сделало первое зарегистрированное наблюдение связанного осциллятора.
Причина такого поведения заключалась в том, что два маятника влияли друг на друга. легкими движениями поддерживающей мантии. Этот процесс в физике называется увлечением или синхронизацией мод и наблюдается в других связанных осцилляторах. Синхронизированные маятники использовались в часах и широко использовались в гравиметрах в начале 20 века. Хотя Гюйгенс наблюдал только синфазную синхронизацию, недавние исследования показали наличие синфазной синхронизации, а также "смертельных" состояний, когда один или оба часа останавливаются.
Маятник в Столичный собор в Мехико. Движение маятника также появляется в религиозных церемониях. Качающаяся курильница, называемая кадило, также известная как кадило, является примером маятника. Маятники также можно увидеть на многих собраниях в восточной части Мексики, где они отмечают поворот приливов в день, когда приливы достигают своей высшей точки. См. Также маятники для гадания и биолокации.
Маятники широко используются в естественнонаучном образовании в качестве примера гармонического осциллятора для обучения динамика и колебательное движение. Одно из применений - продемонстрировать закон сохранения энергии. Тяжелый предмет, например шар для боулинга или разрушительный шар прикреплен к веревке. Затем груз перемещается на расстояние нескольких дюймов от лица добровольца, затем отпускается, позволяя ему повернуться и вернуться. В большинстве случаев вес меняет направление, а затем возвращается (почти) в то же положение, что и исходное место выброса, то есть на небольшое расстояние от лица добровольца, оставляя добровольца невредимым. Иногда доброволец получает травму, если либо доброволец не стоит на месте, либо маятник сначала отпускается толчком (так, чтобы, когда он возвращается, он выходит за пределы отпущенного положения).
Утверждается, что маятник использовался в качестве инструмента пыток и казни Испанской инквизицией В 18 веке. Обвинение содержится в книге 1826 года «История инквизиции Испании» испанского священника, историка и либерального активиста Хуана Антонио Льоренте. Качающийся маятник, острие которого представляет собой лезвие ножа, медленно опускается к связанному заключенному, пока не врежется в его тело. Этот метод пыток стал известен в народе благодаря рассказу американского автора Эдгара Аллана По «Яма и маятник » 1842 года, но существует значительный скептицизм по поводу его использования.
Большинство осведомленных источников скептически относятся к тому, что эта пытка действительно применялась. Единственным доказательством его использования является один абзац в предисловии к «Истории Льоренте» 1826 года, в котором рассказывается из вторых рук одного заключенного, освобожденного из мадридской темницы инквизиции в 1820 году, который якобы описал метод пыток с помощью маятника. Современные источники указывают, что из-за призывов Иисуса к кровопролитию инквизиторам разрешалось использовать только методы пыток, не проливающие крови, и метод маятника нарушил бы это ограничение. Одна теория состоит в том, что Льоренте неправильно понял рассказ, который он услышал; на самом деле заключенный имел в виду другую распространенную пытку инквизиции, strappado (гарруча), при которой руки заключенного связаны за спиной и его поднимают с пола на веревке, привязанной к его рукам. Этот метод был также известен как «маятник». Популярная история ужасов По и осведомленность общественности о других жестоких методах инквизиции сохранили миф об этом сложном методе пыток.
Величина g, отраженная периодом маятника, варьируется от места к месту. Гравитационная сила изменяется с расстоянием от центра Земли, то есть с высотой, или, поскольку форма Земли сплющенная, g изменяется с широтой. Более важная причина этого снижения g на экваторе заключается в том, что экватор вращается со скоростью один оборот в день, поэтому ускорение гравитационной силы частично компенсируется центробежной силой.
Примечание: большинство приведенных ниже источников, включая книги, можно просмотреть в Интернете по указанным ссылкам.
СМИ, относящиеся к маятникам на Wikimedia Commons
