Сферический маятник

редактировать

Сферический маятник: углы и скорости.

В физике сферический маятник является аналогом маятника более высокой размерности. Он состоит из массы м, движущейся без трения по поверхности сферы. Единственными силами, действующими на массу, являются реакция со стороны сферы и гравитация.

. Из-за сферической геометрии задачи сферические координаты используются для описания положения массы в терминах (r, θ, φ), где r фиксировано, r = l.

Содержание

1 Лагранжева механика
2 Гамильтонова механика
3 Траектория
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Лагранжева механика

Обычно, чтобы записать кинетический $T = 1 2 mv 2 {\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$ ${\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$ и потенциал $V {\ displaystyle V}$ $V$ части лагранжиана $L = T - V {\ displaystyle L = TV}$ $L = TV$ в произвольных обобщенных координатах положение массы выражается по декартовым осям. Здесь, следуя соглашениям, показанным на диаграмме,

x = l sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\ displaystyle x = l \ sin \ theta \ cos \ phi}

{\ displaystyle x = l \ sin \ theta \ cos \ phi}

y = l sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ { \ displaystyle y = l \ sin \ theta \ sin \ phi}

{\ displaystyle y = l \ sin \ theta \ sin \ phi}

z = l (1 - cos ⁡ θ) {\ displaystyle z = l (1- \ cos \ theta)}

{\ displaystyle z = l (1- \ cos \ theta)}

Затем производные по времени от эти координаты берутся, чтобы получить скорости по осям

x ˙ = l cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ θ ˙ - l sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ϕ ˙ {\ displaystyle {\ dot {x}} = l \ cos \ theta \ cos \ phi \, {\ dot {\ theta}} - l \ sin \ theta \ sin \ phi \, {\ dot {\ phi}}}

{\ displaystyl e {\ dot {x}} = l \ cos \ theta \ cos \ phi \, {\ dot {\ theta}} - l \ sin \ theta \ sin \ phi \, {\ dot {\ phi}}}

y ˙ = l cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ θ ˙ - l грех ⁡ θ соз ⁡ ϕ ϕ ˙ {\ displaystyle {\ dot {y}} = l \ cos \ theta \ sin \ phi \, {\ dot {\ theta}} - l \ sin \ theta \ cos \ фи \, {\ точка {\ фи}}}

{\ displaystyle {\ dot {y}} = l \ cos \ theta \ sin \ phi \, {\ dot {\ theta}} - l \ sin \ theta \ cos \ phi \, {\ dot {\ phi}}}

z ˙ = l грех ⁡ θ θ ˙ {\ displaystyle {\ dot {z}} = l \ sin \ theta \, {\ dot {\ theta} }}

{\ displaystyle {\ dot {z}} = l \ sin \ theta \, {\ dot { \ theta}}}

Таким образом,

v 2 = x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 = l 2 (θ ˙ 2 + sin 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2) {\ displaystyle v ^ {2} = { \ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} = l ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta} } ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle v ^ {2} = {\ dot { x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} = l ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ { 2} + \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right)}

T = 1 2 mv 2 = 1 2 ml 2 (θ ˙ 2 + sin 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2) {\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right)}

V = mgz = mgl (1 - cos ⁡ θ) {\ displaystyle V = mg \, z = mg \, l (1- \ cos \ theta)}

{\ displaystyle V = mg \, z = mg \, l (1- \ cos \ theta)}

Лагранжиан с константой части удалены, составляет

L = 1 2 ml 2 (θ ˙ 2 + sin 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2) + mgl cos ⁡ θ. {\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) + mgl \ cos \ theta.}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ {\ точка {\ phi}} ^ {2} \ right) + mgl \ cos \ theta.}

Уравнение Эйлера – Лагранжа с использованием полярного угла $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$

ddt ∂ ∂ θ ˙ L - ∂ ∂ θ L = 0 {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} L - {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} L = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ theta}} }} L - {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} L = 0}

дает

ddt (ml 2 θ ˙) - ml 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ϕ ˙ 2 + mgl sin ⁡ θ = 0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ right) -ml ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta {\ dot {\ phi }} ^ {2} + mgl \ sin \ theta = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ right) -ml ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} + mgl \ sin \ theta = 0}

θ ¨ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ ϕ ˙ 2 - gl sin ⁡ θ {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = \ sin \ theta \ cos \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} - {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta}

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta} }} = \ sin \ theta \ cos \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} - {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta}

Когда $ϕ ˙ = 0 {\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = 0}$ уравнение сводится к дифференциальному уравнению для движения простого гравитационного маятника.

Аналогично, Уравнение Эйлера – Лагранжа с азимутальной muth $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ,

ddt ∂ ∂ ϕ ˙ L - ∂ ∂ ϕ L = 0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} L - {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} L = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} L - {\ гидроразрыв {\ partial} {\ partial \ phi}} L = 0}

дает

ddt (ml 2 sin 2 ⁡ θ ϕ ˙) = 0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ phi}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (ml ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta \, {\ dot {\ phi}} \ right) = 0}

Последний уравнение показывает, что угловой момент вокруг вертикальной оси, $| L z | знак равно l грех ⁡ θ × ml грех ⁡ θ ϕ ˙ {\ displaystyle | \ mathbf {L} _ {z} | = l \ sin \ theta \ times ml \ sin \ theta \, {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {L} _ {z} | = l \ sin \ theta \ times ml \ sin \ theta \, {\ точка {\ phi}}}$ сохраняется. Азимут $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , отсутствующий в лагранжиане, является циклической координатой, что означает, что его сопряженный импульс является постоянная движения.

конический маятник относится к специальным решениям, где $θ ˙ = 0 {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot { \ theta}} = 0}$ и $ϕ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$ ${\ dot \ phi}$ - константа, не зависящая от времени.

Гамильтонова механика

Гамильтониан равен

H = P θ θ ˙ + P ϕ ϕ ˙ - L {\ displaystyle H = P _ {\ theta} {\ dot {\ theta} } + P _ {\ phi} {\ dot {\ phi}} - L}

H = P _ {\ theta} {\ dot {\ theta }} + P _ {\ phi} {\ dot {\ phi}} - L

где сопряженные импульсы равны

P θ = ∂ L ∂ θ ˙ = ml 2 θ ˙ {\ displaystyle P _ {\ theta} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} = ml ^ {2} {\ dot {\ theta}}}

{\ displaystyle P _ {\ theta} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} = ml ^ {2} {\ dot {\ theta}}}

P ϕ = ∂ L ∂ ϕ ˙ знак равно ml 2 грех 2 θ ϕ ˙ {\ displaystyle P _ {\ phi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} = ml ^ {2} \ sin ^ {2 } \! \ theta \, {\ dot {\ phi}}}

{\ displaystyle P _ {\ phi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ phi }}}} = ml ^ {2} \ sin ^ {2} \! \ theta \, {\ dot {\ phi}}}

В терминах координат и импульсов это читается как

$H = [1 2 ml 2 θ ˙ 2 + 1 2 ml 2 sin 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2] ⏟ T + [- mgl cos ⁡ θ] ⏟ V = P θ 2 2 мл 2 + P ϕ 2 2 ml 2 sin 2 ⁡ θ - mgl cos ⁡ θ {\ displaystyle H = \ underbrace {{\ Big [ } {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} {\ Big]}} _ {T} + \ underbrace {{\ Big [} -mgl \ cos \ theta {\ Big]}} _ {V} = {P _ {\ theta} ^ {2} \ over 2ml ^ {2}} + {P _ {\ phi} ^ {2} \ over 2ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} -mgl \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle H = \ underbrace {{\ Big [} {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} {\ Big]} } _ {T} + \ underbrace {{\ Big [} -mgl \ cos \ theta {\ Big]}} _ {V} = {P _ {\ theta} ^ {2} \ over 2ml ^ {2}} + {P _ {\ phi} ^ {2} \ over 2ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} -mgl \ cos \ theta}$

уравнение Гамильтона дадут временную эволюцию координат и импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка

θ ˙ = P θ ml 2 {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {P _ {\ theta} \ over ml ^ {2 }}}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {P_ {\ theta} \ over ml ^ {2}}}

ϕ ˙ = P ϕ ml 2 sin 2 ⁡ θ {\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = {P _ {\ phi} \ over ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta }}

{\ displaystyle {\ точка {\ phi}} = {P _ {\ phi} \ over ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}

P θ ˙ = P ϕ 2 ml 2 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ - mgl sin ⁡ θ {\ displaystyle {\ dot {P _ {\ theta}}}} = {P _ {\ phi} ^ {2 } \ over ml ^ {2} \ sin ^ {3} \ theta} \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}

{\ displaystyle {\ dot {P _ {\ theta}}}} = {P_ {\ phi} ^ {2} \ over ml ^ {2} \ sin ^ {3} \ theta} \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}

P ϕ ˙ = 0 {\ displaystyle {\ dot {P _ {\ phi}}} = 0}

{\ displaystyle {\ точка {P _ {\ phi}}} = 0}

Импульс $P ϕ {\ displaystyle P _ {\ phi}}$ ${\ displaystyle P _ {\ phi}}$ - постоянная движения. Это следствие вращательной симметрии системы относительно вертикальной оси.

Траектория

Траектория сферического маятника.

Траектория массы на сфере может быть получена из выражения для полной энергии

E = [1 2 ml 2 θ ˙ 2 + 1 2 мл 2 грех 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2] ⏟ T + [- mgl cos ⁡ θ] ⏟ V {\ displaystyle E = \ underbrace {{\ Big [} {\ frac {1} {2}} ml ^ { 2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} {\ Big]}} _ {T} + \ underbrace {{\ Big [} -mgl \ cos \ theta {\ Big]}} _ {V}}

{\ displaystyle E = \ underbrace {{\ Big [} {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} {\ Big]}} _ {T} + \ underbrace {{\ Big [} -mgl \ cos \ theta {\ Big]}} _ {V}}

, отметив, что вертикальная составляющая углового момента $L z = ml 2 sin 2 θ ϕ ˙ {\ displaystyle L_ {z} = ml ^ {2} \ sin ^ {2} \! \ Theta \, {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle L_ {z} = ml ^ {2} \ sin ^ {2} \! \ Theta \, {\ dot {\ phi}}}$ - постоянная движения, не зависящая от времени.

Следовательно,

E = 1 2 ml 2 θ ˙ 2 + 1 2 L z 2 ml 2 sin 2 ⁡ θ - mgl cos ⁡ θ {\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ { 2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} - mgl \ cos \ theta}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac { 1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} - mgl \ cos \ theta}

(d θ dt) 2 = 2 ml 2 [E - 1 2 L z 2 ml 2 sin 2 ⁡ θ + mgl соз ⁡ θ] {\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ rig ht) ^ {2} = {\ frac {2} {ml ^ {2}}} \ left [E - {\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} { ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + mgl \ cos \ theta \ right]}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2 } {ml ^ {2}}} \ left [E - {\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + mgl \ cos \ theta \ right]}

, что приводит к эллиптическому интегралу первого рода для $θ { \ displaystyle \ theta}$ $\ theta$

t (θ) = 1 2 мл 2 ∫ [E - 1 2 L z 2 мл 2 sin 2 ⁡ θ + mgl cos ⁡ θ] - 1 2 d θ {\ displaystyle t (\ theta) = {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2}}} \ int \ left [E - {\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ { 2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + mgl \ cos \ theta \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \, d \ theta}

{\ displaystyle t (\ theta) = {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} }} \ int \ left [E - {\ frac {1} {2 }} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + mgl \ cos \ theta \ right] ^ {- {\ frac {1} { 2}}} \, d \ theta}

и эллиптический интеграл третьего рода для $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$

ϕ (θ) = L zl 2 m ∫ sin - 2 ⁡ θ [E - 1 2 L z 2 ml 2 sin 2 ⁡ θ + mgl соз ⁡ θ] - 1 2 d θ {\ displaystyle \ phi (\ theta) = {\ frac {L_ {z}} {l {\ sqrt {2m}}}} \ int \ sin ^ {- 2} \ theta \ left [E - {\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + mgl \ cos \ theta \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \, d \ theta}

{\ displaystyle \ phi (\ theta) = {\ frac {L_ {z}} {l {\ sqrt {2m}}}} \ int \ sin ^ {- 2} \ theta \ l eft [E - {\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + mgl \ cos \ theta \ справа] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \, d \ theta}

Угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ лежит между два круга широты, где

E>1 2 L z 2 ml 2 sin 2 ⁡ θ - m gl cos ⁡ θ {\ displaystyle E>{\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} - mgl \ cos \ theta}

E>{\ frac {1} {2}} {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} -mgl \ cos \ theta

. 277>См. Также

Литература

^ Ландау, Лев Давидович; Евгений Михайлович Лифшиц (1976). Курс теоретической физики: Том 1 Механика. Баттерворт-Хайненанн. С. 33–34. ISBN 0750628960.

Дополнительная литература

Вайнштейн, Александр (1942). «Сферический маятник и сложная интеграция». Американский математический ежемесячник. 49 (8): 521–523. doi : 10.1080 / 00029890.1942.11991275.
Кон, Уолтер (1946). «Интеграция Countour в теории сферического маятника и тяжелого симметричного волчка». Труды Американского математического общества. 59 (1): 107–131. DOI : 10.2307 / 1990314. JSTOR 1990314.
Олссон, М.Г. (1981). «Снова о сферическом маятнике». Американский журнал физики. 49 (6): 531–534. Bibcode : 1981AmJPh..49..531O. doi : 10.1119 / 1.12666.
Хорозов, Эмиль (1993). «Об изоэнергетической невырожденности сферического маятника». Physics Letters A. 173 (3): 279–283. Bibcode : 1993PhLA..173..279H. doi : 10.1016 / 0375-9601 (93) 90279-9.
Ширяев, А. С.; Ludvigsen, H.; Эгеланн, О. (2004). «Раскачивание сферического маятника за счет стабилизации его первых интегралов». Automatica. 40 : 73–85. doi : 10.1016 / j.automatica.2003.07.009.
Эссен, Ханно; Апазидис, Николай (2009). «Поворотные точки сферического маятника и золотой пайки». Европейский журнал физики. 30 (2): 427–432. Bibcode : 2009EJPh... 30..427E. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 30/2/021.
Дуллин, Холгер Р. (2013). «Полуглобальные симплектические инварианты сферического маятника». Журнал дифференциальных уравнений. 254 (7): 2942–2963. doi :10.1016/j.jde.2013.01.018.