Кинетическая энергия

редактировать

Энергия движущегося физического тела

Кинетическая энергия
Досягаемость автомобилей американских горок их максимальная кинетическая энергия, когда они находятся внизу пути. Когда они начинают подниматься, кинетическая энергия начинает преобразовываться в гравитационную потенциальную энергию. Сумма кинетической и потенциальной энергии в системе остается постоянной, без учета потерь на трение.
Общие символы	KE, E k или T
единица СИ	джоуль (J)
Производные от. других величин	Ek= ½ m v. Ek= E t + E r

В физике кинетическая энергия (KE) объекта - это энергия, которой он обладает благодаря его движению. Он определяется как работа, необходимая для ускорения тела данной массы от состояния покоя до его заявленной скорости. Получив эту энергию во время ускорения, тело поддерживает эту кинетическую энергию, пока его скорость не изменится. Такой же объем работы совершается телом при замедлении от текущей скорости до состояния покоя.

В классической механике кинетическая энергия невращающегося объекта с массой m, движущегося со скоростью скорости v, равна $1. 2 мв 2 {\ displaystyle {\ begin {smallmatrix} {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ end {smallmatrix}}}$ ${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}mv^{2}\end{smallmatrix}}$ . В релятивистской механике это хорошее приближение, только когда v намного меньше скорости света.

Стандартной единицей кинетической энергии является джоуль, а имперская единица кинетической энергии - фут-фунт.

Содержание

1 История и этимология
2 Обзор
3 Ньютоновская кинетическая энергия
- 3.1 Кинетическая энергия твердых тел
  - 3.1. 1 Вывод
- 3.2 Вращающиеся тела
- 3.3 Кинетическая энергия систем
- 3.4 Гидродинамика
- 3.5 Система отсчета
- 3.6 Вращение в системах
4 Релятивистская кинетическая энергия твердых тел
- 4.1 Общая теория относительности
5 Кинетическая энергия в квантовой механике
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

История и этимология

У прилагательного кинетика есть свое корни в греческом слове κίνησις kinesis, означающем «движение». Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией может быть прослежена до концепции Аристотеля о действительности и потенциальности.

Принципы классической механики что E ∝ mv был впервые разработан Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, которые описали кинетическую энергию как жизненную силу vis viva. Willem's Gravesande из Нидерландов предоставили экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая грузы с разной высоты в глиняный блок, Willem's Gravesande определили, что их глубина проникновения пропорциональна квадрату их скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение эксперимента и опубликовала объяснение.

Термины кинетическая энергия и работа в их нынешнем научном значении восходят к середине 19 века. Раннее понимание этих идей можно отнести к Гаспару-Гюставу Кориолису, который в 1829 году опубликовал статью под названием Du Calcul de l'Effet des Machines, в которой излагалась математика кинетической энергии. Уильям Томсон, позже лорд Кельвин, получил признание за создание термина «кинетическая энергия» c. 1849–51.

Обзор

Энергия встречается во многих формах, включая химическую энергию, тепловую энергию, электромагнитное излучение, гравитационная энергия, электрическая энергия, упругая энергия, ядерная энергия и энергия покоя. Их можно разделить на два основных класса: потенциальная энергия и кинетическая энергия. Кинетическая энергия - это энергия движения объекта. Кинетическая энергия может передаваться между объектами и преобразовываться в другие виды энергии.

Кинетическую энергию можно лучше всего понять на примерах, демонстрирующих, как она преобразуется в другие формы энергии и из них. Например, велосипедист использует химическую энергию, обеспечиваемую пищей, для ускорения велосипеда до выбранной скорости. На ровной поверхности эту скорость можно поддерживать без дополнительных работ, за исключением преодоления сопротивления воздуха и трения. Химическая энергия была преобразована в кинетическую энергию, энергию движения, но этот процесс не совсем эффективен и вызывает тепло внутри велосипедиста.

Кинетическая энергия движущегося велосипедиста и велосипеда может быть преобразована в другие формы. Например, велосипедист может столкнуться с холмом, достаточно высоким, чтобы двигаться по инерции, так что велосипед полностью остановится на вершине. Кинетическая энергия теперь в значительной степени преобразована в гравитационную потенциальную энергию, которую можно высвободить, если спуститься с другой стороны холма. Поскольку велосипед потерял часть своей энергии из-за трения, он никогда не наберет полную скорость без дополнительных педалей. Энергия не разрушается; он был преобразован в другую форму только трением. В качестве альтернативы велосипедист может подключить к одному из колес динамо-машину и вырабатывать электрическую энергию при спуске. Велосипед двигался бы по подножию холма медленнее, чем без генератора, потому что часть энергии была преобразована в электрическую. Другой возможностью для велосипедиста было бы задействовать тормоза, и в этом случае кинетическая энергия будет рассеиваться за счет трения в виде тепла.

Как и любая физическая величина, которая является функцией скорости, кинетическая энергия объекта зависит от отношения между объектом и системой отсчета наблюдателя. Таким образом, кинетическая энергия объекта не инвариантна.

Космический аппарат использует химическую энергию для запуска и набирает значительную кинетическую энергию для достижения орбитальной скорости. На полностью круговой орбите эта кинетическая энергия остается постоянной, поскольку в околоземном пространстве практически отсутствует трение. Однако это становится очевидным при повторном входе, когда часть кинетической энергии преобразуется в тепло. Если орбита эллиптическая или гиперболическая, то по всей орбите происходит обмен кинетической и потенциальной энергией ; кинетическая энергия наибольшая, а потенциальная энергия наименьшая при ближайшем приближении к Земле или другому массивному телу, в то время как потенциальная энергия наибольшая, а кинетическая энергия наименьшая при максимальном расстоянии. Однако без потерь или выигрышей сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Кинетическая энергия может передаваться от одного объекта к другому. В игре бильярд игрок воздействует на биток кинетической энергией, ударяя по нему кием. Если биток сталкивается с другим шаром, он резко замедляется, а мяч, в который он попадает, ускоряет свою скорость по мере передачи ему кинетической энергии. Столкновения в бильярде по сути являются упругими столкновениями, в которых сохраняется кинетическая энергия. В неупругих столкновениях кинетическая энергия рассеивается в различных формах энергии, таких как тепло, звук, энергия связи (разрушение связанных структур).

Маховики были разработаны как способ накопления энергии. Это показывает, что кинетическая энергия также сохраняется во вращательном движении.

Существует несколько математических описаний кинетической энергии, которые описывают ее в соответствующей физической ситуации. Для объектов и процессов в обычном человеческом опыте подходит формула ½mv², задаваемая ньютоновской (классической) механикой. Однако, если скорость объекта сравнима со скоростью света, релятивистские эффекты становятся значительными, и используется релятивистская формула. Если объект находится в атомном или субатомном масштабе, квантово-механические эффекты значительны, и необходимо использовать квантово-механическую модель.

Ньютоновская кинетическая энергия

Кинетическая энергия твердых тел

В классической механике кинетическая энергия точечного объекта (объект настолько мал, что его Можно предположить, что масса существует в одной точке), или невращающееся твердое тело зависит от массы тела, а также от его скорости. Кинетическая энергия равна 1/2 произведения массы на квадрат скорости. В форме формулы:

E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}

где $m {\ displaystyle m}$ $m$ - масса, а $v {\ displaystyle v}$ $v$ - скорость (или скорость) тела. В единицах СИ масса измеряется в килограммах, скорость в метрах в секунду, а результирующая кинетическая энергия выражается в джоулях.

Например, можно рассчитать кинетическую энергию массы 80 кг (около 180 фунтов), движущейся со скоростью 18 метров в секунду (около 40 миль в час, или 65 км / ч), как

E k = 1 2 ⋅ 80 кг ⋅ (18 м / с) 2 = 12, 960 Дж = 12,96 кДж {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right) ^ {2} = 12 960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}

E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}

Когда человек бросает мяч, человек работает над ним, чтобы придать ему скорость, когда он покидает руку. Затем движущийся мяч может удариться во что-нибудь и толкнуть его, работая над тем, во что он попадает. Кинетическая энергия движущегося объекта равна работе, необходимой для того, чтобы привести его из состояния покоя к этой скорости, или работе, которую объект может выполнять, когда он находится в состоянии покоя: полезная сила × смещение = кинетическая энергия, т. Е.,

F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}

Поскольку кинетическая энергия увеличивается пропорционально квадрату скорости, объект удваивается его скорость имеет в четыре раза больше кинетической энергии. Например, автомобилю, движущемуся в два раза быстрее, чем другому, требуется в четыре раза больше расстояния для остановки, при условии постоянного тормозного усилия. Как следствие этого четырехкратного увеличения, для удвоения скорости требуется в четыре раза больше работы.

Кинетическая энергия объекта связана с его импульсом уравнением:

E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = { \ frac {p ^ {2}} {2m}}}

E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}

где:

p {\ displaystyle p \;}

p\;

- импульс

m {\ displaystyle m \;}

m\;

- масса тела

Для поступательной кинетической энергии, то есть кинетической энергии, связанной с прямолинейным движением, твердого тела с постоянной масса $m {\ displaystyle m \;}$ $m\;$ , центр масс которого движется по прямой линии со скоростью $v {\ displaystyle v \; }$ $v\;$ , как видно выше, равно

E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2 }}

E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}

где:

m {\ displaystyle m \;}

m\;

- масса тела

v {\ displaystyle v \;}

v\;

- скорость центра масс тела.

Кинетическая энергия любого объекта зависит от системы отсчета, в которой она измеряется. Однако полная энергия изолированной системы, то есть такой, в которую энергия не может ни входить, ни выходить, не изменяется со временем в системе отсчета, в которой она измеряется. Таким образом, химическая энергия, преобразованная в кинетическую энергию ракетным двигателем, по-разному распределяется между ракетным кораблем и его выхлопным потоком в зависимости от выбранной системы отсчета. Это называется эффектом Оберта. Но полная энергия системы, включая кинетическую энергию, химическую энергию топлива, тепло и т. Д., Сохраняется с течением времени, независимо от выбора системы отсчета. Однако разные наблюдатели, движущиеся в разных системах отсчета, не пришли бы к согласию относительно значения этой сохраненной энергии.

Кинетическая энергия таких систем зависит от выбора системы отсчета: система отсчета, которая дает минимальное значение этой энергии, является кадром центра импульса, то есть системой отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Эта минимальная кинетическая энергия вносит вклад в инвариантную массу системы в целом.

Вывод

Работа, выполняемая при ускорении частицы с массой m за бесконечно малый интервал времени dt, определяется скалярным произведением силы F и бесконечно малого смещения dx

F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \,,}

\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v})\,,

где мы предположили соотношение p = m v и справедливость Второго закона Ньютона. (Однако также см. Специальный релятивистский вывод ниже.)

Применяя правило произведения, мы видим, что:

d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ Displaystyle д (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}

d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v})=(d\mathbf {v})\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v})=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v}).

Следовательно, (предполагая постоянную массу, так что dm = 0), мы имеем,

v ⋅ ​​d (mv) = m 2 d (v ⋅ v) знак равно m 2 dv 2 = d (mv 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}

\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v})={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v})={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).

Поскольку это полный дифференциал (то есть это зависит только от конечного состояния, а не от того, как частица туда попала), мы можем интегрировать его и назвать результат кинетической энергией. Предполагая, что объект находился в состоянии покоя в момент времени 0, мы интегрируем от момента времени 0 до времени t, потому что работа, выполняемая силой, чтобы привести объект из состояния покоя в состояние скорости v, равна работе, необходимой для выполнения обратного действия: = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.} $E_{\text{k}}=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{0}^{t}\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v})=\int _{0}^{t}d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)={\frac {mv^{2}}{2}}.$

Это уравнение утверждает, что кинетическая энергия (E k) равна интегралу скалярного произведения скорости (v) тела и бесконечно малого изменения количества движения (pтела). Предполагается, что тело в состоянии покоя (неподвижности) начинает движение без кинетической энергии.

Вращающиеся тела

Если твердое тело Q вращается вокруг любой линии, проходящей через центр масс, то оно имеет кинетическую энергию вращения ( $E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}$ $E_{\text{r}}\,$ ), который представляет собой просто сумму кинетических энергий его движущихся частей и, таким образом, определяется следующим образом:

E r = ∫ Q v 2 dm 2 Знак равно ∫ Q (р ω) 2 дм 2 знак равно ω 2 2 ∫ Q р 2 дм = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ гидроразрыв {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} {2}} = {\ frac {\ omega ^ {2} } {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}

E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega)^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}

где:

ω - угловая скорость тела
r - расстояние любой массы dm от этой линии
$I {\ displaystyle I \,}$ $I\,$ - момент инерции тела, равный $∫ Q r 2 dm {\ displaystyle \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm}$ $\int _{Q}{r^{2}}dm$ .

(В этом уравнение: момент инерции должен быть взят вокруг оси, проходящей через центр масс, а вращение, измеренное с помощью ω, должно происходить вокруг этой оси; подробнее g Существуют общие уравнения для систем, в которых объект подвержен колебаниям из-за своей эксцентричной формы).

Кинетическая энергия систем

Система тел может иметь внутреннюю кинетическую энергию из-за относительного движения тел в системе. Например, в Солнечной системе планеты и планетоиды вращаются вокруг Солнца. В резервуаре с газом молекулы движутся во всех направлениях. Кинетическая энергия системы - это сумма кинетических энергий содержащихся в ней тел.

Макроскопическое тело, которое является неподвижным (т. Е. Система отсчета была выбрана для соответствия центру импульса тела), может иметь различные виды внутренней энергии в молекулярный или атомный уровень, который можно рассматривать как кинетическую энергию, из-за молекулярной трансляции, вращения и колебания, трансляции и спина электрона, а также ядерного спина. Все они вносят вклад в массу тела, как это предусмотрено специальной теорией относительности. При обсуждении движений макроскопического тела обычно имеется в виду кинетическая энергия только макроскопического движения. Однако все внутренние энергии всех типов вносят вклад в массу, инерцию и общую энергию тела.

Гидродинамика

В гидродинамике кинетическая энергия на единицу объема в каждой точке поля потока несжимаемой жидкости называется динамическим давлением в этот момент.

E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}

Разделив на V, единица объема:

E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E _ {\ text {k}}} {V}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {выровнено}}}

{\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}

где $q {\ displaystyle q}$ $q$ - динамическое давление, а ρ - плотность несжимаемой жидкости.

Система отсчета

Скорость и, следовательно, кинетическая энергия отдельного объекта зависит от кадра (относительна): она может принимать любое неотрицательное значение, выбирая подходящее инерциальная система отсчета. Например, пуля, проходящая мимо наблюдателя, имеет кинетическую энергию в системе отсчета этого наблюдателя. Та же пуля неподвижна для наблюдателя, движущегося с той же скоростью, что и пуля, и поэтому имеет нулевую кинетическую энергию. Напротив, полная кинетическая энергия системы объектов не может быть уменьшена до нуля подходящим выбором инерциальной системы отсчета, если все объекты не имеют одинаковой скорости. В любом другом случае полная кинетическая энергия имеет ненулевой минимум, так как нельзя выбрать инерциальную систему отсчета, в которой все объекты неподвижны. Эта минимальная кинетическая энергия вносит вклад в инвариантную массу системы, которая не зависит от системы отсчета.

Полная кинетическая энергия системы зависит от инерциальной системы отсчета : это сумма полной кинетической энергии в центре импульса и кинетическая энергия, которую имела бы общая масса, если бы она была сосредоточена в центре масс.

Это можно просто показать: let $V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {V}}$ $\textstyle \mathbf {V}$ - относительная скорость центра масс системы i в системе k. Поскольку

v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2, {\ Displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ { i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}

v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},

Тогда

E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.}

E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.

Однако пусть $∫ vi 2 2 dm = E i {\ displaystyle \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm = E_ {i}}$ $\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}$ кинетическая энергия в системе отсчета центра масс, $∫ vidm {\ displaystyle \ int \ mathbf {v} _ {i} dm}$ $\int \mathbf {v} _{i}dm$ будет просто полным импульсом, который по определению равен нулю в системе отсчета центра масс, и пусть общая масса : $∫ dm = M {\ displaystyle \ int dm = M}$ $\int dm=M$ . Подставляя, получаем:

E k = E i + M V 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}

E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.

Таким образом, кинетическая энергия системы имеет наименьшее значение относительно центра импульса. кадры, т. е. системы отсчета, в которых центр масс неподвижен (либо система центра масс, либо любая другая система координат центра импульса ). В любой другой системе отсчета существует дополнительная кинетическая энергия, соответствующая общей массе, движущейся со скоростью центра масс. Кинетическая энергия системы в центре импульса системы является величиной, которая является инвариантной (все наблюдатели видят ее одинаковую).

Вращение в системах

Иногда бывает удобно разделить общую кинетическую энергию тела на сумму поступательной кинетической энергии центра масс тела и энергии вращения вокруг центра. массы (энергия вращения ):

E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text { r}} \,}

E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}\,

где:

Ek- полная кинетическая энергия;

Et- поступательная кинетическая энергия;

Er- энергия вращения или угловая кинетическая энергия в системе отсчета покоя.

Таким образом, кинетическая энергия Теннисный мяч в полете - это кинетическая энергия, обусловленная его вращением, плюс кинетическая энергия, обусловленная его перемещением.

Релятивистская кинетическая энергия твердых тел

Если скорость тела составляет значительную долю скорости света, необходимо использовать релятивистскую механику для расчета его кинетической энергии.. В специальной теории относительности выражение для количества движения изменено.

Поскольку m - масса покоя, vобъекта, v - его скорость и скорость, а c - скорость света в вакууме, мы используем выражение для линейного импульса $p = m γ v {\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ gamma \ mathbf {v}}$ $\mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v}$ , где $γ = 1/1 - v 2 / c 2 {\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$ $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ .

Интегрирование по частям дает

E k = ∫ v ⋅ dp = ∫ v ⋅ d (m γ v) = m γ v ⋅ v - ∫ м γ v ⋅ dv = m γ v 2 - m 2 ∫ γ d (v 2) {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d (m \ gamma \ mathbf {v}) = m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} - \ int m \ gamma \ mathbf {v } \ cdot d \ mathbf {v} = m \ gamma v ^ {2} - {\ frac {m} {2}} \ int \ gamma d \ left (v ^ {2} \ right)}

E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v})=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d\left(v^{2}\right)

Поскольку $γ = (1 - v 2 / c 2) - 1 2 {\ displaystyle \ gamma = \ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1 } {2}}}}$ $\gamma =\left( 1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ ,

E k = m γ v 2 - - mc 2 2 ∫ γ d (1 - v 2 c 2) = m γ v 2 + mc 2 (1 - v 2 c 2) 1 2 - E 0 {\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {k}} = m \ gamma v ^ {2} - {\ frac {-mc ^ {2}} {2}} \ int \ gamma d \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \\ = m \ gamma v ^ {2} + mc ^ {2} \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} - E_ {0} \ end {выровнено} }}

{\begin{aligned}E_{\text{k}}=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}

$E 0 {\ displaystyle E_ {0}}$ $E_{0}$ - константа интегрирования для неопределенного интеграла.

Упрощая выражение, получаем

E К знак равно м γ (v 2 + c 2 (1 - v 2 c 2)) - E 0 = m γ (v 2 + c 2 - v 2) - E 0 = m γ c 2 - E 0 {\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {k}} = m \ gamma \ left (v ^ {2} + c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ right) -E_ {0} \\ = m \ gamma \ left (v ^ {2} + c ^ {2} -v ^ {2} \ right) -E_ { 0} \\ = m \ gamma c ^ {2} -E_ {0} \ end {align}}}

{\begin{aligned}E_{\text{k}}=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)-E_{0}\\=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}

$E 0 {\ displaystyle E_ {0}}$ $E_{0}$ находится, наблюдая, что когда $v = 0, γ = 1 {\ displaystyle \ mathbf {v} = 0, \ \ gamma = 1}$ $\mathbf {v} =0,\ \gamma =1$ и $E k = 0 {\ displaystyle E _ {\ text { k}} = 0}$ $E_{\text{k}}=0$ , что дает

E 0 = mc 2 {\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2} \,}

E_{0}=mc^{2}\,

, в результате получается формула

E k знак равно m γ c 2 - mc 2 = mc 2 1 - v 2 c 2 - mc 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = m \ gamma c ^ {2} -mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} - mc ^ {2}}

E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}

Эта формула показывает, что работа, затрачиваемая на ускорение объекта из состояния покоя, приближается к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света. Таким образом, невозможно ускорить объект через эту границу.

Математическим побочным продуктом этого расчета является формула эквивалентности массы и энергии - тело в состоянии покоя должно иметь запас энергии

E rest = E 0 = mc 2 {\ displaystyle E _ {\ text {rest}} = E_ {0} = mc ^ {2} \!}

E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}\!

На низкой скорости (v ≪ c) релятивистская кинетическая энергия хорошо аппроксимируется классической кинетической энергией. Это делается с помощью биномиального приближения или принятия первых двух членов разложения Тейлора в качестве обратного квадратного корня:

E k ≈ mc 2 (1 + 1 2 v 2 c 2) - mc 2 = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} \ приблизительно mc ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) -mc ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}

Итак, полная энергия $E k {\ displaystyle E_ {k}}$ $E_{k}$ можно разделить на энергию массы покоя плюс ньютоновскую кинетическую энергию на малых скоростях.

Когда объекты движутся со скоростью, намного меньшей, чем скорость света (например, в повседневных явлениях на Земле), первые два члена ряда преобладают. Следующий член в приближении ряда Тейлора

E k ≈ mc 2 (1 + 1 2 v 2 c 2 + 3 8 v 4 c 4) - mc 2 = 1 2 mv 2 + 3 8 mv 4 c 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} \ приблизительно mc ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} \ right) -mc ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}}}}

E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c ^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}

мало для низких скоростей. Например, для скорости 10 км / с (22000 миль в час) поправка к ньютоновской кинетической энергии составляет 0,0417 Дж / кг (при ньютоновской кинетической энергии 50 МДж / кг), а для скорости 100 км / с она равна 417 Дж / кг (при ньютоновской кинетической энергии 5 ГДж / кг).

Релятивистская связь между кинетической энергией и импульсом задается формулой

E k = p 2 c 2 + m 2 c 4 - mc 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} - mc ^ {2}}

E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}

Это также может быть расширено до серии Тейлора, первый член которого представляет собой простое выражение из механики Ньютона:

E k ≈ p 2 2 m - p 4 8 m 3 c 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} \ приблизительно {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}} }.}

E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.

Это говорит о том, что формулы для энергии и импульса не являются специальными и аксиоматическими, а являются концепциями, вытекающими из эквивалентности массы и энергии и принципов относительности.

Общая теория относительности

Используя соглашение, согласно которому

g α β u α u β = - c 2 {\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} \, u ^ {\ alpha} \, u ^ {\ beta} \, = \, - c ^ {2}}

g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}

где четырехскоростная частицы равна

u α = dx α d τ {\ displaystyle u ^ {\ alpha} \, = \, {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}}}

u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}

и $τ {\ displaystyle \ tau \,}$ $\tau \,$ - собственное время частицы, есть также выражение для кинетической энергии частицы в общей теории относительности.

Если частица имеет импульс

p β = mg β α u α {\ displaystyle p _ {\ beta} \, = \, m \, g _ {\ beta \ alpha} \, u ^ {\ alpha}}

p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }

, когда он проходит мимо наблюдателя с четырьмя скоростями u obs, то выражение для полной энергии частицы, наблюдаемой (измеренной в локальной инерциальной системе отсчета), будет

E = - p β u obs β {\ displaystyle E \, = \, - \, p _ {\ beta} \, u _ {\ text {obs}} ^ {\ beta}}

E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }

и кинетическая энергия может быть выражена как полная энергия минус энергия покоя:

E k = - p β u Обс β - МС 2. {\ displaystyle E_ {k} \, = \, - \, p _ {\ beta} \, u _ {\ text {obs}} ^ {\ beta} \, - \, m \, c ^ {2} \,.}

E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.

Рассмотрим случай диагональной и пространственно изотропной метрики (g tt, g ss, g ss, g ss). Поскольку

u α = dx α dtdtd τ = v α ut {\ displaystyle u ^ {\ alpha} = {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {dt}} {\ frac {dt} {d \ tau }} = v ^ {\ alpha} u ^ {t} \,}

u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}\,

где v - обычная скорость, измеренная относительно В системе координат получаем

- c 2 = g α β u α u β = g t t (u t) 2 + g s s v 2 (u t) 2. {\ displaystyle -c ^ {2} = g _ {\ alpha \ beta} u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta} = g_ {tt} \ left (u ^ {t} \ right) ^ {2} + g_ {ss} v ^ {2} \ left (u ^ {t} \ right) ^ {2} \,.}

-c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.

Решение для u дает

ut = c - 1 gtt + gssv 2. {\ displaystyle u ^ {t} = c {\ sqrt {\ frac {-1} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} \,.}

u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.

Таким образом, для неподвижного наблюдателя (v = 0)

u obs t = c - 1 gtt {\ displaystyle u _ {\ text {obs}} ^ {t} = c {\ sqrt {\ frac {-1} {g_ {tt}}} } \,}

u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}\,

и, таким образом, кинетическая энергия принимает вид

E k = - mgttutu obs t - mc 2 = mc 2 gttgtt + gssv 2 - mc 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = - mg_ {tt} u ^ {t} u _ {\ text {obs}} ^ {t} -mc ^ {2} = mc ^ {2} {\ sqrt { \ frac {g_ {tt}} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} - mc ^ {2} \,.}

E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.

Вычитание оставшейся энергии дает:

E k = mc 2 (gttgtt + gssv 2 - 1). {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = mc ^ {2} \ left ({\ sqrt {\ frac {g_ {tt}} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}}) -1 \ right) \,.}

E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.

Это выражение сводится к частному релятивистскому случаю для метрики плоского пространства, где

gtt = - c 2 gss = 1. {\ displaystyle {\ begin {align} g_ {tt} = - c ^ {2} \, \\ g_ {ss} = 1 \,. \ end {align}}}

{\begin{aligned}g_{tt}=-c^{2}\,\\g_{ss}=1\,.\end{aligned}}

В ньютоновском приближении к общая теория относительности

gtt = - (c 2 + 2 Φ) gss = 1-2 Φ c 2 {\ displaystyle {\ begin {align} g_ {tt} = - \ left (c ^ {2} +2 \ Phi \ right) \, \\ g_ {ss} = 1 - {\ frac {2 \ Phi} {c ^ {2}}} \, \ end {align}}}

{\begin{aligned}g_{tt}=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\,\\g_{ss}=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\,\end{aligned}}

где Φ - ньютоновская шкала гравитационный потенциал. Это означает, что часы идут медленнее, а измерительные стержни короче возле массивных тел.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемые, такие как кинетическая энергия, представлены как операторы. Для одной частицы массы m оператор кинетической энергии появляется как член в гамильтониане и определяется в терминах более фундаментального оператора импульса $p ^ {\ displaystyle {\ hat {p}} }$ ${\hat {p}}$ . Оператор кинетической энергии в нерелятивистском случае может быть записан как

T ^ = p ^ 2 2 m. {\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}.}

{\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.

Обратите внимание, что это можно получить, заменив $p {\ displaystyle p}$ $p$ by $p ^ {\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\hat {p}}$ в классическом выражении для кинетической энергии через импульс,

E k = p 2 2 мес. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}.}

E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.

На изображении Шредингера, $p ^ {\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\hat {p}}$ принимает форму $- i ℏ ∇ {\ displaystyle -i \ hbar \ nabla}$ $-i\hbar \nabla$ , где производная берется по координатам положения и, следовательно,

T ^ = - ℏ 2 2 m ∇ 2. {\ displaystyle {\ hat {T}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}.}

{\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.

Среднее значение кинетической энергии электрона, $⟨T ^⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {T}} \ right \ rangle}$ $\left\langle {\hat {T}}\right\rangle$ , для системы из N электронов, описываемой волновой функцией $| ψ⟩ {\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}$ $\vert \psi \rangle$ представляет собой сумму ожидаемых значений одноэлектронного оператора:

⟨T ^⟩ = ⟨ψ | ∑ я = 1 N - ℏ 2 2 м е ∇ я 2 | ψ⟩ = - ℏ 2 2 м е ∑ i = 1 N ⟨ψ | ∇ i 2 | ψ⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {T}} \ right \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left \ vert \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m _ {\ text {e}}}} \ nabla _ {i} ^ {2} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} { 2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left \ langle \ psi \ left \ vert \ nabla _ {i} ^ {2} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle}

\left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle

где $me {\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$ $m_{\text{e}}$ - масса электрона, а $∇ i 2 {\ displaystyle \ nabla _ {i } ^ {2}}$ $\nabla _{i}^{2}$ - это оператор лапласиана, действующий на координаты i-го электрона, и суммирование проводится по всем электронам.

Формализм функционала плотности квантовой механики требует знания только электронной плотности, то есть формально не требует знания волновой функции. Given an electron density $ρ ( r) {\displaystyle \rho (\mathbf {r})}$ $\rho (\mathbf {r})$ , the exact N-electron kinetic energy functional is unknown; however, for the specific case of a 1-electron system, the kinetic energy can be written as

T [ ρ ] = 1 8 ∫ ∇ ρ ( r) ⋅ ∇ ρ ( r) ρ ( r) d 3 r {\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r})\cdot \nabla \rho (\mathbf {r})}{\rho (\mathbf {r})}}d^{3}r}

T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r})\cdot \nabla \rho (\mathbf {r})}{\rho (\mathbf {r})}}d^{3}r

where $T [ ρ ] {\displaystyle T[\rho ]}$ $T[\rho ]$ is known as the von Weizsäcker kinetic energy functional.