Маятник Фуко

редактировать
Маятник Фуко в Пантеоне, Париж Файл: маятник Фуко 1.webm Воспроизвести медиа Маятник Фуко в COSI Columbus сбивание мяча

маятник Фуко или маятник Фуко - это простое устройство, названное в честь французского физика Леона Фуко и задуманное как эксперимент для демонстрации вращение Земли. Маятник был представлен в 1851 году и стал первым экспериментом, который дал простые и прямые доказательства вращения Земли. Маятники Фуко сегодня популярны в научных музеях и университетах.

Содержание

  • 1 Оригинальный маятник Фуко
  • 2 Объяснение механики
  • 3 Прецессия как форма параллельного переноса
  • 4 Родственные физические системы
  • 5 Маятники Фуко по всему миру
    • 5.1 Южный полюс
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Исходный маятник Фуко

Файл: Foucault pendulum.ogv Play media Маятник Фуко в Пантеоне, Париж Печать маятника Фуко, 1895 г.

Первая публичная выставка маятника Фуко состоялась в феврале 1851 г. в меридиане Парижской обсерватории. Несколькими неделями позже Фуко сделал свой самый известный маятник, когда подвесил 28-килограммовый (62 фунта) свинцовый боб с латунным покрытием на 67-метровом (220 футов) тросе к куполу Пантеон, Париж. Период маятника был 2 π l g = 16,5 {\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} = 16,5}{\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} = 16.5} секунд. Поскольку широта его местоположения была ϕ {\ displaystyle \ phi \,}\ phi \, = 48 ° 52 'с.ш., плоскость качания маятника сделала полный круг примерно за 23 ч 56. ′ Sin ⁡ ϕ {\ displaystyle {\ frac {23h56 '} {\ sin \ phi}}}{\frac {23h56'}{\sin \phi }}= 31,8 часа (31 час 50 минут), при вращении по часовой стрелке примерно на 11,3 ° в час.

Оригинальный каре, который использовался в 1851 году в Пантеоне, был перенесен в 1855 году в Conservatoire des Arts et Métiers в Париже. Вторая временная инсталляция была сделана к 50-летнему юбилею в 1902 году.

Во время реконструкции музея в 1990-х годах оригинальный маятник был временно выставлен в Пантеоне (1995), но позже был возвращен в Musée des Arts et Métiers до открытия в 2000 году. 6 апреля 2010 года оборвался трос, подвешивающий карабин в Музее искусств и ремесел, что нанесло непоправимый ущерб маятниковому карабину и мраморному полу музея. Исходный, теперь поврежденный маятник отображается в отдельном корпусе рядом с текущим маятниковым дисплеем.

Точная копия оригинального маятника работает под куполом Пантеона в Париже с 1995 года.

Пояснение к механике

Анимация маятника Фуко в северном полушарии с скорость вращения Земли сильно преувеличена. Зеленая кривая показывает путь качания маятника над землей (вращающаяся система отсчета) в любой вертикальной плоскости. Фактическая плоскость поворота кажется вращающейся относительно Земли. Провод должен быть как можно более длинным - обычно длина составляет 12–30 м (40–100 футов).

На географическом северном полюсе или географическом южном полюсе, плоскость колебаний маятника остается фиксированной относительно далеких масс Вселенной, в то время как Земля вращается под ней, за один звездный день для завершения вращения. Таким образом, относительно Земли плоскость колебаний маятника на Северном полюсе - если смотреть сверху - совершает полный оборот по часовой стрелке в течение суток; маятник на Южном полюсе вращается против часовой стрелки.

Когда маятник Фуко подвешен на экваторе, плоскость колебаний остается фиксированной относительно Земли. На других широтах плоскость колебаний прецессирует относительно Земли, но медленнее, чем на полюсе; угловая скорость ω (измеряется в градусах по часовой стрелке за звездные сутки) пропорциональна синусу широты , φ:

ω = 360 ∘ sin ⁡ φ / day {\ displaystyle \ omega = 360 ^ {\ circ} \ sin \ varphi \ / \ mathrm {day}}{ \ displaystyle \ omega = 360 ^ {\ circ} \ sin \ varphi \ / \ mathrm {day}} ,

, где широты к северу и югу от экватора определены как положительные и отрицательные соответственно. Например, маятник Фуко на 30 ° южной широты, если смотреть сверху наземным наблюдателем, вращается на 360 ° против часовой стрелки за два дня.

Маятник Фуко на Северном полюсе: Маятник качается в той же плоскости, что и Земля под ним.

Чтобы продемонстрировать вращение напрямую, а не косвенно через качающийся маятник, Фуко использовал гироскоп в эксперименте 1852 г. Внутренний кардан гироскопа Фуко был уравновешен на ножевых подшипниках на внешнем кардане, а внешний кардан был подвешен на тонкой резьбе без скручивания таким образом, что нижняя точка поворота почти не имела веса. Гироскоп был раскручен до 9000–12000 оборотов в минуту с помощью ряда шестерен перед тем, как быть помещен в нужное положение, что было достаточным временем, чтобы сбалансировать гироскоп и провести 10 минут экспериментов. За прибором можно было наблюдать либо в микроскоп с точностью до десятых долей градуса, либо по длинной стрелке. Еще по крайней мере три копии гироскопа Фуко были изготовлены в удобных дорожных и демонстрационных боксах, а копии сохранились в Великобритании, Франции и США.

Отрывок из иллюстрированного приложения к журналу Le Petit Parisien от 2 ноября 1902 года, посвященного 50-летию эксперимента Леона Фуко, демонстрирующего вращение Земли.

Маятник Фуко требует осторожности при установке, потому что неточная конструкция может привести к дополнительному отклонению, которое маскирует земной эффект. Как было отмечено позднее Нобелевского лауреата Камерлинг-Оннес, который разработал более полную теорию маятника Фуко для его докторской диссертации (1879), геометрического несовершенства системы или упругости опорной проволоки может вызвать помехи между двумя горизонтальными режимы колебания, которые заставили маятник Оннеса перейти от линейного к эллиптическому колебанию за час. Первоначальный запуск маятника также имеет решающее значение; традиционный способ сделать это - использовать пламя, чтобы прожечь нить, которая временно удерживает боб в исходном положении, избегая таким образом нежелательного бокового движения (см. деталь запуска на 50-летие в 1902 году ).

Примечательно, что отклонение маятника наблюдалось еще в 1661 году Винченцо Вивиани, учеником Галилея, но нет никаких свидетельств того, что он связывал этот эффект с Вращение Земли; скорее, он считал это неудобством в своем исследовании, которое следует преодолеть, подвешивая боб на двух веревках вместо одной.

Сопротивление воздуха гасит колебания, поэтому некоторые маятники Фуко в музеях оснащены электромагнитным или другим приводом, чтобы качель качался; другие запускаются регулярно, иногда с церемонией запуска в качестве дополнительной достопримечательности. Помимо сопротивления воздуха, другая основная инженерная проблема при создании 1-метрового маятника Фуко в настоящее время, как говорят, заключается в том, чтобы гарантировать отсутствие предпочтительного направления качания.

Анимация описывает движение маятника Фуко на широте 30 ° N. Плоскость колебаний вращается на угол -180 ° в течение одного дня, поэтому через два дня плоскость возвращается к своей исходной ориентации.

«День маятника» - это время, необходимое для плоскости свободно подвешенного маятника Фуко. для завершения кажущегося вращения вокруг местной вертикали. Это один звездный день, разделенный на синус широты.

Прецессия как форма параллельного переноса

Параллельный перенос вектора вокруг замкнутого контура на сфере: угол, на который он поворачивается, α, пропорциональна площади внутри контура.

В почти инерциальной системе отсчета, движущейся в тандеме с Землей, но не участвующей в вращении Земли вокруг своей оси, точка подвеса маятника очерчивает круговой путь во время один звездный день.

На широте Парижа, 48 градус 51 минута северной широты, полный цикл прецессии занимает чуть менее 32 часов, поэтому после одного звездного дня, когда Земля вернется в ту же ориентацию, что и предыдущий звездный день, плоскость колебаний повернулась чуть более чем на 270 градусов. Если вначале плоскость поворота была с севера на юг, то на один звездный день позже это будет восток-запад.

Это также означает, что произошел обмен импульсом ; Земля и качающийся маятник обменялись движением. Земля настолько массивнее маятника, что изменение количества движения Земли незаметно. Тем не менее, поскольку плоскость качания маятникового качания сместилась, законы сохранения подразумевают, что обмен должен был произойти.

Вместо отслеживания изменения количества движения, прецессию плоскости колебаний можно эффективно описать как случай параллельного переноса. Для этого можно продемонстрировать, составив бесконечно малые вращения, что скорость прецессии пропорциональна проекции угловой скорости Земли на нормаль направление на Землю, что означает, что след плоскости колебаний претерпит параллельный перенос. Через 24 часа разница между начальной и конечной ориентациями следа в системе координат Земли составляет α = −2π sin φ, что соответствует значению, заданному теоремой Гаусса – Бонне. α также называется голономией или геометрической фазой маятника. При анализе движений, связанных с землей, рамка Земли не является инерциальной системой, а вращается вокруг местной вертикали с эффективной скоростью 2π sin φ радиан в день. Простой метод, использующий параллельный перенос в конусах, касательных к поверхности Земли, может быть использован для описания угла поворота плоскости качания маятника Фуко.

С точки зрения привязанной к Земле системы координат с ее осью x направленный на восток, а его ось Y - на север, прецессия маятника описывается силой Кориолиса. Рассмотрим плоский маятник с собственной частотой ω в приближении малых углов. На маятник действуют две силы: восстанавливающая сила, создаваемая силой тяжести и проволоки, и сила Кориолиса. Сила Кориолиса на широте φ является горизонтальной в приближении малого угла и определяется выражением

F c, x = 2 м Ω dydt sin ⁡ φ F c, y = - 2 m Ω dxdt sin ⁡ φ {\ displaystyle {\ begin {align} F_ {c, x} = 2m \ Omega {\ dfrac {dy} {dt}} \ sin \ varphi \\ F_ {c, y} = - 2m \ Omega {\ dfrac {dx} { dt}} \ sin \ varphi \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {c, x} = 2m \ Omega {\ dfrac {dy} {dt}} \ sin \ varphi \\ F_ {c, y} = - 2m \ Omega {\ dfrac {dx} {dt}} \ sin \ varphi \ end {align}}}

где Ω - частота вращения Земли, F c, x - составляющая силы Кориолиса в направлении x, а F c, y - составляющая силы Кориолиса в y-направлении.

Возвращающая сила в малоугловом приближении задается как

F g, x = - m ω 2 x F g, y = - m ω 2 y. {\ displaystyle {\ begin {align} F_ {g, x} = - m \ omega ^ {2} x \\ F_ {g, y} = - m \ omega ^ {2} y. \ end {выровнено }}}{\ displaystyle {\ begin {выровнен} F_ {g, x} = - m \ omega ^ {2} x \\ F_ {g, y} = - m \ omega ^ {2} y. \ end {align}}} Графики периода прецессии и прецессии за сидерические сутки в зависимости от широты. Знак меняется, когда маятник Фуко вращается против часовой стрелки в Южном полушарии и по часовой стрелке в Северном полушарии. Пример показывает, что один в Париже прецессирует 271 ° каждый звездный день, что занимает 31,8 часа на один оборот.

Использование законов движения Ньютона приводит к системе уравнений

d 2 xdt 2 = - ω 2 x + 2 Ω dydt sin ⁡ φ d 2 ydt 2 = - ω 2 y - 2 Ω dxdt sin ⁡ φ. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} x + 2 \ Omega {\ dfrac {dy} {dt }} \ sin \ varphi \\ {\ dfrac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} y-2 \ Omega {\ dfrac {dx} {dt} } \ sin \ varphi. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} x + 2 \ Omega {\ dfrac {dy} {dt}} \ sin \ varphi \\ {\ dfrac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = - \ омега ^ {2} y-2 \ Omega {\ dfrac {dx} {dt}} \ sin \ varphi. \ end {align}}}

При переключении на комплексные координаты z = x + iy уравнения читаются следующим образом:

d 2 zdt 2 + 2 i Ω dzdt sin ⁡ φ + ω 2 z = 0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + 2i \ Omega {\ frac {dz} {dt}} \ sin \ varphi + \ omega ^ {2} z = 0 \,.}{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + 2i \ Omega {\ frac {dz} {dt}} \ sin \ varphi + \ omega ^ {2} z = 0 \,.}

В первом порядке по Ω / ω это уравнение имеет решение

z = e - i Ω sin ⁡ φ t (c 1 ei ω t + c 2 e - i ω t). {\ displaystyle z = e ^ {- я \ Omega \ sin \ varphi t} \ left (c_ {1} e ^ {i \ omega t} + c_ {2} e ^ {- i \ omega t} \ right) \,.}{\ displaystyle z = e ^ {- i \ Omega \ sin \ varphi t} \ left (c_ {1} e ^ {i \ omega t} + c_ {2} e ^ {- i \ omega t} \ right) \,.}

Если время измеряется в днях, то Ω = 2π и маятник вращается на угол −2π sin φ в течение одного дня.

Родственные физические системы

Устройство, описанное Уитстоном.

Многие физические системы прецессируют аналогично маятнику Фуко. Еще в 1836 году шотландский математик Эдвард Санг придумал и объяснил прецессию вращающейся волчка. В 1851 году Чарльз Уитстон описал устройство, которое состоит из вибрирующей пружины, которая установлена ​​на верхней части диска так, что она образует с диском фиксированный угол φ. Пружина ударяется так, что она колеблется в плоскости. Когда диск поворачивается, плоскость колебаний изменяется так же, как и у маятника Фуко на широте φ.

Аналогично, рассмотрим не вращающееся, идеально сбалансированное велосипедное колесо, установленное на диске так, что его ось вращения составляет угол φ с диском. Когда диск совершает полный оборот по часовой стрелке, колесо велосипеда не вернется в исходное положение, а совершит чистый оборот на 2π sin φ.

Прецессия типа Фуко наблюдается в виртуальной системе, в которой безмассовая частица вынуждена оставаться на вращающейся плоскости, наклоненной по отношению к оси вращения.

Спин релятивистской частицы движение по круговой орбите прецессирует подобно плоскости качания маятника Фуко. Релятивистское пространство скоростей в пространстве-времени Минковского можно рассматривать как сферу S в 4-мерном евклидовом пространстве с мнимым радиусом и мнимой времениподобной координатой. Параллельный перенос векторов поляризации вдоль такой сферы вызывает прецессию Томаса, которая аналогична вращению плоскости качания маятника Фуко из-за параллельного переноса вдоль сферы S в трехмерном евклидовом пространстве.

В физике эволюция таких систем определяется геометрическими фазами. Математически они понимаются через параллельный транспорт.

Маятники Фуко по всему миру

В университетах, научных музеях и т.п. по всему миру существует множество маятников Фуко. В штаб-квартире Организации Объединенных Наций в Нью-Йорке есть один; самый большой находится в Oregon Convention Center : его длина составляет примерно 27 м (89 футов). Однако раньше были гораздо более длинные маятники, такие как маятник 98 м (322 фута) в Исаакиевском соборе, Санкт-Петербург, Россия.

Южный полюс

Эксперимент также проводился на Южном полюсе, где предполагалось, что вращение Земли будет иметь максимальное эффект на Южнополярной станции Амундсена – Скотта, на шестиэтажной лестнице строящейся новой станции. Маятник имел длину 33 м (108 футов), а боб весил 25 кг (55 фунтов). Расположение было идеальным: никакой движущийся воздух не мог помешать маятнику, а низкая вязкость холодного воздуха уменьшала сопротивление воздуха. Исследователи подтвердили, что период вращения плоскости колебаний составляет около 24 часов.

См. Также

Викискладе есть материалы, связанные с маятниками Фуко.

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с маятниками Фуко.
Последняя правка сделана 2021-05-20 12:34:55
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте