Точка равновесия

В математике, особенно в дифференциальных уравнениях, точка равновесия - постоянное решение дифференциального уравнения.

Точка $x\; ~\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$- точка равновесия для дифференциального уравнения

$dxdt\; =\; f\; (t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{dt\; \}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (t,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\}$

, если $f\; (t,\; x\; ~)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (t,\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\}$для всех $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Аналогично, точка $x\; ~\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$- это точка равновесия (или фиксированная точка ) для разностное уравнение

$xk\; +\; 1\; =\; f\; (k,\; xk)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{k\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (k,\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{k\; \})\}$

если $f\; (k,\; x\; ~)\; =\; x\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; (k,\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\})\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}$для $k\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$.

. Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнения ионы о равновесиях. То есть, оценивая матрицу Якоби в каждой из точек равновесия системы, а затем находя результирующие собственные значения, состояния равновесия можно разделить на категории. Тогда поведение системы в окрестности каждой точки равновесия может быть определено качественно (или даже количественно в некоторых случаях) путем нахождения собственного вектора (ов), связанного с каждым собственным значением.

Точка равновесия гиперболическая, если ни одно из собственных значений не имеет нулевой действительной части. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, равновесие является устойчивым уравнением. Если хотя бы один из них имеет положительную действительную часть, равновесие является неустойчивым узлом. Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой.

• Автономное уравнение
• Критическая точка
• Устойчивое состояние

• Boyce, William E.; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Springer. С. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.