Маятник (математика)

редактировать

A маятник - это тело, подвешенное на неподвижной опоре, так что оно свободно качается назад и вперед под действием силы тяжести. Когда маятник смещается в сторону от своего положения покоя, равновесия, он подвергается действию восстанавливающей силы из-за силы тяжести, которая ускоряет его обратно к положению равновесия. При отпускании восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, раскачивая его назад и вперед. Математика маятников в целом довольно сложна. Можно сделать упрощающие предположения, которые в случае простого маятника позволяют аналитически решать уравнения движения для малоугловых колебаний.

Содержание

  • 1 Простой гравитационный маятник
  • 2 Малоугловое приближение
    • 2.1 Практическое правило для длины маятника
  • 3 Период произвольной амплитуды
    • 3.1 Полиномиальное решение Лежандра для эллиптического интеграла
    • 3.2 Решение степенного ряда для эллиптического интеграла
    • 3.3 Решение среднего арифметико-геометрического для эллиптического интеграла
  • 4 Приближенные формулы для периода нелинейного маятника
  • 5 Угловое смещение произвольной амплитуды Ряд Фурье
  • 6 Примеры
  • 7 Составной маятник
  • 8 Физическая интерпретация воображаемого периода
  • 9 Связанный маятник
  • 10 См. Также
  • 11 Ссылки
  • 12 Дополнительная литература
  • 13 Внешние ссылки

Простой гравитационный маятник

Анимация маятника, показывающая векторы скорости и ускорения.

Простой гравитационный маятник - это идеализированная математическая модель реального маятника. Это груз (или bob ) на конце безмассового шнура, подвешенного на оси, без трения. Поскольку в этой модели нет потерь энергии на трение, при начальном смещении он будет качаться вперед и назад с постоянной амплитудой . Модель основана на этих предположениях.

  • Стержень или шнур, на котором качается боб, безмассовый, нерастяжимый и всегда остается натянутым;
  • Боб - это точечная масса;
  • Движение происходит только в двухмерном, то есть боб имеет не эллипс, а дугу.
  • Движение не теряет энергию из-за трения или сопротивление воздуха.
  • Гравитационное поле однородно.
  • Опора не движется.

Дифференциальное уравнение , которое представляет движение простого маятника, равно

d 2 θ dt 2 + g ℓ грех ⁡ θ = 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0}{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0}Ур. 1

где g - ускорение свободного падения, l - длина маятника, а θ - угловое смещение.

Вывод "силы" из (Уравнение 1 ) Рис. 1. Силовая диаграмма простого гравитационного маятника.

Рассмотрим Рисунок 1 справа, на котором показаны действующие силы на простом маятнике. Обратите внимание, что путь маятника охватывает дугу окружности. Угол θ измеряется в радианах, и это имеет решающее значение для этой формулы. Синий стрелка - это сила тяжести, действующая на боб, а фиолетовые стрелки - это та же сила, разделенная на составляющие, параллельные и перпендикулярные мгновенному движению боба. Направление мгновенной скорости боба всегда указывает на красную ось, которая считается касательной, поскольку ее направление всегда касается окружности. Рассмотрим второй закон Ньютона,

F = ma {\ displaystyle F = ma}F=ma

где F - сумма сил, действующих на объект, m - масса, а a - ускорение. Поскольку нас интересуют только изменения скорости, и поскольку боб вынужден оставаться в круговом р ath, мы применяем уравнение Ньютона только к касательной оси. Короткая фиолетовая стрелка представляет компонент гравитационной силы по касательной оси, и для определения ее величины можно использовать тригонометрию. Таким образом,

F = - mg sin ⁡ θ = ma, поэтому a = - g sin ⁡ θ, {\ displaystyle {\ begin {align} F = - mg \ sin \ theta = ma, \ qquad {\ text { so}} \\ a = - g \ sin \ theta, \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}F=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a=-g\sin \theta,\end{aligned}}}

где g - ускорение свободного падения у поверхности земли. Отрицательный знак в правой части означает, что θ и a всегда направлены в противоположные стороны. Это имеет смысл, потому что, когда маятник движется дальше влево, мы ожидаем, что он снова ускорится вправо.

Это линейное ускорение a вдоль красной оси может быть связано с изменением угла θ по формулам длины дуги; s - длина дуги:

s = ℓ θ, v = dsdt = ℓ d θ dt, a = d 2 sdt 2 = ℓ d 2 θ dt 2, {\ displaystyle {\ begin {align} s = \ ell \ theta, \\ v = {\ frac {ds} {dt}} = \ ell {\ frac {d \ theta} {dt}}, \\ a = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} = \ ell {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}, \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}s=\ell \theta,\\v={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}

таким образом:

ℓ d 2 θ dt 2 Знак равно - g грех ⁡ θ, d 2 θ dt 2 + g ℓ sin ⁡ θ = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ ell {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2} }} = - g \ sin \ theta, \\ {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0. \ End {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.\end{aligned}}}
Вывод "крутящего момента" для (Уравнение 1 )

Уравнение (1) может быть получено с использованием двух определений для крутящего момента.

τ = r × F = d L dt. {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}}.}{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}.}

Сначала начните с определения крутящего момента на маятнике с помощью силы тяжести.

τ = l × F g, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {l} \ times \ mathbf {F} _ {\ mathrm {g}},}{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {l} \ times \ mathbf {F} _ {\ mathrm {g}},}

где l - вектор длины p endulum, а Fg- сила тяжести.

А пока просто рассмотрим величину крутящего момента на маятнике.

| τ | = - mg ℓ sin ⁡ θ, {\ displaystyle | {\ boldsymbol {\ tau}} | = -mg \ ell \ sin \ theta,}{\displaystyle |{\boldsymbol {\tau }}|=-mg\ell \sin \theta,}

где m - масса маятника, g - ускорение, вызванное гравитации, l - длина маятника, а θ - угол между вектором длины и силой тяжести.

Затем перепишите угловой момент.

L = r × p = m r × (ω × r). {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = m \ mathbf {r} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}).}{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r } \ times \ mathbf {p} = m \ mathbf {r} \ tim es ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}).}

Опять же просто рассмотрим величину углового момента.

| L | знак равно м г 2 ω знак равно м ℓ 2 д θ д т. {\ displaystyle | \ mathbf {L} | = mr ^ {2} \ omega = m \ ell ^ {2} {\ frac {d \ theta} {dt}}.}{\ displaystyle | \ mathbf {L} | = mr ^ {2} \ omega = m \ ell ^ {2} {\ frac {d \ theta} {dt} }.}

и его производная по времени

ddt | L | знак равно м ℓ 2 d 2 θ dt 2, {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} | \ mathbf {L} | = m \ ell ^ {2} {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}},}{\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\mathbf {L} |=m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}

Согласно τ = d L / dt, мы можем получить, сравнивая величины

- mg ℓ sin ⁡ θ знак равно м ℓ 2 d 2 θ dt 2, {\ displaystyle -mg \ ell \ sin \ theta = m \ ell ^ {2} {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}, }{\displaystyle -mg\ell \sin \theta =m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}

таким образом:

d 2 θ dt 2 + g ℓ sin ⁡ θ = 0, {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0,}{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,}

, что совпадает с результатом, полученным с помощью анализа сил.

"Энергетический" вывод (Уравнение 1 ) Рис. 2. Тригонометрия простого гравитационного маятника.

Его также можно получить с помощью сохранения механических Энергия принцип: любой объект, падающий на вертикальное расстояние h {\ displaystyle h}h, получит кинетическую энергию, равную той, которую он потерял при падении. Другими словами, гравитационный потенциал энергия преобразуется в кинетическую энергию. Изменение потенциальной энергии выражается как

Δ U = mgh. {\ Displaystyle \ Delta U = mgh. \,}{\displaystyle \Delta U=mgh.\,}

Изменение кинетической энергия (тело стартовало из состояния покоя) задается как

Δ K = 1 2 mv 2. {\ displaystyle \ Delta K = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}.}{\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}

Поскольку нет энергия теряется, выигрыш в одном должен быть равен потерям в другом

1 2 mv 2 = mgh. {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2} = mgh. \, }{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.\,}

Изменение скорости при заданном изменении высоты можно выразить как

v = 2 gh. {\ Displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}. \,}{\ displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}. \,}

Использование формулы длины дуги выше этого уравнение можно переписать в виде dθ / dt:

v = ℓ d θ dt = 2 gh, поэтому d θ dt = 2 ghl, {\ displaystyle {\ begin {align} v = \ ell {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ sqrt {2gh}}, \ quad {\ text {so}} \\ {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ frac {\ sqrt {2gh }} {l}}, \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\sqrt {2gh}}{l}},\end{aligned}}}

где h - вертикальное расстояние, на которое маятник упал. Посмотрите на рисунок 2, на котором представлена ​​тригонометрия простого маятника. Если маятник начинает качаться с некоторого начального угла θ 0, тогда y 0, вертикальное расстояние от винта, определяется как

y 0 = ℓ cos ⁡ θ 0. {\ displaystyle y_ {0} = \ ell \ cos \ theta _ {0}. \,}{\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.\,}

Аналогично, для y 1 мы имеем

y 1 = ℓ cos ⁡ θ. {\ displaystyle y_ {1} = \ ell \ cos \ theta. \,}{\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta.\,}

Тогда h - разность двух

h = ℓ (cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0). {\ displaystyle h = \ ell \ left (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0} \ right).}{\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}

В терминах dθ / dt дает

d θ dt = 2 g ℓ (cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0). {\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}}.}{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.}Ур. 2

Это уравнение известно как первый интеграл движения, оно дает скорость с точки зрения местоположения и включает постоянную интегрирования, относящуюся к начальному смещению (θ 0). Мы можем дифференцировать, применяя цепное правило , относительно времени, чтобы получить ускорение

ddtd θ dt = ddt 2 g ℓ (cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0), d 2 θ dt 2 = 1 2-2 g sin ⁡ θ 2 g ℓ (cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0) d θ dt = 1 2-2 g sin ⁡ θ 2 g ℓ (cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0) 2 г ℓ (соз ⁡ θ - соз ⁡ θ 0) = - г ℓ грех ⁡ θ, d 2 θ dt 2 + g ℓ грех ⁡ θ = 0, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} \ left (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0} \ right)}}, \\ {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} { \ frac {- {\ frac {2g} {\ ell}} \ sin \ theta} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}) }}} {\ frac {d \ theta} {dt}} \\ = {\ frac {1} {2}} {\ frac {- {\ frac {2g} {\ ell}} \ sin \ theta} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}}} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}} = - {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta, \\ {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0, \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}

wh ich - тот же результат, что и при силовом анализе.

Малоугловое приближение

Малоугловое приближение для синусоидальной функции: для θ ≈ 0 находим sin θ ≈ θ.

Дифференциальное уравнение, приведенное выше, решить нелегко, и нет решения, которое могло бы быть записанным в терминах элементарных функций. Однако добавление ограничения на размер амплитуды колебаний дает форму, решение которой можно легко получить. Если предположить, что угол намного меньше 1 радиан (часто обозначается как менее 0,1 радиана, около 6 °) или

θ ≪ 1, {\ displaystyle \ theta \ ll 1, \,}{\displaystyle \theta \ll 1,\,}

затем заменяя sin θ в Ур. 1 с использованием аппроксимации малого угла,

sin ⁡ θ ≈ θ, {\ displaystyle \ sin \ theta \ приблизительно \ theta, \,}{\displaystyle \sin \theta \approx \theta,\,}

дает уравнение для a гармонический осциллятор,

d 2 θ dt 2 + g ℓ θ = 0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ theta = 0.}{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}

Ошибка из-за аппроксимации имеет порядок θ (из разложения Тейлора для sin θ).

Учитывая начальные условия θ (0) = θ 0 и dθ / dt (0) = 0, решение принимает вид

θ (t) = θ 0 cos ⁡ (g ℓ t) θ 0 ≪ 1. {\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {g} {\ ell}}} \, t \ right) \ quad \ quad \ quad \ quad \ theta _ {0} \ ll 1.}{\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\,t\right)\quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1.}

Движение - это простое гармоническое движение, где θ 0 - амплитуда колебания (то есть максимальный угол между стержнем маятника и вертикалью). Период движения, время полного колебания (наружу и возврату) составляет

T 0 = 2 π ℓ g θ 0 ≪ 1 {\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac { \ ell} {g}}} \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ theta _ {0} \ ll 1}{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\quad \quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1}

, который известен как закон Христиана Гюйгенса для этого периода. Обратите внимание, что в приближении малых углов период не зависит от амплитуды θ 0 ; это свойство изохронизма, которое обнаружил Галилей.

Эмпирическое правило длины маятника

T 0 = 2 π ℓ g {\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}}}{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell) } {g}}}} можно выразить как ℓ = g π 2 T 0 2 4. {\ displaystyle \ ell = {\ frac {g} {\ pi ^ {2}}} {\ frac {T_ {0} ^ {2}} {4}}.}{\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}

Если единиц СИ (т. Е. Измерения в метрах и секундах), и если предположить, что измерение происходит на поверхности Земли, тогда g ≈ 9,81 м / с и g / π ≈ 1 (0,994 - это приближение к 3 десятичным знакам).

Таким образом, относительно разумное приближение для длины и периода:

ℓ ≈ T 0 2 4, T 0 ≈ 2 ℓ {\ displaystyle {\ begin {align} \ ell \ приблизительно {\ гидроразрыв {T_ {0} ^ {2}} {4}}, \\ T_ {0} \ приблизительно 2 {\ sqrt {\ ell}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\ell \approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}

где T 0 - количество секунд между двумя ударами (по одному удару для каждой стороны замаха), l измеряется в метрах.

Период произвольной амплитуды

Рис. 3. Отклонение «истинного» периода маятника от малоугловой аппроксимации периода. «Истинное» значение было получено путем численной оценки эллиптического интеграла. Рисунок 4. Относительные ошибки с использованием степенного ряда за период. Рисунок 5. Потенциальная энергия и фазовый портрет простого маятника. Обратите внимание, что ось x, являющаяся углом, оборачивается на себя через каждые 2π радиан.

Для амплитуд, превышающих приближение малого угла, можно вычислить точный период, сначала инвертировав уравнение для угловой скорости получено энергетическим методом (уравнение 2 ),

dtd θ = ℓ 2 g 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 {\ displaystyle {\ frac {dt} {d \ theta}} = {\ sqrt {\ frac {\ ell} {2g}}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}}}{\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}

, а затем интегрирование в течение одного полного цикла,

T = t (θ 0 → 0 → - θ 0 → 0 → θ 0), {\ displaystyle T = t (\ theta _ {0} \ rightarrow 0 \ rightarrow - \ theta _ {0} \ rightarrow 0 \ rightarrow \ theta _ {0}),}T = t(\theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0),

или в два раза больше полупериода

T = 2 t (θ 0 → 0 → - θ 0), {\ displaystyle T = 2t (\ theta _ {0} \ rightarrow 0 \ rightarrow - \ theta _ {0}),}{\ displaystyle T = 2t (\ theta _ { 0} \ rightarrow 0 \ rightarrow - \ theta _ {0}),}

или в четыре раза больше четверти цикла

T = 4 t (θ 0 → 0), {\ displaystyle T = 4t (\ theta _ {0} \ rightarrow 0),}{\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}

, что приводит к

T = 4 ℓ 2 g ∫ 0 θ 0 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 d θ. {\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {\ ell} {2g}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} \, d \ theta.}{\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {\ ell} {2g}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} \, d \ theta.}

Обратите внимание, что этот интеграл расходится, когда θ 0 приближается к вертикали

lim θ 0 → π T = ∞, {\ displaystyle \ lim _ {\ theta _ {0} \ rightarrow \ pi} T = \ infty,}{\displaystyle \lim _{\theta _{0}\rightarrow \pi }T=\infty,}

, так что маятник с нужной энергией, чтобы двигаться вертикально, никогда не доберется туда. (И наоборот, маятник, близкий к своему максимуму, может упасть сколь угодно долго.)

Этот интеграл можно переписать в терминах эллиптических интегралов как

T = 4 ℓ г F (π 2, грех ⁡ θ 0 2) {\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}} F \ left ({\ frac {\ pi} {2}}, \ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right)}{\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}

где F - неполный эллиптический интеграл первого рода, определенный как

F (φ, k) = ∫ 0 φ 1 1 - k 2 sin 2 ⁡ udu. {\ Displaystyle F (\ varphi, k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {1} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \, du \,.}{\displaystyle F(\varphi,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du\,.}

Или, точнее, заменой

sin sin u = sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 0 2 {\ displaystyle \ sin {u} = {\ frac {\ sin { \ frac {\ theta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}}{ \ displaystyle \ sin {u} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}}

выражение θ через u,

T = 2 T 0 π K (k), где k = sin ⁡ θ 0 2. {\ displaystyle T = {\ frac {2T_ {0}} {\ pi}} K (k), \ qquad \ mathrm {where} \ quad k = \ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2 }}.}{\displaystyle T={\frac {2T_{0}}{\pi }}K(k),\qquad \mathrm {where} \quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}Ур. 3

Здесь K - полный эллиптический интеграл первого рода, определенный как

K (k) = F (π 2, k) = ∫ 0 π 2 1 1 - k 2 sin 2 ⁡ udu. {\ displaystyle K (k) = F \ left ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ right) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \, du \,.}{\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du\,.}

Для сравнения приближения к полному решению рассмотрим период маятника длины 1 м на Земле (g = 9.80665 м / с) при начальном угле 10 градусов составляет

4 1 мг К (sin ⁡ 10 ∘ 2) ≈ 2,0102 с. {\ displaystyle 4 {\ sqrt {\ frac {1 {\ text {m}}} {g}}} \ K \ left (\ sin {\ frac {10 ^ {\ circ}} {2}} \ right) \ приблизительно 2,0102 {\ text {s}}.}{\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}

Линейное приближение дает

2 π 1 мг ≈ 2,0064 с. {\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {1 {\ text {m}}} {g}}} \ приблизительно 2.0064 {\ text {s}}.}{\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}

Разница между двумя значениями, меньше чем 0,2%, это намного меньше, чем это вызвано вариацией g в зависимости от географического положения.

Отсюда есть много способов перейти к вычислению эллиптического интеграла.

Полиномиальное решение Лежандра для эллиптического интеграла

Учитывая Ур. 3 и решение полинома Лежандра для эллиптического интеграла:

K (k) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ((2 n - 1)!! (2 n)!! kn) 2 {\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} k ^ {n} \ right) ^ {2}}{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}}

где n !! обозначает двойной факториал, точное решение периода маятника:

T = 2 π ℓ g (1 + (1 2) 2 sin 2 ⁡ θ 0 2 + (1 ⋅ 3 2 ⋅ 4) 2 sin 4 ⁡ θ 0 2 + (1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6) 2 sin 6 ⁡ θ 0 2 + ⋯) = 2 π ℓ g ⋅ ∑ n = 0 ∞ (((2 n)! (2 n ⋅ n!) 2) 2 ⋅ sin 2 n ⁡ θ 0 2). {\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}} \ left (1+ \ left ({\ frac {1} {2}}) \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {4} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 }} \ right) ^ {2} \ sin ^ {6} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + \ cdots \ right) \\ = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac { \ ell} {g}}} \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ left ({\ frac {(2n)!} {(2 ^ {n} \ cdot n!) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ cdot \ sin ^ {2n} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right). \ End {alignat}}}{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}}

На рисунке 4 показаны относительные ошибки с использованием степенного ряда. T 0 - это линейное приближение, а от T 2 до T 10 включают соответственно члены до 2-й и 10-й степеней.

Решение степенного ряда для эллиптического интеграла

Другая формулировка вышеуказанного решения может быть найдена, если следующий ряд Маклорена:

sin ⁡ θ 0 2 = 1 2 θ 0 - 1 48 θ 0 3 + 1 3 840 θ 0 5 - 1 645120 θ 0 7 + ⋯. {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} = {\ frac {1} {2}} \ theta _ {0} - {\ frac {1} {48}} \ theta _ {0} ^ {3} + {\ frac {1} {3 \, 840}} \ theta _ {0} ^ {5} - {\ frac {1} {645 \, 120}} \ theta _ { 0} ^ {7} + \ cdots.}{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} = {\ frac {1} {2}} \ theta _ {0} - {\ frac {1} {48}} \ theta _ {0} ^ {3} + {\ frac {1} {3 \, 840}} \ theta _ {0} ^ {5} - {\ frac { 1} {645 \, 120}} \ theta _ {0} ^ {7} + \ cdots.}

используется в решении полинома Лежандра выше. Результирующий степенной ряд:

T = 2 π ℓ g (1 + 1 16 θ 0 2 + 11 3 072 θ 0 4 + 173737280 θ 0 6 + 22 931 1 321 205 760 θ 0 8 + 1 319 183 951 268 147 200 θ 0 10 + 233 526 463 2 009 078 326 886 400 θ 0 12 + ⋯) {\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell } {g}}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11} {3 \, 072}} \ theta _ {0 } ^ {4} + {\ frac {173} {737 \, 280}} \ theta _ {0} ^ {6} + {\ frac {22 \, 931} {1 \, 321 \, 205 \, 760 }} \ theta _ {0} ^ {8} + {\ frac {1 \, 319 \, 183} {951 \, 268 \, 147 \, 200}} \ theta _ {0} ^ {10} + { \ frac {233 \, 526 \, 463} {2 \, 009 \, 078 \, 326 \, 886 \, 400}} \ theta _ {0} ^ {12} + \ cdots \ right) \ end {alignat }}}{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}} \ left ( 1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right)\end{alignedat}}},

другие дроби доступны в OEIS : A223067 OEIS : A223068.

Среднее арифметико-геометрическое решение для эллиптического интеграла

Учитывая Ур. 3 и среднее арифметико-геометрическое решение эллиптического интеграла:

K (k) = π 2 M (1 - k, 1 + k), {\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ frac {\ pi} {2}} {M (1-k, 1 + k)}},}{\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{M(1-k,1+k)}},}

где M (x, y) - среднее арифметико-геометрическое значение х и у.

Это дает альтернативную и быстро сходящуюся формулу для периода:

T = 2 π M (1, cos ⁡ θ 0 2) ℓ g. {\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {M \ left (1, \ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right)}} {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}}.}{\displaystyle T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}

Первая итерация этого алгоритма дает

T 1 = 2 T 0 1 + cos ⁡ θ 0 2. {\ displaystyle T_ {1} = {\ frac {2T_ {0}} {1+ \ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}.}{\displaystyle T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.}

Это приближение имеет относительную ошибку менее 1% для углов до 96,11 градуса. Поскольку 1 + соз ⁡ (θ 0/2) 2 = соз 2 ⁡ θ 0 4, {\ displaystyle {\ frac {1+ \ cos (\ theta _ {0} / 2)} {2}} = \ cos ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {4}},}{\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta _{0}/2)}{2}}=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}выражение можно записать более кратко как

T 1 = T 0 sec 2 ⁡ θ 0 4. {\ displaystyle T_ {1} = T_ {0} \ sec ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {4}}.}{\displaystyle T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.}

Расширение второго порядка sec 2 ⁡ ( θ 0/4) {\ displaystyle \ sec ^ {2} (\ theta _ {0} / 4)}{\displaystyle \sec ^{2}(\theta _{0}/4)}сокращается до T ≈ T 0 (1 + θ 0 2 16). {\ displaystyle T \ приблизительно T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} \ right).}{\displaystyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}

Вторая итерация этого алгоритма дает

Т 2 = 4 Т 0 1 + соз ⁡ θ 0 2 + 2 соз ⁡ θ 0 2 = 4 Т 0 (1 + соз ⁡ θ 0 2) 2. {\ displaystyle T_ {2} = {\ frac {4T_ {0}} {1+ \ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + 2 {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ \ theta _ {0}} {2}}}}}} = {\ frac {4T_ {0}} {\ left (1 + {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}) }}} \ right) ^ {2}}}.}{\displaystyle T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.}

Это второе приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 163,10 градуса.

Приближенные формулы для периода нелинейного маятника

Хотя точный период T {\ displaystyle T}Tможет быть определен для любой конечной амплитуды θ 0 < π {\displaystyle \theta _{0}<\pi }{\displaystyle \theta _{0}<\pi }рад, оценивая соответствующий полный эллиптический интеграл K (k) {\ displaystyle K (k)}K(k), где k ≡ sin ⁡ (θ 0/2) {\ displaystyle k \ Equiv \ sin (\ theta _ {0} / 2)}{\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}, этого часто избегают в приложениях, потому что невозможно выразить этот интеграл в замкнутой форме в терминах элементарных функций. Это дало возможность исследовать простые приближенные формулы для увеличения периода маятника с амплитудой (полезные во вводных физических лабораториях, классической механике, электромагнетизме, акустике, электронике, сверхпроводимости и т. Д. Приближенные формулы, найденные разными авторами, можно классифицировать как следует:

  • формулы «не очень большого угла», то есть те, которые дают хорошие оценки для амплитуд ниже π / 2 {\ displaystyle \ pi / 2}\pi /2rad (естественный предел для боба на конце гибкой струны), хотя отклонение

относительно точного периода монотонно увеличивается с амплитудой, что не подходит для амплитуд, близких к π {\ displaystyle \ pi}\pi рад. Одна из самых простых формул, найденных в литературе, - это следующая формула Лимы (2006): T ≈ - T 0 ln ⁡ a 1 - a {\ displaystyle T \ приблизительно - \, T_ {0} \, {\ frac {\ ln {a}} {1-a}}}{\displaystyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}, где a ≡ cos ⁡ (θ 0/2) {\ displaystyle a \ Equiv \ cos {(\ theta _ {0 } / 2)}}{\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}.

  • Формула "Очень большой угол" ae, то есть те, которые аппроксимируют точный период асимптотически для амплитуд, близких к π {\ displaystyle \ pi}\pi рад, с ошибкой, которая монотонно увеличивается для меньших амплитуд

(т.е. непригодна для малых амплитуды). Одна из лучших таких формул - формула Кромера, а именно: T ≈ 2 π T 0 ln ⁡ (4 / a) {\ displaystyle T \ приблизительно {\ frac {2} {\ pi}} \, T_ { 0} \, \ ln {(4 / a)}}{\displaystyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}.

Конечно, увеличение T {\ displaystyle T}Tс амплитудой более очевидно, когда π / 2 < θ 0 < π {\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }{\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }, как это наблюдалось во многих экспериментах с использованием жесткого стержня или диска. Поскольку точные таймеры и датчики в настоящее время доступны даже в начальных физических лабораториях, экспериментальные ошибки, обнаруженные в экспериментах с `` очень большими углами '', уже достаточно малы для сравнения с точным периодом и очень хорошее согласие между теорией и экспериментами, в которых трение было обнаружено незначительное. Поскольку эта деятельность поощрялась многими инструкторами, была предпринята попытка найти простую приближенную формулу для периода маятника, действительную для всех возможных амплитуд, с которой можно было бы сравнить экспериментальные данные. В 2008 году Лима вывела формулу средневзвешенного значения с этой характеристикой:

T ≈ ra 2 TL ima + k 2 TC romerra 2 + k 2 {\ displaystyle T \ приблизительно {\ frac {r \, a ^ {2} \, T_ {Lima} + k ^ {2} \, T_ {Cromer}} {r \, a ^ {2} + k ^ {2}}}}{\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{Lima}+k^{2}\,T_{Cromer}}{r\,a^{2}+k^{2}}}},

где r = 7.17 {\ displaystyle r = 7,17}{\displaystyle r=7.17}, что соответствует максимальной ошибке всего 0,6% (при θ 0 = 95 ∘ {\ displaystyle \ theta _ {0} = 95 ^ {\ circ}}{\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}).

Угловое смещение произвольной амплитуды Ряд Фурье

Разложение в ряд Фурье θ (t) {\ displaystyle \ theta (t)}\ theta (t) задается как

θ (T) знак равно 8 ∑ N ≥ 1 нечетный (- 1) ⌊ N / 2 ⌋ nqn / 2 1 + qn cos ⁡ (n ω t) {\ displaystyle \ theta (t) = 8 \ sum _ {n \ geq 1 {\ text {odd}}} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {n / 2} \ right \ rfloor}} {n}} {\ frac {q ^ {n / 2 }} {1 + q ^ {n}}} \ cos (n \ omega t)}{\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}

где q {\ displaystyle q}q- эллиптический ном, q = ехр ⁡ (- π K '/ K) {\ displaystyle q = \ exp (- \ pi K' / K)}q=\exp(-\pi K'/K)и ω = 2 π / T {\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}\omega =2\pi /Tугловая частота. Если определить

ϵ = 1 - cos ⁡ θ 0 2 2 + 2 cos ⁡ θ 0 2 {\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {1 - {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ theta _ {0]) }} {2}}}}} {2 + 2 {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}}}}{\displaystyle \epsilon ={\frac {1-{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}{2+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}}

q {\ displaystyle q}qможно аппроксимировать с помощью разложения

q = ϵ + 2 ϵ 5 + 15 ϵ 9 + 150 ϵ 13 + 1707 ϵ 17 + 20910 ϵ 21 + ⋯ {\ displaystyle q = \ epsilon +2 \ epsilon ^ {5} +15 \ epsilon ^ {9} +150 \ epsilon ^ {13} +1707 \ epsilon ^ {17} +20910 \ epsilon ^ {21} + \ cdots}{\displaystyle q=\epsilon +2\epsilon ^{5}+15\epsilon ^{9}+150\epsilon ^{13}+1707\epsilon ^{17}+20910\epsilon ^{21}+\cdots }

(см. OEIS : A002103 ). Обратите внимание, что для θ 0 < π {\displaystyle \theta _{0}<\pi }{\displaystyle \theta _{0}<\pi }мы имеем ϵ < 1 2 {\displaystyle \epsilon <{\tfrac {1}{2}}}{\displaystyle \epsilon <{\tfrac {1}{2}}}, поэтому приближение применимо даже для больших амплитуд.

Примеры

Анимация ниже изображает движение простого (без трения) маятника с увеличивающейся величиной начального смещения боба или эквивалентным увеличением начальной скорости. Небольшой график над каждым маятником - это соответствующая диаграмма фазовой плоскости ; горизонтальная ось - смещение, а вертикальная ось - скорость. При достаточно большой начальной скорости маятник не раскачивается вперед и назад, а полностью вращается вокруг оси.

Составной маятник

A Составной маятник (или физический маятник ) - стержень не безмассовый и может иметь увеличенный размер; то есть твердое тело произвольной формы произвольной формы, раскачивающееся посредством оси. В этом случае период маятника зависит от его момента инерции I вокруг точки поворота.

Уравнение крутящего момента дает:

τ = I α {\ displaystyle \ tau = I \ alpha \,}\ tau = I \ alpha \,

где:

α - угловое ускорение.
τ - крутящий момент

Крутящий момент создается силой тяжести, поэтому:

τ = - mg L sin ⁡ θ {\ displaystyle \ tau = -mgL \ sin \ theta \,}\tau = - m g L \sin\theta\,

где:

m - масса тела
L - расстояние от оси вращения до центра масс объекта
θ - угол от вертикали

Следовательно, в приближении малых углов sin θ ≈ θ,

α = θ ″ ≈ - mg L θ I {\ displaystyle \ alpha = \ theta '' \ приблизительно - {\ frac {mgL \ theta} {I}}}{\displaystyle \alpha =\theta ''\approx -{\frac {mgL\theta }{I}}}

где I - момент инерции тела относительно точки поворота.

Выражение для α имеет ту же форму, что и обычный простой маятник, и дает период

T = 2 π I mg L {\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac { I} {mgL}}}T = 2 \pi \sqrt{\frac{I} {mgL}}

И частота

f = 1 T = 1 2 π mg LI {\ displaystyle f = {\ frac {1} {T}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {mgL} {I}}}}f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{mgL}{I}}

Если принять во внимание начальный угол (для больших амплитуд), то выражение для α {\ displaystyle \ alpha}\alpha становится:

α = θ ″ = - mg L sin ⁡ θ I {\ displaystyle \ alpha = \ theta '' = - {\ frac {mgL \ sin \ theta} {I} }}{\displaystyle \alpha =\theta ''=-{\frac {mgL\sin \theta }{I}}}

и дает период:

T = 4 K ⁡ (sin 2 ⁡ θ 0 2) I mg L {\ displaystyle T = 4 \ operatorname {K} \ left (\ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) {\ sqrt {\ frac {I} {mgL}}}}{\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right){\sqrt {\frac {I}{mgL}}}}

где θ 0 - максимальный угол колебания (относительно вертикали), а K (k) - полный эллиптический интеграл первого рода.

Физическая интерпретация мнимого периода

Эллиптическая функция Якоби что expre sses положение маятника как функция времени является двоякопериодической функцией с действительным периодом и мнимым периодом. Реальный период - это, конечно, время, за которое маятник проходит один полный цикл. Пол Аппелл указал на физическую интерпретацию мнимого периода: если θ 0 - это максимальный угол одного маятника, а 180 ° - θ 0 - максимальный угол другого, то реальный период каждого равен величине воображаемого периода другого.

Соединенный маятник

Два идентичных простых маятника, соединенных посредством пружины, соединяющей бобы.

Соединенные маятники могут влиять на движение друг друга, либо через соединение направления (например, пружина, соединяющая бобышки)) или через движения в несущей конструкции (например, столешница). Уравнения движения двух одинаковых простых маятников, соединенных пружиной, соединяющей бобышки, можно получить с помощью лагранжевой механики.

Кинетическая энергия системы:

EK = 1 2 м L 2 (θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2) {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {\ theta}} _ {2} ^ {2} \ right)}{\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}

где m {\ displaystyle m}m- масса бобов, L {\ displaystyle L}L- длина строк, а θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}\theta _{1}, θ 2 {\ displaystyle \ theta _ { 2}}\theta _{2}- угловые смещения двух бобов из положения равновесия.

Потенциальная энергия системы составляет:

E p = mg L (2 - cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2) + 1 2 k L 2 (θ 2 - θ 1) 2 { \ displaystyle E _ {\ text {p}} = mgL (2- \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2}) + {\ frac {1} {2}} kL ^ {2} ( \ theta _ {2} - \ theta _ {1}) ^ {2}}{\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}

где g {\ displaystyle g}g- ускорение свободного падения, и k {\ displaystyle k}k- жесткость пружины. Смещение L (θ 2 - θ 1) {\ displaystyle L (\ theta _ {2} - \ theta _ {1})}{\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}пружины из положения равновесия предполагает аппроксимация малых углов.

Тогда лагранжиан равен

L = 1 2 m L 2 (θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2) - mg L (2 - cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2) - 1 2 К L 2 (θ 2 - θ 1) 2 {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {\ theta}} _ {2} ^ {2} \ right) -mgL (2- \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2}) - {\ frac {1} {2}} kL ^ {2} (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) ^ {2}}{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}

, что приводит к следующему набору связанных дифференциальных уравнений:

θ ¨ 1 + g L грех ⁡ θ 1 + км (θ 1 - θ 2) = 0 θ ¨ 2 + g L sin ⁡ θ 2 - км (θ 1 - θ 2) = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {\ theta}} _ {1} + {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta _ {1} + {\ frac {k} {m}} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) = 0 \\ {\ ddot {\ theta}} _ {2} + {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta _ {2} - {\ frac {k} {m}} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) = 0 \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})=0\end{aligned}}}

Сложение и вычитание этих двух уравнений по очереди и применение аппроксимация малого угла дает два уравнения гармонического осциллятора в переменных θ 1 + θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {1} + \ theta _ {2}}{\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}и θ 1 - θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {1} - \ theta _ {2}}{\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}:

θ ¨ 1 + θ ¨ 2 + g L (θ 1 + θ 2) = 0 θ ¨ 1 - θ ¨ 2 + (г L + 2 км) (θ 1 - θ 2) = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {\ theta}} _ {1} + {\ ddot {\ theta} } _ {2} + {\ frac {g} {L}} (\ theta _ {1} + \ theta _ {2}) = 0 \\ {\ ddot {\ theta}} _ {1} - { \ ddot {\ theta}} _ {2} + \ left ({\ frac {g} {L}} + 2 {\ frac {k} {m}} \ right) (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) = 0 \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})=0\end{aligned}}}

с соответствующими решениями

θ 1 + θ 2 = A cos ⁡ (ω 1 t + α) θ 1 - θ 2 = B cos ⁡ (ω 2 T + β) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {1} + \ theta _ {2} = A \ cos (\ omega _ {1} t + \ alpha) \\\ theta _ {1} - \ theta _ {2} = B \ cos (\ omega _ {2} t + \ beta) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}=A\cos(\omega _{1}t+\alpha)\\\theta _{1}-\theta _{2}=B\cos(\omega _{2}t+\beta)\end{aligned}}}

где

ω 1 = g L ω 2 = g L + 2 км {\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {1} = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} \\\ omega _ {2} = {\ sqrt {{\ frac {g} {L}} + 2 {\ frac {k} {m}}}} \ end {выровнен }}}{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}

и A {\ displaystyle A}A, B {\ displaystyle B}B, α {\ displaystyle \ alpha}\alpha , β {\ displaystyle \ beta}\beta - константы интегрирования.

Выражение решений через θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}\theta _{1}и θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {2}}\theta _{2}только:

θ 1 = 1 2 A cos ⁡ (ω 1 t + α) + 1 2 B cos ⁡ (ω 2 t + β) θ 2 = 1 2 A cos ⁡ (ω 1 T + α) - 1 2 B соз ⁡ (ω 2 T + β) {\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {1} = {\ frac {1} {2}} A \ cos (\ omega _ {1} t + \ alpha) + {\ frac {1} {2}} B \ cos (\ omega _ {2} t + \ beta) \\\ theta _ {2} = {\ frac {1} {2}} A \ cos (\ omega _ {1} t + \ alpha) - {\ frac {1} {2}} B \ cos (\ omega _ {2} t + \ beta) \ end {выровнено }}}{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha)+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta)\\\theta _{2}={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha)-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta)\end{aligned}}}

Если бобы не получают начального толчка, то выполняется условие θ ˙ 1 (0) = θ ˙ 2 (0) = 0 {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ { 1} (0) = {\ dot {\ theta}} _ {2} (0) = 0}{\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}требуется α = β = 0 {\ displaystyle \ alpha = \ beta = 0}\alpha =\beta =0, что дает (после некоторой перестановки):

A = θ 1 (0) + θ 2 (0) B = θ 1 (0) - θ 2 (0) {\ Displaystyle {\ begin {align} A = \ theta _ {1} (0) + \ theta _ {2} (0) \\ B = \ theta _ {1} (0) - \ theta _ {2} (0) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}A=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-01 08:02:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте