Поле с одним элементом

В математике поле с одним элементом является подходящим названием для объект, который должен вести себя аналогично конечному полю с единственным элементом, если такое поле могло существовать. Этот объект обозначается F1или, если использовать французско-английский каламбур, Fun. Имя «поле с одним элементом» и обозначение F1только наводят на размышления, поскольку в классической абстрактной алгебре нет поля с одним элементом. Вместо этого F1относится к идее, что должен быть способ заменить наборы и операции, традиционные строительные блоки для абстрактной алгебры, другими, более гибкими объектами. Было предложено много теорий F1, но неясно, какие из них, если таковые имеются, придают F1все желаемые свойства. Хотя в этих теориях до сих пор нет поля с единственным элементом, существует подобный полю объект, у которого характеристика равна единице.

Большинство предлагаемых теорий F1полностью заменяют абстрактную алгебру. Математические объекты, такие как векторные пространства и кольца многочленов, могут быть перенесены в эти новые теории, имитируя их абстрактные свойства. Это позволяет развивать коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию на новых основаниях. Одна из определяющих черт теорий F1состоит в том, что эти новые основы допускают больше объектов, чем классическая абстрактная алгебра, один из которых ведет себя как поле характеристического.

Возможность изучения математики F1была первоначально предложена в 1956 г. Жаком Титсом, опубликованным в Tits 1957, на основе аналогии между симметриями. в проективной геометрии и комбинаторике симплициальных комплексов. F1была связана с некоммутативной геометрией и с возможным доказательством гипотезы Римана.

• 1 История
• 2 Мотивации
  • 2.1 Алгебраическая теория чисел
  • 2.2 Геометрия Аракелова
• 3 Ожидаемые свойства
  • 3.1 F 1 не поле
  • 3.2 Другие свойства
• 4 Вычисления
  • 4.1 Множества - проективные пространства
  • 4.2 Перестановки - максимальные флаги
  • 4.3 Подмножества - это подпространства
• 5 Моноидные схемы
  • 5.1 Моноиды
  • 5.2 Моноидные схемы
  • 5.3 Последствия
• 6 Расширения полей
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Библиография
• 10 Внешние ссылки

В 1957 году Жак Титс представил теорию здания, которые относятся к алгебраической группе s - абстрактные симплициальные комплексы. Одно из предположений - условие нетривиальности: если здание представляет собой n-мерный абстрактный симплициальный комплекс, и если k < n, then every k-simplex of the building must be contained in at least three n-simplices. This is analogous to the condition in classical проективная геометрия, то линия должна содержать как минимум три точки. Однако существуют вырожденные геометрии, которые удовлетворяют всем условиям проективной геометрии, за исключением того, что прямые допускают только две точки. Аналогичные объекты в теории строительства называются квартирами. Квартиры играют такую ​​определяющую роль в теории зданий, что Титс предположил существование теории проективной геометрии, в которой вырожденные геометрии имели бы равное положение с классическими. По его словам, эта геометрия будет иметь место в характерном поле. Используя эту аналогию, можно было описать некоторые элементарные свойства F1, но не удалось его построить.

После первоначальных наблюдений Титса до начала 1990-х годов не было достигнуто большого прогресса. В конце 1980-х Александр Смирнов провел серию докладов, в которых высказал предположение, что гипотезу Римана можно доказать, рассматривая целые числа как кривую над полем с одним элементом. К 1991 году Смирнов предпринял некоторые шаги к алгебраической геометрии над F1, введя расширения F1и используя их для обработки проективной прямой P над F1.Алгебраические числа рассматривались как карты к этому P, и были предложены гипотетические приближения к формуле Римана – Гурвица для этих отображений. Эти приближения подразумевают очень глубокие утверждения, такие как гипотеза abc. Расширения F1позже были обозначены как Fqс q = 1. Вместе с Михаилом Капрановым, Смирнов продолжил исследовать, как алгебраические и теоретико-числовые конструкции в простой характеристике могут выглядеть в «характеристике». one », кульминацией которого стала неопубликованная работа, выпущенная в 1995 году. В 1993 году Юрий Манин прочитал серию лекций по дзета-функциям, в которых он предложил разработать теорию алгебраической геометрии на основе F1. Он предположил, что дзета-функции многообразий над F1будут иметь очень простые описания, и он предложил связь между K-теорией из F1и гомотопическими группами сфер. Это вдохновило нескольких людей на попытку построить явные теории F1-геометрии.

Первое опубликованное определение разнообразия по F1было дано Кристофом Суле в 1999 году, который построил его, используя алгебры над комплексными числами и функторы из категорий определенных колец. В 2000 году Чжу предложил, чтобы F1был таким же, как F2, за исключением того, что сумма единицы и единицы равнялась единице, а не нулю. Дейтмар предложил найти F1, забыв об аддитивной структуре кольца и сосредоточившись на умножении. Тоен и Вакье построили на теории относительных схем Хакима и определили F1, используя симметричные моноидальные категории. Позже Веццани показал, что их конструкция эквивалентна конструкции Дейтмара. Николай Дуров построил F1как коммутативную алгебраическую монаду. Боргер использовал происхождение, чтобы построить его из конечных полей и целых чисел.

Ален Конн и Катерина Консани развили концепции Соула и Дейтмара, «склеив» категорию мультипликативные моноиды и категория колец для создания новой категории $MR,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\},\}$затем определение F1-схем для - особый вид представимого функтора на $MR.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}.\}$Используя это, им удалось предоставить понятие нескольких теоретико-числовых конструкций над F1, таких как мотивы и расширения полей, а также построение групп Шевалле над F1. Наряду с Матильдой Марколли, Конн-Консани также связал F1с некоммутативной геометрией. Также было высказано предположение о связи с гипотезой об уникальных играх в теории вычислительной сложности.

Оливер Лоршайд, наряду с другими, недавно достиг первоначальной цели Титса описания групп Шевалле более F1путем введения объектов, называемых чертежами, которые являются одновременным обобщением как полуколец, так и моноидов. Они используются для определения так называемых «синих схем», одна из которых - Spec F1. Идеи Лоршеида несколько отличаются от других представлений о группах по F1, в том, что F1-схема сама по себе не является группой Вейля своего базового расширения до нормальных схем. Lorscheid сначала определяет категорию Титса, полную подкатегорию категории синих схем, и определяет «расширение Вейля», функтор из категории Титса в Набор . Модель Титса-Вейля алгебраической группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$представляет собой синюю схему G с групповой операцией, которая является морфизмом в категории Титса, основание которой расширение - это $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$, и чье расширение Вейля изоморфно группе Вейля $G.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}.\}$

F1-геометрия была связана с тропической геометрией через тот факт, что полукольца (в частности, тропические полукольца) возникают как частные некоторого моноидного полукольца N [A] конечных формальных сумм элементов моноида A, который сам является F1-алгеброй. Эта связь становится очевидной из-за того, что Лоршайд использовал чертежи. Братья Джиансиракуза построили теорию тропических схем, для которой их категория тропических схем эквивалентна категории F1-схем Тоена-Ваки. Эта категория точно, но не полностью, входит в категорию синих схем и является полной подкатегорией категории схем Дурова.

Теория алгебраических чисел

Один из мотивов F1исходит из теории алгебраических чисел. Доказательство Вейлем гипотезы Римана для кривых над конечными полями начинается с кривой C над конечным полем k, которая снабжена функциональным полем F, которое является полем расширение из k. Каждое такое функциональное поле порождает дзета-функцию Хассе – Вейля ζF, а гипотеза Римана для конечных полей определяет нули ζ F. Затем доказательство Вейля использует различные геометрические свойства C для изучения ζ F.

Поле рациональных чисел Q связано аналогичным образом с дзета-функцией Римана, но Q не является функциональным полем множества. Вместо этого Q является функциональным полем схемы схемы Spec Z . Это одномерная схема (также известная как алгебраическая кривая ), и поэтому должно быть какое-то «базовое поле», над которым лежит эта кривая, из которых Q будет расширение поля (точно так же, как C - кривая над k, а F - расширение k). F1-геометрия надеется, что подходящий объект F1мог бы играть роль этого базового поля, что позволило бы доказать гипотезу Римана, имитируя доказательство Вейля с F1в место к.

Геометрия Аракелова

Геометрия над полем с одним элементом также мотивируется геометрией Аракелова, где диофантовы уравнения изучаются с помощью инструментов из сложная геометрия. Теория включает сложные сравнения между конечными полями и комплексными числами. Здесь наличие F1полезно по техническим причинам.

F1не является полем

F1не может быть полем, потому что по определению все поля должны содержать два различных элемента: аддитивный идентификатор ноль и мультипликативный идентификатор один. Даже если это ограничение снято (например, позволяя аддитивному и мультипликативному тождествам быть одним и тем же элементом), кольцо с одним элементом должно быть нулевым кольцом, которое не ведет себя как конечное поле. Например, все модули над нулевым кольцом изоморфны (поскольку единственный элемент такого модуля - нулевой элемент). Однако одним из ключевых мотивов F1является описание множеств как «F1-векторных пространств» - если бы конечные множества были модулями над нулевым кольцом, то каждое конечное множество было бы одинакового размера, что не является кейс.

Другие свойства

• Конечные множества являются как аффинными пространствами, так и проективными пространствами над F1.
• Заостренными наборами являются векторные пространства на F1.
• Конечные поля Fq- это квантовые деформации на F1, где q - деформация.
• Группы Вейля - это простые алгебраические группы над F1:

  Данными диаграмма Дынкина для полупростой алгебраической группы, ее группа Вейля является полупростой алгебраической группой над F1.

• аффинной схемой Spec Z кривая над F1.
• . Группы - это алгебры Хопфа над F1. В более общем смысле, все, что определяется исключительно в терминах диаграмм алгебраических объектов, должно иметь F1-аналог в категории множеств.
• Групповые действия на множествах являются проективными представлениями G над F1, и в этом Кстати, G - это групповая алгебра Хопфа F1[G].
• Торические многообразия определяют F1-многообразия. В некоторых описаниях F1-геометрии верно и обратное, в том смысле, что расширение скаляров F1-многообразий до Z является торическим. В то время как другие подходы к F1-геометрии допускают более широкие классы примеров, торические многообразия, по-видимому, лежат в самой основе теории.
• Дзета-функция P(F1) должна быть ζ (s) = s (s - 1) ⋯ (s - N).
• m-я K-группа F1должна быть m-й стабильной гомотопической группой сферы спектр.

Различные структуры в наборе аналогичны структурам в проективном пространстве и могут быть вычислены таким же образом:

Множества - это проективные пространства

Количество элементов P(F. q) = P(Fq), (n - 1) -мерное проективное пространство над конечным полем Fq, является q-целое число

$[n]\; q:\; =\; qn\; -\; 1\; q\; -\; 1\; =\; 1\; +\; q\; +\; q\; 2\; +\; \cdots \; +\; qn\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; [n]\; \_\; \{q\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\; -1\}\; \{q-1\}\}\; =\; 1\; +\; q\; +\; q\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; q\; ^\; \{n-1\; \}.\}$

Взяв q = 1, получаем [n] q = n.

Разложение q-целого числа в сумму степеней q соответствует клетке Шуберта разложению проективного пространства.

Перестановки - максимальные флаги

Их n! перестановки набора с n элементами и [n] q ! максимальное флаги в F. q, где

$[n]\; q!\; :\; =\; [1]\; q\; [2]\; q\dots \; [n]\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; [n]\; \_\; \{q\}!:\; =\; [1]\; \_\; \{q\}\; [2]\; \_\; \{q\}\; \backslash \; dots\; [n]\; \_\; \{q\; \}\}$

- коэффициент q. Действительно, перестановка набора может рассматриваться как фильтрованный набор, поскольку флаг - это фильтрованное векторное пространство: например, порядок (0, 1, 2) набора {0,1,2 } соответствует фильтрации {0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2}.

Подмножества - это подпространства

биномиальный коэффициент

$n!\; м!\; (п\; -\; м)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{m!\; (nm)!\}\}\}$

дает количество m-элементных подмножеств в n-элементном наборе и q-биномиальный коэффициент

$[п]\; д!\; [м]\; д!\; [п-м]\; д!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{[n]\; \_\; \{q\}!\}\; \{[m]\; \_\; \{q\}!\; [nm]\; \_\; \{q\}!\}\}\}$

дает количество m-мерных подпространств n -мерное векторное пространство над Fq.

Разложение q-биномиального коэффициента в сумму степеней q соответствует разложению ячейки Шуберта разложения Грассманиана.

Построение моноидных схем Дейтмаром было названо «самой сердцевиной F1-геометрии», так как большинство других теорий F1-геометрии содержат описания моноидных схем. С моральной точки зрения, он имитирует теорию схем, разработанную в 1950-х и 1960-х годах, путем замены коммутативных колец на моноидов. Эффект этого состоит в том, чтобы «забыть» аддитивную структуру кольца, оставив только мультипликативную структуру. По этой причине ее иногда называют «неаддитивной геометрией».

Моноид

A мультипликативный моноид - это моноид A, который также содержит поглощающий элемент 0 (отличный от единицы 1 моноида), так что 0a = 0 для каждого a в моноиде A. Поле с одним элементом затем определяется как F1= {0,1}, мультипликативный моноид поля с двумя элементами, который является начальным в категории мультипликативных моноиды. идеал моноида в моноиде A - это подмножество I, которое мультипликативно замкнуто, содержит 0 и такое, что IA = {ra: r∈I, a∈A} = I. Такой идеал простое число, если $A\; \setminus \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; setminus\; I\}$мультипликативно замкнуто и содержит 1.

Для моноидов A и B моноид гомоморфизм - это функция f: A → B такая, что;

• f (0) = 0;
• f (1) = 1 и
• f (ab) = f (a) f (b) для всех a и b в A.

Схемы моноидов

Спектр моноида A, обозначенный Spec A, является множеством простых идеалов A. Спектру моноида может быть задана топология Зарисского, путем определения базовых открытых множеств

$U\; h\; =\; \{p\; \in \; Spec\; A:\; h\; \notin \; p\},\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{h\}\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; A:\; h\; \backslash \; notin\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \},\}$

для каждого h в A. Моноидальное пространство - это топологическое пространство вместе с пучком мультипликативных моноидов, называемым структурным пучком. Схема аффинного моноида - это моноидальное пространство, изоморфное спектру моноида, а схема моноида - это пучок моноидов, который имеет открытое покрытие аффинными схемами моноидов.

Моноидные схемы можно превратить в теоретико-кольцевые схемы с помощью базового расширения функтора $-\; \otimes \; F\; 1\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$, который отправляет моноид A в Z -модуль (т.е. кольцо) $Z\; [A]\; /\; ⟨0\; A⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [A]\; /\; \backslash \; langle\; 0\_\; \{A\}\; \backslash \; rangle,\}$и гомоморфизм моноида f: A → B продолжается до гомоморфизма колец $е\; Z:\; A\; \otimes \; F\; 1\; Z\; \to \; B\; \otimes \; F\; 1\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}:\; A\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; to\; B\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$, который является линейным как гомоморфизм Z -модуля. Базовое расширение аффинной моноидной схемы определяется формулой

$Spec\; \; (A)\; \times \; Spec\; \; (F\; 1)\; Spec\; \; (Z)\; =\; Spec\; \; (A\; \otimes \; F\; 1\; Z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Spec\}\; (A)\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{1\})\}\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; A\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \{\backslash \; big)\},\}$

, который, в свою очередь, определяет базовое расширение общей схемы моноида.

Последствия

Эта конструкция достигает многих желаемых свойств F1-геометрии: Spec F1состоит из одной точки, поэтому ведет себя аналогично спектру поля в традиционной геометрии, а категория аффинных моноидных схем двойственна категории мультипликативных моноидов, отражая двойственность аффинных схем и коммутативных колец. Кроме того, эта теория удовлетворяет комбинаторным свойствам, ожидаемым от F1, упомянутым в предыдущих разделах; например, проективное пространство над F1размерности n как моноидная схема идентично квартире проективного пространства над Fqразмерности n, когда описывается как здание.

Однако моноидные схемы не выполняют всех ожидаемых свойств теории F1-геометрии, поскольку единственными разновидностями, имеющими аналоги схем моноидов, являются торические разновидности. Точнее, если X - это моноидная схема, базовым расширением которой является плоская, разделенная, связная схема конечного типа, то базовое расширение X - торическое многообразие. Другие понятия F1-геометрии, такие как концепция Конна – Консани, построены на этой модели для описания F1-многообразий, которые не являются торическими.

Можно определить расширения поля поля с одним элементом как группу корней единицы или более точно (с геометрическая структура) как групповая схема корней единицы. Это неестественно изоморфно циклической группе порядка n, причем изоморфизм зависит от выбора примитивного корня из единицы :

$F\; 1\; n\; =\; \mu \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{1\; ^\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}.\}$

Таким образом, векторное пространство размерности d над F1является конечным множеством порядка dn, на котором корни единства действуют свободно вместе с базовой точкой.

С этой точки зрения конечное поле Fqпредставляет собой алгебру над F1размерностью d = (q - 1) / n для любого n, которое является множителем q - 1 (например, n = q - 1 или n = 1). Это соответствует тому факту, что группа единиц конечного поля Fq(которые представляют собой q - 1 ненулевых элементов) является циклической группой порядка q - 1, на которой любая циклическая группа порядка, делящего q - 1 действует свободно (возведением в степень), а нулевой элемент поля является базовой точкой.

Аналогично, вещественные числа Rпредставляют собой алгебру над F1бесконечной размерности, поскольку действительные числа содержат ± 1, но не содержат других корней из единицы, а комплексные числа C - это алгебра над F1для всех n, опять же бесконечной размерности, поскольку все комплексные числа имеют корни из единицы.

С этой точки зрения любое явление, которое зависит только от поля, имеющего корни из единицы, может рассматриваться как происходящее из F1- например, дискретное преобразование Фурье (комплексное- оцененный) и связанное с ним теоретико-числовое преобразование (Z/nZ-значное).

• Арифметическая производная
• Полугруппа с одним элементом

• Боргер, Джеймс (2009), Λ-кольца и поле с одним элементом, arXiv : 0906.3146
• Консани, Катерина; Конн, Ален, ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Материалы 21-го заседания Японо-американского математического института (JAMI), состоявшегося в Университете Джона Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г., Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl 1245.00040
• Конн, Ален ; Консани, Катерина; Марколли, Матильда (2009), «Развлечения с $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{1\}\}$», Журнал теории чисел, 129 (6): 1532–1561, arXiv : 0806.2401, doi : 10.1016 / j.jnt.2008.08.007, MR 2521492, Zbl 1228.11143
• Конн, Ален ; Консани, Катерина (2010), «Схемы над F1и дзета-функциями», Compositio Mathematica, Лондонское математическое общество, 146 (6): 1383–1415, arXiv : 0903.2024, doi : 10.1112 / S0010437X09004692
• Дейтмар, Антон (2005), "Schemes over F1", in van der Geer, G.; Moonen, B.; Шуф Р. (ред.), Числовые поля и функциональные поля: два параллельных мира, Прогресс в математике, 239
• Дейтмар, Антон (2006), F1-схемы и торические разновидности, arXiv : math / 0608179
• Дуров, Николай (2008), «Новый подход к геометрии Аракелова», arXiv : 0704.2030 [math.AG ]
• Джиансиракуза, Джеффри; Джиансиракуза, Ноа (2016), «Уравнения тропических разновидностей», Duke Mathematical Journal, 165 (18): 3379–3433, arXiv : 1308.0042, doi : 10.1215 / 00127094-3645544
• Капранов Михаил; Смирнов, Александр (1995), Детерминанты когомологий и законы взаимности: случай числового поля (PDF)
• Ле Брюн, Ливен (2009), "(не) коммутативная f-un геометрия", arXiv : 0909.2522 [math.RA ]
• Lescot, Paul (2009), Algebre absolue (PDF), заархивировано с оригинала (PDF) 27 июля 2011 г., получено 21 ноября 2009 г.
• Лопес Пенья, Хавьер; Лоршеид, Оливер (2011), «Отображение F1-земли: обзор геометрии над полем с одним элементом», Некоммутативная геометрия, арифметика и связанные темы: 241–265, arXiv : 0909.0069
• Лоршеид, Оливер (2009), «Алгебраические группы над полем с одним элементом», arXiv : 0907.3824 [math.AG ]
• Lorscheid, Оливер (2016), «План-взгляд на F1-геометрию», в Коэн, Тас (ред.), Абсолютная арифметика и F1-геометрия, Издательство Европейского математического общества, arXiv : 1301.0083
• Лоршеид, Оливер (2018a), «F1для всех», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Springer, 120 (2): 83–116, arXiv : 1801.05337, doi : 10.1365 / s13291-018-0177-x
• Лоршеид, Оливер (2018b), «Геометрия чертежей, часть II: синицы -Модели Вейля алгебраических групп », Forum of Mathematics, Sigma, 6, arXiv : 1201.1324
• Lorscheid, Oliver (2015), схемно-теоретическая тропикализация, arXiv : 1508.07949
• Манин, Юрий (1995), «Лекции по дзета-функциям и мотивам (по Денингеру и Курокаве)» (PDF), Astérisque, 228 (4): 121–163
• Шольце, Питер (2017), p-адическая геометрия, стр. 13, arXiv : 1712.03708
• Смирнов, Александр (1992), «Неравенства Гурвица для числовых полей» (PDF), Алгебра и анализ, 4 (2): 186–209
• Соуле, Кристоф (1999), На поле с одним элементом (разоблачение à l'Arbeitstagung, Бонн, июнь 1999) (PDF), Препринт IHES
• Soulé, Christophe (2003), Les varétés sur le corps à un élément (на французском языке), arXiv : math / 0304444
• Tits, Jacques (1957), "Sur les аналогов algébriques des groupes semi-simples complex", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 декабря 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, стр. 261–289
• Тоен, Бертран ; Вакье, Мишель (2005), Au dessous de Spec Z, arXiv : math / 0509684
• Веццани, Альберто (2010), «Схемы Дейтмара и Тоена-Ваки над F1", Mathematische Zeitschrift, 271 : 1–16, arXiv : 1005.0287, doi : 10.1007 / s00209-011-0896- 5

• Находки по математической физике Джона Баэза на этой неделе: Неделя 259
• Поле с одним элементом в кафе категории n
• Поле With One Element на секретном семинаре по ведению блогов
• В поисках F un и The F un фольклор, Lieven le Bruyn.
• Картография F_1-land: An обзор геометрии над полем с одним элементом, Хавьер Лопес Пенья, Оливер Лоршеид
• FunМатематика, Ливен ле Брюн, Коэн Тас.
• Конференция Вандербильта по Некоммутативной геометрии и геометрии Поле с одним элементом (Расписание )
• NCG и F_un, Ален Конн и К. Консани: краткое изложение докладов и слайдов