Фильтрация (математика)

В математике, фильтрация$F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$- это индексированное семейство $(S\; i)\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; (S\_\; \{i\})\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$из подобъектов заданной алгебраической структуры $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$с индексом $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$выполняется по некоторому полностью упорядоченному набору индексов $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$при условии, что

если $я\; \le \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; leq\; j\}$в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, то $S\; i\; \subset \; S\; j\; \{\; \backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; subset\; S\_\; \{j\}\}$.

Если индекс $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$является временным параметром некоторого случайного процесса, то фильтрацию можно интерпретировать как представляющий всю историческую, но не будущую информацию о случайном процессе, с алгебраической структурой $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$gaini усложняется со временем. Следовательно, процесс, который адаптирован к фильтрации $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, также называется непредвиденным, то есть тот, который не может заглянуть в будущее .

Иногда, как в фильтрованной алгебре, вместо этого требуется, чтобы $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$быть подалгебрами относительно некоторых операций (например, сложения векторов), но не относительно других операций (скажем, умножения), которые удовлетворяют $S\; i\; \cdot \; S\; j\; \subset \; S\; я\; +\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; S\_\; \{j\}\; \backslash \; subset\; S\_\; \{i\; +\; j\}\}$, где набор индексов - это натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй.

Иногда предполагается, что фильтрации удовлетворяют дополнительному требованию, чтобы union из $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$быть целым $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$или (в более общих случаях, когда понятие объединения не имеет смысла) канонический гомоморфизм от прямого ограничения для $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$до $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является изоморфизм. Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто явно указывается. Данная статья не предъявляет этого требования.

Существует также понятие нисходящей фильтрации, которое требуется для удовлетворения $S\; i\; \supseteq \; S\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; supseteq\; S\_\; \{j\}\}$вместо $S\; i\; \subseteq \; S\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; substeq\; S\_\; \{j\}\}$(и, иногда, $\bigcap \; i\; \in \; IS\; i\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; S\_\; \{i\}\; =\; 0\}$вместо $\bigcup \; i\; \in \; IS\; i\; =\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; S\_\; \{i\}\; =\; S\}$). Опять же, это зависит от контекста, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с кофильтрациями (которые состоят из частных объектов, а не подобъектов ).

двойное понятие фильтрации называется кофильтрацией.

Фильтрации широко используются в абстрактной алгебре, гомологической алгебре (где они имеют важное отношение к спектральным последовательностям ) и в теория меры и теория вероятностей для вложенных последовательностей σ-алгебр. В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, например или.

• 1 Примеры
  • 1.1 Алгебра
    • 1.1.1 Группы
    • 1.1.2 Кольца и модули: нисходящие фильтрации
    • 1.1.3 Кольца и модули: восходящие фильтрации
    • 1.1. 4 Наборы
  • 1.2 Теория измерений
    • 1.2.1 Отношение к временам остановки: время остановки сигма-алгебры
• 2 См. Также
• 3 Ссылки

Алгебра

Группы

В алгебре фильтрации обычно индексируются $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, набором натуральных чисел. Тогда фильтрация группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$представляет собой вложенную последовательность $G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n\}\}$из нормального подгруппы из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$(то есть для любого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$мы имеем $G\; n\; +\; 1\; \subset \; G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; subset\; G\_\; \{n\}\}$). Обратите внимание, что такое использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации».

Для группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и фильтрации $G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n\}\}$существует естественный способ определения топологии на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, которая, как говорят, связана с фильтрацией. Основой этой топологии является набор всех трансляций подгрупп, появляющихся при фильтрации, то есть подмножество $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$определяется как открытое, если оно является объединением наборы формы $a\; G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; aG\_\; \{n\}\}$, где $a\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; G\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- натуральное число.

Топология, связанная с фильтрацией в группе $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, превращает $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в топологическая группа.

Топология, связанная с фильтрацией $G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n\}\}$в группе $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, является Хаусдорф тогда и только тогда, когда $\bigcap \; G\; n\; =\; \{1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcap\; G\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{1\; \backslash \}\}$.

Если две фильтрации $G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n\}\}$и $G\; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \text{'}\_\; \{n\}\}$определены в группе $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, затем карта идентичности от $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$до $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, где первая копия $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$задается $G\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{n\}\}$-топология, а второй - $G\; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \text{'}\_\; \{n\}\}$-топология является непрерывной, если и только если для любого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$существует $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \}$такое, что $G\; m\; \subset \; G\; n\; \prime \; \{\backslash \; displa\; ystyle\; G\_\; \{m\}\; \backslash \; subset\; G\; \text{'}\_\; \{n\}\}$, то есть тогда и только тогда, когда тождественное отображение непрерывно в 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, входящей в одну, существует меньшая или равная подгруппа в другой.

Кольца и модули: нисходящие фильтрации

Дано кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-модуль $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, нисходящая фильтрация $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$представляет собой убывающую последовательность подмодулей $M\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\_\; \{n\}\}$. Таким образом, это частный случай понятия групп с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп.

Важный частный случай известен как $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$-адическая топология (или $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$- адич и др.). Пусть $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$будет коммутативным кольцом, а $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$идеалом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$.

Учитывая $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-модуль $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, последовательность $I\; n\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; ^\; \{n\}\; M\}$подмодулей $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$формирует фильтрацию $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$-адическая топология на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$тогда является топологией, связанной с этой фильтрацией. Если $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- это просто само кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, мы определили $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$-адическая топология на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$.

Когда $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$задано $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$-адическая топология, $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$становится топологическим кольцом. Если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-module $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$получает значение $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$-адическая топология, она становится топологическим $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-модулем относительно топологии, заданной на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$.

Кольца и модули: восходящие фильтрации

Дано кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-модуль $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, восходящая фильтрация $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$представляет собой возрастающую последовательность подмодулей $M\; n\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; M\_\; \{n\}\}$. В частности, если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является полем, тогда восходящая фильтрация $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-vector space $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- возрастающая последовательность векторных подпространств $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Флаги - один из важных классов таких фильтраций.

Наборы

Максимальная фильтрация набора эквивалентна упорядочиванию (перестановка ) набора. Например, фильтрация $\{0\}\; \subset \; \{0,\; 1\}\; \subset \; \{0,\; 1,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; subset\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \}\; \backslash \; subset\; \backslash \; \{0,1,\; 2\; \backslash \}\}$соответствует порядку $(0,\; 1,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1,2)\}$. С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрация на векторном пространстве), считая набор вектором пространство над полем с одним элементом.

Теория меры

В теории меры, в частности в теории мартингейла и теории случайных процессов, фильтрация представляет собой возрастающую последовательность из $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебр на измеримом пространстве. То есть, учитывая измеримое пространство $(\Omega ,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$, фильтрация представляет собой последовательность $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебры $\{F\; t\}\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\}\}$с $F\; t\; \subseteq \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, где каждый $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- неотрицательное действительное число и

$t\; 1\; \le \; t\; 2\; ⟹\; F\; t\; 1\; \subseteq \; F\; t\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; t\_\; \{2\}\; \backslash \; implies\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\_\; \{2\}\}.\}$

Точный диапазон «раз» $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$обычно будет зависеть от контекста: набор значений для $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например,

$t\; \in \; \{0,\; 1,\dots ,\; N\},\; N\; 0,\; [0,\; T]\; или\; [0,\; +\; \infty ).\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,\; \backslash \; dots,\; N\; \backslash \},\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{0\},\; [0,\; T]\; \{\backslash \; t\_dv\; \{or\}\}\; [0,\; +\; \backslash \; infty).\}$

Аналогично, фильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) $(\Omega ,\; F,\; \{F\; t\}\; t\; \ge \; 0,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \backslash \; right)\}$, является вероятностным пространством, снабженным фильтрацией $\{F\; t\}\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; справа\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\}\}$из его $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебра $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \}\}$. Считается, что фильтрованное вероятностное пространство удовлетворяет обычным условиям, если оно завершено (т. Е. $F\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{0\}\}$содержит все $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\}$-нулевые наборы ) и непрерывный справа (т.е. $F\; t\; =\; F\; t\; +:\; =\; \bigcap \; s>t\; F\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\; +\}:\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{s>t\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{s\}\; \}$на все времена $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$).

Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить $F\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$как $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебра, созданная бесконечным объединением $F\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\}$, который содержится в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$:

$F\; \infty \; знак\; равно\; \sigma \; (\bigcup \; T\; \ge \; 0\; F\; T)\; \subseteq \; F,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; F\}\}\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}.\}$

Σ-алгебра определяет набор событий, которые можно измерить, что в контексте вероятность эквивалентно событиям, которые можно различить, или «вопросам, на которые можно ответить в момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$". Поэтому фильтрация часто используется для представления изменения в наборе событий, которые можно измерить, посредством усиления или потери информации . Типичный пример - математические финансы, где фильтрация представляет информацию, доступную до каждого момента $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$включительно, и более точная ( набор измеримых событий остается прежним или увеличивается) по мере того, как становится доступной больше информации об изменении цены акций.

Отношение к времени остановки: сигма-алгебры времени остановки

Пусть $(\Omega ,\; F,\; \{F\; t\}\; t\; \ge \; 0,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \backslash \; right)\}$- фильтрованное вероятностное пространство. Случайная величина $\tau :\; \Omega \; \to \; [0,\; \infty ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; rightarrow\; [0,\; \backslash \; infty]\}$- это время остановки с учетом для фильтрации$\{F\; t\}\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\}\}$, если $\{\tau \; \le \; t\}\; \in \; F\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; tau\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\}$для всех $t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; geq\; 0\}$. Время остановки $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебра теперь определяется как

$F\; \tau :\; =\; \{A\; \in \; F:\; A\; \cap \; \{\tau \; \le \; t\}\; \in \; F\; t,\; \forall \; t\; \ge \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}:\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}:\; A\; \backslash \; cap\; \backslash \; \{\backslash \; tau\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \}\; \backslash \; in\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\},\; \backslash \; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Нетрудно показать, что $F\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\; \backslash \; tau\}\}$действительно является $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгеброй. Набор $F\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$кодирует информацию до случайного времени $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$в том смысле, что если отфильтрованное вероятностное пространство интерпретируется как случайный эксперимент, максимальная информация, которая может быть получена о нем от произвольно часто повторяющегося эксперимента до случайного момента времени $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$равно $F\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$. В частности, если лежащее в основе вероятностное пространство конечно (например, $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$конечно), минимальные наборы $F\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$(относительно включения множества) даются объединением по всем $t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; geq\; 0\}$наборов минимальных наборов $F\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{t\}\}$, которые лежат в $\{\tau \; =\; t\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; tau\; =\; t\; \backslash \}\}$.

Можно показать, что $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$равно $F\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\; \backslash \; tau\}\}$-измеримый. Однако простые примеры показывают, что в целом $\sigma \; (\tau )\; \ne \; F\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$. Если $\tau \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{1\}\}$и $\tau \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}$составляет время остановки на $(\Omega ,\; F,\; \{F\; t\}\; t\; \ge \; 0,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \backslash \; right)\}$и $\tau \; 1\; \le \; \tau \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}$почти наверняка, тогда $F\; \tau \; 1\; \subseteq \; F\; \tau \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}.\}$

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (теория вероятностей)
• Фильтр (математика)

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.