Двойной факториал

Пятнадцать различных хордовых диаграмм по шести точкам или, что то же самое, пятнадцать различных точных соответствий по шести вершинам полный график. Они подсчитываются с помощью двойного факториала 15 = (6-1) !!.

В математике, двойной факториал или полуфакториал числа n, обозначаемый n !!, является произведением всех целых чисел от 1 до n, которые имеют такую ​​же четность (нечетную или четную), что и n. То есть

$n!\; !\; Знак\; равно\; \prod \; К\; знак\; равно\; 0\; \lceil \; N\; 2\; \rceil \; -\; 1\; (N\; -\; 2\; К)\; знак\; равно\; N\; (N\; -\; 2)\; (N\; -\; 4)\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lceil\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\; -1\}\; (n-2k)\; =\; n\; (n-2)\; (n-4)\; \backslash \; cdots.\}$

Для четного n двойной факториал равен

$n!\; !\; Знак\; равно\; \prod \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; 2\; (2\; К)\; знак\; равно\; N\; (N\; -\; 2)\; (N\; -\; 4)\; \cdots \; 4\; \cdot \; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; !!\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; (2k)\; =\; n\; (n-2)\; (n-4)\; \backslash \; cdots\; 4\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash ,,\}$

, а для нечетного n это

$n!\; !\; Знак\; равно\; \prod \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; +\; 1\; 2\; (2\; K\; -\; 1)\; знак\; равно\; N\; (N\; -\; 2)\; (N\; -\; 4)\; \cdots \; 3\; \cdot \; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; !!\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{2\}\}\; (2k-1)\; =\; n\; (n-2)\; (n-4)\; \backslash \; cdots\; 3\; \backslash \; cdot\; 1\; \backslash ,.\}$

Например, 9 !! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. Двойной нулевой факториал 0 !! = 1 как пустой продукт.

последовательность двойных факториалов для четных n = 0, 2, 4, 6, 8,... начинается как

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (последовательность A000165 в OEIS )

Последовательность двойных факториалов для нечетных n = 1, 3, 5, 7, 9,... начинается как

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (последовательность A001147 в OEIS )

Член нечетный Факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа.

• 1 История и использование
• 2 Отношение к факториалу
• 3 Приложения в перечислительной комбинаторике
• 4 Расширения
  • 4.1 Отрицательные аргументы
  • 4.2 Сложные аргументы
• 5 Дополнительные тождества
• 6 Обобщения
  • 6.1 Определения
  • 6.2 Альтернативное расширение многофакторного
  • 6.3 Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции
  • 6.4 Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций
• 7 Ссылки

Meserve (1948) (возможно, самый ранний указание использовать двойную факториальную нотацию) утверждает, что двойной факториал был первоначально введен для упрощения выражения некоторых тригонометрических интегралов, которые возникают при выводе произведения Уоллиса. Двойные факториалы также возникают при выражении объема гиперсферы, и они имеют множество приложений в перечислительной комбинаторике. Они встречаются в t-распределении Стьюдента (1908), хотя Госсет не использовал нотацию с двойным восклицательным знаком.

Поскольку двойной факториал включает только половину множителей обычного факториала, его значение не существенно больше квадратного корня из факториала n !, и он намного меньше повторного факториала (n!) !.

Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов:

$n!\; =\; п!\; !\; \cdot \; (п\; -\; 1)!\; !,\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; n\; !!\; \backslash \; cdot\; (n-1)\; !!\; \backslash ,,\}$

и, следовательно,

$n!\; !\; =\; п!\; (п\; -\; 1)!\; !\; =\; (п\; +\; 1)!\; (п\; +\; 1)!\; !,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(n-1)\; !!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n\; +\; 1)!\}\; \{(n\; +\; 1)\; !!\}\}\; \backslash ,,\; \}$

, где знаменатель исключает нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется, когда n = 0.)

Для четного неотрицательного целого числа n = 2k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как

$n!\; !\; =\; 2\; к\; к!.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\; =\; 2\; ^\; \{k\}\; k!\; \backslash ,.\}$

Для нечетных n = 2k - 1 с k ≥ 1 объединение двух приведенных выше дисплеев дает

$n!\; !\; =\; (2\; к)!\; 2\; к\; к!\; =\; (2\; к\; -\; 1)!\; 2\; к\; -\; 1\; (к\; -\; 1)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2k)!\}\; \{2\; ^\; \{k\}\; k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2k-1)!\}\; \{2\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\}\}\; \backslash ,.\}$

Для нечетного положительного целого числа n = 2k - 1 с k ≥ 1 двойной факториал может быть выражен в терминах k-перестановок 2k as

$(2\; k\; -\; 1)!\; !\; =\; 2\; К\; P\; К\; 2\; К\; =\; (2\; К)\; К\; \_\; 2\; К.\; \{\backslash \; displaystyle\; (2k-1)\; !!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\_\; \{2k\}\; P\_\; \{k\}\}\; \{2\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2k)\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\}\; \{\; 2\; ^\; \{k\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Пятнадцать различных корневых двоичных деревьев (с неупорядоченными дочерними элементами) на наборе из четырех помеченных листьев, иллюстрирующих 15 = ( 2 × 4 - 3) !! (см. текст статьи).

Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других параметрах настройки. Например, n !! для нечетных значений n отсчетов

• Полное совпадение полного графа K n + 1 для нечетных n. В таком графе любая единственная вершина v имеет n возможных вариантов вершины, с которой она может быть сопоставлена, и после того, как этот выбор сделан, остающейся проблемой является выбор идеального сопоставления в полном графе с двумя меньшими вершинами. Например, полный граф с четырьмя вершинами a, b, c и d имеет три идеальных соответствия: ab и cd, ac и bd, а также ad и bc. Идеальные соответствия можно описать несколькими другими эквивалентными способами, включая инволюции без фиксированных точек на наборе из n + 1 элементов (перестановки, в которых каждый цикл является парой) или хордовые диаграммы ( наборы хорд из набора из n + 1 точек, равномерно расположенных по окружности, так что каждая точка является конечной точкой ровно одной хорды, также называемые диаграммами Брауэра ). Число совпадений в полных графах, без ограничения совпадений на идеальное, вместо этого задается телефонными номерами, которые могут быть выражены как суммирование с использованием двойных факториалов.
• Перестановки Стирлинга, перестановки мультимножества чисел 1, 1, 2, 2,..., k, k, в которых каждая пара равных чисел разделена только большими числами, где k = n + 1/2. Две копии k должны быть смежными; удаление их из перестановки оставляет перестановку, в которой максимальный элемент равен k - 1, с n позициями, в которые может быть помещена смежная пара k значений. Из этой рекурсивной конструкции по индукции следует доказательство того, что перестановки Стирлинга подсчитываются двойными перестановками. В качестве альтернативы, вместо ограничения на то, что значения между парой могут быть больше, чем она, можно также рассмотреть перестановки этого мультимножества, в которых первые копии каждой пары появляются в отсортированном порядке; такая перестановка определяет соответствие на 2k позициях перестановки, поэтому снова количество перестановок можно подсчитать с помощью двойных перестановок.
• Деревья с упорядочением кучи, деревья с k + 1 узлами, помеченными 0, 1, 2,... k, так что корень дерева имеет метку 0, каждый другой узел имеет метку большего размера, чем его родительский, и чтобы дочерние элементы каждого узла имели фиксированный порядок. обход Эйлера дерева (с удвоенными ребрами) дает перестановку Стирлинга, и каждая перестановка Стирлинга представляет дерево таким образом.
• Бинарные деревья без корня с n + 5/2 помеченными листьями. Каждое такое дерево может быть сформировано из дерева с одним меньшим листом, разделив одно из n ребер дерева и сделав новую вершину родительской для нового листа.
• Бинарные деревья с корнем с n + 3/2 маркированные листья. Этот случай аналогичен случаю без корней, но количество ребер, которые могут быть подразделены, является четным, и в дополнение к подразделению ребра можно добавить узел к дереву с одним меньшим листом, добавив новый корень, два дочерних элемента которого - меньшее дерево и новый лист.

Callan (2009) и Dale Moon (1993) перечисляют несколько дополнительных объектов с той же последовательностью подсчета, включая " трапециевидные слова "(цифры в смешанной системе счисления с увеличивающейся нечетной системой счисления), с меткой высоты пути Дайка, упорядоченные деревья с меткой высоты,« выступающие дорожки », и определенные векторы, описывающие конечный потомок с наименьшим номером каждого узла в корневом двоичном дереве. Для биективных доказательств того, что некоторые из этих объектов равносильны, см. Rubey (2008) и Marsh Martin (2011).

Четные двойные факториалы дают количество элементов групп гипероктаэдров (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )

Отрицательные аргументы

Обычный факториал при расширении до гамма-функция имеет полюс у каждого отрицательного целого числа, что предотвращает определение факториала для этих чисел. Однако двойной факториал нечетных чисел может быть расширен до любого отрицательного нечетного целочисленного аргумента, инвертируя его рекуррентное отношение

$n!!\; =\; N\; \times \; (n\; -\; 2)!!\; \{\backslash \; Displaystyle\; n\; !!\; =\; n\; \backslash \; times\; (n-2)\; !!\}$

, чтобы получить

$n!!\; =\; (n\; +\; 2)!!\; n\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n\; +\; 2)\; !!\}\; \{n\; +\; 2\}\}\; \backslash ,.\}$

Используя это обратное повторение, ( −1) !! = 1, (−3) !! = −1 и (−5) !! = 1/3; отрицательные нечетные числа большей величины имеют дробные двойные факториалы. В частности, это дает, когда n - нечетное число,

$(-\; n)!\; !\; \times \; п!\; !\; =\; (-\; 1)\; п\; -\; 1\; 2\; \times \; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; (-n)\; !!\; \backslash \; times\; n\; !!\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; times\; n\; \backslash ,.\}$

Сложные аргументы

Не обращая внимания на приведенное выше определение n !! для четных значений n двойной факториал для нечетных целых чисел можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел z, отметив, что, когда z является положительным нечетным целым числом, тогда

$z!\; !\; =\; z\; (z\; -\; 2)\; \cdots \; 3\; \cdot \; 1\; =\; 2\; z\; -\; 1\; 2\; (z\; 2)\; (z\; -\; 2\; 2)\; \cdots \; (3\; 2)\; =\; 2\; z\; -\; 1\; 2\; \Gamma \; (z\; 2\; +\; 1)\; \Gamma \; (1\; 2\; +\; 1)\; знак\; равно\; 2\; z\; +\; 1\; \pi \; \Gamma \; (z\; 2\; +\; 1)\; =\; (z\; 2)!\; 2\; z\; +\; 1\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; z\; !!\; =\; z\; (z-2)\; \backslash \; cdots\; 3\; \backslash \; cdot\; 1\; \backslash \backslash \; =\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z-2\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{z\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\; \}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)!\; \{\backslash \; Sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{z\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Отсюда можно вывести альтернативное определение z !! для неотрицательных четных целых значений z:

$(2\; k)!\; !\; Знак\; равно\; 2\; \pi \; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; К\; (2\; я)\; знак\; равно\; 2\; К\; К!\; 2\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; (2k)\; !!\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; (2i)\; =\; 2\; ^\; \{k\}\; k!\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash ,,\}$

со значением 0 !! в данном случае

$0!\; !\; =\; 2\; \pi \; \approx \; 0,797\; 884\; 5608\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; !!\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,797\; \backslash ,\; 884\; \backslash ,\; 5608\; \backslash \; dots\; \backslash ,.\}$

Выражение, найденное для z !! определен для всех комплексных чисел, кроме отрицательных четных целых чисел. Используя его как определение, объем n- мерной гиперсферы радиуса R можно выразить как

$V\; n\; =\; 2\; (2\; \pi )\; п\; -\; 1\; 2\; п!\; !\; R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{2\}\}\}\; \{n\; !!\}\}\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Для целых значений n,

$\int \; 0\; \pi \; 2\; sin\; n\; \; xdx\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; cos\; n\; \; xdx\; =\; (n\; -\; 1)!\; !\; п!\; !\; \times \; \{1,\; если\; n\; нечетно,\; \pi \; 2,\; если\; n\; четно.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n-1)\; !!\}\; \{n\; !!\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{\; нечетное\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{четное.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Использование вместо расширения двойной факториал нечетных чисел в комплексные числа, формула

$0\; \pi \; 2\; sin\; n\; \; xdx\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; cos\; n\; \; xdx\; =\; (n\; -\; 1)!\; !\; п!\; !\; \pi \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{n\}\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n-1)\; !!\}\; \{n\; !!\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Двойные факториалы также можно использовать для вычисления интегралов более сложных тригонометрических полиномов.

Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:

$(2\; n\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; 2\; n\; \Gamma \; (1\; 2\; +\; n)\; \pi \; =\; (-\; 2)\; n\; \cdot \; \pi \; \Gamma \; (1\; 2\; -\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; (2n-1)\; !!\; =\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\; \}\}\; =\; (-\; 2)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; n\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,.\; \}$

Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел:

$(2\; n\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; -\; 1\; (N\; K\; +\; 1)\; (2\; K\; -\; 1)!\; !\; (2\; п\; -\; 2\; к\; -\; 3)!\; !,\; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (2\; N\; -\; K\; -\; 1\; K\; -\; 1)\; (2\; K\; -\; 1)\; (2\; N\; -\; K\; +\; 1)\; K\; +\; 1\; (2\; N\; -\; 2\; K\; -\; 3)!\; !,\; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; (N\; -\; 1)!\; (к\; -\; 1)!\; к\; (2\; к\; -\; 3)!\; !.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (2n-1)\; !!\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; (2k-1)!\; !\; (2n-2k-3)\; !!\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; (2n-1)\; !!\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n-k-1\}\; \{k-1\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(2k-1)\; (2n-k\; +\; 1)\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; (2n-2k-3)\; !!\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; (2n-1)\; !!\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{(n-1)!\}\; \{(k-1)!\}\}\; k\; (2k-3)\; !!\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Приближенное отношение двойного факториала двух последовательных целых чисел равно

$(2\; n)!\; !\; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; \approx \; \pi \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(2n)\; !!\}\; \{(2n-1)\; !!\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\; n\}\}.\}$

Это приближение становится более точным с увеличением n.

Определения

Так же, как двойной факториал обобщает понятие одиночного факториала, следующее определение целочисленного множественные факториальные функции (мультифакториалы ) или α-факториалы расширяют понятие двойной факториальной функции для α ∈ ℤ:

Альтернативное расширение многофакторного

В качестве альтернативы, многофакторное n! (α) можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел n, отметив, что когда n на единицу больше, чем положительное кратное α тогда

$п!\; (\alpha )\; =\; n\; (n\; -\; \alpha )\; \cdots \; (\alpha \; +\; 1)\; =\; \alpha \; n\; -\; 1\; \alpha \; (n\; \alpha )\; (n\; -\; \alpha \; \alpha )\; \cdots \; (\alpha \; +\; 1\; \alpha )\; =\; \alpha \; n\; -\; 1\; \alpha \; \Gamma \; (n\; \alpha \; +\; 1)\; \Gamma \; (1\; \alpha \; +\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; n!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; =\; n\; (n-\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; cdots\; (\backslash \; alpha\; +1)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n-\; \backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{\; \backslash \; alpha\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это последнее выражение определяется гораздо шире, чем оригинал. Точно так же, как n! не определено для отрицательных целых чисел, и n !! не определено для отрицательных четных целых чисел, n! (α) не определено для отрицательных кратных α. Однако он определен для всех других комплексных чисел. Это определение согласуется с предыдущим определением только для тех целых чисел n, для которых n ≡ 1 mod α.

В дополнение к расширению n! (α) на большинство комплексных чисел n, это определение имеет особенность работы для всех положительных действительных значений α. Кроме того, когда α = 1, это определение математически эквивалентно функции Π (n), описанной выше. Кроме того, когда α = 2, это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала.

Обобщенные числа Стирлинга, расширяющим многофакторные функции

Класс обобщенных чисел Стирлинга первый вид определяется при α>0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:

$[nk]\; \alpha \; =\; (\alpha \; n\; +\; 1\; -\; 2\; \alpha )\; [n\; -\; 1\; k]\; \alpha \; +\; [n\; -\; 1\; k\; -\; 1\; ]\; \alpha \; +\; \delta \; n,\; 0\; \delta \; k,\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; (\backslash \; alpha\; n\; +\; 1-2\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \}\; n-1\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n-1\; \backslash \backslash \; k-1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{\; \backslash \; alpha\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; 0\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{k,\; 0\}\; \backslash ,.\}$

Эти обобщенные α-факториальные коэффициенты затем генерируют различные символические полиномиальные произведения, определяющие множественные факториальные или α-факториальные функции, (x - 1)! (α), поскольку

$(x\; -\; 1\; |\; \alpha )\; n\; \_:\; =\; \prod \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (x\; -\; 1\; -\; i\; \alpha )\; =\; (x\; -\; 1)\; (x\; -\; 1\; -\; \alpha )\; \cdots \; (x\; -\; 1\; -\; (n\; -\; 1)\; \alpha )\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; [nk]\; (-\; \alpha )\; n\; -\; k\; (x\; -\; 1)\; k\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; п\; [nk]\; \alpha \; (-\; 1)\; n\; -\; kxk\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (x-1\; |\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{n\}\}\; :\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; (x-1-i\; \backslash \; alpha\; \backslash \; right)\; =\; (x-1)\; (x-1-\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; x-1-\; (n-1)\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{nk\}\; (x-1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; x\; ^\; \{k-1\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Различные полиномиальные разложения в предыдущих уравнениях фактически определяют α-факториальные произведения для нескольких различных случаев наименьших вычетов x ≡ n 0 mod α для n 0 ∈ {0, 1, 2,..., α - 1}.

Обобщенные α-факториальные полиномы, σ. n(x), где σ. n(x) ≡ σ n (x), которые обобщают полиномы свертки Стирлинга от однофакториального случая к многофакторному, определяются как

$\sigma \; n\; (\alpha )\; (x):\; =\; [xx\; -\; n]\; (\alpha )\; (x\; -\; n\; -\; 1)!\; Икс\; !\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x):\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; x\; \backslash \backslash \; xn\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; frac\; \{(xn-1)!\}\; \{x!\}\}\}$

для 0 ≤ n ≤ x. Эти многочлены имеют особенно красивую замкнутую обычную производящую функцию, заданную как

$\sum \; n\; \ge \; 0\; x\; \cdot \; \sigma \; n\; (\alpha )\; (x)\; zn\; =\; e\; (1\; -\; \alpha )\; z\; (\alpha \; ze\; \alpha \; ze\; \alpha \; z\; -\; 1)\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; z\; ^\; \{n\}\; =\; e\; ^\; \{(1-\; \backslash \; alpha)\; z\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ze\; ^\; \{\backslash \; alpha\; z\}\}\; \{e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; z\}\; -1\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{x\}\; \backslash ,.\}$

Другие комбинаторные свойства и расширения этих обобщенных α -факториальные треугольники и полиномиальные последовательности рассматриваются в Schmidt (2010).

Точные конечные суммы, включающие несколько факториальных функций

Предположим, что n ≥ 1 и α ≥ 2 являются целочисленными. Затем мы можем разложить следующие отдельные конечные суммы, включающие многофакторные или α-факториальные функции, (αn - 1)! (α), с помощью символа Поххаммера и обобщенного, рациональнозначные биномиальные коэффициенты как

$(\alpha \; n\; -\; 1)!\; (\alpha )\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1\; k\; +\; 1)\; (-\; 1)\; k\; \times \; (1\; \alpha )\; -\; (k\; +\; 1)\; (1\; \alpha \; -\; n)\; k\; +\; 1\; \times \; (\alpha \; (k\; +\; 1)\; -\; 1)!\; (\alpha )\; (\alpha \; (п\; -\; к\; -\; 1)\; -\; 1)!\; (\alpha )\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1\; k\; +\; 1)\; (-\; 1)\; k\; \times \; (1\; \alpha \; +\; k\; -\; nk\; +\; 1)\; (1\; \alpha \; -\; 1\; k\; +\; 1)\; \times \; (\alpha \; (k\; +\; 1)\; -\; 1)!\; (\alpha )\; (\alpha \; (п\; -\; к\; -\; 1)\; -\; 1)!\; (\alpha ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; (\backslash \; альфа\; п-1)!\; \_\; \{(\backslash \; альфа)\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{п-1\}\; \{\backslash \; binom\; \{п-\; 1\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{-\; (k\; +\; 1)\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; -\; n\; \backslash \; right)\; \_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; alpha\; (k\; +\; 1)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}!\; \_\; \{(\backslash \; Alpha)\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; alpha\; (nk-1)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; \}\; \{k\; +\; 1\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; binom\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; +\; kn\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{\{\backslash \; frac\; \{1)\; \}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; -\; 1\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; alpha\; (k\; +\; 1)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; alpha\; (nk-1)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций на двойную сумму, заданные как

$(\alpha \; n\; -\; 1)!\; (\alpha )\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; К\; +\; 1\; (N\; -\; 1\; К\; +\; 1)\; (К\; +\; 1\; я)\; (-\; 1)\; К\; \alpha \; К\; +\; 1\; -\; я\; (\alpha \; я\; -\; 1)!\; (\alpha )\; (\alpha \; (n\; -\; 1\; -\; k)\; -\; 1)!\; (\alpha )\; \times \; (n\; -\; 1\; -\; k)\; k\; +\; 1\; -\; i\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; \sum \; i\; =\; 0\; k\; +\; 1\; (n\; -\; 1\; k\; +\; 1)\; (k\; +\; 1\; i)\; (n\; -\; 1\; -\; ik\; +\; 1\; -\; я)\; (-\; 1)\; к\; \alpha \; к\; +\; 1\; -\; я\; (\alpha \; я\; -\; 1)!\; (\alpha )\; (\alpha \; (n\; -\; 1\; -\; k)\; -\; 1)!\; (\alpha )\; \times \; (к\; +\; 1\; -\; я)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (\backslash \; alpha\; n-1)!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\; k\; +\; 1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{k\; +\; 1\}\; \{i\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{k\; +\; 1-i\}\; (\backslash \; альфа\; i-1)!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; alpha\; (n-1-k)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \backslash \; times\; (n-1-k)\; \_\; \{k\; +\; 1-i\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\}\; \{\; к\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{k\; +\; 1\}\; \{i\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1-i\}\; \{k\; +\; 1-i\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{k\; +\; 1\; -i\}\; (\backslash \; alpha\; i-1)!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; alpha\; (n-1-k)\; -1\; \{\backslash \; bigr)\}!\; \_\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \backslash \; times\; (\; k\; +\; 1-i)!.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Первые две суммы выше аналогичны по форме известному некруглому комбинаторному тождеству для двойной факториальной функции, когда α: = 2 задано как Каллан (2009).

$(2\; n\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; (N\; K\; +\; 1)\; (2\; K\; -\; 1)!\; !\; (2\; п\; -\; 2\; к\; -\; 3)!\; !.\; \{\backslash \; displaystyle\; (2n-1)\; !!\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; (2k-1)\; !!\; (2n-2k-3)\; !!.\}$

Дополнительные разложения по конечной сумме сравнений для α-факториальных функций, (αn - d)! (α), по модулю любого заданного целого числа h ≥ 2 для любого 0 ≤ d < α are given by Schmidt (2017).