Группа Вейля

редактировать

Подгруппа группы изометрии корневой системы

В математике, в частности теории алгебры Ли, группа Вейля корневой системы Φ является подгруппой из группы изометрий системы корневая система. В частности, это подгруппа, которая создается отражениями через гиперплоскости , ортогональные корням, и как таковая является группой конечных отражений. В абстрактном смысле группы Вейля являются конечными группами Кокстера и являются их важными примерами.

Группа Вейля полупростой группы Ли, полупростой алгебры Ли, полупростой линейной алгебраической группы и т. Д. Является группой Вейля корневой системы этой группы или алгебры.

Она названа в честь Германа Вейля.

Содержание

1 Определение и примеры
2 Камеры Вейля
3 Структура группы Кокстера
- 3.1 Порождающее множество
- 3.2 Отношения
- 3.3 Как группа Кокстера
4 группы Вейля в алгебраических, теоретико-групповых и геометрических параметрах
- 4.1 Группа Вейля связной компактной группы Ли
- 4.2 В других параметрах настройки
5 Разложение Брюа
6 Аналогия с алгебраическими группами
7 Когомология
8 См. Также
9 Сноски
- 9.1 Примечания
- 9.2 Цитаты
10 Ссылки
11 Дополнительная литература
12 Внешние ссылки

Определение и примеры

Группа Вейля корневой системы

A 2 {\ displaystyle A_ {2}}

A_{2}

является группой симметрии равносторонний треугольник

Пусть $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ будет корневой системой в евклидовом пространстве $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Для каждого корня $α ∈ Φ {\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$ $\ alpha \ in \ Phi$ пусть $s α {\ displaystyle s _ {\ alpha}}$ ${ \ displaystyle s _ {\ alpha}}$ обозначает отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной к $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ , который явно задается как

s α (v) = v - 2 (α, v) (α, α) α {\ displaystyle s _ {\ alpha} (v) = v-2 {\ frac {(\ alpha, v)} {(\ alpha, \ alpha)}} \ alpha}

{\ displaystyle s _ {\ alpha} (v) = v-2 { \ гидроразрыва {(\ альфа, v)} {(\ альфа, \ альфа)}} \ альфа}

где $(⋅, ⋅) {\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ $(\ cdot, \ cdot)$ - внутренний продукт на $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Группа Вейля $W {\ displaystyle W}$ $W$ из $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ является подгруппой ортогональной группы $O (V) { \ displaystyle O (V)}$ $O (V)$ генерируется всеми элементами $s α {\ displaystyle s _ {\ alpha}}$ ${ \ displaystyle s _ {\ alpha}}$ . По определению корневой системы каждый $s α {\ displaystyle s _ {\ alpha}}$ ${ \ displaystyle s _ {\ alpha}}$ сохраняет $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , из которого он следует, что $W {\ displaystyle W}$ $W$ - конечная группа.

В случае корневой системы $A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_{2}$ , например, гиперплоскости, перпендикулярные корням, представляют собой просто линии, а группа Вейля группа симметрии равностороннего треугольника, как показано на рисунке. Как группа, $W {\ displaystyle W}$ $W$ изоморфна группе перестановок трех элементов, которые мы можем рассматривать как вершины треугольника. Обратите внимание, что в этом случае $W {\ displaystyle W}$ $W$ не является полной группой симметрии корневой системы; поворот на 60 градусов сохраняет $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , но не является элементом $W {\ displaystyle W}$ $W$ .

. Мы можем также рассмотреть $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ корневая система. В этом случае $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это пространство всех векторов в $R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ , сумма записей которого равна нулю. Корни состоят из векторов вида $ei - ej, i ≠ j {\ displaystyle e_ {i} -e_ {j}, \, i \ neq j}$ ${\ displaystyle e_ {i} -e_ {j}, \, i \ neq j}$ , где $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ - это $i {\ displaystyle i}$ $i$ th стандартный базовый элемент для $R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb { R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ . Отражение, связанное с таким корнем, является преобразованием $V {\ displaystyle V}$ $V$ , полученным путем замены $i {\ displaystyle i}$ $i$ th и $j {\ displaystyle j}$ $j$ -ые записи каждого вектора. Группа Вейля для $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ тогда является группой перестановок элементов $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ .

Камеры Вейля

Заштрихованная область - основная камера Вейля для основания

{α 1, α 2} {\ displaystyle \ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \}}

{\ displaystyle \ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \}}

Если $Φ ⊂ V {\ displaystyle \ Phi \ subset V}$ ${\ displaystyle \ Phi \ subset V}$ является корневой системой, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню $α {\ displaystyle \ альфа}$ $\ альфа$ . Напомним, что $σ α {\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}}$ обозначает отражение относительно гиперплоскости, а группа Вейля - это группа преобразований $V {\ displaystyle V}$ $V$ генерируется всеми $σ α {\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}}$ . Дополнение набора гиперплоскостей разъединено, и каждый компонент связности называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали конкретный набор простых корней Δ, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с Δ, как набор точек $v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ такой, что $(α, v)>0 {\ displaystyle (\ alpha, v)>0}$ $(\alpha,v)>0$ для всех $α ∈ Δ {\ displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$ .

Поскольку отражения $σ α, α ∈ Φ {\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Phi}$ сохранить $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , они также сохраняют набор гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля.

На рисунке показан случай корневой системы A2. «Гиперплоскости» (в этом случай, одномерный), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями.Шесть секторов по 60 градусов - это камеры Вейля, а заштрихованная область - фундаментальный W eyl, связанная с указанной базой.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова:

Теорема : группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.

Соответствующий результат следующий:

Теорема : зафиксируйте камеру Вейля

C {\ displaystyle C}

C

. Тогда для всех

v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}

v ​​\ in V

орбита Вейля

v {\ displaystyle v}

v

содержит ровно одну точку в закрытие

C ¯ {\ displaystyle {\ bar {C}}}

{\ bar {C}}

из

C {\ displaystyle C}

C

Структура группы Кокстера

Генераторная установка

Ключевой результат о группе Вейля:

Теорема : если

Δ {\ displaystyle \ Delta}

\ Delta

является базой для

Φ {\ displaystyle \ Phi }

\ Phi

, тогда группа Вейля генерируется отражениями

s α {\ displaystyle s _ {\ alpha}}

{ \ displaystyle s _ {\ alpha}}

α {\ displaystyle \ alpha}

\ альфа

Δ {\ displaystyle \ Delta}

\ Delta

То есть группа, порожденная отражениями $s α, α ∈ Δ, {\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Delta,}$ ${\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Delta,}$ то же самое, что и группа, порожденная отражениями $s α, α ∈ Φ {\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Phi }$ ${\ displaystyle s _ {\ alpha}, \, \ alpha \ in \ Phi}$ .

Отношения

Между тем, если $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ бета$ находятся в $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , затем диаграмма Дынкина для $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ относительно основания $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ говорит нам кое-что о том, как пара ${s α, s β} {\ displaystyle \ {s _ {\ alpha}, s_ {\ beta} \}}$ ${\ displaystyle \ {s _ {\ alpha}, s _ {\ beta} \}}$ ведет себя. В частности, предположим, что $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v ′ {\ displaystyle v '}$ $v'$ - соответствующие вершины на диаграмме Дынкина. Тогда мы получим следующие результаты:

Если нет связи между $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v ′ {\ displaystyle v '}$ $v'$ , затем $s α {\ displaystyle s _ {\ alpha}}$ ${ \ displaystyle s _ {\ alpha}}$ и $s β {\ displaystyle s _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle s _ {\ beta}}$ коммутируют. Поскольку $s α {\ displaystyle s _ {\ alpha}}$ ${ \ displaystyle s _ {\ alpha}}$ и $s β {\ displaystyle s _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle s _ {\ beta}}$ каждый имеет второй порядок, это эквивалентно чтобы сказать, что $(s α s β) 2 = 1 {\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {2} = 1}$ .
Если есть одна связь между $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v ′ {\ displaystyle v '}$ $v'$ , тогда $(s α s β) 3 = 1 {\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {3} = 1}$ ${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {3} = 1}$ .
Если есть две связи между $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v '{\ displaystyle v' }$ $v'$ , тогда $(s α s β) 4 = 1 {\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {4} = 1}$ ${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {4} = 1}$ .
Если есть три связи между $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v ′ {\ displaystyle v '}$ $v'$ , затем $(s α s β) 6 = 1 { \ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {6} = 1}$ ${\ displaystyle (s _ {\ alpha} s _ {\ beta}) ^ {6} = 1}$ .

Предыдущее утверждение нетрудно проверить, если мы просто вспомним, что диаграмма Дынкина говорит нам об угле между каждой парой корни. Если, например, между двумя вершинами нет связи, то $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ бета$ ортогональны, откуда легко следует коммутацию соответствующих отражений. В более общем плане количество связей определяет угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ между корнями. Произведение двух отражений представляет собой поворот на угол $2 θ {\ displaystyle 2 \ theta}$ $2 \ theta$ в плоскости, охватываемой $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ бета$ , как читатель может убедиться, из чего легко следует приведенное выше утверждение.

Как группа Кокстера

Группы Вейля являются примерами конечных групп отражений, поскольку они порождаются отражениями; абстрактные группы (не рассматриваемые как подгруппы линейной группы) соответственно являются конечными группами Кокстера, что позволяет их классифицировать по их диаграмме Кокстера – Дынкина. Группа Кокстера означает, что группа Вейля имеет особый вид представления, в котором каждый генератор x i имеет второй порядок, а отношения, отличные от x i = 1 имеют вид (x ixj) = 1. Генераторы представляют собой отражения, заданные простыми корнями, и m ij равно 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, составляют ли корни i и j угол 90, 120, 135 или 150 градусов, т. Е., независимо от того, не связаны ли они на диаграмме Дынкина, соединены простым ребром, соединены двойным ребром или соединены тройным ребром. Мы уже отметили эти отношения в пунктах выше, но чтобы сказать, что $W {\ displaystyle W}$ $W$ является группой Кокстера, мы говорим, что это единственные отношения в $W {\ displaystyle W}$ $W$ .

Группы Вейля имеют порядок Брюа и функцию длины в терминах этого представления: длина элемента группы Вейля - это длина самого короткого слова, представляющего этот элемент в терминах этих стандартных генераторов. Существует уникальный самый длинный элемент группы Кокстера, который противоположен тождеству в порядке Брюа.

Группы Вейля в алгебраических, теоретико-групповых и геометрических параметрах

Выше группа Вейля была определена как подгруппа группы изометрии корневой системы. Существуют также различные определения групп Вейля, специфичные для различных теоретико-групповых и геометрических контекстов (алгебра Ли, группа Ли, симметрическое пространство и т. Д.). Для каждого из этих способов определения групп Вейля (обычно нетривиальной) теоремой является то, что это группа Вейля в смысле определения в начале этой статьи, а именно группа Вейля некоторой корневой системы, связанной с объектом. Конкретная реализация такой группы Вейля обычно зависит от выбора - например, подалгебры Картана для алгебры Ли, максимального тора для группы Ли.

Группа Вейля связной компактной группы Ли

Пусть $K {\ displaystyle K}$ $K$ - связная компактная группа Ли, и пусть $T {\ displaystyle T}$ $T$ - максимальный тор в $К {\ Displaystyle K}$ $K$ . Затем мы вводим нормализатор для $T {\ displaystyle T}$ $T$ в $K {\ displaystyle K}$ $K$ , обозначенный $N ( T) {\ displaystyle N (T)}$ $N(T)$ и определяется как

N (T) = {x ∈ K | xtx - 1 ∈ T для всех t ∈ T} {\ displaystyle N (T) = \ {x \ in K | xtx ^ {- 1} \ in T, \, {\ text {для всех}} t \ in T \}}

{\ displaystyle N ( T) = \ {x \ in K | xtx ^ {- 1} \ in T, \, {\ text {для всех}} t \ in T \}}

Мы также определяем централизатор из $T {\ displaystyle T}$ $T$ в $K {\ displaystyle K}$ $K$ , обозначается $Z (T) {\ displaystyle Z (T)}$ ${\ displaystyle Z (T)}$ и определяется как

Z (T) = {x ∈ K | xtx - 1 = t для всех t ∈ T} {\ displaystyle Z (T) = \ {x \ in K | xtx ^ {- 1} = t \, {\ text {для всех}} t \ in T \} }

{\ displaystyle Z (T) = \ {x \ in K | xtx ^ {- 1} = t \, {\ text {для всех} } t \ in T \}}

Группа Вейля $W {\ displaystyle W}$ $W$ из $K {\ displaystyle K}$ $K$ (относительно данного максимального тора $T { \ displaystyle T}$ $T$ ) тогда изначально определяется как

W = N (T) / T {\ displaystyle W = N (T) / T}

{\ displaystyle W = N (T) / T}

В конце концов, один доказывает, что $Z (T) = T {\ displaystyle Z (T) = T}$ ${\ displaystyle Z (T) = T}$ , после чего можно получить альтернативное описание группы Вейля как

W = N (T) / Z (T) {\ displaystyle W = N (T) / Z (T)}

{\ displaystyle W = N ( Т) / Z (T)}

Теперь можно определить корневую систему $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , связанную с парой $( К, Т) {\ Displaystyle (К, Т)}$ ${\ displaystyle (K, T)}$ ; корни представляют собой ненулевые веса присоединенного действия $T {\ displaystyle T}$ $T$ на алгебре Ли $K {\ displaystyle K}$ $K$ . Для каждого $α ∈ Φ {\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$ $\ alpha \ in \ Phi$ можно построить элемент $x α {\ displaystyle x _ {\ alpha}}$ $x _ {\ alpha}$ из $N (T) {\ displaystyle N (T)}$ $N(T)$ , действие которого на $T {\ displaystyle T}$ $T$ имеет форму отражения. Приложив немного больше усилий, можно показать, что эти отражения генерируют все $N (T) / Z (T) {\ displaystyle N (T) / Z (T)}$ ${\ displaystyle N (T) / Z (T)}$ . Таким образом, в конечном итоге группа Вейля, как определено как $N (T) / T {\ displaystyle N (T) / T}$ ${\ displaystyle N (T) / T}$ или $N (T) / Z (T) {\ displaystyle N (T) / Z (T)}$ ${\ displaystyle N (T) / Z (T)}$ изоморфен группе Вейля корневой системы $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ .

В других настройках

Для комплексной полупростой алгебры Ли группа Вейля просто определяется как группа отражений, порожденная отражениями в корнях - конкретная реализация корневой системы, зависящая от выбора подалгебры Картана.

Для Группа Ли G, удовлетворяющая определенным условиям, для тора T < G (which need not be maximal), the Weyl group with respect to that torus is defined as the quotient of the нормализатор тора N = N (T) = N G (T) на централизатор тора Z = Z (T) = Z G (T),

W (T, G): = N (T) / Z (T). {\ displaystyle W (T, G): = N (T) / Z (T). \}

W (T, G): знак равно N (T) / Z (T). \

Группа W конечна - Z имеет конечный индекс в N. Если T = T 0 - это максимальный тор (поэтому он равен собственному централизатору: $Z (T 0) = T 0 {\ displaystyle Z (T_ {0}) = T_ {0 }}$ $Z (T_ {0}) = T_ {0}$ ), то полученное частное N / Z = N / T называется группой Вейля группы G и обозначается W (G). Обратите внимание, что конкретное фактормножество зависит от выбора максимального тора , но все результирующие группы изоморфны (внутренним автоморфизмом группы G), поскольку максимальные торы сопряжены.

Если G компактна и связна, а T - максимальный тор, то группа Вейля группы G изоморфна группе Вейля своей алгебры Ли, как обсуждалось выше.

Например, для общей линейной группы GL максимальный тор - это подгруппа D обратимых диагональных матриц, нормализатором которой являются матрицы обобщенных перестановок (матрицы в форме матрицы перестановок, но с любыми ненулевыми числами вместо единиц), и чья группа Вейля является симметричной группой . В этом случае фактор-отображение N → N / T расщепляется (через матрицы перестановок), поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля, а группа Вейля может быть выражена как подгруппа группы G. В общем, это не всегда так - фактор не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда является полупрямым произведением групп W и Z, а группа Вейля не всегда может быть реализована как подгруппа G.

разложение Брюа

Если B является борелевской подгруппой группы G, т. е. максимальная связанная разрешимая подгруппа и максимальный тор T = T 0 выбирается лежащим в B, тогда мы получаем разложение Брюа

G = ⋃ w ∈ WB w B {\ displaystyle G = \ bigcup _ {w \ in W} BwB}

G = \ bigcup _ {w \ in W} BwB

, что приводит к разложению многообразия флагов G / B на клетки Шуберта (см. грассманиан ).

Структура диаграммы Хассе группы геометрически связана с когомологиями многообразия (скорее, действительной и комплексной форм группы), которая ограничена Двойственность Пуанкаре. Таким образом, алгебраические свойства группы Вейля соответствуют общим топологическим свойствам многообразий. Например, двойственность Пуанкаре дает соединение между ячейками в размерности k и в размерности n - k (где n - размерность многообразия): нижняя (0) размерная ячейка соответствует единичному элементу группы Вейля, а двойственная ячейка верхнего измерения соответствует самому длинному элементу группы Кокстера.

Аналогия с алгебраическими группами

Между алгебраическими группами и группами Вейля существует ряд аналогий - например, количество элементов симметрической группы равно n !, а количество элементов общей линейной группы над конечным полем связано с q-фактором $[n] q! {\ Displaystyle [п] _ {д}!}$ $[n] _ {q}!$ ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализовано полем с одним элементом, которое рассматривает группы Вейля как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

Когомологии

Для неабелевой связной компактной группы Ли G первые групповые когомологии группы Вейля W с коэффициентами в максимальном торе T, используемые для ее определения, относится к группе внешних автоморфизмов нормализатора $N = NG (T), {\ displaystyle N = N_ {G} (T),}$ $N = N_ {G} (T),$ как:

Выход ⁡ (N) ≅ H 1 (W; T) ⋊ Out ⁡ (G). {\ displaystyle \ operatorname {Out} (N) \ cong H ^ {1} (W; T) \ rtimes \ operatorname {Out} (G).}

\ operatorname {Out} (N) \ cong H ^ {1} (W ; T) \ rtimes \ operatorname {Out} (G).

Внешние автоморфизмы группы Out (G) по существу являются диаграммные автоморфизмы диаграммы Дынкина, а групповые когомологии вычисляются в Hämmerli, Matthey Suter 2004 и являются конечной элементарной абелевой 2-группой ( $(Z / 2) К {\ Displaystyle (\ mathbf {Z} / 2) ^ {k}}$ $(\ mathbf {Z} / 2) ^ {k}$ ); для простых групп Ли она имеет порядок 1, 2 или 4. Когомологии 0-й и 2-й групп также тесно связаны с нормализатором.

См. также

Сноски

Примечания

Цитаты

Ссылки

Дополнительная литература

Bourbaki, Nicolas (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4-6, Elements of Mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера, Тексты для выпускников по математике, 231, Springer, ISBN 978 -3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
Coxeter, HSM (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Ann. математики, 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi : 10.2307 / 1968753, JSTOR 1968753
Coxeter, HSM (1935), «Полное перечисление конечных групп вида $ri 2 = (rirj) kij = 1 {\ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$ $r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1$ ", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21
Дэвис, Майкл У. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
Grove, Larry C.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений, Тексты для выпускников по математике, 99, Springer, ISBN 978-0-387- 96082-1
Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера, Research Notes in Mathematics, 54, Pitman, ISBN 978 -0-273-08517-1, Zbl 0483.57002
Хоулетт, Роберт Б. (1988), «О множителях Шура групп Кокстера», J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, doi : 10.1112 / jlms / s2-38.2.263, Zbl 0627.20019
Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражений и группы Кокстера, Кембриджские исследования по высшей математике, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
Ихара, С.; Йоконума, Такео (1965), «О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений» (PDF), Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1, 11 : 155–171, Zbl 0136.28802
Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов, CMS Books in Математика, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
Винберг, EB (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Тр. Моск. Мат. Общ., 47
Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений", Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1, 11 : 173–186, hdl : 2261/6049, Zbl 0136.28803

Внешние ссылки