Функциональное поле алгебраического многообразия

редактировать

В алгебраической геометрии, то поле функций из алгебраического многообразия V состоит из объектов, которые интерпретируются как рациональные функции на V. В классической алгебраической геометрии это отношения многочленов ; в сложной алгебраической геометрии это мероморфные функции и их многомерные аналоги; в современной алгебраической геометрии они являются элементами поля частных кольца частных.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение комплексных многообразий
  • 2 Построение в алгебраической геометрии
  • 3 Обобщение на произвольную схему
  • 4 Геометрия функционального поля
  • 5 примеров
  • 6 См. Также
  • 7 ссылки

Определение комплексных многообразий

В сложной алгебраической геометрии объектами изучения являются комплексные аналитические многообразия, на которых у нас есть локальное понятие комплексного анализа, с помощью которого мы можем определять мероморфные функции. Функциональное поле многообразия - это тогда множество всех мероморфных функций на многообразии. (Как и все мероморфные функции, они принимают свои значения.) Вместе с операциями сложения и умножения функций это поле в смысле алгебры. C {\ Displaystyle \ mathbb {C} \ чашка \ infty}

Для сферы Римана, которая является многообразием комплексных чисел, глобальные мероморфные функции являются в точности рациональными функциями (то есть отношениями комплексных полиномиальных функций). п 1 {\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}

Построение в алгебраической геометрии

В классической алгебраической геометрии мы обобщаем вторую точку зрения. Для сферы Римана выше понятие полинома не определено глобально, а просто по отношению к аффинной координатной карте, а именно, состоящей из комплексной плоскости (все, кроме северного полюса сферы). На общем многообразии V, мы говорим, что рациональная функция на открытой аффинном подмножество U определяются как отношение двух многочленов в аффинных координаты кольца из U, и что рациональная функция на всех V состоит из таких локальных данных, как согласна на пересечениях открытых аффинных групп. Мы можем определить функциональное поле V как поле частных аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Обобщение на произвольную схему

В самом общем контексте, в условиях современной теории схем, мы принимаем последнюю точку зрения, приведенную выше, в качестве отправной точки. А именно, если является интегральной схемой, то для каждого открытого аффинного подмножества из кольца секций на является областью целостности и, следовательно, имеет поле фракций. Кроме того, можно проверить, что это все равно, и все равно локальное кольцо в общей точке из. Таким образом, функциональное поле - это просто локальное кольцо его общей точки. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в области функций (теории схем). См. Робин Хартшорн  ( 1977). Икс {\ displaystyle X} U {\ displaystyle U} Икс {\ displaystyle X} О Икс ( U ) {\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)} U {\ displaystyle U} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X}

Геометрия функционального поля

Если V - многообразие, определенное над полем K, то функциональное поле K ( V) является конечно порожденным полевым расширением основного поля K ; степень его трансцендентности равна размерности разнообразия. Все расширения поля K, конечно порожденные как поля над K, возникают таким образом из некоторого алгебраического многообразия. Эти расширения поля также известны как полей алгебраических функций над K.

Свойства многообразия V, зависящие только от поля функций, изучаются в бирациональной геометрии.

Примеры

Поле функций точки над K является K.

Функциональное поле аффинной прямой над K изоморфно полю K ( t) рациональных функций от одной переменной. Это также функциональное поле проективной прямой.

Рассмотрим аффинную плоскую кривую, заданную уравнением. Его функциональное поле - это поле K ( x, y), порожденное элементами x и y, которые трансцендентны над K и удовлетворяют алгебраическому соотношению. у 2 знак равно Икс 5 + 1 {\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {5} +1} у 2 знак равно Икс 5 + 1 {\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {5} +1}

Смотрите также

использованная литература

Последняя правка сделана 2024-01-05 09:28:56
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте