Формула Римана – Гурвица

В математике, то формула Риман-Гурвица, названная в честь Бернхарда Римана и Адольф Гурвица, описывает взаимосвязь с характеристиками Эйлера двух поверхностей, когда один является разветвленным накрытием других. Следовательно, в данном случае он связывает ветвление с алгебраической топологией. Это результат прототипа для многих других, и он часто применяется в теории римановых поверхностей (которая является ее источником) и алгебраических кривых.

• 1 Заявление
• 2 Примеры
• 3 Последствия
• 4 Обобщения
• 5 ссылки

Для компактной, соединенной, ориентируемой поверхности, характеристика Эйлера является ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ чи (S)}$

${\ Displaystyle \ чи (S) = 2-2g}$,

где g - род ( количество ручек), поскольку числа Бетти равны. В случае ( неразветвленной) накрывающей карты поверхностей ${\ displaystyle 1,2g, 1,0,0, \ точки}$

${\ displaystyle \ pi \ двоеточие S '\ to S}$

которое является сюръективным и имеет степень, мы имеем формулу ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ чи (S ') = N \ cdot \ чи (S).}$

Это происходит потому, что каждый симплекс должен быть покрыт именно в, по крайней мере, если мы будем использовать тонкую достаточно триангуляции из, как мы вправе сделать, так как эйлерова характеристика является топологическим инвариантом. Формула Римана – Гурвица добавляет поправку, учитывающую разветвление ( объединение листов). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$

Теперь предположим, что и являются римановыми поверхностями, и что отображение является комплексно-аналитическим. Карта называется разветвленной в точке P в S ′, если существуют аналитические координаты около P и π ( P) такие, что π принимает форму π ( z) = z ⁿ, а n  gt; 1. Эквивалентный образ мышления о том, что существует малая окрестность U в P такая, что π ( P) имеет ровно один прообраз в U, но образ любой другой точки в U имеет ровно п прообразов в U. Число п называется индекс ветвления в точке Р, а также обозначается е Р. При вычислении эйлеровой характеристики S ′ мы замечаем потерю e P  - 1 копий P над π ( P) (то есть в прообразе π ( P)). Теперь давайте выберем триангуляции S и S ′ с вершинами в точках ветвления и ветвления, соответственно, и используем их для вычисления характеристик Эйлера. Тогда S ′ будет иметь такое же количество d -мерных граней для d, отличного от нуля, но меньше, чем ожидалось. Таким образом, находим «исправленную» формулу ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) - \ sum _ {P \ in S'} (e_ {P} -1)}$

или, как это также обычно написано, используя это и умножая на -1: ${\ Displaystyle \ чи (X) = 2-2g (X)}$

${\ displaystyle 2g (S ') - 2 = N \ cdot (2g (S) -2) + \ sum _ {P \ in S'} (e_ {P} -1)}$

(все, кроме конечного числа P, имеют e P = 1, так что это вполне безопасно). Эта формула известна как формула Римана – Гурвица, а также как теорема Гурвица.

Еще одна полезная форма формулы:

${\ Displaystyle \ чи (S ') - г = N \ cdot (\ чи (S) -b)}$

где r - количество точек в S ', в которых покрытие имеет нетривиальное разветвление ( точки ветвления ), а b - количество точек в S, которые являются образами таких точек ( точек ветвления ). Действительно, чтобы получить эту формулу, удалим непересекающиеся дисковые окрестности точек ветвления из S и непересекающиеся дисковые окрестности точек ветвления в S ' так, чтобы ограничение было накрытием. Затем примените к ограничению общую формулу степени, воспользуйтесь тем фактом, что эйлерова характеристика круга равна 1, и воспользуйтесь аддитивностью эйлеровой характеристики относительно связных сумм. ${\ displaystyle \ pi}$

Вейерштрасса -функции${\ displaystyle \ wp}$, рассматриваемая как мероморфная функция со значениями в сфере Римана, дает карту от эллиптической кривой (род 1) на проективной прямой (род 0). Это двойное покрытие ( N = 2) с разветвлением только в четырех точках, в которых e = 2. Формула Римана – Гурвица имеет следующий вид:

${\ Displaystyle 0 = 2 \ CDOT 2- \ Sigma \ 1}$

с суммированием берется по четырем значениям Р.

Формулу также можно использовать для вычисления рода гиперэллиптических кривых.

В качестве другого примера сфера Римана отображается в себя функцией z ⁿ, имеющей индекс ветвления n в 0, для любого целого n gt; 1. Другое разветвление может быть только в бесконечно удаленной точке. Чтобы сбалансировать уравнение

${\ Displaystyle 2 = п \ CDOT 2- (п-1) - (е _ {\ infty} -1)}$

мы также должны иметь индекс ветвления n на бесконечности.

Далее следуют несколько результатов по алгебраической топологии и комплексному анализу.

Во-первых, не существует разветвленных покрывающих отображений кривой нижнего рода в кривую более высокого рода - и, таким образом, поскольку непостоянные мероморфные отображения кривых являются разветвленными накрывающими пространствами, не существует непостоянных мероморфных отображений из кривой нижнего рода. род кривой более высокого рода.

В качестве другого примера он сразу показывает, что кривая рода 0 не имеет покрытия с N gt; 1, которое не разветвлено всюду: потому что это привело бы к эйлеровой характеристикеgt; 2.

Для соответствия кривых существует более общая формула, теорема Цойтена, которая дает поправку ветвления к первому приближению, согласно которой характеристики Эйлера находятся в обратном отношении к степеням соответствия.

Орбиобразие покрытия степени N между орбиобразием поверхности S»и S представляет собой разветвленное покрытие, поэтому формула Римана-Гурвица означает обычную формулу для покрытий

${\ Displaystyle \ чи (S ') = N \ CDOT \ чи (S) \,}$

обозначающий орбифолдную эйлерову характеристику. ${\ Displaystyle \ чи \,}$

• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту   0463157, OCLC   13348052, раздел IV.2.