Часть серии по |
Классическая механика |
---|
Второй закон движения |
ветви |
Основы |
Составы |
Основные темы |
Вращение |
Ученые |
|
|
В физике, А твердое тело (также известный как твердого объекта) представляет собой твердое тело, в котором деформация равна нулю или настолько мала, что ею можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя заданными точками на твердое тело остается постоянной во времени независимо от внешних сил или моментов, действующих на него. Твердое тело, как правило, рассматривается как непрерывное распределение по массе.
При изучении специальной теории относительности абсолютно твердого тела не существует; и объекты можно считать твердыми, только если они не движутся со скоростью, близкой к скорости света. В квантовой механике твердое тело обычно рассматривается как совокупность точечных масс. Например, молекулы (состоящие из точечных масс: электронов и ядер) часто рассматриваются как твердые тела (см. Классификацию молекул как жестких роторов ).
Положение твердого тела - это положение всех частиц, из которых оно состоит. Чтобы упростить описание этого положения, мы используем свойство твердости тела, а именно то, что все его частицы сохраняют одинаковое расстояние относительно друг друга. Если тело жесткое, достаточно описать положение как минимум трех неколлинеарных частиц. Это позволяет восстановить положение всех других частиц при условии, что известно их неизменное во времени положение относительно трех выбранных частиц. Однако обычно используется другой, математически более удобный, но эквивалентный подход. Положение всего тела представлено:
Таким образом, положение твердого тела имеет две составляющие: линейную и угловую соответственно. То же самое верно и для других кинематических и кинетических величин, описывающих движение твердого тела, таких как линейная и угловая скорость, ускорение, импульс, импульс и кинетическая энергия.
Линейное положение может быть представлено вектором, хвост которого находится в произвольной опорной точке в пространстве (начало выбранной системы координат ), а его вершина - в произвольной интересующей точке твердого тела, обычно совпадающей с его центром масс или центроид. Эта контрольная точка может определять начало системы координат, прикрепленной к телу.
Существует несколько способов численного описания ориентации твердого тела, включая набор из трех углов Эйлера, кватернион или матрицу направляющего косинуса (также называемую матрицей вращения ). Все эти методы фактически определяют ориентацию базисного набора (или системы координат ), который имеет фиксированную ориентацию относительно тела (т.е. вращается вместе с телом) относительно другого базисного набора (или системы координат), из которого движение твердое тело наблюдается. Например, базисный набор с фиксированной ориентацией относительно самолета может быть определен как набор из трех ортогональных единичных векторов b 1, b 2, b 3, таких, что b 1 параллелен линии хорды крыла и направлен вперед, b 2 перпендикулярно плоскости симметрии и направлено вправо, а b 3 дается перекрестным произведением.
В общем, когда твердое тело движется, его положение и ориентация меняются со временем. В кинематическом смысле эти изменения называются поступлением и вращением соответственно. Действительно, положение твердого тела можно рассматривать как гипотетическое перемещение и вращение (вращательное перемещение) тела, начиная с гипотетической исходной позиции (не обязательно совпадающей с позицией, фактически занятой телом во время его движения).
Скорость (также называемая линейной скоростью) и угловая скорость измеряются относительно системы отсчета.
Линейная скорость твердого тела - это векторная величина, равная скорости изменения его линейного положения во времени. Таким образом, это скорость точки привязки к телу. Во время чисто поступательного движения (движение без вращения) все точки твердого тела движутся с одинаковой скоростью. Однако, когда движение связано с вращением, мгновенная скорость любых двух точек тела обычно не будет одинаковой. Две точки вращающегося тела будут иметь одинаковую мгновенную скорость, только если они окажутся на оси, параллельной мгновенной оси вращения.
Угловая скорость - это векторная величина, описывающая угловую скорость, с которой изменяется ориентация твердого тела, и мгновенную ось, вокруг которой оно вращается (существование этой мгновенной оси гарантируется теоремой Эйлера о вращении ). Все точки твердого телавсегдаиспытывают одинаковую угловую скорость. Во время чисто вращательного движения все точки тела меняют положение, кроме тех, которые лежат на мгновенной оси вращения. Взаимосвязь между ориентацией и угловой скоростью не аналогична взаимосвязи между положением и скоростью. Угловая скорость - это не скорость изменения ориентации во времени, потому что не существует такого понятия, как вектор ориентации, который можно дифференцировать для получения угловой скорости.
Угловая скорость твердого тела B в системе отсчета N равна сумме угловой скорости твердого тела D в N и угловой скорости B относительно D:
В этом случае твердые тела и системы отсчета неотличимы и полностью взаимозаменяемы.
Для любого набора из трех точек P, Q и R вектор положения от P до R является суммой вектора положения от P до Q и вектора положения от Q до R:
Скорость точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени в N вектора положения от O до P:
где O - любая произвольная точка, зафиксированная в системе отсчета N, а N слева от оператора d / d t указывает, что производная берется в системе отсчета N. Результат не зависит от выбора O, если O - фиксируется в N.
Ускорение точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени N от ее скорости:
Для двух точек P и Q, которые закреплены на твердом теле B, где B имеет угловую скорость в системе отсчета N, скорость Q в N может быть выражена как функция скорости P в N:
где - вектор положения от P до Q.
Путем дифференцирования уравнения Скорости двух точек, закрепленных на твердом теле в N относительно времени, ускорение в системе отсчета N точки Q, закрепленной на твердом теле B, может быть выражено как
где - угловое ускорение B в системе отсчета N.
Как упоминалось выше, все точки твердого тела B имеют одинаковую угловую скорость в фиксированной системе отсчета N и, следовательно, одинаковое угловое ускорение.
Если точка R движется в твердом теле B, а точка B движется в системе отсчета N, то скорость R в N равна
где Q - фиксированная точка в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. Это соотношение часто сочетается с соотношением для скорости двух точек, закрепленных на твердом теле.
Ускорение в системе отсчета N точки R, движущейся в теле B, в то время как B движется в системе N, определяется выражением
где Q - фиксированная точка в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. Это уравнение часто сочетается с Ускорением двух точек, закрепленных на твердом теле.
Если C - начало локальной системы координат L, прикрепленной к телу,
куда
В 2D угловая скорость является скаляром, а матрица A (t) просто представляет поворот в плоскости xy на угол, который является интегралом угловой скорости во времени.
Транспортные средства, идущие люди и т. Д. Обычно вращаются в соответствии с изменением направления скорости: они движутся вперед относительно своей собственной ориентации. Тогда, если тело движется по замкнутой орбите в плоскости, угловая скорость, проинтегрированная за интервал времени, за который орбита совершается один раз, равна целому числу, умноженному на 360 °. Это целое число является номером намотки относительно начала скорости. Сравните количество вращения, связанное с вершинами многоугольника.
Любая точка, которая жестко связана с телом, может использоваться в качестве опорной точки (начало системы координат L) для описания линейного движения тела (линейное положение, векторы скорости и ускорения зависят от выбора).
Однако, в зависимости от приложения, удобным выбором может быть:
Когда центр масс используется как точка отсчета:
Два твердых тела называются разными (не копиями), если нет собственного вращения от одного к другому. Твердое тело называется киральным, если его зеркальное отображение отличается в этом смысле, т. Е. Если оно либо не имеет симметрии, либо его группа симметрии содержит только собственные вращения. В противном случае объект называется ахиральным: зеркальное отображение - это копия, а не другой объект. Такой объект может иметь плоскость симметрии, но не обязательно: может также существовать плоскость отражения, относительно которой изображение объекта является повернутой версией. Последнее применимо к S 2n, где n = 1 является инверсионной симметрией.
Для (жесткого) прямоугольного прозрачного листа инверсионная симметрия соответствует наличию на одной стороне изображения без симметрии вращения, а на другой стороне изображения, сквозь которое просвечивает изображение на верхней стороне, перевернутое вверх ногами. Можно выделить два случая:
Лист со сквозным изображением является ахиральным. Мы можем снова выделить два случая:
Конфигурационное пространство твердого тела с одной точкой фиксированное (т.е. тело с нулевым поступательным движением) задаются основным коллектором из группы вращений SO (3). Конфигурационное пространство нефиксированного (с ненулевым поступательным движением) твердым телом Е + (3), подгруппа прямых изометрии в евклидове группы в трех измерениях (комбинации сдвигов и поворотов ).