Момент (физика)

редактировать

В физике, момент это выражение, включающее произведение расстояния и физической величины, и таким образом, он объясняет, как физическая величина, расположена или расположены.

Моменты обычно определяются относительно фиксированной контрольной точки; они имеют дело с физическими величинами, расположенными на некотором расстоянии относительно этой точки отсчета. Например, момент силы, часто называемый крутящим моментом, является произведением силы, действующей на объект, и расстояния от опорной точки до объекта. В принципе, любую физическую величину можно умножить на расстояние, чтобы получить момент. Обычно используемые величины включают силы, массы и распределение электрического заряда.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Проработка
    • 1.1 Примеры
  • 2 Мультипольные моменты
  • 3 Приложения мультипольных моментов
  • 4 История
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Проработка

В своей основной форме момент - это произведение расстояния до точки, возведенное в степень, и физической величины (например, силы или электрического заряда) в этой точке:

μ п знак равно р п Q , {\ Displaystyle \ му _ {п} = г ^ {п} \, Q,}

где - физическая величина, такая как сила, приложенная к точке, или точечный заряд, или точечная масса, и т. д. Если величина не сосредоточена исключительно в одной точке, момент является интегралом плотности этой величины по пространству: Q {\ displaystyle Q}

μ п знак равно р п ρ ( р ) d р {\ displaystyle \ mu _ {n} = \ int r ^ {n} \ rho (r) \, dr}

где - распределение плотности заряда, массы или любой другой рассматриваемой величины. ρ {\ displaystyle \ rho}

Более сложные формы учитывают угловые отношения между расстоянием и физической величиной, но приведенные выше уравнения отражают существенную особенность момента, а именно наличие основного или эквивалентного члена. Это означает, что существует несколько моментов (по одному для каждого значения n) и что момент обычно зависит от опорной точки, от которой измеряется расстояние, хотя для определенных моментов (технически наименьшего ненулевого момента) эта зависимость исчезает и момент становится независимым от точки отсчета. р п ρ ( р ) {\ Displaystyle г ^ {п} \ ро (г)} р {\ displaystyle r}

Каждое значение n соответствует разному моменту: 1-й момент соответствует n  = 1; 2-й момент до n  = 2 и т. д. 0-й момент ( n  = 0) иногда называют монопольным моментом ; 1-й момент ( n  = 1) иногда называют дипольным моментом, а 2-й момент ( n  = 2) иногда называют квадрупольным моментом, особенно в контексте распределений электрического заряда.

Примеры

  • Момент силы или вращающего момента, является первым моментом:, или, в более общем случае,. τ знак равно р F {\ displaystyle \ mathbf {\ tau} = rF} р × F {\ displaystyle \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}
  • Аналогичным образом, угловой момент является 1 - й момент импульса :. Обратите внимание, что импульс - это не момент. L знак равно р × п {\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}
  • Электрический дипольный момент также 1 - й момент: для двух зарядов противоположной точки или для распределенного заряда с плотностью заряда. п знак равно q d {\ Displaystyle \ mathbf {p} = д \, \ mathbf {d}} р ρ ( р ) d 3 р {\ textstyle \ int \ mathbf {r} \, \ rho (\ mathbf {r}) \, d ^ {3} r} ρ ( р ) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}

Моменты массы:

  • Общая масса является нулевым моментом массы.
  • Центр масс является 1 - ем момента массы нормированной общей массы: для коллекции точечных масс, или для объекта с распределением массы. р знак равно 1 M я р я м я {\ textstyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} m_ {i}} 1 M р ρ ( р ) d 3 р {\ textstyle {\ frac {1} {M}} \ int \ mathbf {r} \ rho (\ mathbf {r}) \, d ^ {3} r} ρ ( р ) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}
  • Момент инерции является вторым моментом массы: для точечной массы, для сбора точечных масс, или для объекта с распределением массы. Обратите внимание, что центр масс часто (но не всегда) берется за точку отсчета. я знак равно р 2 м {\ Displaystyle I = г ^ {2} м} я р я 2 м я {\ textstyle \ сумма _ {я} r_ {я} ^ {2} м_ {я}} р 2 ρ ( р ) d 3 р {\ textstyle \ int r ^ {2} \ rho (\ mathbf {r}) \, d ^ {3} r} ρ ( р ) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}

Многополюсные моменты

Предполагая, что функция плотности конечна и локализована в определенной области, вне этой области потенциал 1 / r может быть выражен как серия сферических гармоник :

Φ ( р ) знак равно ρ ( р ) | р - р | d 3 р знак равно знак равно 0 м знак равно - ( 4 π 2 + 1 ) q м Y м ( θ , φ ) р + 1 {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r '})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r'} |}} \, d ^ {3} r '= \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} \ left ({\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}} \ right) q _ {\ ell m} \, {\ frac {Y _ {\ ell m} (\ theta, \ varphi)} {r ^ {\ ell +1}}}}

Коэффициенты известны как мультипольные моменты и имеют вид: q м {\ displaystyle q _ {\ ell m}}

q м знак равно ( р ) ρ ( р ) Y м * ( θ , φ ) d 3 р {\ displaystyle q _ {\ ell m} = \ int (r ') ^ {\ ell} \, \ rho (\ mathbf {r'}) \, Y _ {\ ell m} ^ {*} (\ theta ', \ varphi ') \, d ^ {3} r'}

где в сферических координатах - переменная интегрирования. Более полную трактовку можно найти на страницах, описывающих мультипольное расширение или сферические мультипольные моменты. (Примечание: соглашение в приведенных выше уравнениях было взято у Джексона - соглашения, используемые на страницах, на которые есть ссылки, могут немного отличаться.) р {\ displaystyle \ mathbf {r} '} ( р , φ , θ ) {\ displaystyle \ left (г ', \ varphi', \ theta '\ right)}

Когда представляет собой плотность электрического заряда, это, в некотором смысле, проекции моментов электрического заряда: - момент монополя; проекции дипольного момента, то есть проекции квадрупольного момента и т.д. ρ {\ displaystyle \ rho} q л м {\ displaystyle q_ {lm}} q 00 {\ displaystyle q_ {00}} q 1 м {\ displaystyle q_ {1m}} q 2 м {\ displaystyle q_ {2m}}

Приложения мультипольных моментов

Мультипольное разложение применяется к 1 / r скалярным потенциалам, примеры которых включают электрический потенциал и гравитационный потенциал. Для этих потенциалов выражение можно использовать для аппроксимации напряженности поля, создаваемого локализованным распределением зарядов (или массы), путем вычисления первых нескольких моментов. При достаточно большом r разумное приближение может быть получено только на основе монопольного и дипольного моментов. Более высокая точность может быть достигнута путем вычисления моментов более высокого порядка. Расширения метода могут быть использованы для расчета энергий взаимодействия и межмолекулярных сил.

Этот метод также можно использовать для определения свойств неизвестного распределения. Можно проводить измерения, относящиеся к мультипольным моментам, и использовать их для вывода свойств основного распределения. Этот метод применим к небольшим объектам, таким как молекулы, но также был применен к самой Вселенной, являясь, например, методом, используемым в экспериментах WMAP и Planck для анализа космического микроволнового фонового излучения. ρ {\ displaystyle \ rho}

История

Понятие момента в физике происходит от математического понятия моментов. Принцип моментов основан на открытии Архимедом принципа действия рычага. В рычаге прикладывают силу, в его время чаще всего человеческую мышцу, к руке, или какой-то балке. Архимед заметил, что величина силы, приложенной к объекту, момент силы, определяется как M = rF, где F - приложенная сила, а r - расстояние от приложенной силы до объекта. Однако историческая эволюция термина «момент» и его использование в различных областях науки, таких как математика, физика и инженерия, неясны.

Федерико Коммандино в 1565 году перевел на латынь с Архимеда:

Центром тяжести каждой твердой фигуры является та точка внутри нее, вокруг которой со всех сторон стоят части равного момента.

По-видимому, это было первое употребление слова « момент» (лат. « Импульс») в том смысле, который мы теперь знаем: «момент относительно центра вращения».

Слово момент впервые было использовано в механике в его теперь довольно старомодном смысле «важность» или «следствие», а момент силы вокруг оси означал важность силы по отношению к ее способности генерировать вращение материи. относительно оси... Но слово «момент» также стало использоваться по аналогии в чисто техническом смысле, в таких выражениях, как «момент массы вокруг оси» или «момент площади относительно оси». на самолет », что требует определения в каждом случае. В таких случаях не всегда имеется соответствующая физическая идея, и такие фразы стоят, как исторически, так и научно, на другой основе. - А. М. Уортингтон, 1920.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

  • [1] Словарное определение момента.
Последняя правка сделана 2023-08-08 07:50:43
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте