Прирожденная жесткость

редактировать

Прирожденная жесткость - это понятие в специальной теории относительности. Это один из ответов на вопрос, что в специальной теории относительности соответствует твердому телу нерелятивистской классической механики.

. Эта концепция была введена Максом Борном (1909), который дал подробное описание случая постоянного собственного ускорения, который он назвал гиперболическим движением. Когда последующие авторы, такие как Пауль Эренфест (1909), попытались также включить вращательные движения, стало ясно, что жесткость Борна - очень ограничивающее понятие жесткости, что привело к теореме Херглотца – Нётер, согласно которым существуют жесткие ограничения на вращательные жесткие движения Борна. Он был сформулирован Густавом Херглотцем (1909, классифицировал все формы вращательных движений) и в менее общем виде Фрицем Нётер (1909). В результате Борн (1910) и другие дали альтернативные, менее строгие определения жесткости.

Содержание

1 Определение
2 Напряжения и жесткость по Борну
3 Жесткие движения по рождению
- 3.1 Класс A: Безвихревые движения
- 3.2 Класс B: Вращательные изометрические движения
4 Общая теория относительности
5 Альтернативы
6 Ссылки
7 Библиография
8 Внешние ссылки

Определение

Прирожденная жесткость удовлетворяется, если ортогональное пространство-время расстояние между бесконечно малыми разнесенными кривыми или мировыми линиями является постоянным, или, что эквивалентно, если длина твердого тела в мгновенно движущихся вместе инерциальных системах отсчета измеряется стандартными измерительными стержнями (т. е. надлежащая длина ) постоянна и поэтому подвергается лоренцевскому сжатию в относительно движущихся кадрах. Рожденная жесткость - это ограничение движения вытянутого тела, достигаемое путем осторожного приложения сил к различным частям тела. Само по себе твердое тело нарушило бы специальную теорию относительности, поскольку его скорость звука была бы бесконечной.

Классификация всех возможных жестких движений Борна может быть получена с помощью теоремы Херглотца – Нётер. Эта теорема утверждает, что все безвихревые жесткие движения Борна (класс A) состоят из гиперплоскостей, жестко движущихся в пространстве-времени, в то время как любое вращательное жесткое движение Борна (класс B) должны быть изометрическими Убивающими движениями. Это означает, что твердое тело Борна имеет только три степени свободы. Таким образом, тело может быть приведено жестким способом Борна из состояния покоя в любое поступательное движение, но не может быть выполнено жестким способом Борна из состояния покоя во вращательное движение.

Напряжения и жесткость Борна

Герглотц (1911) показал, что релятивистская теория упругости может быть основана на предположении, что напряжения возникают при нарушении условия борновской жесткости.

Примером нарушения жесткости Борна является парадокс Эренфеста : даже если состояние равномерного кругового движения тела входит в число разрешенных жестких движений Борна класса B, тело не может быть переведено из любого другого состояния движения в равномерное круговое движение без нарушения условия борновской жесткости во время фазы, в которой тело испытывает различные ускорения. Но если эта фаза закончилась и центростремительное ускорение становится постоянным, тело может вращаться равномерно в соответствии с жесткостью Борна. Точно так же, если он теперь находится в равномерном круговом движении, это состояние не может быть изменено, не нарушив снова борновскую жесткость тела.

Другой пример - парадокс космического корабля Белла : если конечные точки тела ускоряются с постоянными надлежащими ускорениями в прямолинейном направлении, то ведущая конечная точка должна иметь более низкое собственное ускорение, чтобы покинуть правильная константа длины, чтобы обеспечить жесткость Борна. Он также будет демонстрировать увеличивающееся лоренцево сокращение во внешней инерциальной системе отсчета, то есть во внешней системе координат концы тела не ускоряются одновременно. Однако, если выбран другой профиль ускорения, с помощью которого конечные точки тела одновременно ускоряются с таким же надлежащим ускорением, как это видно во внешней инерциальной системе отсчета, его борновская жесткость будет нарушена, поскольку постоянная длина во внешней раме подразумевает увеличение надлежащей длины в сопутствующий фрейм из-за относительности одновременности. В этом случае хрупкая нить, натянутая между двумя ракетами, будет испытывать напряжения (которые называются напряжениями Герглотца – Девана – Берана) и, как следствие, разорвется.

Жесткие движения Борна

Классификация разрешенных, в частности вращательных, жестких движений Борна в плоском пространстве-времени Минковского была дана Герглотцем, которая также была изучена Фридрих Коттлер (1912, 1914), Жорж Лемэтр (1924), Адриан Фоккер (1940), Джордж Зальцманн и Абрахам Х. Тауб (1954). Херглотц указал, что континуум движется как твердое тело, когда мировые линии его точек являются эквидистантными кривыми в $R 4 {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$ . Полученные мировые линии можно разделить на два класса:

Класс A: Безвихревые движения

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются ортогональными траекториями семейства гиперплоскостей, которые также можно рассматривать как решения уравнения Риккати (это было названо «плоским движением» Зальцманном и Таубом или «безвихревым жестким движением» Бойера). Он пришел к выводу, что движение такого тела полностью определяется движением одной из его точек.

Общая метрика для этих безвихревых движений была дана Херглотцем, работа которого была резюмирована в упрощенных обозначениях Лемэтром (1924). Также метрика Ферми в форме, данной Кристианом Мёллером (1952) для жестких систем с произвольным движением начала координат, была определена как «самая общая метрика для безвихревого твердого движения в специальной теории относительности. ". В целом было показано, что безвихревое борновское движение соответствует тем конгруэнциям Ферми, любая мировая линия которых может использоваться в качестве базовой линии (однородное сравнение Ферми).

Herglotz. 1909	$ds 2 = da 2 + φ (db, dc) - Θ 2 d ϑ 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, dc) - \ Theta ^ {2} d \ vartheta ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, dc) - \ Theta ^ {2} d \ vartheta ^ {2}}$
Лемэтр. 1924	$ds 2 = - dx 2 - dy 2 - dz 2 + ϕ 2 dt 2 (ϕ = lx + my + nz + p) {\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} = -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + \ phi ^ {2} dt ^ {2} \\ \ quad \ left (\ phi = lx + my + nz + p \ right) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} = - dx ^ {2 } -dy ^ {2} -dz ^ {2} + \ phi ^ {2} dt ^ {2} \\ \ quad \ left (\ phi = lx + my + nz + p \ right) \ end {выровнено }}}$
Мёллер. 1952	$ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2 [1 + g κ x κ c 2] 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \ left [1 + {\ frac {g _ {\ kappa} x ^ { \ kappa}} {c ^ {2}}} \ right] ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \ left [1 + {\ frac {g _ {\ kappa} x ^ {\ kappa}} {c ^ {2}}} \ right] ^ {2} }$

Уже Борн (1909) указал, что твердое тело в поступательном движении имеет максимальное пространственное расширение в зависимости от его ускорения, определяемого отношение $b < c 2 / R {\displaystyle b$ ${\ displaystyle b <c ^ {2} / R}$ , где $b {\ displaystyle b}$ $b$ - правильное ускорение, а $R {\ displaystyle R}$ $R$ - радиус сферы, в которой находится тело, поэтому чем выше собственное ускорение, тем меньше максимальное расширение твердого тела. Частный случай поступательного движения с постоянным собственным ускорением известен как гиперболическое движение с мировой линией

Born. 1909	$x = - q ξ, y = η, z = ζ, t знак равно ПК 2 ξ (п = dxd τ, q = - dtd τ = 1 + p 2 / c 2) {\ displaystyle {\ begin {align} x = -q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi \\ \ quad \ left (p = {\ frac {dx} {d \ tau}}, \ quad q = - {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ sqrt {1 + p ^ {2} / c ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x = -q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi \\ \ quad \ left (p = {\ frac {dx} {d \ tau}}, \ quad q = - {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ sqrt {1 + p ^ {2} / c ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}$
Герглотц. 1909	$x = x ′, y = y ′, t - z = (t ′ - z ′) e ϑ, t + z = (t ′ + z ′) e - ϑ {\ displaystyle x = x ', \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$ $x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$ $Икс = Икс 0, Y = Y 0, Z = Z 0 2 + T 2 {\ Displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}}}$
Зоммерфельд. 1910	$x = r cos ⁡ φ, y = y ′, z = z ′, l = r sin ⁡ φ (l = ИКТ, φ знак равно я ψ) {\ Displaystyle {\ begin {выровненный} х = г \ соз \ varphi, \ quad y = y ', \ quad z = z', \ quad l = r \ sin \ varphi \\ \ quad \ left (l = ict, \ quad \ v arphi = i \ psi \ right) \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}x=r\cos \varphi,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}$
Коттлер. 1912, 1914	$x (1) = x 0 (1), x (2) = x 0 (2), Икс (3) знак равно b соз ⁡ iu, x (4) = b грех ⁡ iuds 2 = - c 2 d τ 2 = b 2 (du) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} \ end {выровнено }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {( 4)} = b \ sin iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} \ end {align}}}$ $x = x 0, y = y 0, z = b cosh ⁡ u, ct = b sinh ⁡ u {\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = b \ ch u, \ quad ct = b \ sh u}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = b \ cosh u, \ quad ct = b \ sinh u}$

Класс B: Вращательные изометрические движения

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются траекториями однопараметрического движения группа (Зальцманн и Тауб назвали это «групповым движением» и отождествили с изометрическим убийственным движением Феликсом Пирани и Гаретом Уильямсом (1962)). Он указал, что они состоят из мировых линий, три кривизны которых постоянны (известные как кривизна, кручение и гиперторсия), образующие спираль. Мировые линии постоянной кривизны в плоском пространстве-времени изучались также Коттлером (1912), Петровым (1964), Джоном Лайтоном Синджем (1967, который назвал их похожими на время спиралями в плоском пространстве-времени) или Letaw (1981, который назвал их стационарные мировые линии) как решения формул Френе – Серре..

Герглотц далее разделил класс B, используя четыре однопараметрические группы преобразований Лоренца (локсодромные, эллиптические, гиперболические, параболические) по аналогии с гиперболическими движениями (т.е. изометрические автоморфизмы гиперболического пространства), и указал, что гиперболическое движение Борна (которое следует из гиперболической группы с $α = 0 {\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ альфа = 0$ в обозначение Герглотца и Коттлера, $λ = 0 {\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda = 0$ в обозначении Лемэтра, $q = 0 {\ displaystyle q = 0}$ $q = 0$ в обозначениях Synge; см. следующую таблицу) - единственное жесткое движение Борна, которое принадлежит обоим классам A и B.

Локсодромная группа (комбинация гиперболизации движением и равномерным вращением)
Herglotz. 1909	$x + iy = (x ′ + iy ′) ei λ ϑ, x - iy = (x ′ - iy ′) e - i λ ϑ, t - z знак равно (t ′ - z ′) e ϑ, t + z = (t ′ + z ′) e - ϑ {\ displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ lambda \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ lambda \ vartheta}, \ quad tz = (t'-z') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = ( t '+ z') e ^ {- \ vartheta}}$ $x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$
Коттлер. 1912, 1914	$x (1) = a cos ⁡ λ (u - u 0), x (2) = грех ⁡ λ (u - u 0), x (3) = b cos ⁡ iu, x (4) = b sin ⁡ iuds 2 = - c 2 d τ 2 = - (b 2 - a 2 λ 2) (du) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ лямбда \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ ds ^ {2} = -c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} -a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {выровнено }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left ( u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} -a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {align}}}$
Лемэтр. 1924	$ξ = x cos ⁡ λ t - y sin ⁡ λ t, η = x sin ⁡ λ t + y cos ⁡ λ t, ζ = z ch ⁡ t, τ = z sh ⁡ tds 2 = - dr 2 - r 2 d θ 2 - dz 2 - 2 λ r 2 d θ dt + (z 2 - λ 2 р 2) dt 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z \ ch t, \ quad \ tau = z \ sh t \\ ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2 } -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ лямбда t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z \ ch t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {align}}}$
Synge. 1967	$x = q ω - 1 sin ⁡ ω s, y = - q ω - 1 cos ⁡ ω s, z = r χ - 1 ch χ s, t = r χ - 1 зп ⁡ χ s {\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ ch \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$ ${\ displaystyle x = q \ omega ^ {-1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ ch \ chi s, \ quad t = р \ чи ^ {- 1} \ зп \ чи s}$
Эллиптическая группа (равномерное вращение)
Herglotz. 1909	$x + iy = (x ′ + iy ′) ei ϑ, x - iy = (x ′ - iy ′) e - i ϑ, z = z ′, t = t ′ + δ ϑ {\ displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ vartheta}, \ quad z = z', \ quad t = t '+ \ дельта \ vartheta}$ $x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta$
Коттлер. 1912, 1914	$x (1) = a cos ⁡ λ (u - u 0), x (2) = a sin ⁡ λ (u - u 0), x (3) = x 0 (3), x (4) = iuds 2 = - c 2 d τ 2 знак равно - (1 - a 2 λ 2) (ду) 2 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)}, \ quad x ^ {(4)} = iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (1-a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ справа) (du) ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ { 0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ { (3)}, \ quad x ^ {(4)} = iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ le ft (1-а ^ {2} \ lambda ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {align}}}$
де Ситтер. 1916	$θ ′ = θ - ω ct, (d σ ′ 2 = dr ′ 2 + r ′ 2 d θ ′ 2 + dz ′ 2) ds 2 = - d σ ′ 2 - 2 r ′ 2 ω d θ ′ cdt + (1 - r ′ 2 ω 2) c 2 dt 2 {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ theta '= \ theta - \ omega ct, \ \ left (d \ sigma ^ {\ prime 2} = dr ^ {\ prime 2} + r ^ {\ prime 2} d \ theta ^ {\ prime 2} + dz ^ {\ prime 2} \ right) \\ ds ^ {2} = - d \ sigma ^ {\ prime 2} -2r ^ {\ prime 2} \ omega \ d \ theta 'cdt + \ left ( 1-r ^ {\ prime 2} \ omega ^ {2} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}$
Lemaître. 1924	$ξ = x cos ⁡ λ t - y sin ⁡ λ t, η = x sin ⁡ λ t + y cos ⁡ λ t, ζ = z, τ = tds 2 = - dr 2 - r 2 d θ 2 - dz 2 - 2 λ r 2 d θ dt + (1 - λ 2 р 2) dt 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ e ta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z, \ quad \ tau = t \\ ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (1- \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z, \ quad \ tau = t \\ ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2 } -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (1- \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {align}}}$
Synge. 1967	$x = q ω - 1 sin ⁡ ω s, y = - q ω - 1 cos ⁡ ω s, z = 0, t = sr {\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = 0, \ quad t = sr}$ ${\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = 0, \ quad t = sr}$
Гиперболическая группа (гиперболическое движение плюс пространственноподобный перенос)
Герглотц. 1909	$x = x ′ + α ϑ, y = y ′, t - z = (t ′ - z ′) e ϑ, t + Z знак равно (T '+ Z') е - ϑ {\ Displaystyle х = х '+ \ альфа \ vartheta, \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t '+ z') e ^ {- \ vartheta}}$ $x=x'+\alpha \vartheta,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$
Коттлер. 1912, 1914	$x (1) = x 0 (1) + α u, x ( 2) = x 0 (2), x (3) = b cos ⁡ iu, x (4) = b sin ⁡ iuds 2 = - c 2 d τ 2 = - (b 2 - α 2) (du) 2 { \ Displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + \ alpha u, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2) }, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + \ alpha u, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} - \ альфа ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {align}}}$
Lemaître. 1924	$ξ = x + λ t, η = y, ζ = z ch ⁡ t, τ = z sh ⁡ tds 2 = - dx 2 - dy 2 - dz 2 - 2 λ dxdt + (z 2 - λ 2) dt 2 {\ Displaystyle {\ begin {align} \ xi = x + \ lambda t, \ quad \ eta = y, \ quad \ zeta = z \ cosh t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ ds ^ { 2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda dx \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} \ right) dt ^ {2 } \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x + \ lambda t, \ quad \ eta = y, \ quad \ zeta = z \ ch t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda dx \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {выровнено} }}$
Synge. 1967	$x = sq, y = 0, z = r χ - 1 ch χ s, t = r χ - 1 sinh ⁡ χ s {\ displaystyle x = sq, \ quad y = 0, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$ ${\ displaystyle x = sq, \ quad y = 0, \ quad z = р \ чи ^ {- 1} \ сп \ чи s, \ квад т = г \ чи ^ {- 1} \ зп \ чи s}$
Параболическая группа (описывающая полукубическую параболу )
Herglotz. 1909	$x = x 0 + 1 2 δ ϑ 2, y = y 0 + β ϑ, z = z 0 + x 0 ϑ + 1 6 δ ϑ 3, t - z знак равно δ ϑ {\ displaystyle x = x_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ delta \ vartheta ^ {2}, \ quad y = y_ {0} + \ бета \ vartheta, \ quad z = z_ {0} + x_ {0} \ vartheta + {\ frac {1} {6}} \ delta \ vartheta ^ {3}, \ quad tz = \ delta \ vartheta}$ ${\ displaystyle x = x_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ delta \ vartheta ^ {2}, \ quad y = y_ {0} + \ beta \ vartheta, \ quad z = z_ {0} + x_ {0} \ vartheta + {\ frac {1} {6}} \ delta \ vartheta ^ {3}, \ quad tz = \ delta \ vartheta}$
Коттлер. 1912, 1914	$x (1) = x 0 (1) + 1 2 α u 2, x (2) = x 0 (2), x (3) = x 0 (3) + x 0 (1) u + 1 6 α u 3, x ( 4) знак равно ix (3) + я α uds 2 = - c 2 d τ 2 = - (α 2 + 2 x 0 (1)) (du) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + {\ frac {1} {2}} \ alpha u ^ {2}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)} + x_ {0} ^ {(1)} u + {\ frac {1} {6}} \ alpha u ^ { 3}, \ quad x ^ {(4)} = ix ^ {(3)} + i \ alpha u \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (\ alpha ^ {2} + 2x_ {0} ^ {(1)} \ right) (du) ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + {\ frac {1} {2}} \ alpha u ^ {2}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = x _ {0} ^ {(3)} + x_ {0} ^ {(1)} u + {\ frac {1} {6}} \ alpha u ^ {3}, \ quad x ^ {(4)} = ix ^ {(3)} + i \ alpha u \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (\ alpha ^ {2} + 2x_ {0} ^ {(1)} \ right) (du) ^ {2} \ end {align}}}$
Lemaître. 1924	$ξ = x + 1 2 λ t 2, η = y + μ t, ζ = z + xt + 1 6 λ t 3, τ = λ t + z + xt + 1 6 λ t 3 ds 2 = - dx 2 - dy 2-2 μ dydt + 2 λ dzdt + (2 λ x + λ 2 - μ 2) dt 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x + {\ frac {1} {2}} \ lambda t ^ {2 }, \ quad \ eta = y + \ mu t, \ quad \ zeta = z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3}, \ quad \ tau = \ lambda t + z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3} \\ ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -2 \ mu \ dy \ dt + 2 \ lambda \ dz \ dt + \ left (2 \ lambda x + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x + {\ frac {1} {2}} \ lambda t ^ {2}, \ quad \ eta = y + \ mu t, \ quad \ zeta = z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3}, \ quad \ tau = \ lambda t + z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ { 3} \\ ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -2 \ mu \ dy \ dt + 2 \ lambda \ dz \ dt + \ left (2 \ lambda x + \ lambda ^ {2 } - \ mu ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {align}}}$
Synge. 1 967	$x = 1 6 b 2 s 3, y = 0, z = 1 2 bs 2, t = s + 1 6 b 2 s 3 {\ displaystyle x = {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}, \ quad y = 0, \ quad z = {\ frac {1} {2}} bs ^ {2}, \ quad t = s + {\ frac {1} {6} } b ^ {2} s ^ {3}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac { 1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}, \ quad y = 0, \ quad z = {\ frac {1} {2}} bs ^ {2}, \ quad t = s + {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}}$

Общая теория относительности

Попытки распространить концепцию борновской жесткости на общую теорию относительности были сделаны Зальцманном и Таубом (1954), С. Бересфордом Райнером ( 1959), Пирани и Уильямс (1962), Роберт Х. Бойер (1964). Было показано, что теорема Херглотца-Нётер не выполняется полностью, потому что возможны жесткие вращающиеся системы отсчета или конгруэнции, которые не представляют изометрические движения Киллинга.

Альтернативы

Также было предложено несколько более слабых замен в качестве условий жесткости, например, Нётер (1909) или Борн (1910).

Современную альтернативу предложили Эпп, Манн и МакГрат. В отличие от обычной жесткой конгруэнции Борна, состоящей из «истории множества точек, заполняющих пространственный объем», они восстанавливают шесть степеней свободы классической механики, используя квазилокальный жесткий каркас, определяя конгруэнцию в терминах «истории». множества точек на поверхности, ограничивающей пространственный объем ».

Список литературы

^Родился (1909a)
^ Родился (1909b)
^Эренфест (1909)
^ Херглотц (1909)
^ Нётер (1909)
^ Родился (1910)
^ Зальцманн и Тауб (1954)
^ Грон (1981)
^Джулини (2008)
^Херглотц (1911)
^Паули (1921)
^ Коттлер (1912); Коттлер (1914a)
^Лемэтр (1924)
^Фоккер (1940)
^Херглотц (1909), стр. 401, 415
^ Бойер (1965)
^Джулини (2008), теорема 18
^Бойер (1965), стр. 354
^Bel (1995), теорема 2
^Herglotz (1909), стр. 401
^Лемэтр (1924), стр. 166, 170
^(1952), стр. 254
^Родился (1909), стр. 25
^Herglotz (1909), стр. 408
^ Herglotz (1909), стр. 414
^Зоммерфлед (1910), стр. 670
^Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, дело IIIb
^Коттлер (1914b), стр. 488
^Herglotz (1909), стр. 402, 409-415
^ Pirani Willims (1962)
^Herglotz (1909), стр. 403
^Петров (1964)
^Synge (1967)
^Letaw (1981)
^Herglotz (1909), стр. 411
^Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, случай I
^ Lemaître (1924), стр. 175
^Synge (1967), Тип I
^Herglotz (1909), стр. 412
^Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, дело IIb
^ДеСиттер (1916), стр. 178
^Лемэтр (1924), стр. 173
^Synge (1967), тип IIc
^Herglotz (1909), стр. 413
^Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, дело IIIa
^Lemaître (1924), стр. 174
^Synge (1967), тип IIa
^Kottler (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, случай IV
^Synge (1967), тип IIb
^Rayner (1959)
^Epp, Mann McGrath (2009)

Библиография

Born, Max (1909a)), "Теория звездных электронов в кинематике относительности" [Перевод википедии: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности ], Annalen der Physik, 335 (11): 1–56, Bibcode : 1909AnP... 335.... 1B, doi : 10.1002 / andp.19093351102
Борн, Макс (1909b), "Uber die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [Перевод Wikisource: О динамике электрона в кинематике принципа относительности ], Physikalische Zeitschrift, 10 : 814–817
Борн, Макс (1910), «Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips» [перевод Wikisource: О кинематике твердого тела в системе принципа относительности ], Гёттингер Nachrichten, 2 : 161–179
Эренфест, Пауль (1909), «Стартер вращения Gleichförmige Körper und Relativitätstheorie» [Перевод Wikisource: Равномерное вращение твердых тел и Теория относительности ], Physikalische Zeitschrift, 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ... 10..918E
Herglotz, Gustav (1910) [1909], «Uber den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [перевод Wikisource: О телах, которые должны быть обозначены как «твердые» с точки зрения принципа относительности ], Annalen der Physik, 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP... 336..393H, doi : 10.1002 / andp.19103360208
Herglotz, Gustav (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie", Annalen der Physik, 341 153>(13): 493–533, Bibcode : 1911AnP... 341..493H, doi : 10.1002 / andp.19113411303 ; Английский перевод Дэвида Дельфениха: О механике деформируемых тел с точки зрения теории относительности.
Нётер, Фриц (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie". Annalen der Physik. 336 (5): 919–944. Bibcode : 1910AnP... 336..919N. doi : 10.1002 / andp.19103360504.
Зоммерфельд, Арнольд (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [Перевод Wikisource: По теории относительности II: четырехмерный векторный анализ ]. Annalen der Physik. 338 (14): 649–689. Биб-код : 1910AnP... 338..649S. doi : 10.1002 / andp.19103381402.
Коттлер, Фридрих (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [перевод Wikisource: На пространственно-временных линиях мира Минковского ]. Wiener Sitzungsberichte 2a. 121 : 1659–1759. HDL : 2027 / mdp.39015051107277.
Коттлер, Фридрих (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung". Annalen der Physik. 349 (13): 701–748. Биб-код : 1914AnP... 349..701K. doi : 10.1002 / andp.19143491303.
Коттлер, Фридрих (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips". Annalen der Physik. 350 (20): 481–516. Bibcode : 1914AnP... 350..481K. doi : 10.1002 / andp.19143502003.
Де Ситтер, W. (1916). «О теории гравитации Эйнштейна и ее астрономических последствиях. Вторая статья». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D. doi : 10.1093 / mnras / 77.2.155.
Паули, Вольфганг (1921), «Die Relativitätstheorie», Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 5 (2): 539–776

На английском языке: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности. Фундаментальные теории физики. 165 . Dover Publications. ISBN 0-486-64152-X.

Лемэтр, Г. (1924), «Движение твердого тела согласно принципу относительности», Philosophical Magazine, Series 6, 48 (283): 164–176, doi : 10.1080 / 14786442408634478
Фоккер, А.Д. (1949), «О геометрии пространства-времени движущегося твердого тела», Reviews of Modern Physics, 21 (3): 406-408, Bibcode : 1949RvMP... 21..406F, doi : 10.1103 / RevModPhys.21.406
Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности. Oxford Clarendon Press.
Зальцман, Г., Тауб, AH (1954), "Жесткое движение типа Борна в теории относительности", Physical Review, 95 (6): 1659–1669, Bibcode : 1954PhRv... 95.1659S, doi :10.1103/PhysRev.95.1659 CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Райнер, CB (1959), «Le corps rigide en relativité générale», Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste, 2 : 1–15
Pirani, FAE, Williams, G. (1962), «Жесткое движение в гравитационном поле», Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste, 5 : 1–16 CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
Петров В. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen". Aplikace Matematiky. 9 (4): 239–240.
Boyer, RH (1965), «Жесткие системы отсчета в общей теории относительности», Труды Лондонского королевского общества A, 28 (1394): 343–355, Bibcode : 1965RSPSA.2 83..343B, doi : 10.1098 / rspa.1965.0025, S2CID 120278621
Synge, JL (1967) [1966 ]. «Времениподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской ирландской академии, Раздел A. 65 : 27–42. JSTOR 20488646.
Grøn, Ø. (1981), «Ковариантная формулировка закона Гука», Американский журнал физики, 49 (1): 28–30, Bibcode : 1981AmJPh..49... 28G, doi : 10,1119 / 1,12623
Лето, младший (1981). «Стационарные мировые линии и вакуумное возбуждение неинерциальных детекторов». Physical Review D. 23 (8): 1709–1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L. doi : 10.1103 / PhysRevD.23.1709.
Бел, Л. (1995) [1993], «Группа Борна и обобщенные изометрии», Общая теория относительности: Труды собрания по теории относительности'93, Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509, Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
Джулини, Доменико (2008). «Богатая структура пространства Минковского». Пространство-время Минковского: сто лет спустя. Фундаментальные теории физики. 165 . Springer. п. 83. arXiv : 0802.4345. Bibcode : 2008arXiv0802.4345G. ISBN 978-90-481-3474-8.
Эпп, Р.Дж., Манн, Р.Б., и МакГрат, П.Л. (2009 г.), «Повторение о жестком движении: жесткие квазилокальные рамки», Классические и Квантовая гравитация, 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072, Bibcode : 2009CQGra..26c5015E, doi : 10.1088 / 0264-9381 / 26/3/035015, S2CID 118856653 CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )

Внешние ссылки

Born Rigidity, Acceleration, and Inertia на mathpages.com
Жесткий вращающийся диск в теории относительности в FAQ по физике USENET