Дуга меридиана

В геодезии, А меридиан дуга является кривой между двумя точками на поверхности Земли, имеющие ту же долготу. Термин может относиться либо к сегменту от меридиана, или к его длине.

Цель измерения дуг меридианов - определение фигуры Земли. Одно или несколько измерений дуг меридианов могут использоваться для определения формы опорного эллипсоида, которая наилучшим образом приближает геоид в области измерений. Измерения дуг меридианов на нескольких широтах вдоль многих меридианов по всему миру можно объединить, чтобы аппроксимировать геоцентрический эллипсоид, предназначенный для размещения всего мира.

Самые ранние определения размера сферической Земли требовали единственной дуги. Для точных геодезических работ, начавшихся в 19 веке, потребовалось несколько измерений дуги в регионе, где должна была проводиться съемка, что привело к распространению опорных эллипсоидов по всему миру. В последних определениях используются астрогеодезические измерения и методы спутниковой геодезии для определения опорных эллипсоидов, особенно геоцентрических эллипсоидов, которые сейчас используются для глобальных систем координат, таких как WGS 84 (см. Числовые выражения).

• 1 История измерений
  • 1.1 Сферическая Земля
  • 1.2 Эллипсоидальная Земля
    • 1.2.1 17 и 18 веков
    • 1.2.2 19 век
  • 1.3 Морская миля
• 2 Расчет
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Связь с эллиптическими интегралами
  • 2.3 Расширения серии
    • 2.3.1 Увеличение эксцентриситета ( e)
    • 2.3.2 Расширения в третьем уплощении ( n)
    • 2.3.3 Ряды по параметрической широте
    • 2.3.4 Обобщенный ряд
    • 2.3.5 Числовые выражения
• 3 четверть меридиана
• 4 Обратная меридиональная задача для эллипсоида
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Смотрите также: История геодезии, окружность Земли § История и радиус Земли § История

Сферическая земля

Основная статья: Сферическая Земля § История Дополнительная информация: радиус Земли и окружность Земли

Ранние оценки размера Земли, отражаются от Греции в 4 веке до н.э., и от ученых в халифе «s Дом Мудрости в 9 - м века. Первое реалистичное значение было вычислено александрийским ученым Эратосфеном около 240 г. до н.э. Он подсчитал, что длина меридиана составляет 252 000 стадий с погрешностью реального значения от -2,4% до + 0,8% (при условии, что значение стадиона составляет от 155 до 160 метров). Эратосфен описал свою технику в книге « О мерах Земли», которая не сохранилась. Похожий метод был использован Посидонием примерно 150 лет спустя, и несколько лучшие результаты были рассчитаны в 827 году методом измерения дуги, приписываемым халифу Аль-Мамуну.

Эллипсоидальная Земля

Основная статья: Земной эллипсоид

В ранней литературе термин « сплюснутый сфероид» используется для описания сферы, «раздавленной полюсами». В современной литературе вместо сфероида используется термин эллипсоид вращения, хотя уточняющие слова «революции» обычно опускаются. Эллипсоид, который не является эллипсоидом вращения называется трехосный эллипсоид. В этой статье сфероид и эллипсоид взаимозаменяемы, если не указано иное, подразумевается сжатие.

17 и 18 веков

Хотя с классической античности было известно, что Земля имеет сферическую форму, к 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 году Жан Ричер нашел первое свидетельство того, что гравитация не постоянна над Землей (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну, Французская Гвиана, и обнаружил, что они потеряли 2+1 ⁄ 2 минуты в день по сравнению со скоростью в Париже. Это указывало на то, что ускорение свободного падения у Кайенны было меньше, чем у Парижа. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные части мира, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно увеличивается с увеличением широты, причем гравитационное ускорение на географических полюсах примерно на 0,5% больше,чем на экваторе.

В 1687 году Ньютон опубликовал в « Началах» как доказательство того, что Земля представляет собой сплюснутый сфероид со сплющенностью, равной1/230. Это оспаривали некоторые, но не все, французские ученые. Джованни Доменико Кассини и его сын Жак Кассини в период 1684–1718 продлили меридиональную дугу Жана Пикара до более длинной дуги. Дуга была измерена по крайней мере с тремя определениями широты, поэтому они смогли вывести средние значения кривизны для северной и южной половин дуги, что позволило определить общую форму. Результаты показали, что Земля представляет собой вытянутый сфероид (с экваториальным радиусом меньше полярного). Чтобы решить эту проблему, Французская академия наук (1735 г.) предложила экспедиции в Перу ( Бугер, Луи Годен, де ла Кондамин, Антонио де Ульоа, Хорхе Хуан ) и Лапландию ( Мопертюи, Клеро, Камю, Ле Монье, Аббе Отье, Андерс). Цельсия ). Экспедиция в Перу описана в статье « Французская геодезическая миссия», а экспедиция в Лапландию - в статье о долине реки Торн. Полученные измерения на экваториальных и полярных широтах подтвердили, что Земля лучше всего моделируется сплюснутым сфероидом, поддерживающим Ньютон. Однако к 1743 году теорема Клеро полностью вытеснила подход Ньютона.

К концу века, Деламбра была переоценивается и расширила французскую дугу от Дюнкерка до Средиземного моря ( меридиан дуги Деламбры и Méchain ). Он был разделен на пять частей четырьмя промежуточными определениями широты. Комбинируя измерения вместе с измерениями дуги Перу, были определены параметры формы эллипсоида, и расстояние между экватором и полюсом вдоль Парижского меридиана было рассчитано как5 130 762  туаза, как указано в стандартном туаз-баре в Париже. Определение этого расстояния как точное10 000 000  м привело к строительству новой стандартной метровой планки в качестве0,513 0762  туаз.

19 век

В XIX веке многие астрономы и геодезисты занимались детальным изучением кривизны Земли по разным дугам меридианов. В результате анализа было получено множество модельных эллипсоидов, таких как Плессис 1817, Эйри 1830, Бессель 1830, Эверест 1830 и Кларк 1866. Полный список эллипсоидов приведен под эллипсоидом Земли.

Морская миля

Исторически морская миля определялась как длина одной угловой минуты по меридиану сферической Земли. Модель эллипсоида приводит к изменению морской мили в зависимости от широты. Это было решено путем определения морской мили равной 1852 метрам. Однако для всех практических целей расстояния измеряются по шкале широт на картах. Как говорится в руководстве для дневных шкиперов Королевской яхтенной ассоциации : «1 (минута) широты = 1 морская миля», за которой следует «Для большинства практических целей расстояние измеряется по шкале широты, предполагая, что одна минута широты равна одной морской миле». миля ".

Смотрите также: Широта § Меридианная дуга

На сфере длина дуги меридиана - это просто длина дуги окружности. На эллипсоиде вращения для коротких меридиональных дуг их длина может быть аппроксимирована с использованием меридионального радиуса кривизны Земли и формулировки дуги окружности. Для более длинных дуг длина определяется вычитанием двух меридиональных расстояний, то есть расстояния от экватора до точки на широте φ. Это важная проблема теории картографических проекций, особенно поперечной проекции Меркатора.

Основные параметры являются ellisoidal,, б, е, но и в теоретической работе полезно определить дополнительные параметры, в частности, эксцентриситет, е, а третье уплощение н. Только два из этих параметров являются независимыми, и между ними существует множество взаимосвязей:

${\ displaystyle {\ begin {align} f amp; = {\ frac {ab} {a}} \,, \ qquad e ^ {2} = f (2-f) \,, \ qquad n = {\ frac {ab } {a + b}} = {\ frac {f} {2-f}} \,, \\ b amp; = a (1-f) = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \,, \ qquad e ^ {2} = {\ frac {4n} {(1 + n) ^ {2}}} \,. \ end {выравнивается}}}$

Определение

Меридиан радиус кривизны можно показать равным:

${\ Displaystyle М (\ varphi) = {\ гидроразрыва {а (1-е ^ {2})} {\ влево (1-е ^ {2} \ грех ^ {2} \ varphi \ right) ^ {\ гидроразрыва {3} {2}}}},}$

Длина дуги бесконечно малого элемента меридиана равна dm = M ( φ) dφ (с φ в радианах). Следовательно, меридиональное расстояние от экватора до широты φ равно

${\ displaystyle {\ begin {align} m (\ varphi) amp; = \ int _ {0} ^ {\ varphi} M (\ varphi) \, d \ varphi \\ amp; = a (1-e ^ {2}) \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ left (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi \ right) ^ {- {\ frac {3} {2}}} \, d \ varphi \,. \ end {выровнено}}}$

Формула расстояния проще, если записать ее в терминах параметрической широты :

${\ Displaystyle м (\ varphi) = b \ int _ {0} ^ {\ beta} {\ sqrt {1 + e '^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} \, d \ beta \,,}$

где tg β = (1 - f) tg φ и e ′ ² =e ²/1 - е ².

Хотя широта обычно ограничивается диапазоном [-π/2,π/2], все приведенные здесь формулы применимы для измерения расстояния вокруг полного эллипса меридиана (включая антимеридиан). Таким образом, диапазоны φ, β и выпрямляющей широты μ не ограничены.

Связь с эллиптическими интегралами

Дополнительная информация: Эллипс § Длина дуги

Приведенный выше интеграл относится к частному случаю неполного эллиптического интеграла третьего рода. В обозначениях онлайн- справочника NIST ( Раздел 19.2 (ii) ),

${\ Displaystyle м (\ varphi) = a \ влево (1-е ^ {2} \ справа) \, \ Pi (\ varphi, e ^ {2}, e) \,.}$

Его также можно записать в терминах неполных эллиптических интегралов второго рода (см. Справочник NIST, раздел 19.6 (iv) ),

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} м (\ varphi) amp; = a \ left (E (\ varphi, e) - {\ frac {e ^ {2} \ sin \ varphi \ cos \ varphi} {\ sqrt { 1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}} \ right) \\ amp; = a \ left (E (\ varphi, e) + {\ frac {d ^ {2}} {d \ varphi ^ {2}}} E (\ varphi, e) \ right) \\ amp; = bE (\ beta, ie ') \,. \ end {выравнивается}}}$

Вычисление (с произвольной точностью) эллиптических интегралов и приближений также обсуждается в справочнике NIST. Эти функции также реализованы в программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica и Maxima.

Расширения серии

Вышеупомянутый интеграл может быть выражен в виде бесконечного усеченного ряда путем разложения подынтегрального выражения в ряд Тейлора, определения итоговых интегралов по члену и выражения результата в виде тригонометрического ряда. В 1755 году Эйлер вывел разложение в квадрате третьего эксцентриситета.

Расширения эксцентриситета ( e)

Деламбр в 1799 году вывел широко используемое расширение на е ²,

${\ displaystyle m (\ varphi) = {\ frac {b ^ {2}} {a}} \ left (D_ {0} \ varphi + D_ {2} \ sin 2 \ varphi + D_ {4} \ sin 4 \ varphi + D_ {6} \ sin 6 \ varphi + D_ {8} \ sin 8 \ varphi + \ cdots \ right) \,,}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} D_ {0} amp; = 1 + {\ tfrac {3} {4}} e ^ {2} + {\ tfrac {45} {64}} e ^ {4} + { \ tfrac {175} {256}} e ^ {6} + {\ tfrac {11025} {16384}} e ^ {8} + \ cdots, \\ D_ {2} amp; = - {\ tfrac {3} { 8}} e ^ {2} - {\ tfrac {15} {32}} e ^ {4} - {\ tfrac {525} {1024}} e ^ {6} - {\ tfrac {2205} {4096} } e ^ {8} - \ cdots, \\ D_ {4} amp; = {\ tfrac {15} {256}} e ^ {4} + {\ tfrac {105} {1024}} e ^ {6} + {\ tfrac {2205} {16384}} e ^ {8} + \ cdots, \\ D_ {6} amp; = - {\ tfrac {35} {3072}} e ^ {6} - {\ tfrac {105} {4096}} e ^ {8} - \ cdots, \\ D_ {8} amp; = {\ tfrac {315} {131072}} e ^ {8} + \ cdots. \ End {align}}}$

Рапп дает подробный вывод этого результата.

Расширения в третьем уплощении ( n)

Ряды со значительно более быстрой сходимостью могут быть получены путем расширения по третьему уплощению n вместо эксцентриситета. Они связаны

${\ displaystyle e ^ {2} = {\ frac {4n} {(1 + n) ^ {2}}} \,.}$

В 1837 году Бесселя получены Одной из таких серий, которые были введены в более простой форме с помощью Гельмерта,

${\ Displaystyle м (\ varphi) = {\ гидроразрыва {a + b} {2}} \ left (H_ {0} \ varphi + H_ {2} \ sin 2 \ varphi + H_ {4} \ sin 4 \ varphi + H_ {6} \ sin 6 \ varphi + H_ {8} \ sin 8 \ varphi + \ cdots \ right) \,,}$

с участием

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {0} amp; = 1 + {\ tfrac {1} {4}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {64}} n ^ {4} + \ cdots, \\ H_ {2} amp; = - {\ tfrac {3} {2}} n + {\ tfrac {3} {16}} n ^ {3} + \ cdots, amp; H_ {6} amp; = - {\ tfrac {35} {48}} n ^ {3} + \ cdots, \\ H_ {4} amp; = {\ tfrac {15} {16}} n ^ {2} - {\ tfrac {15} {64} } n ^ {4} - \ cdots, \ qquad amp; H_ {8} amp; = {\ tfrac {315} {512}} n ^ {4} - \ cdots. \ end {align}}}$

Поскольку n меняет знак, когда a и b меняются местами, и поскольку начальный множитель1/2( a + b) остается постоянным при этой замене, половина членов в разложениях H 2 k обращается в нуль.

Ряд можно выразить с помощью a или b в качестве начального множителя, написав, например,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (a + b) = {\ frac {a} {1 + n}} = a (1-n + n ^ {2} -n ^ {3} + п ^ {4} - \ cdots) \,,}$

и разворачивая результат в ряд по n. Даже если это приводит к более медленно сходящимся рядам, такие серии используются в спецификации для поперечной проекции Меркатора проекции по Национальному агентству геопространственной разведки и Картографической Великобритания.

Ряд по параметрической широте

В 1825 году Бессель вывел расширение меридионального расстояния с точки зрения параметрической широты β в связи со своей работой по геодезическим :

${\ Displaystyle м (\ varphi) = {\ гидроразрыва {a + b} {2}} \ left (B_ {0} \ beta + B_ {2} \ sin 2 \ beta + B_ {4} \ sin 4 \ beta + B_ {6} \ sin 6 \ beta + B_ {8} \ sin 8 \ beta + \ cdots \ right) \,,}$

с участием

${\ displaystyle {\ begin {align} B_ {0} amp; = 1 + {\ tfrac {1} {4}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {64}} n ^ {4} + \ cdots = H_ {0} \,, \\ B_ {2} amp; = - {\ tfrac {1} {2}} n + {\ tfrac {1} {16}} n ^ {3} + \ cdots, amp; B_ { 6} amp; = - {\ tfrac {1} {48}} n ^ {3} + \ cdots, \\ B_ {4} amp; = - {\ tfrac {1} {16}} n ^ {2} + { \ tfrac {1} {64}} n ^ {4} + \ cdots, \ qquad amp; B_ {8} amp; = - {\ tfrac {5} {512}} n ^ {4} + \ cdots. \ end {выровнено }}}$

Поскольку этот ряд обеспечивает расширение для эллиптического интеграла второго рода, его можно использовать для записи длины дуги с точки зрения географической широты как

${\ Displaystyle м (\ varphi) = {\ гидроразрыва {a + b} {2}} \ left (B_ {0} \ varphi -B_ {2} \ sin 2 \ varphi + B_ {4} \ sin 4 \ varphi -B_ {6} \ sin 6 \ varphi + B_ {8} \ sin 8 \ varphi - \ cdots - {\ frac {2n \ sin 2 \ varphi} {\ sqrt {1 + 2n \ cos 2 \ varphi + n ^ {2}}}} \ right) \,.}$

Обобщенный ряд

Вышеупомянутые серии до восьмого порядка по эксцентриситету или четвертого порядка по третьему уплощению обеспечивают точность до миллиметра. С помощью систем символьной алгебры их можно легко расширить до шестого порядка при третьем выравнивании, что обеспечивает полную точность двойной точности для наземных приложений.

Деламбр и Бессель написали свои серии в форме, позволяющей обобщать их в произвольном порядке. Коэффициенты в ряду Бесселя можно выразить особенно просто

${\ displaystyle B_ {2k} = {\ begin {cases} c_ {0} \,, amp; {\ text {if}} k = 0 \,, \\ [5px] {\ dfrac {c_ {k}} { k}} \,, amp; {\ text {if}} kgt; 0 \,, \ end {case}}}$

куда

${\ displaystyle c_ {k} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2j-3) !! \, (2j + 2k-3) !!} {(2j) !! \, (2j + 2k) !!}} n ^ {k + 2j}}$

и к !! - двойной факториал, расширенный до отрицательных значений с помощью рекурсивного отношения: (−1) !! = 1 и (−3) !! = -1.

Коэффициенты в ряду Гельмерта могут быть аналогичным образом выражены в общем виде:

${\ Displaystyle H_ {2k} = (- 1) ^ {k} (1-2k) (1 + 2k) B_ {2k} \,.}$

Этот результат был предположен Хельмертом и доказан Кавасе.

Множитель (1-2 k) (1 + 2 k) приводит к худшей сходимости ряда по φ по сравнению с рядом по β.

Числовые выражения

Приведенный выше тригонометрический ряд удобно оценивать с помощью суммирования Кленшоу. Этот метод позволяет избежать вычисления большинства тригонометрических функций и позволяет быстро и точно суммировать ряды. Этот метод также можно использовать для оценки разности m ( φ 1) - m ( φ 2) при сохранении высокой относительной точности.

Подстановка значений большой полуоси и эксцентриситета эллипсоида WGS84 дает

${\ displaystyle {\ begin {align} m (\ varphi) amp; = \ left (111 \, 132.952 \, 55 \, \ varphi ^ {(\ circ)} - 16 \, 038.509 \, \ sin 2 \ varphi + 16.833 \, \ sin 4 \ varphi -0.022 \, \ sin 6 \ varphi +0.000 \, 03 \, \ sin 8 \ varphi \ right) {\ t_dv {meter}} \\ amp; = \ left (111 \, 132.952 \, 55 \, \ beta ^ {(\ circ)} - 5 \, 346.170 \, \ sin 2 \ beta -1.122 \, \ sin 4 \ beta -0.001 \, \ sin 6 \ beta -0.5 \ times 10 ^ {-6} \, \ sin 8 \ beta \ right) {\ t_dv {meter,}} \ end {align}}}$

где φ ⁽ ° ⁾ =φ/1 °это φ выражается в градусах (и аналогично для р ⁽ ° ⁾).

На эллипсоиде точное расстояние между параллелями в точках φ 1 и φ 2 равно m ( φ 1) - m ( φ 2). Для WGS84 приблизительное выражение для расстояния Δ m между двумя параллелями на ± 0,5 ° от окружности на широте φ дается выражением

${\ displaystyle \ Delta m = (111 \, 133-560 \ cos 2 \ varphi) {\ t_dv {метров.}}}$

Смотрите также: Эллипс § Окружность Четверть меридиана или квадрант Земли.

Расстояние от экватора до полюса, четверть меридиана (аналог четверти круга ), также известного как земной квадрант, равно

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = m \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) \,.}$

Это было частью исторического определения метра и морской мили.

Четверть меридиана можно выразить через полный эллиптический интеграл второго рода :

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = aE (e) = bE (т.е. ').}$

где - первый и второй эксцентриситеты. ${\ displaystyle e, e '}$

Четверть меридиана также задается следующим обобщенным рядом:

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ pi (a + b)} {4}} c_ {0} = {\ frac {\ pi (a + b)} {4}} \ сумма _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2j-3) !!} {(2j) !!}} \ right) ^ {2} n ^ {2j} \,, }$

(Формулу c 0 см. Выше в разделе # Обобщенные ряды.) Этот результат был впервые получен Айвори.

Численное выражение для четверти меридиана эллипсоида WGS84:

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = 10 \, 001 \, 965.729 {\ t_dv {m.}}}$

Окружность полярной Земли равна четырем четвертям меридиана:

${\ displaystyle C_ {p} = 4m_ {p}}$

По периметру меридиана эллипса также можно переписать в виде ректификационной окружности периметра, С р = 2π М г. Следовательно, радиус выпрямляющей Земли равен:

${\ displaystyle M_ {r} = 0,5 (a + b) / c_ {0}}$

Его можно оценить как 6 367 449, 146 м.

В некоторых задачах нам нужно уметь решить обратную задачу: по заданному m определить φ. Это можно решить методом Ньютона, повторяя

${\ Displaystyle \ varphi _ {я + 1} = \ varphi _ {я} - {\ гидроразрыва {м (\ varphi _ {i}) - m} {M (\ varphi _ {i})}} \,, }$

до схождения. Подходящее начальное предположение дается формулой φ 0 = μ, где

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {m} {m _ {\ mathrm {p}}}}}$

это выпрямляющая широта. Обратите внимание, что нет необходимости дифференцировать ряд для m ( φ), поскольку вместо этого можно использовать формулу для меридионального радиуса кривизны M ( φ).

В качестве альтернативы, ряд Гельмерта для меридионального расстояния можно повернуть вспять, чтобы получить

${\ displaystyle \ varphi = \ mu + H '_ {2} \ sin 2 \ mu + H' _ {4} \ sin 4 \ mu + H '_ {6} \ sin 6 \ mu + H' _ {8 } \ sin 8 \ mu + \ cdots}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} H '_ {2} amp; = {\ tfrac {3} {2}} n - {\ tfrac {27} {32}} n ^ {3} + \ cdots, amp; H' _ {6} amp; = {\ tfrac {151} {96}} n ^ {3} + \ cdots, \\ H '_ {4} amp; = {\ tfrac {21} {16}} n ^ {2} - {\ tfrac {55} {32}} n ^ {4} + \ cdots, \ qquad amp; H '_ {8} amp; = {\ tfrac {1097} {512}} n ^ {4} + \ cdots. \ конец {выровнен}}}$

Точно так же ряд Бесселя для m через β можно обратить, чтобы получить

${\ displaystyle \ beta = \ mu + B '_ {2} \ sin 2 \ mu + B' _ {4} \ sin 4 \ mu + B '_ {6} \ sin 6 \ mu + B' _ {8 } \ sin 8 \ mu + \ cdots,}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} B '_ {2} amp; = {\ tfrac {1} {2}} n - {\ tfrac {9} {32}} n ^ {3} + \ cdots, amp; B' _ {6} amp; = {\ tfrac {29} {96}} n ^ {3} - \ cdots, \\ B '_ {4} amp; = {\ tfrac {5} {16}} n ^ {2} - {\ tfrac {37} {96}} n ^ {4} + \ cdots, \ qquad amp; B '_ {8} amp; = {\ tfrac {539} {1536}} n ^ {4} - \ cdots. \ конец {выровнен}}}$

Лежандр показал, что расстояние по геодезической на сфероиде такое же, как расстояние по периметру эллипса. По этой причине выражение для m через β и обратное к нему, данное выше, играют ключевую роль в решении геодезической задачи с заменой m на s, расстоянием по геодезической и β, замененным на σ, длиной дуги на вспомогательная сфера. Необходимые ряды, расширенные до шестого порядка, даны Карни, уравнения. (17) и (21), где ε играет роль n, а τ играет роль μ.

• История геодезии
• Геодезия
• Справочный эллипсоид
• Парижский меридиан (Западная Европа-Африка Меридиан-дуга)
• Французская геодезическая миссия
• Геодезическая дуга Струве
• Долина Торне # Французская геодезическая миссия
• Исправление широты
• Геодезические на эллипсоиде

• Онлайн-расчет дуг меридианов на различных геодезических опорных эллипсоидах