Войти
 . Инволюционная симметрия. Cs, (*). [] =  |  . Циклическая симметрия. Cnv, (* nn). [n] =   |  . Диэдральная симметрия. Dnh, (* n22). [n, 2] =  | |
| Полиэдральная группа, [n, 3], (* n32) | |||
|---|---|---|---|
 . Тетраэдрическая симметрия. Td, (* 332). [3,3] =  |  . Октаэдрическая симметрия. Oh, (* 432). [4, 3] =  |  . Икосаэдрическая симметрия. Ih, (* 532). [5,3] =  | |
В геометрии, точечная группа в трех измерениях - это группа изометрии в трех измерениях, которая оставляет исходную точку фиксированной или, соответственно, группу изометрии сферы . Это подгруппа из ортогональной группы O (3), группа всех изометрий, которые оставляют исходную точку фиксированной, или, соответственно, группу ортогональные матрицы. Сама O (3) является подгруппой евклидовой группы E (3) всех изометрий.
Группы симметрии объектов являются группами симметрии изометрии. Соответственно, анализ групп изометрий - это анализ преступника симметрий. Все изометрии ограниченного трехмерного объекта одной или нескольких общих фиксированных точек. В качестве одного из них выбираем происхождение.
Группа симметрии объекта иногда также называется группой полной симметрии, в отличие от ее группы вращения или собственной группы симметрии, пересечение его полной группы симметрии и группы вращения SO (3) самого трехмерного пространства. Группа вращения объекта равна его группе полной симметрии тогда и только тогда, когда объект хиральный.
Точечные группы в трех измерениях широко используются в химии, особенно для описания симметрии молекулы и молекулярных орбит, образующих ковалентных связей, и в этом контексте их также называют точечными молекулярными группами.
Конечными группами используются специальный набор групп точек, созданный исключительно набором отражающих зеркал, проходящих через одну и ту же точку. Группа Кокстера ранга n имеет n зеркал и представлена диаграмма Кокстера - Дынкина. Нотация Кокстера предлагает заключенную в скобки нотацию, эквивалентную диаграмму Кокстера, с символами разметки для групп точек и других подсимметричных групп.
SO (3) является подгруппой E (3), которая состоит из прямых изометрий, т.е. изометрий, сохраняющих ориентацию ; он содержит те которые, оставляют исходную точку фиксированной.
O (3) - прямое произведение SO (3) и группы, сгенерированной инверсией (обозначенной ее матрицей -I):
Таким образом, между всеми прямыми изометриями и совместными изометриями соответствует один-к-одному посредством инверсии. Также соответствует один-к-одному между всеми группами прямых изометрий H в O (3) и всеми группами K изометрий в O (3), которые содержат инверсию:
Например, если H равно C 2, то K равно C 2h, или если H равно C 3, тогда K представляет собой S 6. (См. Определения этих групп ниже.)
Если имеет группа прямых изометрий H подгруппу L с индексом 2, то, кроме структуры группы инверсию, существует также соответствующая группа, которая содержит непрямые изометрии, но не инверсию:
где изометрия (A, I) отождествляется с A. Примером может быть C 4 для H и S 4 для M.
Таким образом, M получается из H путем инвертирования изометрий в H ∖ L. Эта группа M является абстрактной группой изоморфна H. Наоборот, для всех групп изометрий, которые имеют косвенные изометрии, имеют инверсии, мы можем получить группу вращений, инвертируя косвенные изометрии. Это пояс при классификации групп изометрии, см. Ниже.
В 2D циклическая группа k-кратных вращений Ckявляется для каждого положительного целого числа k нормальной подгруппой O (2, R ) и SO ( 2, R ). Соответственно, в 3D для каждой оси циклическая группа k-кратных вращений вокруг оси является нормальной подгруппой группы всех вращений вокруг оси. Группа поворотов (C n), полученная путем добавления отражений в плоскостях, проходящих через ось (C nv), так и в группе, любая подгруппа индекс два является нормальной, группа поворотов (C n), полученная добавление плоскости отражения, перпендикулярной оси (C nh).
Изометрии R, которые оставляют исходную точку фиксированной, образуя группу O (3, R ), можно разделить на следующие категории:
В частности, 4-й и 5-й, а также в более широком смысле 6-й также называются неправильными поворотами.
См. Также аналогичный обзор, включая переводы.
Когда сравнивая тип симметрии двух объектов, начало координат выбирается для каждого отдельно, т.е. они не обязательно должны иметь один и тот же центр. Более того, два объекта считаются имеющими один и тот же тип симметрии, если их группы симметрии являются сопряженными подгруппами в O (3) (две подгруппы H 1, H 2 группы G являются сопрягать, если существует g ∈ G такой, что H 1 = gH 2 g).
Например, два 3D-объекта имеют один и тот же тип симметрии:
В случае зеркальных плоскостей и / или осей вращения две группы симметрии имеют один и тот же тип симметрии тогда и только тогда, когда есть вращение, отображающее всю форму первой симметрии группа к тому из второго. (Фактически будет более одного такого поворота, но не бесконечное число, как при наличии только одного зеркала или оси.) Определение сопряженности также позволяет получить зеркальное устройство, но это не требуется, сама структура ахиральный. Например, если группа симметрии содержит 3-кратную ось вращения, она содержит вращения в двух противоположных направлениях. (Структура является хиральной для 11 пар пространственных групп с винтовой осью.)
Существует много бесконечных групп изометрий ; например, «циклическая группа » (означает, что она генерируется одним элементом - не путать с торсионной группой ), генерируемая вращением на иррациональное число оборотов вокруг оси. Мы можем создать нециклические абелевы группы, добавив больше вращений вокруг той же оси. Существуют также неабелевы группы, порожденными вращающимися вокруг разных осей. Обычно (обычно) это свободные группы. Они будут бесконечными, если специально не выбраны вращения.
Все упомянутые до сих пор бесконечные группы не являются замкнутыми как топологическими подгруппами O (3). Теперь обсудим топологически замкнутые подгруппы в O (3).
Немаркированная сфера имеет симметрию O (3). Весь O (3) является группой симметрии сферической симметрии ; SO (3) - соответствующая группа вращения. Другие группы изометрии состоят из всех поворотов оси, проходящей через начало координат, и тех, которые имеют дополнительное пространство в плоскостях, проходящих через ось, и / или отражение в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси оси. Группы с отражением в плоскостях, проходящих через ось, с отражением или без отражения в плоскости через начало координат, перпендикулярной оси, являются группой симметрии для двух типов цилиндрической симметрии. Обратите внимание, что любой физический объект, имеющий бесконечную вращательную симметрию, также будет иметь метрию зеркальных плоскостей относительно оси.
Есть семь непрерывных групп, которые ограничены конечных групп изометрий. Эти так называемые группы предельных точек или группы пределов Кюри названы в честь Пьера Кюри, который первым исследовал их. Семь бесконечных серий аксиальных групп приводят к пяти предельным группам (две из них являются дубликатами), а семь оставшихся точечных групп представляют еще две непрерывные группы. В системе международных обозначений это список ∞, ∞2, ∞ / м, ∞ мм, ∞ / мм, ∞∞ и ∞∞m.
Симметрии в 3D, которые оставить фиксированное начало координат полностью характеризуются симметрией на сфере с центром в начале координат. Для конечных трехмерных точечных групп см. Также группы сферической симметрии.
С помощью до сопряжения набор конечных трехмерных точечных групп из:
Согласно теореме кристаллографического ограничения, ограниченное количество точечных групп совместимо с дискретной трансляционной симметрией : 27 от 7 бесконечных серий и 5 из 7 других. Вместе они составляют 32 так называемых кристаллографических точечных групп.
Бесконечные серии аксиальных или призматических групп имеют индекс n, который может быть любым целым числом. ; в каждой n-я группа симметрии содержит n-кратную вращательную симметрию относительно оси, то есть симметрию относительно поворота на угол 360 ° / n. n = 1 охватывает полного отсутствия вращательной симметрии. Есть четыре без других осей вращательной симметрии (см. циклические симметрии ) и три с дополнительными осями 2-кратной симметрии (см. двугранной симметрии ). Их можно понимать как группы точек в двух измерениях, расширенные с осевой координатой и отражениями в ней. Они относятся к фризовым группам ; их можно интерпретировать как узор группы фризов, повторяющийся n раз вокруг цилиндра.
<45451>В таблице сообщений нескольких обозначений для точечных групп: обозначение Германа - Могена (используется в кристаллографии ), обозначение Шёнфли описанияса (используется для симметрия молекулы ), орбифолд и код Кокстера. Последние три удобно связаны не только с его свойствами, но и с порядком группы. Это унифицированное обозначение, также применимое для групп обоев и групп фризов. У кристаллографических групп ограничено до 1, 2, 3, 4 и 6; снятие кристаллографического ограничения допускает любое положительное целое число. Серии:| H - M | Schön. | Сфера. | Кокс. | Frieze | Struct.. (Заказ ) | Пример | Комментарии | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Четкое n | Нечетное n | (цилиндр) | ||||||
| n | Cn | nn | [n]. | p1 | Zn. (n) |  | n-кратная симметрия вращения | |
| 2n | n | S2n | n× | [2n, 2].   | p11g | Z2n. (2n) |  | n-кратное вращательное отражение симметрия. Не следует путать с абстрактной симметричной группой |
| n / m | 2n | Cnh | n* | [n, 2].  | p11m | Zn×Z2. (2n) |  | |
| nmm | nm | Cnv | * nn | [n]. | p1m1 | Ди n. (2n) |  | Пирамидальный симметрия;. в биологии, бирадиальная симметрия |
| n22 | n2 | Dn | 22n | [n, 2 при условии. | p211 | Dih n. (2n) |  | Двугранная симметрия |
| 2n2m | nm | Dnd | 2 * n | [2n, 2]. | p2mg | Dih 2n. (4n) |  | Антипризматическая симметрия |
| n / ммм | 2n2m | Dnh | * 22n | [n, 2]. | p2mm | Dih n×Z2. (4n) |  | Призматический симметрия |
Для нечетного n имеем Z 2n = Z n × Z 2 и Dih 2n = Dih n × Z 2.
Термины горизонтальный (h) и вертикальный (v) и соответствующие индексы к дополнительному зеркалу p полоса, которые могут быть параллельна оси вращения (вертикально) или перпендикулярна оси вращения (горизонтально).
Простейшие нетривиальные имеют инволюционную симметрию (абстрактная группа Z 2 или Dih 1):
Рисунки на трехмерной полосе, показывающие случай n = 6 для каждого из 7 бесконечных семейств точечных групп. Группа симметрии каждого шаблона - это указанная группа. Вторая из - первая из одноосных групп (циклических групп ) C n порядка n (также применима в 2D), которые генерируются одним поворотом на угол 360 ° / n. В дополнение к этому, можно добавить плоскость зеркала, перпендикулярную ось, давая группа C nh порядка 2n, или набор из n зеркальных плоскостей, ось, давая группа C nv, также порядок 2н. Последняя является симметрии для правильной n-сторонней пирамиды . Типичный объект с группой симметрии C n или D n - это пропеллер.
Если добавлены как горизонтальная, так и вертикальная плоскости отражения, их пересечения дают n осей вращения через 180 °, поэтому группа больше не является одноосной. Эта новая группа порядка 4n называется D nh. Его подгруппа вращений - это группа двугранных углов Dnпорядка 2n, которая по-прежнему имеет оси двукратного вращения, перпендикулярные основные оси вращения, но не имеет зеркальных плоскостей. Обратите внимание, что в 2D D n включает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия передней и задней стороны, но в 3D две операции различаются: группа содержит «переворачивание», не размышления.
В этом семействе есть еще одна группа, называемая D nd (или D nv), которая имеет вертикальные зеркальные плоскости, содержащие главную ось вращения, но вместо Имея горизонтальную зеркальную плоскость, он имеет изометрию, сочетающее отражение в горизонтальной плоскости и поворот на угол 180 ° / n. D nh - группа симметрии правильной (n + 2) -сторонней призмы, а также правильной (2n) -сторонней бипирамиды. D nd - группа симметрии правильной (n + 2) -сторонней антипризмы, а также правильной (2n) -сторонней трапеции. D n - группа симметрии частично повернутой призмы.
Группы D 2 и D 2h заслуживают внимания тем, что не имеют специальной оси вращения. Скорее, есть три перпендикулярных оси 2-го порядка. D 2 - подгруппа всех полиэдральных симметрий (см. Ниже), а D 2h - подгруппа полиэдральных групп T h и O h. D 2 может встречаться в гомотетрамерах, таких как Конканавалин A, в тетраэдрических координационных соединениях с четырьмя идентичными хиральными лигандами или в молекуле, такой как тетракис (хлорфторметил) метан, если все хлорфторметильные группы имеют одинаковую хиральность. Элементы D 2 находятся во взаимном соответствии с вращениями, задаваемыми единицей кватернионами Липшица.
Группа S n создается комбинация отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 360 ° / н. Для нечетного n это равно группе, сгенерированной двумя отдельно, C nh порядка 2n, и поэтому обозначение S n не требуется; однако для n даже он различен и имеет порядок n. Как и D nd, он содержит ряд неправильных поворотов без соответствующих поворотов.
Все группы симметрии в 7 бесконечных сериях различных, за исключением следующих четырех пар взаимно равных:
S2, является группой порядка 2 с одной инверсией (C i)
«Равный» здесь означает то же самое с точностью до сопряженности в пространстве. Это сильнее, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, есть три разные группы порядка два в в первом смысле, но во втором смысле только один. Аналогично, например, S 2n алгебраически изоморфен Z 2n.
Группы могут быть построены следующим образом:
. Принятие n к ∞дает группы с непрерывным осевое вращение:
| H - M | Шёнфлис | Орбифолд | Кокстер | Предел | Абстрактная группа | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ∞ | C∞ | ∞∞ | [∞] |  | Cn | Z∞ | SO (2) |
| ∞, ∞ / m | C∞h | ∞* | [2, ∞] | | Cnh, S 2n | Z2×Z∞ | Z2× SO (2) |
| ∞m | C∞v | *∞∞ | [∞] | | Cnv | Dih ∞ | O (2) |
| ∞2 | D∞ | 22∞ | [2, ∞] | | Dn | Dih ∞ | O (2) |
| ∞m, ∞ / мм | D∞h | * 22∞ | [2, ∞] | | Dnh, D nd | Z2×Z∞ | Z2× O (2) |
Остальные точечные группы называются очень высокими или полиэдральными симметрии, потому что они имеют одну ось вращения по порядку выше 2. Здесь C n обозначает ось вращения на 360 ° / n, а S n обозначает ось неправильное вращение через то же самое. В скобках указано орбифолдное обозначение, обозначение Кокстера (диаграмма Кокстера ), полное обозначение Германа - Могена и сокращенное обозначение, если разные. Группы следующие:
| T, (332). [3,3] ( | хиральная тетраэдрическая симметрия | Имеется четыре оси C 3, каждая проходит через две вершины куба (диагонали тела) или одну из правильных тетраэдров и три оси C 2 через центры граней куба, или середины ребер тетраэдра.>изоморфна A 4, чередующейся группе на 4 элементах, и является группой для правильного тетраэдра. Это нормальная подгруппа из T d, T h и октаэдрических симметрий. Элементы группы соответствуют 1-к-2 поворотам. Дается 24 единицей кватернионов Гурвица («бинарная тетраэдрическая группа »). |
| Td, (* 332). [3,3] (). 43m. порядок 24 | полная тетраэдрическая симметрия | Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая из которых содержит два ребра куба или одно ребро тетраэдра, a одиночная ось C 2 и две оси C 3. Оси C 2 теперь фактически являются осями S 4. Эта группа является группой симметрии правильного тетраэдра . T d изоморфен S 4, симметричной группе на 4-х буквах, потому что между элементами T <118 существует соответствие один-к-одному.>d и 24 перестановки четырех 3-кратных осей. Объект симметрии C 3v относительно одной из осей 3-го порядка порождает под этим T d на орбиту, состоящую из четырех таких объектов, и T d соответствует набору перестановок этих четырех объектов. T d является нормальной подгруппой O h. См. Также изометрии правильного тетраэдра. |
| Th, (3 * 2). [3,4] (). 2 / m3, m3. порядок 24 | пиритоэдрическая симметрия |  Швы волейбольного мяча имеют симметрию T h. Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями, параллельными граням куба. C 3 Оси становятся осями S 6, и имеется инверсионная симметрия. T h изоморфен A 4 × Z 2 (поскольку T и C i являются нормальными подгруппами), а не симметричной S4. Это симметрия куба с отрезком на каждой грани, разделяющим грань на две равные части. Прямоугольники, такие, что отрезки других граней не пересекаются на краях. Это также симметрия пиритоэдра, который похож на описанный куб, где каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрия, 4 равными сторонами и 1 разной t стороной (с оответствующая отрезку прямой, разделяющей грань куба); т.е. грани куба выпирают на разделительной линии и сужаются там. Это подгруппа (но не нормальная подгруппа) полной группы симметрии икосаэдра (как группа изометрий, а не только как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей. Это нормальная подгруппа O h. |
| O, (432). [4,3] ( | хиральная октаэдрическая симметрия | Эта группа похожа на T, но оси C 2 теперь являются осями C 4, и, кроме того, имеется 6 осей C 2, проходящих через средние точки ребер куба. Эта группа также изоморфен S 4, потому что его элементы находятся в соответствии с 1 к 1 24 перестановкам осей 3-го порядка, как и в T. Объект с симметрией D 3 под одной из осей 3-го порядка порождает под действием O орбиту , состоящую из четырех таких объектов, а O соответствует набору перестановок этих четырех объектов. Это группа вращения куб и октаэдр.>кватернионами, состоит из 24 единиц кватернионов Гурвица и 24 кватерниона Липшица квадрата нормы 2, нормализованные путем деления на  . Как и раньше, это 1-к- 2 корреспонденции nden ce. |
| Oh, (* 432). [4,3] (). 4 / m32 / m, m3m. порядок 48 | полная октаэдрическая симметрия | Эта группа имеет те же оси вращения, что и O, но с зеркальными плоскостными, содержащими обе зеркальные плоскости T d и T h. Эта группа изоморфна S 4 × Z 2 (поскольку как O, так и C i являются нормальными подгруппами) и группа симметрии куба и октаэдра. См. Также изометрии куба. |
| I, (532). [5,3] ( | хиральная икосаэдрическая симметрия | группа вращения икосаэдра и додекаэдр. Это нормальная подгруппа с индексом 2 в полной группе симметрий Ih. Группа содержит 10 версий D 3 и 6 версий D 5 (симметрии вращения, такие как призмы и антипризмы). Он также содержит пять версий T (см. Соединение пяти тетраэдров ). Группа I изоморфен A 5, переменная группа на 5 l etters, поскольку его элементы соответствуют 1 к 1 с четными перестановками пяти симметрий Th(или пяти только что упомянутых тетраэдров). Представление вращений с помощью кватернионов, Iсоставлено из 120 единиц икозианов. Как и раньше, это соответствие 1-2. |
| Ih, (* 532). [5,3] (). 532 / m, 53m. порядок 120 | полная симметрия икосаэдра | группа симметрии икосаэдра и додекаэдра. Группа Ihизоморфна A 5 × Z 2, потому что I и C i являются нормальными подгруппами. Группа содержит 10 версий D 3d, 6 версий D 5d (симметрии типа антипризм) и 5 версий T h. |
Непрерывные группы, связанные с этим:
Как отмечалось выше для бесконечных групп изометрий, любой физический объект, имеющий K-симметрию, также будет иметь K h симметрию.
Порядок каждой группы равенства 2, разделенным на orbifold эйлерова характеристика ; последняя равна 2 минус сумма значений признаков, назначенных следующим образом:
Это также может использоваться для групп обоев и группы фризов : для них сумма значений признаков равна 2, что дает бесконечный порядок; см. орбифолдная характеристика Эйлера для групп обоев
| A3, [3,3], | B3, [4,3], | H3, [5, 3], |
|---|---|---|
 . 6 зеркал |  . 3 + 6 зеркал |  . 15 зеркал |
| 2A1, [1,2], | 3A1, [2,2], | A1A2, [2,3], |
 . 2 зеркала |  . 3 зеркала |  . 4 зеркала |
| A1, [1], | 2A1, [2], | A2, [3], |
 . 1 зеркало |  . 2 зеркала |  . 3 зеркала |
Группы отражающих точек в трех измерениях также называются группы Кокстера и могут быть заданы диаграммой Кокстера-Дынкина и представить собой набор зеркал, которые пересекаются в одной центральной точке и ограничивают область сферического треугольника на поверхности поверхности. Группы Кокстера с менее чем 3 генераторами имеют вырожденные сферические треугольные области, такие как лунки или полушарие. В нотации Кокстера эти группы имеют тетраэдрическую симметрию [3,3], октаэдрическую симметрию [4,3], икосаэдрическую симметрию [5, 3] и двугранной симметрии [п, 2]. Число зеркал для неприводимой группы равно nh / 2, где h - число Кокстера группы Кокстера, n - размерность (3).
| Группа Вейля. | Кокстер. обозначение | Порядок | число Кокстера.. (h) | Зеркала. (m) | |
|---|---|---|---|---|---|
| Многогранные группы | |||||
| A3 | | [3,3] | 24 | 4 | 6 |
| B3 | | [4,3] | 48 | 6 | 3 + 6 |
| H3 | | [5,3] | 120 | 10 | 15 |
| Группы диэдра | |||||
| 2A1 | | [1,2] | 4 | 1+ 1 | |
| 3A1 | | [2,2] | 8 | 2 + 1 | |
| I2(p) A1 |  | [p, 2] | 4p | p + 1 | |
| Циклические группы | |||||
| 2A1 | | [2] | 4 | 2 | |
| I2(p) | | [p] | 2p | p | |
| Одинарное зеркало | |||||
| A1 | | [] | 2 | 1 | |
Группы вращения, то есть конечные подгруппы SO (3), это: циклические группы C n (группа вращения канонической пирамиды ), двугранные группы D n (группа вращения однородной призмы или каноническая бипирамида ), а также группы вращения T, O и I правильного тетраэдра, октаэдра / куба и икосаэдра / додекаэдр.
В частности, группы диэдра D 3, D 4 и т. Д. Представьте собой группу вращений плоских правильных многоугольников, вложенных в трехмерное пространство, и фигуру можно рассматривать как вырожденную правильную призму. Поэтому его также называют диэдром (греч. Твердое тело с двумя гранями), что объясняет название группы диэдра.
Группа вращения объекта равна его полной симметрии тогда и только тогда объект, когда хиральный. Другими словами, киральные объекты - это объекты, группа симметрии указана в списке групп вращения.
Заданные в нотации Шёнфлиса, нотации Кокстера, (нотация орбифолда ), подгруппы вращения следующие:
| Отражение | Отражение / вращение | Неправильное вращение | Вращение |
|---|---|---|---|
| Cnv, [n], (* nn) | Cnh, [n, 2], (n *) | S2n, [2n, 2], (n ×) | Cn, [n], (nn) |
| Dnh, [2, n], (* n22) | Dnd, [2,2n], (2 * n) | Dn, [2, n], (n22) | |
| Td, [3,3], (* 332) | T, [3,3], (332) | ||
| Oh, [4,3], (* 432) | Th, [ 3,4], (3 * 2) | O, [4,3], (432) | |
| Ih, [5,3], (* 532) | I, [5,3], ( 532) |
Следующие группы содержат инверсия :
Как объяснено выше, между этими и всеми группами соответствует соответствие один-к-одному:
Другие группы содержатенные изометрии, но не инверсию:
Все они соответствуют группе вращения H и подгруппе L индекс 2 в том смысле, что они получены из H путем инвертирования изометрий в H \ L, как объяснено выше:
Существуют две дискретные точечные группы со свойством, что ни одна дискретная точечная группа не имеет ее в качестве собственной подгруппы: O h и I h. Их самая большая общая подгруппа - T h. Две группы получаются из него путем изменения 2-кратной симметрии вращения на 4-кратную и добавления 5-кратной симметрии соответственно.
Имеются две кристаллографические точечные группы, обладающие тем свойством, что ни одна кристаллографическая точечная группа не имеет ее в качестве собственной подгруппы: O h и D 6h. Их максимальные общие подгруппы, в зависимости от ориентации, - это D 3d и D 2h.
Ниже группы, описанные выше, упорядочены по абстрактному типу группы.
Наименьшие абстрактные группы, которые не являются какой-либо группой симметрии в 3D, - это группа кватернионов (порядка 8), Z 3 × Z 3 (порядка 9), дициклическая группа Dic 3 (порядка 12) и 10 из 14 групп порядка 16.
Столбец " № элементов порядка 2 »в следующих таблицах показывает общее количество подгрупп изометрии типов C 2, C i, C s. Это общее количество является одной из характеристик, помогающих различать различные типы абстрактных групп, в то время как их тип изометрии помогает различать различные группы изометрии одной и той же абстрактной группы.
В рамках возможностей групп изометрий в 3D существует бесконечное множество типов абстрактных групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, есть две с 2n + 1 элементами порядка 2 и три с 2n + 3 элемента порядка 2 (для каждого n ≥ 2). Никогда не бывает положительного четного числа элементов порядка 2.
Группа симметрии для n-кратной вращательной симметрии представляет собой C n ; его абстрактным типом группы является циклическая группа Zn, которая также обозначается C n. Однако есть еще две бесконечные серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:
Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом 10 цикли кристаллографических точечных групп, используемых кристаллографическое ограничение :
| Заказ | Изометрические группы | Дополнительная группа | Число элементов порядка 2 | Диаграмма цикла |
|---|---|---|---|---|
| 1 | C1 | Z1 | 0 |  |
| 2 | C2, Ci, Cs | Z2 | 1 |  |
| 3 | C3 | Z3 | 0 |  |
| 4 | C4, S4 | Z4 | 1 |  |
| 5 | C5 | Z5 | 0 |  |
| 6 | C6, S6, C3h | Z6= Z 3 × Z 2 | 1 |  |
| 7 | C7 | Z7 | 0 |  |
| 8 | C8, S 8 | Z8 | 1 |  |
| 9 | C9 | Z9 | 0 |  |
| 10 | C10, S 10, C 5h | Z10= Z 5 × Z 2 | 1 |  |
и т. Д.
В 2D двугранная группа Dnвключает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия лицевых сторон. и зад.
в 3D эти две операции различаются: группа симметрии, обозначенная D n, содержит n 2-кратных осей, перпендикулярных n-кратной оси, а не отражения. D n - это группа вращения n-сторонней призмы с правильным основанием и n-сторонней бипирамиды с правильным основанием, и также из правильной n-сторонней антипризмы и правильная n-сторонней трапеции. Эта группа также является группой полной симметрии таких объектов после того, как они были хиральными, например, идентичная хиральная маркировка на каждую грани или некоторая модификация формы.
Тип абстрактной группы - это диэдральная группа Dih n, которая также обозначается D n. Однако есть еще три бесконечных серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:
Обратите внимание на следующее свойство:
Dih 2n + 1 × Z 2Таким образом, с выделением 12 кристаллографических точечных групп жирным шрифтом и записью D 1d как эквивалентный C 2h:
| Порядок | Группы изометрии | Абстрактная группа | Число элементов порядка 2 | Цикличная диаграмма |
|---|---|---|---|---|
| 4 | D2, C2v, C2h | Dih 2 = Z 2 × Z 2 | 3 |  |
| 6 | D3, C3v | Dih 3 | 3 |  |
| 8 | D4, C4v, D2d | Dih 4 | 5 |  |
| 10 | D5, C 5v | Dih 5 | 5 |  |
| 12 | D6, C6v, D3d, D3h | Dih 6 = Dih 3 × Z 2 | 7 |  |
| 14 | D7, C 7v | Dih 7 | 7 |  |
| 16 | D8, C 8v, D 4d | Dih 8 | 9 |  |
| 18 | D9, C 9v | Dih 9 | 9 | |
| 20 | D10, C 10v, D 5h, D 5d | Dih 10 = D 5 × Z 2 | 11 |  |
и т. Д.
C2n, h порядка 4n относится к типу абстрактной группы Z 2n × Z 2. Для n = 1 мы получаем Dih 2, уже рассмотренное выше, поэтому n ≥ 2.
Таким образом, с выделением жирным шрифтом 2 циклических кристаллографических точечных групп:
| Order | Группа изометрий | Абстрактная группа | Число элементов порядка 2 | Цикличная диаграмма |
|---|---|---|---|---|
| 8 | C4h | Z4× Z 2 | 3 |  |
| 12 | C6h | Z6× Z 2 = Z 3 × Z 2 = Z 3 × Dih 2 | 3 |  |
| 16 | C8h | Z8× Z 2 | 3 |  |
| 20 | C10h | Z10× Z 2 = Z 5 × Z 2 = Z 5 × Dih 2 | 3 |  |
и т. Д.
Dnhпорядок 4n имеет тип абстрактной группы Dih n × Z 2. Для нечетных n это уже рассмотрено выше, поэтому здесь D 2nh порядка 8n, который имеет тип абстрактной группы Dih 2n × Z 2 (n ≥1).
Таким образом, с выделением жирным шрифтом 3 двугранных кристаллографических точечных групп:
| Порядок | Группа изометрии | Абстрактная группа | № порядка 2 элементов | Диаграмма цикла |
|---|---|---|---|---|
| 8 | D2h | Z2 | 7 |  |
| 16 | D4h | Dih 4 × Z 2 | 11 |  |
| 24 | D6h | Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 | 15 | |
| 32 | D8h | Dih 8 × Z 2 | 19 |
и т. Д.
Остальные семь выделены жирным шрифтом пяти кристаллографических точечных групп (см. Также выше):
| Заказ | Изометрическая группа | Абстрактная группа | Количество элементов порядок 2 | Циклическая диаграмма |
|---|---|---|---|---|
| 12 | T | A4 | 3 |  |
| 24 | Td, O | S4 | 6 |  |
| 24 | Th | A4× Z 2 | 6 |  |
| 48 | Oh | S4× Z 2 | 6 | |
| 60 | I | A5 | ||
| 120 | Ih | A5× Z 2 |
 |  |
| Плоскости отражения для симметрия икосаэдра пересечение сферу на больших окружностей фундаментальным областями прямоугольного сферического треугольника | |
фундаментальная область точечной группы представляет собой коническое тело. Объект с данной симметрией в данной ориентации характеризуется фундаментальной областью. Если объект представляет собой поверхность, он представляет собой поверхность в основной области, продолжающейся радиальных боковых граней или поверхности. Если копии поверхности не подходят, можно добавить радиальные грани или поверхности. Они подходят в любом случае, если основная область ограничена плоскостями отражения.
Для многогранника эта поверхность в фундаментальной области может быть частью произвольной плоскости. Например, в триаконтаэдре дисдиакиса одна полная грань является фундаментальной областью икосаэдрической симметрии. Регулировка ориентации плоскости дает различные возможности объединения или более различных граней в одну, давая другие многогранники с той же симметрией. Многогранник является выпуклым, если поверхность соответствует его копиим, а радиальная линия, перпендикулярная плоскость, находится в фундаментальной области.
Также поверхность в основной области может состоять из нескольких граней.
Карта Spin (3) → SO (3) является двойным покрытием группы вращения спиновой группой в 3-х измерениях. (Это единственное связное покрытие SO (3), поскольку Spin (3) односвязно.) По теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin (3) и подгруппы SO (3) ( группы вращения): образ подгруппы Spin (3) является группой точек вращения, а прообраз точечной группы подгруппой Spin (3). (Обратите внимание, что Spin (3) имеет альтернативные описания как специальная унитарная группа SU (2) и как группа единичных кватернионов. Топологически эта группа Ли является 3-мерная сфера S.)
Прообразной точечной группы называется бинарной полиэдральной группой, представленной как ⟨l, n, m⟩, и называется тем же именем в своей точечной группе с префиксом двоичный, с двойным порядком неот полиэдральной группы (l, m, n). Например, прообраз группы икосаэдров (2,3,5) является бинарной группой икосаэдров, ⟨2,3,5⟩.
Бинарные многогранные группы:
: двоичная циклическая группа из (n + 1) -угольника, порядок 2n
: бинарная двугранная группа n-угольника, ⟨2,2, n⟩, порядок 4n
: бинарная тетраэдрическая группа, ⟨2,3,3⟩, порядок 24
: бинарная группа октаэдра, ⟨2,3,4⟩, порядок 48
: бинарная группа икосаэдра, ⟨2,3,5⟩, порядок 120Они классифицируются по классификации ADE, и частное от C по действию бинарной полиэдральной группы является особенностью Дюваля.
Для точечных групп, которые меняют ориентацию, ситуация более сложная, так как есть два группы контактов, поэтому есть две возможные двоичные группы, соответствующие данной группе точек.
Обратите внимание, что это покрытие групп, а не покрытие пространств - сфера односвязна и, следовательно, не имеет покрывающих пространств. Таким образом, не существует понятия «бинарный многогранник», покрывающий трехмерный многогранник. Группы бинарныхдров представляют собой дискретные подгруппы группы Spin, и в представлении спиновой группы в векторном формате и могут стабилизировать многогранник в этом представлении - при отображении Spin (3) → SO (3) они на тот же многогранник, на действует нижележащая ( недвоичная) группа, в то время как при спиновых представлениях или другие представлениях они могут стабилизировать многогранники.
В этом отличие от проективных многогранников - сфера покрывает проективное пространство (а также линзовые пространства ), и, таким образом, представляет собой мозаику проективное пространство или линзовое пространство дает отчетливое понятие многогранника.
