Момент инерции

редактировать
О величине, также известной как «момент инерции площади», см. Второй момент площади.
Момент инерции
Маховик.jpg Маховики обладают большим моментом инерции для сглаживания вращательного движения.
Общие символы я
Единица СИ кг м 2
Прочие единицы фунт-сила фут с 2
Производные от других величин я знак равно L ω {\ displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}}
Измерение M L 2
Канатоходцы используют момент инерции длинной штанги для баланса при ходьбе по канату. Сэмюэл Диксон пересекает реку Ниагара в 1890 году.

Момент инерции, иначе известный как момент инерции, угловые массы, второй момент массы, или наиболее точно, инерция вращения, из твердого тела является величиной, которая определяет крутящий момент, необходимый для требуемого углового ускорения вокруг оси вращения, сродни тому, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения. Это зависит от распределения массы тела и выбранной оси, при этом для больших моментов требуется больший крутящий момент для изменения скорости вращения тела.

Это экстенсивное (аддитивное) свойство: для точечной массы момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения. Момент инерции жесткой составной системы - это сумма моментов инерции составляющих ее подсистем (взятых относительно одной оси). Его простейшее определение - это второй момент массы по отношению к расстоянию от оси.

Для тел, вынужденных вращаться в плоскости, имеет значение только их момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярное значение. Для тел, свободно вращающихся в трех измерениях, их моменты могут быть описаны симметричной матрицей 3 × 3 с набором взаимно перпендикулярных главных осей, для которых эта матрица диагональна, а крутящие моменты вокруг осей действуют независимо друг от друга.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Введение
  • 2 Определение
  • 3 Примеры
    • 3.1 Простой маятник
    • 3.2 Составные маятники
      • 3.2.1 Центр колебаний
  • 4 Измерение момента инерции
  • 5 Движение в неподвижной плоскости
    • 5.1 Точечная масса
      • 5.1.1 Примеры
    • 5.2 Жесткий корпус
      • 5.2.1 Угловой момент
      • 5.2.2 Кинетическая энергия
      • 5.2.3 Законы Ньютона
  • 6 Движение твердого тела в пространстве и матрица инерции
    • 6.1 Угловой момент
    • 6.2 Кинетическая энергия
    • 6.3 Результирующий крутящий момент
    • 6.4 Теорема о параллельной оси
    • 6.5 Скалярный момент инерции в плоскости
  • 7 Тензор инерции
    • 7.1 Определение
    • 7.2 Альтернативное обозначение инерции
      • 7.2.1 Определение соглашения об инерции (метод главных осей)
    • 7.3 Вывод компонент тензора
    • 7.4 Тензор инерции трансляции
    • 7.5 Тензор инерции вращения
  • 8 Матрица инерции в разных системах отсчета
    • 8.1 Каркас кузова
    • 8.2 Основные оси
    • 8.3 Эллипсоид
  • 9 См. Также
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

Вступление

Когда тело может свободно вращаться вокруг оси, необходимо приложить крутящий момент, чтобы изменить его угловой момент. Величина крутящего момента, необходимая для того, чтобы вызвать любое заданное угловое ускорение (скорость изменения угловой скорости ), пропорциональна моменту инерции тела. Момент инерции может быть выражен в единицах килограмм-метр в квадрате (кг м 2) в единицах СИ и фунт-фут-секунда в квадрате (фунт-сила фут с 2) в британских или американских единицах.

Момент инерции играет роль во вращательной кинетике, которую масса (инерция) играет в линейной кинетике - оба показателя характеризуют сопротивление тела изменениям в его движении. Момент инерции зависит от того, как масса распределяется вокруг оси вращения, и будет варьироваться в зависимости от выбранной оси. Для точечной массы момент инерции относительно некоторой оси определяется выражением, где - расстояние точки от оси, а - масса. Для протяженного твердого тела момент инерции - это просто сумма всех маленьких частей массы, умноженная на квадрат их расстояний от оси вращения. Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности это суммирование иногда дает простое выражение, которое зависит от размеров, формы и общей массы объекта. м р 2 {\ displaystyle mr ^ {2}} р {\ displaystyle r} м {\ displaystyle m}

В 1673 году Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в свое исследование колебаний тела, висящего на стержне, известного как составной маятник. Термин « момент инерции» был введен Леонардом Эйлером в его книге « Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» в 1765 году и включен во второй закон Эйлера.

Собственная частота колебаний составного маятника получается из отношения крутящего момента, создаваемого силой тяжести на массу маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции. Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из единственной точки массы, дает математическую формулировку момента инерции протяженного тела.

Момент инерции также появляется в импульсе, кинетической энергии и в законах движения Ньютона для твердого тела как физический параметр, сочетающий его форму и массу. Есть интересное различие в способе появления момента инерции при плоском и пространственном движении. Плоское движение имеет один скаляр, который определяет момент инерции, в то время как для пространственного движения те же вычисления дают матрицу моментов инерции 3 × 3, называемую матрицей инерции или тензором инерции.

Момент инерции вращающегося маховика используется в машине, чтобы противостоять изменениям приложенного крутящего момента, чтобы сгладить его вращательную мощность. Момент инерции самолета относительно его продольной, горизонтальной и вертикальной осей определяет, как управляющие силы на управляющих поверхностях его крыльев, руля высоты и руля (ов) влияют на движения самолета по крену, тангажу и рысканью.

Определение

Момент инерции определяется как произведение массы сечения на квадрат расстояния между исходной осью и центром тяжести сечения.

Фигуристы, занимающиеся вращением, могут уменьшить свой момент инерции, потянув за руки, что позволяет им вращаться быстрее благодаря сохранению углового момента. Файл: 25. Ротационен стол.ogv Воспроизвести медиа Видео эксперимента с вращающимся стулом, иллюстрирующее момент инерции. Когда вращающийся профессор тянет руки, его момент инерции уменьшается; чтобы сохранить угловой момент, его угловая скорость увеличивается.

Момент инерции I определяется как отношение чистого углового момента L системы к ее угловой скорости ω вокруг главной оси, то есть

я знак равно L ω . {\ displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}.}

Если угловой момент системы постоянен, то по мере уменьшения момента инерции угловая скорость должна увеличиваться. Это происходит, когда вращающиеся фигуристы тянут вытянутые руки или ныряльщики сгибают свои тела в положение группировки во время прыжка, чтобы вращаться быстрее.

Если форма тела не меняется, то его момент инерции появляется в законе движения Ньютона как отношение крутящего момента τ, приложенного к телу, к угловому ускорению α вокруг главной оси, т. Е.

τ знак равно я α . {\ displaystyle \ tau = I \ alpha.}

Для простого маятника это определение дает формулу для момента инерции I через массу m маятника и его расстояние r от точки поворота:

я знак равно м р 2 . {\ Displaystyle I = г-н ^ {2}.}

Таким образом, момент инерции маятника зависит как от массы тела m, так и от его геометрии или формы, определяемой расстоянием r до оси вращения.

Эта простая формула обобщает, чтобы определить момент инерции для тела произвольной формы как сумму всех элементарных точечных масс d m, каждая из которых умножена на квадрат его перпендикулярного расстояния r до оси k. Таким образом, момент инерции произвольного объекта зависит от пространственного распределения его массы.

В общем, для объекта массы m можно определить эффективный радиус k, в зависимости от конкретной оси вращения, с таким значением, чтобы его момент инерции вокруг оси был равен

я знак равно м k 2 , {\ displaystyle I = mk ^ {2},}

где k известен как радиус вращения вокруг оси.

Примеры

Простой маятник

Момент инерции можно измерить с помощью простого маятника, потому что это сопротивление вращению, вызванное силой тяжести. Математически момент инерции маятника - это отношение крутящего момента, создаваемого силой тяжести вокруг оси маятника, к его угловому ускорению относительно этой точки поворота. Для простого маятника это произведение массы частицы на квадрат расстояния от нее до оси вращения, т. Е. м {\ displaystyle m} р {\ displaystyle r}

я знак равно м р 2 . {\ Displaystyle I = г-н ^ {2}.}

Это можно показать следующим образом: сила тяжести, действующая на массу простого маятника, создает крутящий момент вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения маятника. Здесь - вектор расстояния, перпендикулярный силе к оси крутящего момента и от нее, и - результирующая сила, действующая на массу. С этим крутящий моментом является угловым ускорением,, струны и масс вокруг этой оси. Поскольку масса ограничена окружностью, тангенциальное ускорение массы равно. Поскольку уравнение крутящего момента становится: τ знак равно р × F {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} р {\ displaystyle \ mathbf {r}} F {\ displaystyle \ mathbf {F}} α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}} а знак равно α × р {\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}} F знак равно м а {\ Displaystyle \ mathbf {F} = м \ mathbf {а}}

τ знак равно р × F знак равно р × ( м α × р ) знак равно м ( ( р р ) α - ( р α ) р ) знак равно м р 2 α знак равно я α k ^ , {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ alpha}} \ раз \ mathbf {r}) \\ amp; = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ alpha}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }}) \ mathbf {r}) \\ amp; = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} = I \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {align}}}

где - единичный вектор, перпендикулярный плоскости маятника. (На предпоследнем шаге используется разложение векторного тройного произведения с перпендикулярностью и.) Величина - это момент инерции этой единственной массы вокруг точки поворота. k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}} α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}} р {\ displaystyle \ mathbf {r}} я знак равно м р 2 {\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}

Величина также появляется в угловом моменте простого маятника, который вычисляется из скорости массы маятника вокруг оси поворота, где - угловая скорость массы относительно точки поворота. Этот угловой момент определяется выражением я знак равно м р 2 {\ Displaystyle I = г-н ^ {2}} v знак равно ω × р {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}} ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

L знак равно р × п знак равно р × ( м ω × р ) знак равно м ( ( р р ) ω - ( р ω ) р ) знак равно м р 2 ω знак равно я ω k ^ , {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} amp; = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \\ amp; = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ omega}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \ mathbf {r}) \\ amp; = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = I \ omega \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {align}}}

используя аналогичный вывод к предыдущему уравнению.

Точно так же кинетическая энергия маятниковой массы определяется скоростью маятника вокруг оси поворота, что дает

E K знак равно 1 2 м v v знак равно 1 2 ( м р 2 ) ω 2 знак равно 1 2 я ω 2 . {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} \ left (mr ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}.}

Это показывает, что количество - это то, как масса сочетается с формой тела, чтобы определить инерцию вращения. Момент инерции тела произвольной формы - это сумма значений всех элементов массы в теле. я знак равно м р 2 {\ Displaystyle I = г-н ^ {2}} м р 2 {\ displaystyle mr ^ {2}}

Составные маятники

Маятники, используемые в гравиметре Менденхолла, из научного журнала 1897 г. Портативный гравиметр, разработанный в 1890 году Томасом К. Менденхоллом, обеспечил наиболее точные относительные измерения местного гравитационного поля Земли.

Соединение маятник представляет собой тело, сформированное из сборки частиц непрерывной формы, которая вращается вокруг жестко шарнира. Его момент инерции - это сумма моментов инерции каждой из частиц, из которых он состоит. Естественная частота () составного маятника зависит от его момента инерции,, ω п {\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}}} я п {\ displaystyle I_ {P}}

ω п знак равно м грамм р я п , {\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},} где - масса объекта, - локальное ускорение свободного падения, - расстояние от точки поворота до центра масс объекта. Измерение этой частоты колебаний при малых угловых перемещениях обеспечивает эффективный способ измерения момента инерции тела. м {\ displaystyle m} грамм {\ displaystyle g} р {\ displaystyle r}

Таким образом, чтобы определить момент инерции тела, просто подвесьте его за удобную точку поворота, чтобы оно свободно качалось в плоскости, перпендикулярной направлению желаемого момента инерции, затем измерьте его собственную частоту или период колебаний (), чтобы получить п {\ displaystyle P} т {\ displaystyle t}

я п знак равно м грамм р ω п 2 знак равно м грамм р т 2 4 π 2 , {\ displaystyle I_ {P} = {\ frac {mgr} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {mgrt ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} }},} где - период (длительность) колебаний (обычно усредненный за несколько периодов). т {\ displaystyle t}

Центр колебаний

Простой маятник, который имеет ту же собственную частоту, что и составной маятник, определяет длину от оси до точки, называемой центром колебаний составного маятника. Эта точка также соответствует центру удара. Длина определяется по формуле, L {\ displaystyle L} L {\ displaystyle L}

ω п знак равно грамм L знак равно м грамм р я п , {\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},} или L знак равно грамм ω п 2 знак равно я п м р . {\ displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {I_ {P}} {mr}}.}

Секунд маятник, который обеспечивает «тик» и «так» на напольные часы, занимает одну секунду, чтобы качаться из стороны в сторону. Это период в две секунды или собственная частота маятника. В этом случае расстояние до центра колебаний,, можно вычислить как π   р а d / s {\ Displaystyle \ пи \ \ mathrm {рад / с}} L {\ displaystyle L}

L знак равно грамм ω п 2 9,81   м / s 2 ( 3,14   р а d / s ) 2 0,99   м . {\ displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} \ приблизительно {\ frac {9,81 \ \ mathrm {m / s ^ {2}}} {( 3.14 \ \ mathrm {rad / s}) ^ {2}}} \ приблизительно 0.99 \ \ mathrm {m}.}

Обратите внимание, что расстояние до центра колебания секундного маятника должно быть отрегулировано, чтобы соответствовать различным значениям местного ускорения свободного падения. Маятник Катера - это составной маятник, который использует это свойство для измерения местного ускорения свободного падения и называется гравиметром.

Момент инерции измерения

Момент инерции сложной системы, такой как транспортное средство или самолет, вокруг своей вертикальной оси можно измерить, подвесив систему в трех точках, чтобы сформировать трехниточный маятник. Трехзаходный маятник - это платформа, поддерживаемая тремя проволоками, которые могут колебаться при кручении вокруг своей вертикальной центроидной оси. Период колебаний трехзаходного маятника дает момент инерции системы.

Движение в неподвижной плоскости

Точечная масса

Четыре объекта с одинаковыми массами и радиусами мчатся по самолету без скольжения. Сзади на перед: Время достижения каждым объектом финишной черты зависит от их момента инерции. ( Версия OGV )

Момент инерции относительно оси тела вычисляется путем суммирования для каждой частицы в теле, где - перпендикулярное расстояние к указанной оси. Чтобы увидеть, как возникает момент инерции при изучении движения протяженного тела, удобно рассмотреть жесткую совокупность точечных масс. (Это уравнение можно использовать для осей, которые не являются главными осями, при условии, что понимается, что это не полностью описывает момент инерции.) м р 2 {\ displaystyle mr ^ {2}} р {\ displaystyle r}

Рассмотрим кинетическую энергию сборки масс, лежащих на расстоянии от точки поворота, которая является ближайшей точкой на оси вращения. Это сумма кинетической энергии отдельных масс, N {\ displaystyle N} м я {\ displaystyle m_ {i}} р я {\ displaystyle r_ {i}} п {\ displaystyle P}

E K знак равно я знак равно 1 N 1 2 м я v я v я знак равно я знак равно 1 N 1 2 м я ( ω р я ) 2 знак равно 1 2 ω 2 я знак равно 1 N м я р я 2 . {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ left (\ omega r_ {i} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \, \ omega ^ {2} \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Это показывает, что момент инерции тела является суммой каждого из членов, то есть м р 2 {\ displaystyle mr ^ {2}}

я п знак равно я знак равно 1 N м я р я 2 . {\ displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Таким образом, момент инерции - это физическое свойство, объединяющее массу и распределение частиц вокруг оси вращения. Обратите внимание, что вращение вокруг разных осей одного и того же тела дает разные моменты инерции.

Момент инерции сплошного тела, вращающегося вокруг заданной оси, вычисляется таким же образом, за исключением бесконечного числа точечных частиц. Таким образом, пределы суммирования снимаются, и сумма записывается следующим образом:

я п знак равно я м я р я 2 {\ displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

Другое выражение заменяет суммирование интегралом,

я п знак равно Q ρ ( Икс , у , z ) р 2 d V {\ Displaystyle I_ {P} = \ iiint _ {Q} \ rho (x, y, z) \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ {2} dV}

Здесь функция дает плотность массы в каждой точке, представляет собой вектор, перпендикулярный оси вращения и простирающийся от точки на оси вращения до точки в твердом теле, а интегрирование оценивается по объему тела. Момент инерции плоской поверхности аналогичен тому, что плотность массы заменяется ее поверхностной плотностью массы с интегралом, вычисляемым по ее площади. ρ {\ displaystyle \ rho} ( Икс , у , z ) {\ Displaystyle (х, у, г)} р {\ displaystyle \ mathbf {r}} ( Икс , у , z ) {\ Displaystyle (х, у, г)} V {\ displaystyle V} Q {\ displaystyle Q}

Примечание о втором моменте площади: момент инерции тела, движущегося в плоскости, и второй момент площади поперечного сечения балки часто путают. Момент инерции тела, имеющего форму поперечного сечения, - это второй момент этой области относительно оси, перпендикулярной поперечному сечению, взвешенный по его плотности. Это также называется полярным моментом области и представляет собой сумму вторых моментов относительно осей - и -осей. Напряжения в балке рассчитываются с использованием второго момента площади поперечного сечения вокруг оси -оси или -оси в зависимости от нагрузки. z {\ displaystyle z} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y}

Примеры

Основная статья: Список моментов инерции Момент инерции стержня center.svg

Момент инерции составного маятника, созданного из тонкого диска, установленного на конце тонкого стержня, который колеблется вокруг оси на другом конце стержня, начинается с вычисления момента инерции тонкого стержня и тонкого диска. об их соответствующих центрах масс.

  • Момент инерции тонкого стержня с постоянным поперечным сечением и плотностью и длиной относительно перпендикулярной оси, проходящей через его центр масс, определяется интегрированием. Совместите ось-ось со стержнем и поместите начало координат его центр масс в центре стержня, затем s {\ displaystyle s} ρ {\ displaystyle \ rho} {\ displaystyle \ ell} Икс {\ displaystyle x} я C , стержень знак равно Q ρ Икс 2 d V знак равно - 2 2 ρ Икс 2 s d Икс знак равно ρ s Икс 3 3 | - 2 2 знак равно ρ s 3 ( 3 8 + 3 8 ) знак равно м 2 12 , {\ displaystyle I_ {C, {\ text {rod}}} = \ iiint _ {Q} \ rho \, x ^ {2} \, dV = \ int _ {- {\ frac {\ ell} {2} }} ^ {\ frac {\ ell} {2}} \ rho \, x ^ {2} s \, dx = \ left. \ rho s {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ right | _ {- {\ frac {\ ell} {2}}} ^ {\ frac {\ ell} {2}} = {\ frac {\ rho s} {3}} \ left ({\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} + {\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} \ right) = {\ frac {m \ ell ^ {2}} {12}},} где - масса стержня. м знак равно ρ s {\ displaystyle m = \ rho s \ ell}
  • Момент инерции тонкого диска постоянной толщины, радиуса и плотности вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его грани (параллельной оси вращательной симметрии ), определяется интегрированием. Совместите ось-ось с осью диска и определите элемент объема как, затем s {\ displaystyle s} р {\ displaystyle R} ρ {\ displaystyle \ rho} z {\ displaystyle z} d V знак равно s р d р d θ {\ Displaystyle dV = SR \, dr \, d \ theta} я C , диск знак равно Q ρ р 2 d V знак равно 0 2 π 0 р ρ р 2 s р d р d θ знак равно 2 π ρ s р 4 4 знак равно 1 2 м р 2 , {\ displaystyle I_ {C, {\ text {disc}}} = \ iiint _ {Q} \ rho \, r ^ {2} \, dV = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {R} \ rho r ^ {2} sr \, dr \, d \ theta = 2 \ pi \ rho s {\ frac {R ^ {4}} {4}} = {\ frac {1 } {2}} мР ^ {2},} где его масса. м знак равно π р 2 ρ s {\ displaystyle m = \ pi R ^ {2} \ rho s}
  • Момент инерции составного маятника теперь получается путем сложения момента инерции стержня и диска вокруг точки поворота как, п {\ displaystyle P} я п знак равно я C , стержень + M стержень ( L 2 ) 2 + я C , диск + M диск ( L + р ) 2 , {\ displaystyle I_ {P} = I_ {C, {\ text {rod}}} + M _ {\ text {rod}} \ left ({\ frac {L} {2}} \ right) ^ {2} + I_ {C, {\ text {disc}}} + M _ {\ text {disc}} (L + R) ^ {2},} где - длина маятника. Обратите внимание, что теорема о параллельных осях используется для смещения момента инерции от центра масс к точке поворота маятника. L {\ displaystyle L}

Список моментов инерции формул для стандартных форм тела дает возможность получить момент инерции сложного тела как совокупность простых фасонных тел. Теорема о параллельных осях используется для смещения контрольной точки отдельных тел в контрольную точку сборки.

Момент инерции твердой сферы.svg

В качестве еще одного примера рассмотрим момент инерции твердого шара постоянной плотности вокруг оси, проходящей через его центр масс. Это определяется суммированием моментов инерции тонких дисков, которые могут образовывать сферу, центры которой расположены вдоль выбранной для рассмотрения оси. Если поверхность шара определяется уравнением

Икс 2 + у 2 + z 2 знак равно р 2 , {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2},}

тогда квадрат радиуса диска в поперечном сечении по оси -0 равен р {\ displaystyle r} z {\ displaystyle z} z {\ displaystyle z}

р ( z ) 2 знак равно Икс 2 + у 2 знак равно р 2 - z 2 . {\ displaystyle r (z) ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} -z ^ {2}.}

Следовательно, момент инерции шара - это сумма моментов инерции дисков вдоль оси -оси, z {\ displaystyle z}

я C , мяч знак равно - р р π ρ 2 р ( z ) 4 d z знак равно - р р π ρ 2 ( р 2 - z 2 ) 2 d z знак равно π ρ 2 ( р 4 z - 2 3 р 2 z 3 + 1 5 z 5 ) | - р р знак равно π ρ ( 1 - 2 3 + 1 5 ) р 5 знак равно 2 5 м р 2 , {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {C, {\ text {ball}}} amp; = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} r (z) ^ {4} \, dz = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {2} -z ^ {2} \ right) ^ {2} \, dz \\ amp; = \ left. {\ Frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {4} z - {\ frac {2} {3}} R ^ { 2} z ^ {3} + {\ frac {1} {5}} z ^ {5} \ right) \ right | _ {- R} ^ {R} \\ amp; = \ pi \ rho \ left (1 - {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {5}} \ right) R ^ {5} \\ amp; = {\ frac {2} {5}} mR ^ {2}, \ конец {выровнено}}}

где масса шара. м знак равно 4 3 π р 3 ρ {\ Displaystyle м = {\ гидроразрыва {4} {3}} \ pi R ^ {3} \ rho}

Жесткое тело

Цилиндры с более высоким моментом инерции катятся по склону с меньшим ускорением, так как большая часть их потенциальной энергии должна быть преобразована в кинетическую энергию вращения.

Если механическая система вынуждена двигаться параллельно фиксированной плоскости, то вращение тела в системе происходит вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. В этом случае момент инерции массы в этой системе является скаляром, известным как полярный момент инерции. Определение полярного момента инерции можно получить, рассматривая импульс, кинетическую энергию и законы Ньютона для плоского движения жесткой системы частиц. k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

Если система частиц собрана в твердое тело, то импульс системы может быть записан в терминах положений относительно опорной точки и абсолютных скоростей: п {\ displaystyle n} п я , я знак равно 1 , , п {\ Displaystyle P_ {я}, я = 1, \ точки, п} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} v я {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}

Δ р я знак равно р я - р , v я знак равно ω × ( р я - р ) + V знак равно ω × Δ р я + V , {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} amp; = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}, \\\ mathbf {v} _ {i} amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + \ mathbf {V} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Дельта \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V}, \ end {align}}} где - угловая скорость системы, - скорость. ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} V {\ displaystyle \ mathbf {V}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

Для плоского движения вектор угловой скорости направлен вдоль единичного вектора, перпендикулярного плоскости движения. Представьте единичные векторы от опорной точки до точки и единичный вектор, так что k {\ displaystyle \ mathbf {k}} е я {\ Displaystyle \ mathbf {е} _ {я}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} р я {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}} т ^ я знак равно k ^ × е ^ я {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}

е ^ я знак равно Δ р я Δ р я , k ^ знак равно ω ω , т ^ я знак равно k ^ × е ^ я , v я знак равно ω × Δ р я + V знак равно ω k ^ × Δ р я е ^ я + V знак равно ω Δ р я т ^ я + V {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} amp; = {\ frac {\ Delta \ mathbf {r} _ {i}} {\ Delta r_ {i}}}, \ quad \ mathbf {\ hat {k}} = {\ frac {\ boldsymbol {\ omega}} {\ omega}}, \ quad \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}, \\\ mathbf {v} _ {i} amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ end {выровнено}}}

Это определяет вектор относительного положения и вектор скорости для жесткой системы частиц, движущихся в плоскости.

Примечание относительно векторного произведения: когда тело движется параллельно плоскости земли, траектории всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных этой плоскости земли. Это означает, что любое вращение тела должно происходить вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Плоское движение часто проецируется на эту плоскость земли, так что ось вращения отображается как точка. В этом случае угловая скорость и угловое ускорение тела являются скалярами, и тот факт, что они являются векторами вдоль оси вращения, игнорируется. Обычно это предпочтительнее для введения в тему. Но в случае момента инерции сочетание массы и геометрии выигрывает от геометрических свойств перекрестного произведения. По этой причине в этом разделе, посвященном плоскому движению, угловая скорость и ускорения тела являются векторами, перпендикулярными плоскости земли, а операции с поперечным произведением такие же, как и при исследовании пространственного движения твердого тела.

Угловой момент

Вектор момента количества движения для плоского движения жесткой системы частиц определяется выражением

L знак равно я знак равно 1 п м я Δ р я × v я знак равно я знак равно 1 п м я Δ р я е ^ я × ( ω Δ р я т ^ я + V ) знак равно ( я знак равно 1 п м я Δ р я 2 ) ω k ^ + ( я знак равно 1 п м я Δ р я е ^ я ) × V . {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ left ( \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \\ amp; = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ right) \ omega \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {V}. \ End {align}}}

Используйте центр масс как точку отсчета, чтобы C {\ displaystyle \ mathbf {C}}

Δ р я е ^ я знак равно р я - C , я знак равно 1 п м я Δ р я е ^ я знак равно 0 , {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} amp; = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}, \\\ сумма _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} amp; = 0, \ end {выровнено}}}

и определим момент инерции относительно центра масс как я C {\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

я C знак равно я м я Δ р я 2 , {\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}} = \ sum _ {i} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2},}

то уравнение для углового момента упрощается до

L знак равно я C ω k ^ . {\ displaystyle \ mathbf {L} = I _ {\ mathbf {C}} \ omega \ mathbf {\ hat {k}}.}

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс, известен как полярный момент инерции. В частности, это второй момент массы по отношению к ортогональному расстоянию от оси (или полюса). я C {\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

Для данного количества углового момента уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости. Фигуристы могут изменить момент инерции, потянув за руки. Таким образом, угловая скорость, достигаемая фигуристом с вытянутыми руками, приводит к большей угловой скорости, когда руки втянуты внутрь, из-за уменьшенного момента инерции. Однако фигурист - не твердое тело.

Кинетическая энергия

Эти роторные ножницы 1906 года используют момент инерции двух маховиков для хранения кинетической энергии, которая при высвобождении используется для резки металлической заготовки (Международная технологическая библиотека, 1906).

Кинетическая энергия жесткой системы частиц, движущихся в плоскости, определяется выражением

E K знак равно 1 2 я знак равно 1 п м я v я v я , знак равно 1 2 я знак равно 1 п м я ( ω Δ р я т ^ я + V ) ( ω Δ р я т ^ я + V ) , знак равно 1 2 ω 2 ( я знак равно 1 п м я Δ р я 2 т ^ я т ^ я ) + ω V ( я знак равно 1 п м я Δ р я т ^ я ) + 1 2 ( я знак равно 1 п м я ) V V . {\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {K}} amp; = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i}, \\ amp; = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right), \\ amp; = {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ right) + \ omega \ mathbf {V} \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i } \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}. \ конец {выровнено}}}

Пусть точкой отсчета будет центр масс системы, чтобы второй член стал равным нулю, и введите момент инерции, чтобы кинетическая энергия была выражена как C {\ displaystyle \ mathbf {C}} я C {\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

E K знак равно 1 2 я C ω 2 + 1 2 M V V . {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ mathbf {C}} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}.}

Момент инерции - это полярный момент инерции тела. я C {\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

Законы Ньютона

Трактор John Deere 1920-х годов с маховиком со спицами на двигателе. Большой момент инерции маховика облегчает работу трактора.

Законы Ньютона для жесткой системы частиц можно записать в терминах результирующей силы и крутящего момента в контрольной точке, чтобы получить п {\ displaystyle n} п я , я знак равно 1 , , п {\ Displaystyle P_ {я}, я = 1, \ точки, п} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

F знак равно я знак равно 1 п м я А я , τ знак равно я знак равно 1 п Δ р я × м я А я , {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \\ {\ boldsymbol {\ tau }} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \ end {выровнено}}} где обозначает траекторию каждой частицы. р я {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}

В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы с точки зрения положения и ускорения опорной частицы, а также вектора угловой скорости и вектора углового ускорения жесткой системы частиц, как, п я {\ displaystyle P_ {i}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} А {\ displaystyle \ mathbf {A}} ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}

А я знак равно α × Δ р я + ω × ω × Δ р я + А . {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {A}.}

Для систем, которые ограничены плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы от опорной точки к точке и единичные векторы, так что k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}} е ^ я {\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {е}} _ {я}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} р я {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}} т ^ я знак равно k ^ × е ^ я {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}

А я знак равно α k ^ × Δ р я е ^ я - ω k ^ × ω k ^ × Δ р я е ^ я + А знак равно α Δ р я т ^ я - ω 2 Δ р я е ^ я + А . {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} _ {i} amp; = \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ { i} - \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \\ amp; = \ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e} } _ {i} + \ mathbf {A}. \ end {выравнивается}}}

Это дает результирующий крутящий момент в системе как

τ знак равно я знак равно 1 п м я Δ р я е ^ я × ( α Δ р я т ^ я - ω 2 Δ р я е ^ я + А ) знак равно ( я знак равно 1 п м я Δ р я 2 ) α k ^ + ( я знак равно 1 п м я Δ р я е ^ я ) × А , {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e }} _ {i} \ times \ left (\ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \ right) \\ amp; = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ { 2} \ right) \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat { e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {A}, \ end {align}}}

где, и - единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц. е ^ я × е ^ я знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {е}} _ {я} \ раз \ mathbf {\ шляпа {е}} _ {я} = \ mathbf {0}} е ^ я × т ^ я знак равно k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}}} п я {\ displaystyle P_ {i}}

Используйте центр масс в качестве опорной точки и определите момент инерции относительно центра масс, тогда уравнение для результирующего крутящего момента упрощается до C {\ displaystyle \ mathbf {C}} я C {\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

τ знак равно я C α k ^ . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = I _ {\ mathbf {C}} \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}.}

Движение твердого тела в пространстве и матрица инерции

Скалярные моменты инерции появляются как элементы в матрице, когда система частиц собирается в твердое тело, которое движется в трехмерном пространстве. Эта матрица инерции появляется при вычислении углового момента, кинетической энергии и результирующего момента жесткой системы частиц.

Для анализа волчка см. Прецессия § Классическая (ньютоновская) и уравнения Эйлера (динамика твердого тела).

Пусть система частиц расположена в координатах со скоростями относительно фиксированной системы отсчета. Для (возможно движущейся) контрольной точки относительные положения п {\ displaystyle n} п я , я знак равно 1 , . . . , п {\ displaystyle P_ {i}, i = 1,..., n} р я {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}} v я {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

Δ р я знак равно р я - р {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}

а (абсолютные) скорости равны

v я знак равно ω × Δ р я + V р {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}}}

где - угловая скорость системы, а - скорость. ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} V р {\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

Угловой момент

Обратите внимание, что перекрестное произведение может быть эквивалентно записано как матричное умножение путем объединения первого операнда и оператора в кососимметричную матрицу, построенную из компонентов: [ б ] {\ displaystyle \ left [\ mathbf {b} \ right]} б знак равно ( б Икс , б у , б z ) {\ displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {x}, b_ {y}, b_ {z})}

б × у [ б ] у [ б ] [ 0 - б z б у б z 0 - б Икс - б у б Икс 0 ] . {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {b} \ times \ mathbf {y} amp; \ Equiv \ left [\ mathbf {b} \ right] \ mathbf {y} \\\ left [\ mathbf {b} \ right] amp; \ Equiv {\ begin {bmatrix} 0 amp; -b_ {z} amp; b_ {y} \\ b_ {z} amp; 0 amp; -b_ {x} \\ - b_ {y} amp; b_ {x} amp; 0 \ end {bmatrix }}. \ end {выровнены}}}

Матрица инерции строится с учетом момента количества движения, при этом исходная точка тела выбирается в качестве центра масс: р {\ displaystyle \ mathbf {R}} C {\ displaystyle \ mathbf {C}}

L знак равно я знак равно 1 п м я Δ р я × v я знак равно я знак равно 1 п м я Δ р я × ( ω × Δ р я + V р ) знак равно ( - я знак равно 1 п м я Δ р я × ( Δ р я × ω ) ) + ( я знак равно 1 п м я Δ р я × V р ) , {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf { v} _ {i} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ right) \\ amp; = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ { n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ справа), \ end {align}}}

где члены, содержащие (), суммируются до нуля по определению центра масс. V р {\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}} знак равно C {\ displaystyle = \ mathbf {C}}

Затем кососимметричная матрица, полученная из вектора относительного положения, может использоваться для определения, [ Δ р я ] {\ displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]} Δ р я знак равно р я - C {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}

L знак равно ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) ω знак равно я C ω , {\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

где определено я C {\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}

я C знак равно - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 , {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] ^ {2},}

- симметричная инерционная матрица жесткой системы частиц, измеренная относительно центра масс. C {\ displaystyle \ mathbf {C}}

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия жесткой системы частиц может быть сформулирована в терминах центра масс и матрицы моментов инерции системы. Пусть система частиц расположена в координатах со скоростями, тогда кинетическая энергия равна п {\ displaystyle n} п я , я знак равно 1 , . . . , п {\ displaystyle P_ {i}, i = 1,..., n} р я {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}} v я {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}

E K знак равно 1 2 я знак равно 1 п м я v я v я знак равно 1 2 я знак равно 1 п м я ( ω × Δ р я + V C ) ( ω × Δ р я + V C ) , {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ { i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right),}

где - вектор положения частицы относительно центра масс. Δ р я знак равно р я - C {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}

Это уравнение расширяется и дает три члена

E K знак равно 1 2 ( я знак равно 1 п м я ( ω × Δ р я ) ( ω × Δ р я ) ) + ( я знак равно 1 п м я V C ( ω × Δ р я ) ) + 1 2 ( я знак равно 1 п м я V C V C ) . {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right).}

Второй член в этом уравнении равен нулю, потому что это центр масс. Введите кососимметричную матрицу, чтобы кинетическая энергия стала C {\ displaystyle \ mathbf {C}} [ Δ р я ] {\ displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}

E K знак равно 1 2 ( я знак равно 1 п м я ( [ Δ р я ] ω ) ( [ Δ р я ] ω ) ) + 1 2 ( я знак равно 1 п м я ) V C V C знак равно 1 2 ( я знак равно 1 п м я ( ω Т [ Δ р я ] Т [ Δ р я ] ω ) ) + 1 2 ( я знак равно 1 п м я ) V C V C знак равно 1 2 ω ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) ω + 1 2 ( я знак равно 1 п м я ) V C V C . {\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {K}} amp; = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ cdot \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ amp; = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {\ mathsf { T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ amp; = { \ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}}. \ end {align}}}

Таким образом, кинетическая энергия жесткой системы частиц определяется выражением

E K знак равно 1 2 ω я C ω + 1 2 M V C 2 . {\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} ^ {2}.}

где - матрица инерции относительно центра масс, - полная масса. я C {\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}} M {\ displaystyle M}

Результирующий крутящий момент

Матрица инерции появляется в применении второго закона Ньютона к жесткой совокупности частиц. Результирующий крутящий момент в этой системе:

τ знак равно я знак равно 1 п ( р я - р ) × м я а я , {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R} \ right) \ times m_ {i} \ mathbf {a} _ {i},}

где - ускорение частицы. В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы с точкой зрения положения и ускорения опорной точки, а также вектора угловой скорости и вектора углового ускорения жесткой системы, как, а я {\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {я}} п я {\ displaystyle P_ {i}} п я {\ displaystyle P_ {i}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} А р {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}}} ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}

а я знак равно α × ( р я - р ) + ω × ( ω × ( р я - р ) ) + А р . {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) \ right) + \ mathbf {A} _ { \ mathbf {R}}.}

Используйте центр масс в качестве опорной точки и введите кососимметричную матрицу, чтобы представить перекрестное произведение, чтобы получить C {\ displaystyle \ mathbf {C}} [ Δ р я ] знак равно [ р я - C ] {\ displaystyle \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] = \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right]} ( р я - C ) × {\ displaystyle (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}) \ times}

τ знак равно ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) α + ω × ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}}}

В расчете используется тождество

Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) + ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) знак равно 0 , {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _) {i} \ right) \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) = 0,}

полученное из тождества Якоби для тройного перекрестного произведения, как показано в доказательстве ниже:

Доказательство  - τ знак равно я знак равно 1 п ( р я - р ) × ( м я а я ) знак равно я знак равно 1 п Δ р я × ( м я а я ) знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × а я ]  скалярное умножение между произведениями знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( а касательный , я + а центростремительный , я + А р ) ] знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( а касательный , я + а центростремительный , я + 0 ) ] р  либо находится в состоянии покоя, либо движется с постоянной скоростью, но не ускоряется, либо  начало фиксированной (мировой) системы координат помещается в центр масс  C знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × а касательный , я + Δ р я × а центростремительный , я ]  перекрестное распределение продуктов над сложением знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + Δ р я × ( ω × v касательный , я ) ] τ знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) ] {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R}) \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times \ mathbf {a} _ {i}] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangential}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {центростремительный }}, i} + \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}})] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangential}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {centripetal}}, i} +0) ] \\ amp; \; \; \; \; \; \ ldots \; \ mathbf {R} {\ text {либо покоится, либо движется с постоянной скоростью, но не ускоряется, либо}} \\ amp; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; {\ text {начало фиксированной (мировой) системы координат помещается в центр масс}} \ mathbf {C} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {tangential}}, i} + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {{\ text {tangential}}, i})] \\ {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol { \ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\\ конец {выровнено}}}

Затем в последнем члене используется следующее тождество Якоби :

0 знак равно Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) + ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) + ( ω × Δ р я ) × ( Δ р я × ω ) знак равно Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) + ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) + ( ω × Δ р я ) × - ( ω × Δ р я )  антикоммутативность между произведениями знак равно Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) + ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) + - [ ( ω × Δ р я ) × ( ω × Δ р я ) ]  скалярное умножение между произведениями знак равно Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) + ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) + - [ 0 ]  собственное кросс-произведение 0 знак равно Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) + ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) {\ displaystyle {\ begin {align} 0 amp; = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \\ amp; = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r) } _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times - ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \; \ ldots {\ text {антикоммутативность между произведениями}} \\ amp; = {\ смелый bol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ раз {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение между произведениями}} \\ amp; = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}) } \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [0] \; \ ldots {\ text {self cross-product}} \\ 0 amp; = {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r}) _ {i})) + {\ b oldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ end {align}}}

Результат применения тождества Якоби может быть продолжен следующим образом:

Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) знак равно - [ ω × ( ( ω × Δ р я ) × Δ р я ) ] знак равно - [ ( ω × Δ р я ) ( ω Δ р я ) - Δ р я ( ω ( ω × Δ р я ) ) ]  вектор тройное произведение знак равно - [ ( ω × Δ р я ) ( ω Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ( ω × ω ) ) ]  скалярное тройное произведение знак равно - [ ( ω × Δ р я ) ( ω Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ( 0 ) ) ]  собственное кросс-произведение знак равно - [ ( ω × Δ р я ) ( ω Δ р я ) ] знак равно - [ ω × ( Δ р я ( ω Δ р я ) ) ]  скалярное умножение между произведениями знак равно ω × - ( Δ р я ( ω Δ р я ) )  скалярное умножение между произведениями Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) знак равно ω × - ( Δ р я ( Δ р я ω ) )  коммутативность скалярных произведений {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) amp; = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ amp; = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ раз {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}))] \; \ ldots {\ text {векторное тройное произведение}} \\ amp; = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}))] \; \ ldots { \ text {тройное скалярное произведение}} \\ amp; = - [ ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot (0)) ] \; \ ldots {\ text {собственное кросс-произведение}} \\ amp; = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ amp; = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \; \ ldots { \ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega }} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ время s - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})) \; \ ldots {\ text {коммутативность скалярных произведений}} \\\ конец {выровнено}}}

Затем окончательный результат можно подставить в основное доказательство следующим образом:

τ знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + Δ р я × ( ω × ( ω × Δ р я ) ) ] знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × - ( Δ р я ( Δ р я ω ) ) ] знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { 0 - Δ р я ( Δ р я ω ) } ] знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { [ ω ( Δ р я Δ р я ) - ω ( Δ р я Δ р я ) ] - Δ р я ( Δ р я ω ) } ] ω ( Δ р я Δ р я ) - ω ( Δ р я Δ р я ) знак равно 0 знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { [ ω ( Δ р я Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ω ) ] - ω ( Δ р я Δ р я ) } ]  сложение ассоциативности {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}))] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol { \ omega}} \ times \ {0 - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( {\ boldsymb ol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) = 0 \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})] - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \}] \; \ ldots {\ text {дополнительная ассоциативность}} \\\ end {выровнено}}} знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { ω ( Δ р я Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ω ) } - ω × ω ( Δ р я Δ р я ) ]  перекрестное распределение продуктов над сложением знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { ω ( Δ р я Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ω ) } - ( Δ р я Δ р я ) ( ω × ω ) ]  скалярное умножение между произведениями знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { ω ( Δ р я Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ω ) } - ( Δ р я Δ р я ) ( 0 ) ]  собственное кросс-произведение знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { ω ( Δ р я Δ р я ) - Δ р я ( Δ р я ω ) } ] знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( α × Δ р я ) + ω × { Δ р я × ( ω × Δ р я ) } ]  вектор тройное произведение знак равно я знак равно 1 п м я [ Δ р я × - ( Δ р я × α ) + ω × { Δ р я × - ( Δ р я × ω ) } ]  антикоммутативность между произведениями знак равно - я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × α ) + ω × { Δ р я × ( Δ р я × ω ) } ]  скалярное умножение между произведениями знак равно - я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × α ) ] + - я знак равно 1 п м я [ ω × { Δ р я × ( Δ р я × ω ) } ]  суммирующая распределенность τ знак равно - я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × α ) ] + ω × - я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × ω ) ] ω  не характерно для частицы  п я {\ displaystyle {\ begin {align} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text { распределенность между продуктами над сложением}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({ \ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ b oldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({ \ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) (0)] \; \ ldots {\ text {self cross-product}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ { {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \}] \; \ ldots {\ text {векторное тройное произведение}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ раз - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {антикоммутативность между произведениями}} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ раз ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r}) _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {суммирование распределенности}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = - \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times { \ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega} } {\ text {не характерно для частицы}} P_ {i} \ end {align}}}

Обратите внимание, что для любого вектора выполняется следующее: ты {\ displaystyle \ mathbf {u} \,}

- я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × ты ) ] знак равно - я знак равно 1 п м я ( [ 0 - Δ р 3 , я Δ р 2 , я Δ р 3 , я 0 - Δ р 1 , я - Δ р 2 , я Δ р 1 , я 0 ] ( [ 0 - Δ р 3 , я Δ р 2 , я Δ р 3 , я 0 - Δ р 1 , я - Δ р 2 , я Δ р 1 , я 0 ] [ ты 1 ты 2 ты 3 ] ) )  перекрестное произведение как матричное умножение знак равно - я знак равно 1 п м я ( [ 0 - Δ р 3 , я Δ р 2 , я Δ р 3 , я 0 - Δ р 1 , я - Δ р 2 , я Δ р 1 , я 0 ] [ - Δ р 3 , я ты 2 + Δ р 2 , я ты 3 + Δ р 3 , я ты 1 - Δ р 1 , я ты 3 - Δ р 2 , я ты 1 + Δ р 1 , я ты 2 ] ) знак равно - я знак равно 1 п м я [ - Δ р 3 , я ( + Δ р 3 , я ты 1 - Δ р 1 , я ты 3 ) + Δ р 2 , я ( - Δ р 2 , я ты 1 + Δ р 1 , я ты 2 ) + Δ р 3 , я ( - Δ р 3 , я ты 2 + Δ р 2 , я ты 3 ) - Δ р 1 , я ( - Δ р 2 , я ты 1 + Δ р 1 , я ты 2 ) - Δ р 2 , я ( - Δ р 3 , я ты 2 + Δ р 2 , я ты 3 ) + Δ р 1 , я ( + Δ р 3 , я ты 1 - Δ р 1 , я ты 3 ) ] знак равно - я знак равно 1 п м я [ - Δ р 3 , я 2 ты 1 + Δ р 1 , я Δ р 3 , я ты 3 - Δ р 2 , я 2 ты 1 + Δ р 1 , я Δ р 2 , я ты 2 - Δ р 3 , я 2 ты 2 + Δ р 2 , я Δ р 3 , я ты 3 + Δ р 2 , я Δ р 1 , я ты 1 - Δ р 1 , я 2 ты 2 + Δ р 3 , я Δ р 2 , я ты 2 - Δ р 2 , я 2 ты 3 + Δ р 3 , я Δ р 1 , я ты 1 - Δ р 1 , я 2 ты 3 ] знак равно - я знак равно 1 п м я [ - ( Δ р 2 , я 2 + Δ р 3 , я 2 ) ты 1 + Δ р 1 , я Δ р 2 , я ты 2 + Δ р 1 , я Δ р 3 , я ты 3 + Δ р 2 , я Δ р 1 , я ты 1 - ( Δ р 1 , я 2 + Δ р 3 , я 2 ) ты 2 + Δ р 2 , я Δ р 3 , я ты 3 + Δ р 3 , я Δ р 1 , я ты 1 + Δ р 3 , я Δ р 2 , я ты 2 - ( Δ р 1 , я 2 + Δ р 2 , я 2 ) ты 3 ] знак равно - я знак равно 1 п м я [ - ( Δ р 2 , я 2 + Δ р 3 , я 2 ) Δ р 1 , я Δ р 2 , я Δ р 1 , я Δ р 3 , я Δ р 2 , я Δ р 1 , я - ( Δ р 1 , я 2 + Δ р 3 , я 2 ) Δ р 2 , я Δ р 3 , я Δ р 3 , я Δ р 1 , я Δ р 3 , я Δ р 2 , я - ( Δ р 1 , я 2 + Δ р 2 , я 2 ) ] [ ты 1 ты 2 ты 3 ] знак равно - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ты - я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × ты ) ] знак равно ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) ты ты  не характерно для  п я {\ displaystyle {\ begin {align} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix } 0 amp; - \ Delta r_ {3, i} amp; \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} amp; 0 amp; - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i } amp; \ Delta r_ {1, i} amp; 0 \ end {bmatrix}} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 amp; - \ Delta r_ {3, i} amp; \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} amp; 0 amp; - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} amp; \ Delta r_ {1, i} amp; 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ { 1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \ right) \ right) \; \ ldots {\ text {кросс-произведение как матричное умножение}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 amp; - \ Delta r_ {3, i} amp; \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ { 3, i} amp; 0 amp; - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} amp; \ Delta r_ {1, i} amp; 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {3, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3} \\ - \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2} \ end {bmatrix}} \ right) \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} (+ \ Delta r_ {3, i} \, u_ {1} - \ Дельта r_ {1, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ + \ Delta r_ {3, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) - \ Дельта r_ {1, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ - \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {1, i} (+ \ Delta r_ {3, i } \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3}) \ end {bmatrix}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3 } - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} \\ - \ Delta r_ { 3, i} ^ {2} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ { 1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {2} \\ + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {3} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix } - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Дельта r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - (\ Delta r_ { 1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) amp; \ Delta r_ {1, i } \ Delta r_ {2, i} amp; \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} amp; - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) amp; \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} amp; \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} amp; - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ mathbf {u} \\ [6pt] - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] amp; = \ left ( - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) \ mathbf {u} \; \ ldots \; \ mathbf {u} {\ текст {не характерен для}} P_ {i} \ end {align}}}

Наконец, результат используется для завершения основного доказательства следующим образом:

τ знак равно - я знак равно 1 п м я [ Δ р я × ( Δ р я × α ) ] + ω × - я знак равно 1 п м я Δ р я × ( Δ р я × ω ) ] знак равно ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) α + ω × ( - я знак равно 1 п м я [ Δ р я ] 2 ) ω {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \\ amp; = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ справа) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {align}}}

Таким образом, результирующий крутящий момент на жесткой системе частиц определяется выражением

τ знак равно я C α + ω × я C ω , {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

где - матрица инерции относительно центра масс. я C {\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}

Теорема о параллельной оси

Основная статья: Теорема о параллельной оси

Матрица инерции тела зависит от выбора точки отсчета. Существует полезная взаимосвязь между матрицей инерции относительно центра масс и матрицей инерции относительно другой точки. Это соотношение называется теоремой о параллельных осях. C {\ displaystyle \ mathbf {C}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

Рассмотрим матрицу инерции, полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно контрольной точки, которая определяется выражением я р {\ displaystyle \ mathbf {I_ {R}}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

я р знак равно - я знак равно 1 п м я [ р я - р ] 2 . {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf { R} \ right] ^ {2}.}

Пусть - центр масс жесткой системы, тогда C {\ displaystyle \ mathbf {C}}

р знак равно ( р - C ) + C знак равно d + C , {\ Displaystyle \ mathbf {R} = (\ mathbf {R} - \ mathbf {C}) + \ mathbf {C} = \ mathbf {d} + \ mathbf {C},}

где - вектор от центра масс до реперной точки. Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции, d {\ displaystyle \ mathbf {d}} C {\ displaystyle \ mathbf {C}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

я р знак равно - я знак равно 1 п м я [ р я - ( C + d ) ] 2 знак равно - я знак равно 1 п м я [ ( р я - C ) - d ] 2 . {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {C} + \ mathbf {d} \ right)] ^ {2} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right) - \ mathbf {d}] ^ {2}.}

Распределите по перекрестному произведению, чтобы получить

я р знак равно - ( я знак равно 1 п м я [ р я - C ] 2 ) + ( я знак равно 1 п м я [ р я - C ] ) [ d ] + [ d ] ( я знак равно 1 п м я [ р я - C ] ) - ( я знак равно 1 п м я ) [ d ] 2 . {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] ^ {2} \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] \ right) [\ mathbf {d}] + [\ mathbf {d}] \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C }] \ right) - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) [\ mathbf {d}] ^ {2}.}

Первый член - это матрица инерции относительно центра масс. Второй и третий члены равны нулю по определению центра масс. И последний член - это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы, построенной из. я C {\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}} C {\ displaystyle \ mathbf {C}} [ d ] {\ Displaystyle [\ mathbf {d}]} d {\ displaystyle \ mathbf {d}}

Результатом является теорема о параллельности оси,

я р знак равно я C - M [ d ] 2 , {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} -M [\ mathbf {d}] ^ {2},}

где - вектор от центра масс до реперной точки. d {\ displaystyle \ mathbf {d}} C {\ displaystyle \ mathbf {C}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

Обратите внимание на знак минус: при использовании асимметричной матрицы векторов положения относительно опорной точки матрица инерции каждой частицы имеет форму, аналогичную форме, которая появляется при плоском движении. Однако для правильной работы необходим знак минус. Этот знак минус можно при желании включить в член, используя свойство асимметрии. - м [ р ] 2 {\ displaystyle -m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {2}} м р 2 {\ displaystyle mr ^ {2}} м [ р ] Т [ р ] {\ displaystyle m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ mathbf {r} \ right]} [ р ] {\ displaystyle [\ mathbf {r}]}

Скалярный момент инерции в плоскости

Скалярный момент инерции тела относительно заданной оси, направление которой задается единичным вектором и проходит через тело в точке, выглядит следующим образом: я L {\ displaystyle I_ {L}} k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

я L знак равно k ^ ( - я знак равно 1 N м я [ Δ р я ] 2 ) k ^ знак равно k ^ я р k ^ знак равно k ^ Т я р k ^ , {\ displaystyle I_ {L} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf { \ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}},}

где - матрица момента инерции системы относительно опорной точки, а - кососимметричная матрица, полученная из вектора. я р {\ displaystyle \ mathbf {I_ {R}}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} [ Δ р я ] {\ displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]} Δ р я знак равно р я - р {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}

Это выводится следующим образом. Пусть жесткая совокупность частиц, имеет координаты. Выбор в качестве опорной точки и вычислить момент инерции вокруг линии L, определяемой единичным вектором через контрольную точку,. Перпендикулярный вектор от этой линии к частице получается путем удаления компонента, на который проецируется. п {\ displaystyle n} п я , я знак равно 1 , . . . , п {\ displaystyle P_ {i}, i = 1,..., n} р я {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} L ( т ) знак равно р + т k ^ {\ displaystyle \ mathbf {L} (t) = \ mathbf {R} + t \ mathbf {\ hat {k}}} п я {\ displaystyle P_ {i}} Δ р я {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}} k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

Δ р я знак равно Δ р я - ( k ^ Δ р я ) k ^ знак равно ( E - k ^ k ^ Т ) Δ р я , {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} = \ Delta \ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ left (\ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ Delta \ mathbf {r} _ {i},}

где - единичная матрица, чтобы избежать путаницы с матрицей инерции, и - матрица внешнего произведения, сформированная из единичного вектора вдоль линии. E {\ displaystyle \ mathbf {E}} k ^ k ^ Т {\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {к}} \ mathbf {\ шляпа {k}} ^ {\ mathsf {T}}} k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}} L {\ displaystyle L}

Чтобы связать этот скалярный момент инерции с матрицей инерции тела, введите кососимметричную матрицу так, чтобы тогда мы имели тождество [ k ^ ] {\ displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right]} [ k ^ ] у знак равно k ^ × у {\ displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ mathbf {y} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {y}}

- [ k ^ ] 2 | k ^ | 2 ( E - k ^ k ^ Т ) знак равно E - k ^ k ^ Т , {\ displaystyle - \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ Equiv \ left | \ mathbf {\ hat {k}} \ right | ^ {2} \ left (\ mathbf { E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}},}

отмечая, что это единичный вектор. k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

Квадрат величины перпендикулярного вектора равен

| Δ р я | 2 знак равно ( - [ k ^ ] 2 Δ р я ) ( - [ k ^ ] 2 Δ р я ) знак равно ( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) ( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} amp; = \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat { k}} \ right] ^ {2} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ Дельта \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ amp; = \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ end {выравнивается}}}

При упрощении этого уравнения используется тождество тройного скалярного произведения

( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) ( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) ( ( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) × k ^ ) ( k ^ × Δ р я ) , {\ displaystyle \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ Equiv \ left ( \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ times \ mathbf { \ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right),}

где точка и кросс-произведения поменялись местами. Обмен товарами и упрощение, отмечая, что и ортогональны: Δ р я {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}} k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) ( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) знак равно ( ( k ^ × ( k ^ × Δ р я ) ) × k ^ ) ( k ^ × Δ р я ) знак равно ( k ^ × Δ р я ) ( - Δ р я × k ^ ) знак равно - k ^ ( Δ р я × Δ р я × k ^ ) знак равно - k ^ [ Δ р я ] 2 k ^ . {\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \) right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ справа) \\ = {} amp; \ left (\ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i}) \ right) \ right) \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ = {} amp; \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ Delta \ mathbf {r} _ {i } \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} amp; - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} amp; - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}}. \ end {выравнивается}}}

Таким образом, момент инерции вокруг линии, проходящей в направлении, получается из расчета L {\ displaystyle L} р {\ displaystyle \ mathbf {R}} k ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

я L знак равно я знак равно 1 N м я | Δ р я | 2 знак равно - я знак равно 1 N м я k ^ [ Δ р я ] 2 k ^ знак равно k ^ ( - я знак равно 1 N м я [ Δ р я ] 2 ) k ^ знак равно k ^ я р k ^ знак равно k ^ Т я р k ^ , {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {L} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i } \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} \\ amp; = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R }} \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {выравнивается}}}

где - матрица момента инерции системы относительно реперной точки. я р {\ displaystyle \ mathbf {I_ {R}}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

Это показывает, что матрица инерции может использоваться для вычисления момента инерции тела вокруг любой заданной оси вращения в теле.

Тензор инерции

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей. В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Момент инерции тензора удобный способ суммировать все моменты инерции объекта с одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки в пространстве, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение

Для твердого объекта точечных масс тензор момента инерции имеет вид N {\ displaystyle N} м k {\ displaystyle m_ {k}}

я знак равно [ я 11 я 12 я 13 я 21 год я 22 я 23 я 31 год я 32 я 33 ] . {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} amp; I_ {12} amp; I_ {13} \\ I_ {21} amp; I_ {22} amp; I_ {23} \\ I_ {31} amp; I_ {32 } amp; I_ {33} \ end {bmatrix}}.}

Его компоненты определяются как

я я j   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k ( р k 2 δ я j - Икс я ( k ) Икс j ( k ) ) {\ displaystyle I_ {ij} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ left \ | \ mathbf {r } _ {k} \ right \ | ^ {2} \ delta _ {ij} -x_ {i} ^ {(k)} x_ {j} ^ {(k)} \ right)}

куда

  • я {\ displaystyle i}, Равно 1, 2 или 3 для, и, соответственно, j {\ displaystyle j} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} z {\ displaystyle z}
  • р k знак равно ( Икс 1 ( k ) , Икс 2 ( k ) , Икс 3 ( k ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ left (x_ {1} ^ {(k)}, x_ {2} ^ {(k)}, x_ {3} ^ {(k)} \ right)}- вектор к точечной массе из точки, относительно которой вычисляется тензор, и м k {\ displaystyle m_ {k}}
  • δ я j {\ displaystyle \ delta _ {ij}}- дельта Кронекера.

Отметим, что по определению это симметричный тензор. я {\ displaystyle \ mathbf {I}}

Диагональные элементы более кратко записываются как

я Икс Икс   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k ( у k 2 + z k 2 ) , я у у   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k ( Икс k 2 + z k 2 ) , я z z   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k ( Икс k 2 + у k 2 ) , {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {xx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {yy} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1 } ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {zz} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right), \ end {выровнено }}}

в то время как недиагональные элементы, также называемые продуктами инерции, являются

я Икс у знак равно я у Икс   знак равно d е ж   - k знак равно 1 N м k Икс k у k , я Икс z знак равно я z Икс   знак равно d е ж   - k знак равно 1 N м k Икс k z k , я у z знак равно я z у   знак равно d е ж   - k знак равно 1 N м k у k z k . {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {xy} = I_ {yx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ { k} x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ { N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}. \ End {align}}}

Здесь обозначает момент инерции вокруг -оси, когда объекты вращаются вокруг оси x, обозначает момент инерции вокруг -оси, когда объекты вращаются вокруг -оси, и так далее. я Икс Икс {\ displaystyle I_ {xx}} Икс {\ displaystyle x} я Икс у {\ displaystyle I_ {xy}} у {\ displaystyle y} Икс {\ displaystyle x}

Эти величины могут быть обобщены для объекта с распределенной массой, описываемого функцией плотности массы, аналогично скалярному моменту инерции. Тогда есть

я знак равно V ρ ( Икс , у , z ) ( р 2 E 3 - р р ) d Икс d у d z , {\ displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint _ {V} \ rho (x, y, z) \ left (\ | \ mathbf {r} \ | ^ {2} \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r} \ right) \, dx \, dy \, dz,}

где - их внешнее произведение, E 3 - единичная матрица 3 × 3, а V - область пространства, полностью содержащая объект. р р {\ displaystyle \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r}}

В качестве альтернативы это также можно записать в терминах оператора углового момента : [ р ] Икс знак равно р × Икс {\ Displaystyle [\ mathbf {r}] \ mathbf {x} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {x}}

я знак равно V ρ ( р ) [ р ] Т [ р ] d V знак равно - Q ρ ( р ) [ р ] 2 d V {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {\textf {T}} [\ mathbf {r}] \, dV = - \ iiint _ {Q} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {2} \, dV}

Тензор инерции можно использовать так же, как и матрицу инерции, для вычисления скалярного момента инерции относительно произвольной оси в направлении, п {\ Displaystyle \ mathbf {п}}

я п знак равно п я п , {\ Displaystyle I_ {п} = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {n},}

где скалярное произведение берется с соответствующими элементами в компонентных тензорах. Член продукта инерции, полученный вычислением я 12 {\ displaystyle I_ {12}}

я 12 знак равно е 1 я е 2 , {\ displaystyle I_ {12} = \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {e} _ {2},} и может интерпретироваться как момент инерции вокруг оси -оси, когда объект вращается вокруг оси -оси. Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y}

Компоненты тензоров второй степени можно собрать в матрицу. Для тензора инерции эта матрица имеет вид

я знак равно [ я 11 я 12 я 13 я 21 год я 22 я 23 я 31 год я 32 я 33 ] знак равно [ я Икс Икс я Икс у я Икс z я у Икс я у у я у z я z Икс я z у я z z ] знак равно [ k знак равно 1 N м k ( у k 2 + z k 2 ) - k знак равно 1 N м k Икс k у k - k знак равно 1 N м k Икс k z k - k знак равно 1 N м k Икс k у k k знак равно 1 N м k ( Икс k 2 + z k 2 ) - k знак равно 1 N м k у k z k - k знак равно 1 N м k Икс k z k - k знак равно 1 N м k у k z k k знак равно 1 N м k ( Икс k 2 + у k 2 ) ] . {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} amp; I_ {12} amp; I_ {13} \\ I_ {21} amp; I_ {22} amp; I_ {23} \\ I_ {31} amp; I_ {32 } amp; I_ {33} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} amp; I_ {xy} amp; I_ {xz} \\ I_ {yx} amp; I_ {yy} amp; I_ {yz} \\ I_ {zx} amp; I_ {zy} amp; I_ {zz} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ { N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k } z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right) \ end {bmatrix}}.}

Обычно в механике твердого тела с использованием обозначений, которые явным образом идентифицирует, и -axes, такие, как и для компонент тензора инерции. Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} z {\ displaystyle z} я Икс Икс {\ displaystyle I_ {xx}} я Икс у {\ displaystyle I_ {xy}}

Альтернативное соглашение об инерции

Есть некоторые приложения CAD и CAE, такие как SolidWorks, Unigraphics NX / Siemens NX и MSC Adams, которые используют альтернативное соглашение для продуктов инерции. Согласно этому соглашению, знак минус удаляется из произведения формул инерции и вместо этого вставляется в матрицу инерции:

я Икс у знак равно я у Икс   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k Икс k у k , я Икс z знак равно я z Икс   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k Икс k z k , я у z знак равно я z у   знак равно d е ж   k знак равно 1 N м k у k z k , я знак равно [ я 11 я 12 я 13 я 21 год я 22 я 23 я 31 год я 32 я 33 ] знак равно [ я Икс Икс - я Икс у - я Икс z - я у Икс я у у - я у z - я z Икс - я z у я z z ] знак равно [ k знак равно 1 N м k ( у k 2 + z k 2 ) - k знак равно 1 N м k Икс k у k - k знак равно 1 N м k Икс k z k - k знак равно 1 N м k Икс k у k k знак равно 1 N м k ( Икс k 2 + z k 2 ) - k знак равно 1 N м k у k z k - k знак равно 1 N м k Икс k z k - k знак равно 1 N м k у k z k k знак равно 1 N м k ( Икс k 2 + у k 2 ) ] . {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {xy} = I_ {yx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k } x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}, \\ [3pt] \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} amp; I_ {12} amp; I_ {13} \\ I_ {21 } amp; I_ {22} amp; I_ {23} \\ I_ {31} amp; I_ {32} amp; I_ {33} \ end {bmatrix}} amp; = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} amp; - I_ {xy} amp; - I_ {xz} \\ - I_ {yx} amp; I_ {yy} amp; - I_ {yz} \\ - I_ {zx} amp; - I_ {zy} amp; I_ {zz} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k } ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right) \ end {bmatrix}}. \ end {выравнивается}}}

Определите соглашение об инерции (метод главных осей)

Если у кого-то есть данные об инерции, не зная, какое соглашение об инерции было использовано, можно определить, есть ли у него также главные оси. При использовании метода главных осей матрицы инерции создаются из следующих двух предположений: ( я Икс Икс , я у у , я z z , я Икс у , я Икс z , я у z ) {\ displaystyle (I_ {xx}, I_ {yy}, I_ {zz}, I_ {xy}, I_ {xz}, I_ {yz})}

  1. Использовано стандартное соглашение об инерции. ( я 12 знак равно я Икс у , я 13 знак равно я Икс z , я 23 знак равно я у z ) {\ displaystyle (I_ {12} = I_ {xy}, I_ {13} = I_ {xz}, I_ {23} = I_ {yz})}
  2. Было использовано альтернативное соглашение об инерции. ( я 12 знак равно - я Икс у , я 13 знак равно - я Икс z , я 23 знак равно - я у z ) {\ displaystyle (I_ {12} = - I_ {xy}, I_ {13} = - I_ {xz}, I_ {23} = - I_ {yz})}

Затем вычисляются собственные векторы для двух матриц. Матрица, собственные векторы которой параллельны главным осям, соответствует принятому условию инерции.

Вывод компонент тензора

Расстояние частицы at от оси вращения, проходящей через начало координат в направлении, где - единичный вектор. Момент инерции на оси равен р {\ displaystyle r} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} п ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}} | Икс - ( Икс п ^ ) п ^ | {\ displaystyle \ left | \ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right |} п ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}

я знак равно м р 2 знак равно м ( Икс - ( Икс п ^ ) п ^ ) ( Икс - ( Икс п ^ ) п ^ ) знак равно м ( Икс 2 - 2 Икс ( Икс п ^ ) п ^ + ( Икс п ^ ) 2 п ^ 2 ) знак равно м ( Икс 2 - ( Икс п ^ ) 2 ) . {\ Displaystyle I = г-н ^ {2} = м \ влево (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {п }} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ left (\ mathbf {x} ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n }} + \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ mathbf {\ hat {n}} ^ {2} \ right) = m \ left ( \ mathbf {x} ^ {2} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ right).}

Перепишите уравнение, используя транспонирование матрицы :

я знак равно м ( Икс Т Икс - п ^ Т Икс Икс Т п ^ ) знак равно м п ^ Т ( Икс Т Икс E 3 - Икс Икс Т ) п ^ , {\ displaystyle I = m \ left (\ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ mathbf {x} - \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\textf {T}} \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\textf {T}} \ left (\ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {E_ {3}} - \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}},}

где E 3 - единичная матрица 3 × 3.

Это приводит к тензорной формуле для момента инерции

я знак равно м [ п 1 п 2 п 3 ] [ у 2 + z 2 - Икс у - Икс z - у Икс Икс 2 + z 2 - у z - z Икс - z у Икс 2 + у 2 ] [ п 1 п 2 п 3 ] . {\ displaystyle I = m {\ begin {bmatrix} n_ {1} amp; n_ {2} amp; n_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y ^ {2} + z ^ {2} amp; - xy amp; -xz \\ - yx amp; x ^ {2} + z ^ {2} amp; - yz \\ - zx amp; -zy amp; x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} n_ {1 } \\ n_ {2} \\ n_ {3} \ end {bmatrix}}.}

Для множественных частиц нам нужно только вспомнить, что момент инерции аддитивен, чтобы убедиться, что эта формула верна.

Тензор инерции перевода

Основная статья: Теорема о параллельной оси § Тензорное обобщение

Пусть - тензор инерции тела, вычисленный в его центре масс, и - вектор смещения тела. Тензор инерции перенесенного тела относительно его первоначального центра масс определяется выражением: я 0 {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {0}} р {\ displaystyle \ mathbf {R}}

я знак равно я 0 + м [ ( р р ) E 3 - р р ] {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {I} _ {0} + м [(\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R}) \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf {R} \ otimes \ mathbf {R}]} где - масса тела, E 3 - единичная матрица 3 × 3, - внешний продукт. м {\ displaystyle m} {\ displaystyle \ otimes}

Тензор инерции вращения

Позвольте быть

матрица, которая представляет вращение тела. Тензор инерции вращающегося тела определяется выражением: р {\ displaystyle \ mathbf {R}} я знак равно р я 0 р Т {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {R} \ mathbf {I_ {0}} \ mathbf {R} ^ {\textf {T}}}

Матрица инерции в разных системах отсчета

Использование матрицы инерции во втором законе Ньютона предполагает, что ее компоненты вычисляются относительно осей, параллельных инерциальной системе отсчета, а не относительно неподвижной системы отсчета. Это означает, что по мере движения тела компоненты матрицы инерции изменяются со временем. Напротив, компоненты матрицы инерции, измеренные в неподвижной раме, являются постоянными.

Каркас кузова

Обозначим матрицу инерции корпуса относительно центра масс и определим ориентацию корпуса относительно инерциальной системы координат с помощью матрицы вращения, так что, я C B {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}} А {\ displaystyle \ mathbf {A}}

Икс знак равно А у , {\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {y},}

где векторы в неподвижной системе координат тела имеют координаты в инерциальной системе координат. Тогда матрица инерции тела, измеренная в инерциальной системе отсчета, имеет вид у {\ displaystyle \ mathbf {y}} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}}

я C знак равно А я C B А Т . {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = \ mathbf {A} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T }}.}

Обратите внимание, что изменяется по мере движения тела, при этом остается неизменным. А {\ displaystyle \ mathbf {A}} я C B {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}

Основные оси

Матрица инерции, измеренная в корпусе, представляет собой постоянную действительную симметричную матрицу. Вещественная симметричная матрица имеет собственное разложение на произведение матрицы вращения и диагональной матрицы, заданное формулой Q {\ displaystyle \ mathbf {Q}} Λ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}

я C B знак равно Q Λ Q Т , {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} = \ mathbf {Q} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {Q} ^ {\ mathsf {T}},}

куда

Λ знак равно [ я 1 0 0 0 я 2 0 0 0 я 3 ] . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; I_ {2} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; I_ {3} \ end {bmatrix}}.}

Столбцы матрицы поворота определяют направление главных осей тела, а также константы, и называются

главными моменты инерции. Этот результат был впервые показан Дж. Дж. Сильвестром (1852 г.) и представляет собой форму закона инерции Сильвестра. Главную ось с наивысшим моментом инерции иногда называют осью фигуры или осью фигуры. Q {\ displaystyle \ mathbf {Q}} я 1 {\ displaystyle I_ {1}} я 2 {\ displaystyle I_ {2}} я 3 {\ displaystyle I_ {3}}

Когда все главные моменты инерции различны, главные оси, проходящие через центр масс, задаются однозначно, и твердое тело называется асимметричным волчком. Если два главных момента совпадают, твердое тело называется симметричным волчком, и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три главных момента одинаковы, твердое тело называется сферической вершиной (хотя она не обязательно должна быть сферической), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков для любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка, то есть она симметрична при вращении на

360 ° / м вокруг данной оси, эта ось является главной осью. Когда твердое тело представляет собой симметричный волчок. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, это сферическая вершина, например, куб или любое другое платоново твердое тело. м {\ displaystyle m} м gt; 2 {\ displaystyle mgt; 2}

Движения из транспортных средств часто описывается в терминах рыскания, тангажа и крена, которые, как правило, примерно соответствует вращению вокруг трех главных осей. Если автомобиль имеет двустороннюю симметрию, то одна из главных осей будет точно соответствовать поперечной (тангажной) оси.

Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины, что в основном означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью, чтобы колесо не качалось.

Вращающиеся молекулы также классифицируются как асимметричные, симметричные или сферические вершины, и структура их вращательных спектров различна для каждого типа.

Эллипсоид

Эллипсоид с полом-меченых главными диаметрами, и. а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b} c {\ displaystyle c}

Матрица момента инерции в координатах тело-рама представляет собой квадратичную форму, которая определяет поверхность в теле, называемую эллипсоидом Пуансо. Пусть - матрица инерции относительно центра масс, совмещенная с главными осями, тогда поверхность Λ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}

Икс Т Λ Икс знак равно 1 , {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = 1,}

или

я 1 Икс 2 + я 2 у 2 + я 3 z 2 знак равно 1 , {\ displaystyle I_ {1} x ^ {2} + I_ {2} y ^ {2} + I_ {3} z ^ {2} = 1,}

определяет эллипсоид в рамке тела. Запишите это уравнение в виде

( Икс 1 / я 1 ) 2 + ( у 1 / я 2 ) 2 + ( z 1 / я 3 ) 2 знак равно 1 , {\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 / {\ sqrt {I_ {1}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {1 / {\ sqrt {I_ {2}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {z} {1 / {\ sqrt {I_ {3}}}}} \ right) ^ {2} = 1,}

чтобы увидеть, что полуглавные диаметры этого эллипсоида равны

а знак равно 1 я 1 , б знак равно 1 я 2 , c знак равно 1 я 3 . {\ displaystyle a = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {1}}}}, \ quad b = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {2}}}}, \ quad c = { \ frac {1} {\ sqrt {I_ {3}}}}.}

Пусть точка на этом эллипсоиде определяется в терминах ее величины и направления, где - единичный вектор. Тогда соотношение, представленное выше, между матрицей инерции и скалярным моментом инерции вокруг оси в направлении, дает Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} Икс знак равно Икс п {\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | \ mathbf {n}} п {\ Displaystyle \ mathbf {п}} я п {\ displaystyle I _ {\ mathbf {n}}} п {\ Displaystyle \ mathbf {п}}

Икс Т Λ Икс знак равно Икс 2 п Т Λ п знак равно Икс 2 я п знак равно 1. {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} \ mathbf {n} ^ { \ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {n} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} I _ {\ mathbf {n}} = 1.}

Таким образом, величина точки в направлении на эллипсоиде инерции равна Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} п {\ Displaystyle \ mathbf {п}}

Икс знак равно 1 я п . {\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {I _ {\ mathbf {n}}}}}.}

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-19 08:28:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте