Конический маятник

Монументальные конические маятниковые часы от Farcot, 1878 г.

A конический маятник состоит из груза (или bob ), закрепленный на конце струны или стержня, подвешенного на стержне. По конструкции он похож на обычный маятник ; однако вместо того, чтобы качаться вперед и назад, стержень конического маятника движется с постоянной скоростью по кругу , при этом струна (или стержень) образует конус конус. Конический маятник был впервые изучен английским ученым Робертом Гук около 1660 года в качестве модели орбитального движения планет. В 1673 году голландский ученый Христиан Гюйгенс рассчитал его период, используя свою новую концепцию центробежной силы в своей книге Horologium Oscillatorium. Позже он использовался как элемент хронометража в нескольких механических часах и других часовых механизмах.

Содержание

• 1 Использует
• 2 Анализ
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Использование

В течение 1800-х годов конические маятники использовались в качестве элемента хронометража в нескольких часовых механизмах, где требовалось плавное движение, в отличие от неизбежно резкого движения, обеспечиваемого обычными маятниками. Двумя примерами были механизмы поворота линз маяков для направления их лучей через море и приводы локации экваториальной монтировки телескопов, позволяющие телескопу плавно проследите за звездой по небу, когда Земля вращается.

Одним из наиболее важных применений конического маятника был регулятор флайбола (центробежный регулятор ), изобретенный Джеймсом Ваттом в 1788 году, который регулировал скорость паровых машин в эпоху пара в 1800-х годах. В игровой площадке тезербол используется мяч, прикрепленный к шесту с помощью шнура, который функционирует как конический маятник, хотя маятник становится короче, когда шнур оборачивается вокруг шеста. Некоторые аттракционы действуют как конические маятники.

Анализ

Рассмотрим конический маятник, состоящий из боба массы m, вращающегося без трения по окружности с постоянной скоростью v на струне длиной L под углом θ от вертикали.

На боб действуют две силы:

• натяжение Т в струне, которое действует вдоль линии струны и действует по направлению к точке подвешивания.
• нисходящее направление bob вес мг, где m - масса боба, а g - локальное ускорение свободного падения.

Сила, прилагаемая струной, может быть разложена на горизонтальную составляющую, T sin (θ), по направлению к центру круга, и вертикальный компонент, T cos (θ), в направлении вверх. Согласно второму закону Ньютона, горизонтальная составляющая натяжения струны дает бобу центростремительное ускорение к центру круга:

$T\; sin\; \; \theta \; =\; mv\; 2\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{mv\; ^\; \{2\}\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\}$

Конический маятник, опора которого движется по горизонтальной окружности радиуса r. Боб имеет массу m и подвешен на веревке длиной L. Сила натяжения тетивы, действующая на боб, представляет собой вектор T, а вес боба - вектор mg.

Поскольку ускорение по вертикали отсутствует направлении вертикальная составляющая натяжения струны равна и противоположна весу боба:

$T\; cos\; \; \theta \; =\; mg\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; mg\; \backslash ,\}$

Эти два уравнения можно решить относительно T / m и приравнять, тем самым исключив T и m:

$g\; cos\; \; \theta \; =\; v\; 2\; r\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\}$

Поскольку скорость маятника постоянна, ее можно выразить как длину окружности 2πr, деленную на время t, необходимое для одного оборота боба:

$v\; =\; 2\; \pi \; rt\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; r\}\; \{t\}\}\}$

Подставляя правую часть этого уравнения вместо v в предыдущем уравнении, мы находим:

$g\; соз\; \; \theta \; знак\; равно\; (2\; \pi \; rt)\; 2\; р\; грех\; \; \theta \; =\; (2\; \pi )\; 2\; rt\; 2\; грех\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; r\}\; \{t\}\})\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\; r\}\; \{t\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\}$

Используя тригонометрическое тождество tan (θ) = sin (θ) / cos (θ) и решая для t, время, необходимое для того, чтобы боб совершил один оборот, составляет

$t\; =\; 2\; \pi \; rg\; tan\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{g\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\}\}\}\}$

В практическом эксперименте r меняется, и его не так просто измерить поскольку постоянная длина струны L. r может быть исключена из уравнения, заметив, что r, h и L образуют прямоугольный треугольник, где θ - угол между катетом h и гипотенузой L (см. диаграмму). Следовательно,

$r\; =\; L\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; L\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

Подстановка этого значения на r дает формулу, единственным изменяющимся параметром которой является угол подвеса θ:

$t\; =\; 2\; \pi \; L\; соз\; \; \theta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{g\}\}\}\}$

Для малых углов θ cos (θ) ≈ 1; в этом случае

$t\; \approx \; 2\; \pi \; L\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; приблизительно\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{g\}\}\}\}$

так, чтобы период t конического маятника был равен с периодом обычного маятника такой же длины. Кроме того, период для малых углов приблизительно не зависит от изменения угла θ. Это означает, что период вращения примерно не зависит от силы, приложенной для его вращения. Это свойство, называемое изохронизмом, присуще обычным маятникам и делает оба типа маятников полезными для хронометража.

См. Также

• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)

Ссылки

Внешние ссылки

• Интерактивное моделирование конического маятника на Java