Гомотопические группы сфер

Иллюстрация того, как двумерную сферу можно дважды обернуть вокруг другой двумерной сферы. Края должны быть обозначены.

В математической области алгебраической топологии, то гомотопические группы сфер описывают, как сферы различных размеров можно обернуть вокруг друг друга. Они являются примерами топологических инвариантов, которые отражают, в алгебраических терминах, структуру сфер, рассматриваемых как топологические пространства, забывая об их точной геометрии. В отличие от групп гомологий, которые также являются топологическими инвариантами, гомотопические группы удивительно сложны и трудны для вычисления.

Расслоение Хопфа является нетривиальным отображением 3-сферы до 2-сферы, и генерирует третью гомотопическую группу 2-сферы. Это изображение имитирует часть расслоения Хопфа, интересного отображения трехмерной сферы в двумерную сферу. Это отображение является генератором третьей гомотопической группы 2-сферы.

П - мерный единичный шар - называется п -сферы для краткости, и обозначается как S ^п - обобщает знакомый круг ( S ¹) и обычная сфера ( S ²). П -сферы может быть определено геометрически как множество точек в евклидовом пространстве размерности п + 1, расположенной на единицу расстояния от начала координат. Я ий гомотопической группу π я ( S ^п) суммирует различные способы, в которых я мерная сфере ˙s ^я могу быть отображена непрерывно в п - мерная сфера S ^н. В этом резюме не делается различий между двумя отображениями, если одно можно непрерывно деформировать в другое; таким образом, суммируются только классы эквивалентности отображений. Операция «сложения», определенная для этих классов эквивалентности, превращает набор классов эквивалентности в абелеву группу.

Задача определения π i ( S ⁿ) распадается на три режима, в зависимости от того, меньше ли i, равно или больше n.

• Для 0 lt; i lt; n любое отображение из S ⁱ в S ⁿ является гомотопным (т. Е. Непрерывно деформируемым) постоянному отображению, то есть отображению, которое отображает все S ⁱ в единственную точку S ⁿ. Следовательно, гомотопическая группа - это тривиальная группа.
• Когда i = n, каждая карта из S ⁿ в себя имеет степень, которая измеряет, сколько раз сфера оборачивается вокруг себя. Эта степень отождествляет гомотопическую группу π n ( S ⁿ) с группой целых чисел при сложении. Например, каждая точка круга может быть непрерывно отображена на точку другого круга; поскольку первая точка перемещается по первому кругу, вторая точка может несколько раз пройти по второму кругу, в зависимости от конкретного сопоставления.
• Наиболее интересные и удивительные результаты происходят, когда i gt; n. Первый такой сюрприз было открытие отображения называется расслоение Хопфа, который обертывает 3-сферу S ³ вокруг обычной сферы S ² в нетривиальным образом, и поэтому не эквивалентно отображению в одну точку.

Вопрос о вычислении гомотопической группы π n + k ( S ⁿ) для положительного k оказался центральным вопросом алгебраической топологии, который способствовал развитию многих ее фундаментальных методов и послужил стимулирующим центром исследований. Одно из главных открытий состоит в том, что гомотопические группы π n + k ( S ⁿ) не зависят от n при n ≥ k + 2. Они называются стабильными гомотопическими группами сфер и были вычислены для значений k вплоть до 64. Стабильные гомотопические группы образуют кольцо коэффициентов необычной теории когомологий, называемой стабильной теорией когомотопий. Неустойчивые гомотопические группы (при n lt; k + 2) более ошибочны; тем не менее, они были сведены в таблицу для k lt;20. В большинстве современных вычислений используются спектральные последовательности, метод, впервые примененный к гомотопическим группам сфер Жан-Пьером Серром. Было установлено несколько важных закономерностей, но многое остается неизвестным и необъяснимым.

• 1 Справочная информация
  • 1.1 n- сфера
  • 1.2 Гомотопическая группа
• 2 Низкоразмерные примеры
  • 2.1 π 1 ( S ¹) = ℤ
  • 2.2 π 2 ( S ²) = ℤ
  • 2.3 π 1 ( S ²) = 0
  • 2,4 π 2 ( S ¹) = 0
  • 2,5 π 3 ( S ²) = ℤ
• 3 История
• 4 Общая теория
  • 4.1 Таблица
  • 4.2 Стабильные и нестабильные группы
  • 4.3 Расслоения Хопфа
  • 4.4 Обрамленный кобордизм
  • 4.5 Конечность и кручение
  • 4.6 J-гомоморфизм
  • 4.7 Кольцевая структура
• 5 Вычислительные методы
• 6 приложений
• 7 Таблица гомотопических групп
• 8 Таблица стабильных гомотопических групп
• 9 ссылки
  • 9.1 Ссылки по общей алгебраической топологии
  • 9.2 Исторические документы
• 10 Внешние ссылки

Изучение гомотопических групп сфер опирается на большой объем базового материала, который здесь кратко рассмотрен. Алгебраическая топология предоставляет более широкий контекст, построенный на топологии и абстрактной алгебре, с гомотопическими группами в качестве основного примера.

n- сфера

Обычная сфера в трехмерном пространстве - поверхность, а не твердый шар - это лишь один пример того, что означает сфера в топологии. Геометрия жестко определяет сферу как форму. Вот несколько альтернатив.

• Неявная поверхность: x² _{0+ х² 1+ х² 2 = 1}

Это набор точек в трехмерном евклидовом пространстве, находящихся ровно на одну единицу от начала координат. Он называется 2-сферой, S ², по причинам, указанным ниже. Та же идея применима для любого измерения n ; уравнение x² _{0+ х² 1+ ⋯ + х² п= 1 производит n -сферу как геометрический объект в ( n + 1) -мерном пространстве. Например, 1-сфера S ¹ представляет собой круг.}

• Диск со свернутым ободом: записывается в топологии как D ² / S ¹

Эта конструкция переходит от геометрии к чистой топологии. Диска D ² представляет собой область, содержащаяся в круге, описывается неравенством х² _{0+ х² 1≤ 1, а его ободок (или « граница ») - окружность S ¹, описываемая равенством x² 0+ х² 1= 1. Если воздушный шар проткнуть и расправить, он образует диск; эта конструкция ремонтирует прокол, как затягивание шнурка. Слэш, произносится « по модулю», значит взять топологическое пространство на левой стороне (на диске) и в нем объединяются как один все точки на правой (круг). Область является 2-мерной, поэтому топология называет получившееся топологическое пространство 2-сферой. Обобщенно, D ⁿ / S ^{n -1} дает S ⁿ. Например, D ¹ - это отрезок прямой, и конструкция соединяет его концы, образуя круг. Эквивалентное описание состоит в том, что граница n- мерного диска приклеивается к точке, образуя комплекс CW.}

• Подвеска экватора: записывается в топологии как Σ S ¹

Эта конструкция хоть и проста, но имеет большое теоретическое значение. Возьмем круг S ¹ за экватор и сдвинем каждую точку на нем на одну точку выше (Северный полюс), образуя северное полушарие, и на одну точку ниже (Южный полюс), образуя южное полушарие. Для каждого натурального п, то п -сферы х² _{0+ х² 1+ ⋯ + х² п= 1 имеет в качестве экватора ( n - 1) -сферу x² 0+ х² 1+ ⋯ + х² п −1= 1, и надстройка Σ S ^{n −1} дает S ⁿ.}

Некоторые теории требует выбора неподвижной точки на сфере, назвав пару (сфера, точка) в заостренную сферу. Для некоторых пространств выбор имеет значение, но для сферы все точки эквивалентны, поэтому выбор является вопросом удобства. Точка (1, 0, 0,…, 0), которая находится на экваторе всех сфер, хорошо работает для геометрических сфер; (свернутый) обод диска - еще один очевидный выбор.

Гомотопическая группа

Гомотопия двух круговых карт с фиксированной базовой точкой Добавление двух круговых карт с фиксированной базовой точкой

Отличительной чертой топологического пространства является его структура непрерывности, формализованная в терминах открытых множеств или окрестностей. Непрерывное отображение является функцией между пространствами, что сохраняет непрерывность. Гомотопический представляет собой непрерывный путь между непрерывными отображениями; два отображения, связанные гомотопией, называются гомотопическими. Общая идея всех этих концепций - отбросить вариации, не влияющие на интересующие результаты. Важным практическим примером является теорема о вычетах комплексного анализа, где «замкнутые кривые» - это непрерывные отображения из круга в комплексную плоскость, и где две замкнутые кривые дают один и тот же интегральный результат, если они гомотопны в топологическом пространстве, состоящем из плоскости. минус точки особенности.

Первая гомотопическая группа, или фундаментальная группа, π 1 ( Х) из ( пути соединенного ) топологическое пространство X, таким образом, начинается с непрерывными отображениями из заостренного круга ( S ¹, ев) к заостренным пространству ( Х, х), где карты из одной пары в другую отображает s в x. Эти отображения (или, что эквивалентно, замкнутые кривые ) сгруппированы вместе в классы эквивалентности на основе гомотопии (сохраняя фиксированную «базовую точку» x), так что два отображения находятся в одном классе, если они гомотопны. Так же, как выделяется одна точка, выделяется и один класс: все отображения (или кривые), гомотопные постоянному отображению S ¹ ↦ x, называются нулевыми гомотопическими. Классы превращаются в абстрактную алгебраическую группу с введением сложения, определяемого через «экваториальную щипку». Эта щипок сопоставляет экватор заостренной сферы (здесь круг) с выделенной точкой, создавая « букет сфер » - две заостренные сферы, соединенные в их выделенной точке. Две добавляемые карты отображают верхнюю и нижнюю сферы отдельно, согласовывая выделенную точку, а композиция с помощью щипка дает общую карту.

В более общем смысле i -я гомотопическая группа π i ( X) начинается с заостренной i -сферы ( S ⁱ, s), а в остальном следует той же процедуре. Нулевой гомотопический класс действует как тождество группового сложения, и для X, равного S ⁿ (для положительного n) - гомотопических групп сфер - группы абелевы и конечно порожденные. Если для некоторого i все отображения гомотопны нулю, то группа π i состоит из одного элемента и называется тривиальной группой.

Непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами индуцирует групповой гомоморфизм между ассоциированными гомотопическими группами. В частности, если отображение является непрерывной биекцией ( гомеоморфизм ), так что два пространства имеют одинаковую топологию, то их i -я гомотопическая группа изоморфна для всех i. Однако реальная плоскость имеет точно такие же гомотопические группы, что и уединенная точка (как и евклидово пространство любой размерности), а реальная плоскость с удаленной точкой имеет те же группы, что и окружность, поэтому одних групп недостаточно, чтобы различать пробелы. Хотя потеря способности распознавания прискорбна, она также может облегчить определенные вычисления.

Низкоразмерные примеры гомотопических групп сфер дают представление о предмете, потому что эти частные случаи могут быть визуализированы в обычном трехмерном пространстве ( Hatcher 2002). Однако такие визуализации не являются математическими доказательствами и не отражают возможную сложность карт между сферами.

π 1 ( S ¹) = ℤ

Элементы ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ pi _ {1} (S ^ {1})}$

Самый простой случай касается способов, которыми круг (1-сфера) может быть обернут вокруг другого круга. Это можно визуализировать, обернув резинку вокруг пальца: ее можно обернуть один, два, три раза и так далее. Обертывание может быть в любом из двух направлений, а обертывания в противоположных направлениях аннулируются после деформации. Таким образом, гомотопическая группа π 1 ( S ¹) является бесконечной циклической группой и изоморфна группе ℤ целых чисел при сложении: гомотопический класс отождествляется с целым числом путем подсчета количества раз, когда отображение в гомотопическом классе оборачивается вокруг круг. Это целое число также можно рассматривать как число витков петли вокруг начала координат на плоскости.

Отождествление ( групповой изоморфизм ) гомотопической группы с целыми числами часто записывается как равенство: таким образом, π 1 ( S ¹) = ℤ.

π 2 ( S ²) = ℤ

Иллюстрация того, как двумерную сферу можно дважды обернуть вокруг другой двумерной сферы. Края должны быть обозначены.

Сопоставление двух сфер с двумя сферами можно визуализировать как обертывание пластикового пакета вокруг шара и последующее его запечатывание. Запечатанный мешок топологически эквивалентен 2-сфере, как и поверхность шара. Мешок можно обернуть более одного раза, скручивая его и снова наматывая на мяч. (Не требуется, чтобы непрерывная карта была инъективной, поэтому мешок может проходить сквозь себя.) Скручивание может происходить в одном из двух направлений, а противоположные скручивания могут компенсироваться деформацией. Общее количество поворотов после отмены - целое число, называемое степенью сопоставления. Как и в случае отображений окружности в окружность, эта степень отождествляет гомотопическую группу с группой целых чисел.

Эти два результаты обобщают: для всех п gt; 0, π п ( S ^п) = ℤ (см ниже).

π 1 ( S ²) = 0

Гомотопия от круга вокруг сферы до единственной точки

Любое непрерывное отображение окружности в обычную сферу можно непрерывно деформировать до одноточечного отображения, поэтому его гомотопический класс тривиален. Один из способов визуализировать это - вообразить резиновую ленту, обернутую вокруг мяча без трения: ленту всегда можно снять с мяча. Таким образом, гомотопическая группа является тривиальной группой только с одним элементом, единичным элементом, и поэтому ее можно отождествить с подгруппой группы, состоящей только из числа ноль. Эта группа часто обозначается 0. Строгое отображение этой группы требует большей осторожности из-за существования кривых, заполняющих пространство.

Этот результат обобщается на более высокие измерения. Все отображения из сферы более низкой размерности в сферу более высокой размерности также тривиальны: если i lt; n, то π i ( S ⁿ) = 0. Это можно показать как следствие теоремы клеточной аппроксимации.

π 2 ( S ¹) = 0

Все интересные случаи гомотопических групп сфер связаны с отображениями с сферы более высокой размерности на сферу более низкой размерности. К сожалению, единственный пример, который можно легко визуализировать, не интересен: нет нетривиальных отображений из обычной сферы в круг. Следовательно, π 2 ( S ¹) = 0. Это потому, что S ¹ имеет вещественную прямую в качестве универсального покрытия, которое стягиваемо (оно имеет гомотопический тип точки). Кроме того, поскольку S ² односвязна, по критерию подъема, любое отображение из S ² в S ¹ может быть поднят на карту в прямой и nullhomotopy спусков в нижнем этаже пространство.

π 3 ( S ²) = ℤ

Расслоение Хопфа является нетривиальным отображением 3-сферы до 2-сферы, и генерирует третью гомотопическую группу 2-сферы. Каждый цветной кружок соответствует соответствующей точке на двухмерной сфере, показанной внизу справа.

Первый нетривиальный пример с I gt; п концернами отображениями из 3-сферы в обычную 2-сферу, и был обнаружен Хопфом, который построил нетривиальную карту из S ³ в S ², теперь известный как расслоение Хопфа ( Хопф 1931). Эта карта генерирует гомотопическую группу П 3 ( S ²) = ℤ.

В конце 19 века Камилла Джордан ввела понятие гомотопии и использовала понятие гомотопической группы, не используя язык теории групп ( O'Connor amp; Robertson 2001). Более строгий подход был принят Анри Пуанкаре в его серии статей 1895 года « Анализ места», где также были введены связанные понятия гомологии и фундаментальной группы ( O'Connor amp; Robertson 1996).

Высшие гомотопические группы были впервые определены Эдуардом Чехом в 1932 г. ( Čech 1932, стр. 203). (Его первая статья была отозвана по совету Павла Сергеевича Александрова и Хайнца Хопфа на том основании, что группы были коммутативными, поэтому не могли быть правыми обобщениями фундаментальной группы.) Витольду Гуревичу также приписывают введение гомотопических групп в его статью 1935 года, а также теорему Гуревича, которую можно использовать для вычисления некоторых групп ( май 1999a). Важным методом вычисления различных групп является концепция стабильной алгебраической топологии, которая находит свойства, не зависящие от размерностей. Обычно они подходят только для больших размеров. Первым таким результатом была теорема Ганса Фройденталя о подвешивании, опубликованная в 1937 году. Стабильная алгебраическая топология процветала в период с 1945 по 1966 год и принесла много важных результатов ( май 1999a). В 1953 году Джордж Уайтхед показал, что существует метастабильный диапазон для гомотопических групп сфер. Жан-Пьер Серр использовал спектральные последовательности, чтобы показать, что большинство этих групп конечны, за исключением π n ( S ⁿ) и π 4 n −1 ( S ^{2 n}). Среди других, кто работал в этой области, были Хосе Адем, Хироши Тода, Фрэнк Адамс и Дж. Питер Мэй. Стабильные гомотопические группы π n + k ( S ⁿ) известны для k вплоть до 64 и, по состоянию на 2007 г., неизвестны для больших k ( Hatcher 2002, Stable homotopy groups, pp. 385–393).

Как уже отмечалось, когда i меньше n, π i ( S ⁿ) = 0, тривиальная группа ( Hatcher 2002). Причина в том, что непрерывное отображение i -сферы в n -сферу с i lt; n всегда можно деформировать так, чтобы оно не было сюръективным. Следовательно, его образ содержится в S ⁿ с удаленной точкой; это стягиваемое пространство, и любое отображение в такое пространство можно деформировать в одноточечное отображение.

Случай i = n также уже отмечался и является простым следствием теоремы Гуревича : эта теорема связывает гомотопические группы с группами гомологий, которые, как правило, легче вычислить; в частности, он показывает, что для односвязного пространства X первая ненулевая гомотопическая группа π k ( X) с k gt; 0 изоморфна первой ненулевой группе гомологий H k ( X). Для п -сферы, это сразу следует, что при п ≥ 2, П п ( S ^п) = Н п ( S ^п) = ℤ.

Все группы гомологий H i ( S ⁿ) при i gt; n тривиальны. Поэтому исторически стало большим сюрпризом, что соответствующие гомотопические группы, вообще говоря, нетривиальны. Это действительно важный случай: высшие гомотопические группы π i ( S ⁿ) для i gt; n на удивление сложны и трудны для вычисления, а усилия по их вычислению породили значительное количество новой математики.

Стол

Следующая таблица дает представление о сложности высших гомотопических групп даже для сфер размерности 8 или меньше. В этой таблице элементами являются либо тривиальная группа 0, бесконечная циклическая группа ℤ, конечные циклические группы порядка n (записываемые как ℤ n), либо прямые произведения таких групп (записываемые, например, как ℤ 24 × ℤ 3 или). Расширенные таблицы гомотопических групп сфер приведены в конце статьи. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} ^ {2} = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$

	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π 6	π 7	π 8	π 9	π 10	π 11	π 12	π 13	π 14	π 15
S 0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S 1	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S 2	0	ℤ	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 12	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 3	ℤ 15	ℤ 2	ℤ2 2	ℤ 12 × ℤ 2	ℤ 84 × ℤ2 2	ℤ 2 2
S 3	0	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 12	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 3	ℤ 15	ℤ 2	ℤ2 2	ℤ 12 × ℤ 2	ℤ 84 × ℤ2 2	ℤ2 2
S 4	0	0	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ × ℤ 12	ℤ2 2	ℤ2 2	ℤ 24 × ℤ 3	ℤ 15	ℤ 2	ℤ3 2	ℤ 120 × ℤ 12 × ℤ 2	ℤ 84 × ℤ5 2
S 5	0	0	0	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 24	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 30	ℤ 2	ℤ3 2	ℤ 72 × ℤ 2
S 6	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 24	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 60	ℤ 24 × ℤ 2	ℤ3 2
С 7	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 24	0	0	ℤ 2	ℤ 120	ℤ3 2
С 8	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ 2	ℤ 2	ℤ 24	0	0	ℤ 2	ℤ × ℤ 120

Первые две строки этой таблицы просты. Гомотопические группы π i ( S ⁰) 0-мерной сферы тривиальны для i gt; 0, потому что любое сохраняющее базовую точку отображение из i -сферы в 0-сферу является одноточечным отображением. Аналогично, гомотопические группы π i ( S ¹) 1-сферы тривиальны при i gt; 1, поскольку универсальное накрывающее пространство ℝ, имеющее те же высшие гомотопические группы, стягиваемо.

За пределами этих двух строк высшие гомотопические группы ( i gt; n) кажутся хаотическими, но на самом деле существует множество закономерностей, некоторые очевидные, а некоторые очень тонкие.

• Группы под зубчатой ​​черной линией постоянны по диагоналям (на что указывают красный, зеленый и синий цвета).
• Большинство групп конечны. Единственные бесконечные группы находятся либо на главной диагонали, либо непосредственно над зубчатой ​​линией (выделены желтым).
• Третья и четвертая строки таблицы совпадают, начиная с третьего столбца (т. Е. Π i ( S ²) = π i ( S ³) для i ≥ 3). Этот изоморфизм индуцируется расслоением Хопфа S ³ → S ².
• Ибо и гомотопические группы не обращаются в нуль. Однако для.${\ displaystyle n = 2,3,4,5}$${\ displaystyle i \ geq n}$${\ Displaystyle \ pi _ {я} (S ^ {п})}$${\ displaystyle \ pi _ {n + 4} (S ^ {n}) = 0}$${\ Displaystyle п \ geq 6}$

Эти закономерности вытекают из множества различных теоретических результатов.

Стабильные и нестабильные группы

Тот факт, что группы под зубчатой ​​линией в приведенной выше таблице постоянны вдоль диагоналей, объясняется теоремой о подвешивании Ганса Фройденталя, из которой следует, что гомоморфизм подвешивания от π n + k ( S ⁿ) к π n + k +1 ( S ^{n +1}) является изоморфизмом при n gt; k + 1. Группы π n + k ( S ⁿ) с n gt; k + 1 называются стабильными гомотопическими группами сфер и обозначаются π^S _{k: они являются конечными абелевыми группами при k ≠ 0 и вычислялись во многих случаях, хотя общая закономерность все еще неуловима. ( Хэтчер, 2002, Стабильные гомотопические группы, стр. 385–393). При n ≤ k +1 группы называются нестабильными гомотопическими группами сфер.}

Расслоения Хопфа

Классическое расслоение Хопфа представляет собой расслоение :

${\ Displaystyle S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3} \ rightarrow S ^ {2}. \, \!}$

Общая теория расслоений F → E → B показывает, что существует длинная точная последовательность гомотопических групп

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {i} (F) \ to \ pi _ {i} (E) \ to \ pi _ {i} (B) \ to \ pi _ {i-1} (F) \ в \ cdots. \, \!}$

Для этого конкретного расслоения каждый гомоморфизм группы π i ( S ¹) → π i ( S ³), индуцированный включением S ¹ → S ³, переводит все π i ( S ¹) в нуль, поскольку сфера меньшей размерности S ¹ может быть деформирован до точки внутри многомерного S ³. Это соответствует обращению в нуль π 1 ( S ³). Таким образом, длинная точная последовательность разбивается на короткие точные последовательности,

${\ displaystyle 0 \ rightarrow \ pi _ {i} (S ^ {3}) \ rightarrow \ pi _ {i} (S ^ {2}) \ rightarrow \ pi _ {i-1} (S ^ {1}) \ rightarrow 0. \, \!}$

Так как S ^{п + 1} является суспензию из S ^п, эти последовательности разделить на суспензионной гомоморфизм π я -1 ( S ¹) → П я ( S ²), давая изоморфизмам

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {2}) = \ pi _ {i} (S ^ {3}) \ oplus \ pi _ {i-1} (S ^ {1}). \, \!}$

Так как π я -1 ( S ¹) обращается в нуль при I, по меньшей мере 3, первый ряд показывает, что П I ( S ²) и π я ( S ³) изоморфны всякий раз, когда я, по крайней мере 3, как это наблюдалось выше.

Расслоение Хопфа может быть построено следующим образом: пары комплексных чисел ( z 0, z 1) с | z 0 | ² + | z 1 | ² = 1 образуют 3-сферу, а их отношения z 0 ⁄ z 1 покрывают комплексную плоскость плюс бесконечность, 2-сферу. Отображение Хопфа S ³ → S ² посылает любую такую пару, чтобы его отношение.

Аналогично существуют обобщенные расслоения Хопфа

${\ Displaystyle S ^ {3} \ hookrightarrow S ^ {7} \ rightarrow S ^ {4} \, \!}$

${\ Displaystyle S ^ {7} \ hookrightarrow S ^ {15} \ rightarrow S ^ {8} \, \!}$

построены с использованием пар кватернионов или октонионов вместо комплексных чисел ( Hatcher 2002). Здесь также π 3 ( S ⁷) и π 7 ( S ¹⁵) равны нулю. Таким образом, длинные точные последовательности снова разбиваются на семейства расщепленных коротких точных последовательностей, подразумевая два семейства отношений.

${\ Displaystyle \ пи _ {я} (S ^ {4}) = \ пи _ {я} (S ^ {7}) \ oplus \ pi _ {я-1} (S ^ {3}), \, \!}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {8}) = \ pi _ {i} (S ^ {15}) \ oplus \ pi _ {i-1} (S ^ {7}). \, \!}$

Три расслоения имеют базовое пространство S ⁿ с n = 2 ^m для m = 1, 2, 3. Расслоение существует для S ¹ ( m = 0), но не для S ¹⁶ ( m = 4) и выше. Хотя обобщения соотношений к S ¹⁶ часто верны, иногда они терпят неудачу; Например,

${\ displaystyle \ pi _ {30} (S ^ {16}) \ neq \ pi _ {30} (S ^ {31}) \ oplus \ pi _ {29} (S ^ {15}). \, \ !}$

Таким образом, расслоения быть не может.

${\ Displaystyle S ^ {15} \ hookrightarrow S ^ {31} \ rightarrow S ^ {16}, \, \!}$

первый нетривиальный случай проблемы с одним инвариантом Хопфа, потому что такое расслоение означало бы, что несостоявшееся отношение истинно.

Обрамленный кобордизм

Гомотопические группы сфер тесно связаны с классами кобордизмов многообразий. В 1938 году Лев Понтрягин установил изоморфизм между гомотопической группой π n + k ( S ⁿ) и группой Ω^{в рамке} _{k( S ^{n + k}) классов кобордизмов дифференцируемых k -подмногообразий в S ^{n + k,} которые «оснащены», т. Е. Имеют тривиализованное нормальное расслоение. Любое отображение ƒ: S ^{n + k} → S ⁿ гомотопно дифференцируемому отображению с оснащенным k -мерным подмногообразием. Например, π n ( S ⁿ) = ℤ - это группа кобордизмов оснащенных 0-мерных подмногообразий в S ⁿ, вычисляемая алгебраической суммой их точек, соответствующей степени отображений. Проекция расслоения Хопфа представляет собой образующую π 3 ( S ²) = Ω${\ Displaystyle М ^ {к} = е ^ {- 1} (1,0, \ точки, 0) \ подмножество S ^ {п + к}}$ ${\ displaystyle f: S ^ {n} \ к S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3} \ rightarrow S ^ {2}}$^{в рамке} 1( S ³) = ℤ, что соответствует оснащенному 1-мерному подмногообразию в S ^3, определяемому стандартным вложением с нестандартной тривиализацией нормального 2-плоского расслоения. До появления более сложных алгебраических методов в начале 1950-х (Серр) изоморфизм Понтрягина был основным инструментом для вычисления гомотопических групп сфер. В 1954 г. изоморфизм Понтрягина был обобщен Рене Томом до изоморфизма, выражающего другие группы классов кобордизмов (например, всех многообразий) как гомотопические группы пространств и спектров. В более поздних работах этот аргумент обычно обратный: группы кобордизмов вычисляются в терминах гомотопических групп ( Scorpan 2005). ${\ Displaystyle S ^ {1} \ подмножество S ^ {3}}$}

Конечность и кручение

В 1951 году Жан-Пьер Серр показал, что все гомотопические группы сфер конечны, за исключением групп вида π n ( S ⁿ) или π 4 n −1 ( S ^{2 n}) (для положительных n), когда группа произведение бесконечной циклической группы на конечную абелеву группу ( Серр, 1951). В частности, гомотопические группы определяются своими p -компонентами для всех простых чисел p. 2-компоненты труднее всего вычислить, и во многих отношениях они ведут себя иначе, чем p -компоненты для нечетных простых чисел.

В той же работе, Серра нашла первое место, что р -кручения происходит в гомотопических группах п мерных сфер, показав, что П п + K ( S ^п) не имеет р - кручение, если к lt;2 р - 3, и имеет единственная подгруппа порядка p, если n ≥ 3 и k = 2 p - 3. Случай двумерных сфер немного отличается: первое p- кручение происходит при k = 2 p - 3 + 1. В случае нечетного кручения есть более точные результаты; в этом случае существует большая разница между четными и нечетными сферами. Если p - нечетное простое число и n = 2 i + 1, то элементы p - компоненты числа π n + k ( S ⁿ) имеют порядок не более p ⁱ ( Коэн, Мур и Нейзендорфер, 1979). В некотором смысле это наилучший возможный результат, поскольку известно, что эти группы имеют элементы такого порядка для некоторых значений k ( Ravenel 2003, p. 4). Кроме того, в этом случае устойчивый диапазон может быть расширен: если n нечетно, то двойная надстройка от π k ( S ⁿ) до π k +2 ( S ^{n +2}) является изоморфизмом p -компонент, если k lt; p ( n + 1) - 3, и эпиморфизм, если выполняется равенство ( Серр, 1952). Р -кручения промежуточной группы П K +1 ( S ^{п + 1}) может быть строго больше.

Приведенные выше результаты о нечетном кручении справедливы только для нечетномерных сфер: для четномерных сфер расслоение Джеймса дает кручение при нечетных простых числах p в терминах нечетномерных сфер,

${\ displaystyle \ pi _ {2m + k} (S ^ {2m}) (p) = \ pi _ {2m + k-1} (S ^ {2m-1}) (p) \ oplus \ pi _ { 2m + k} (S ^ {4m-1}) (p)}$

(где ( p) означает взять p -компоненту) ( Ravenel 2003, p. 25). Эта точная последовательность аналогична последовательностям расслоения Хопфа; разница в том, что он работает для всех четных сфер, хотя и за счет игнорирования 2-кручения. Объединение результатов для нечетных и четных сфер показывает, что большая часть нечетного кручения нестабильных гомотопических групп определяется нечетным кручением стабильных гомотопических групп.

Для стабильных гомотопических групп есть более точные результаты о p- кручении. Например, если k lt;2 p ( p - 1) - 2 для простого p, то p -примарная компонента стабильной гомотопической группы π^S _{kобращается в нуль, если k + 1 не делится на 2 ( p - 1), и в этом случае он цикличен порядка p ( Fuks 2001). ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFuks2001 ( справка )}

J-гомоморфизм

Основная статья: J-гомоморфизм

Важной подгруппой группы π n + k ( S ⁿ) при k ≥ 2 является образ J-гомоморфизма J: π k (SO ( n)) → π n + k ( S ⁿ), где SO ( n) обозначает специальную ортогональную группу ( Адамс, 1966). В стабильной области n ≥ k +2 гомотопические группы π k (SO ( n)) зависят только от k (mod 8). Этот паттерн периода 8 известен как периодичность Ботта, и он отражается в стабильных гомотопических группах сфер через образ J -гомоморфизма:

• циклическая группа порядка 2, если к является конгруэнтны 0 или 1 по модулю 8;
• тривиально, если k сравнимо с 2, 4, 5 или 6 по модулю 8; а также
• циклическая группа порядка, равного знаменателю B 2 m ⁄ 4 m, где B 2 m - число Бернулли, если k = 4 m - 1 3 (mod 4).

Этот последний случай объясняет элементы необычно большого конечного порядка по π n + k ( S ⁿ) для таких значений k. Например, стабильные группы π n +11 ( S ⁿ) имеют циклическую подгруппу порядка 504, знаменатель B 6 ⁄ 12 = 1 ⁄ 504.

Стабильные гомотопические группы сфер являются прямой суммой образа J -гомоморфизма и ядра e -инварианта Адамса, гомоморфизма этих групп на /. Грубо говоря, образ J -гомоморфизма - это подгруппа «хорошо изученных» или «легких» элементов стабильных гомотопических групп. Эти хорошо изученные элементы составляют большинство элементов стабильных гомотопических групп сфер малых размеров. Фактор π^S _{nпо образу J -гомоморфизма считается «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер ( Adams, 1966). (Адамс также ввел некоторые элементы порядка 2 μ n из π^S nдля n 1 или 2 (mod 8), и они также считаются «хорошо изученными».) В таблицах гомотопических групп сфер иногда опускается «легкая» часть im ( J) для экономии места.}

Структура кольца

Прямая сумма

${\ displaystyle \ pi _ {\ ast} ^ {S} = \ bigoplus _ {k \ geq 0} \ pi _ {k} ^ {S}}$

стабильных гомотопических групп сфер - это суперкоммутативное градуированное кольцо, где умножение задается композицией представляющих отображений, а любой элемент ненулевой степени нильпотентен ( Nishida 1973); из теоремы о нильпотентности комплексных кобордизмов следует теорема Нисиды.

Пример: если η является образующей π^S _{1(порядка 2), то η ² отлично от нуля и порождает π^S 2, а η ³ отлична от нуля и 12 раз является образующей π^S 3, а η ⁴ равно нулю, поскольку группа π^S 4 тривиально.}

Если е и г и ч являются элементами П^S _{*при f g = 0 и g ⋅ h = 0 существует скобка Тоды 〈f, g, h〉 этих элементов ( Toda 1962). Скобка Тоды не совсем элемент стабильной гомотопической группы, потому что она определена только с точностью до сложения произведений некоторых других элементов. Хироши Тода использовал композиционное произведение и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп. Существуют также более высокие скобки Тоды для нескольких элементов, определяемые, когда исчезают подходящие нижние скобки Тоды. Это соответствует теории произведений Месси в когомологиях. Каждый элемент стабильных гомотопических групп сфер может быть выражен с помощью композиционных произведений и более высоких скобок Тоды в терминах некоторых хорошо известных элементов, называемых элементами Хопфа ( Cohen 1968).}

Если X - любой конечный симплициальный комплекс с конечной фундаментальной группой, в частности, если X - сфера размерности не меньше 2, то все его гомотопические группы являются конечно порожденными абелевыми группами. Чтобы вычислить эти группы, их часто разлагают на свои p -компоненты для каждого простого p и вычисляют каждую из этих p -групп отдельно. Первые несколько гомотопических групп сфер могут быть вычислены с использованием специальных вариаций вышеизложенных идей; Помимо этого, большинство методов вычисления гомотопических групп сфер основаны на спектральных последовательностях ( Ravenel 2003). Обычно это делается путем построения подходящих расслоений и взятия соответствующих длинных точных последовательностей гомотопических групп; спектральные последовательности - это систематический способ организации сложной информации, которую генерирует этот процесс.

• «Метод убийства гомотопических групп», созданный Картаном и Серром ( 1952a, 1952b), включает многократное использование теоремы Гуревича для вычисления первой нетривиальной гомотопической группы с последующим уничтожением (устранением) ее расслоением, включающим пространство Эйленберга – Маклейна.. В принципе, это дает эффективный алгоритм для вычисления всех гомотопических групп любого конечного односвязного симплициального комплекса, но на практике его слишком громоздко использовать для вычисления чего-либо, кроме первых нескольких нетривиальных гомотопических групп, поскольку симплициальный комплекс каждый раз становится намного сложнее. один убивает гомотопическую группу.
• В последовательности Серра была использована Серра, чтобы доказать, некоторые из результатов, упомянутых выше. Он использовал тот факт, что взятие пространства петель в пространстве с хорошим поведением сдвигает все гомотопические группы вниз на 1, так что n- я гомотопическая группа пространства X является первой гомотопической группой его ( n - 1) -кратно повторяющегося пространства петель., которая равна первой группе гомологий ( n - 1) -кратного пространства петель по теореме Гуревича. Это сводит вычисление гомотопических групп X к вычислению групп гомологий его повторяющихся пространств петель. Спектральная последовательность Серра связывает гомологии пространства с гомологией его пространства петель, поэтому иногда может использоваться для вычисления гомологии пространств петель. Спектральная последовательность Серра имеет тенденцию иметь много отличных от нуля дифференциалов, которые трудно контролировать, и слишком много неоднозначностей возникает для более высоких гомотопических групп. Следовательно, он был заменен более мощными спектральными последовательностями с меньшим количеством отличных от нуля дифференциалов, которые дают больше информации.
• В последовательности EHP спектральных может быть использована для вычисления многих гомотопических групп сфер; он основан на некоторых расслоениях, использованных Тодой в его вычислениях гомотопических групп ( Mahowald 2001, Toda 1962).ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMahowald2001 ( справка )
• Классическая спектральная последовательность Адамса имеет член E 2, задаваемый Ext группами Ext^{∗, ∗} _{A ( p)(ℤ p, ℤ p) над алгеброй Стинрода A ( p) mod p и сходится к чему-то, что тесно связано с p -компонентой стабильных гомотопических групп. Начальные члены спектральной последовательности Адамса сами по себе довольно сложно вычислить: иногда это делается с использованием вспомогательной спектральной последовательности, называемой спектральной последовательностью Мэй ( Ravenel 2003, стр. 67–74).}
• При нечетных простых числах спектральная последовательность Адамса – Новикова является более мощной версией спектральной последовательности Адамса, заменяющей обычные когомологии по модулю p обобщенной теорией когомологий, такой как комплексные кобордизмы или, чаще, ее часть, называемая когомологиями Брауна – Петерсона.. Начальный срок снова довольно сложно вычислить; для этого можно использовать хроматическую спектральную последовательность ( Ravenel 2003, глава 5).

Кольца Борромео

• Вариант этого последнего подхода использует обратную версию спектральной последовательности Адамса – Новикова для когомологий Брауна – Петерсона: предел известен, а начальные члены включают неизвестные стабильные гомотопические группы сфер, которые пытаются найти ( Kochman (1990)).

• Мотивная спектральная последовательность Адамса сходится к мотивным стабильным гомотопическим группам сфер. Сравнивая мотивное число над комплексными числами с классическим, Исаксен дает строгое доказательство вычислений с точностью до 59 основы ( Isaksen (2019)). В частности, Исаксен вычисляет, что Coker J 56-стержня равен 0, и поэтому согласно работе Кервера-Милнора сфера S ⁵⁶ имеет уникальную гладкую структуру.

• Отображение Кана-Придди индуцирует отображение спектральных последовательностей Адамса из спектра подвеса бесконечного реального проективного пространства в спектр сферы. Это сюръективно на странице Adams E 2 на положительных основах. Ван и Сюй разрабатывают метод, использующий отображение Кана-Придди, для индуктивного вывода дифференциалов Адамса для сферного спектра ( Wang amp; Xu (2017)). Они приводят подробные аргументы в пользу нескольких дифференциалов Адамса и вычисляют 60 и 61 ствол. Геометрическим следствием их результата является то, что сфера S ⁶¹ имеет уникальную гладкую структуру, и она является последней нечетной мерной сферой - единственными сферами являются S ¹, S ³, S ⁵ и S ⁶¹.

• Мотивная оболочка метода τ до сих пор является наиболее эффективным методом при простом 2. Класс τ представляет собой карту между сферами мотивации. Теорема Георге-Ванга-Сюй идентифицирует мотивную спектральную последовательность Адамса для кофибра τ как алгебраическую спектральную последовательность Новикова для BP *, что позволяет вывести мотивные дифференциалы Адамса для кофибра τ из чисто алгебраических данных. Затем можно перенести эти мотивирующие дифференциалы Адамса в мотивационную сферу, а затем использовать функтор реализации Бетти, чтобы продвинуть их в классическую сферу. Используя этот метод, Isaksen, Wang amp; Xu (2020) вычисляет до 90 ствола.

Вычисление гомотопических групп S ² свелось к комбинаторной теории групп вопросу. Беррик и др. (2006) идентифицировать эти гомотопические группы как некоторые дробей этих Brunnian групп кос из S ². В соответствии с этой перепиской, каждый нетривиальный элемент в П п ( S ²) для п gt; 2 может быть представлен в виде Brunnian оплетки над S ², который не Brunnian над диском D ². Например, отображение Хопфа S ³ → S ² соответствует Борромеевы кольца.

• Число витков (соответствующее целому числу π 1 ( S ¹) = ℤ) можно использовать для доказательства фундаментальной теоремы алгебры, которая утверждает, что каждый непостоянный комплексный многочлен имеет нуль.
• Тот факт, что π n −1 ( S ^{n −1}) = ℤ, влечет теорему Брауэра о неподвижной точке о том, что любое непрерывное отображение n -мерного шара в себя имеет неподвижную точку.
• Стабильные гомотопические группы сфер важны в теории особенностей, изучающей структуру особых точек гладких отображений или алгебраических многообразий. Такие особенности возникают в критических точках гладких отображений ℝ ^м до ℝ ^н. Геометрия вблизи критической точки такого отображения может быть описана элементом π m −1 ( S ^{n −1}), рассматривая способ, которым малая сфера m - 1 вокруг критической точки преобразуется в топологическую n - 1 сфера вокруг критического значения.
• Тот факт, что третья стабильная гомотопическая группа сфер циклическая порядка 24, впервые доказанная Владимиром Рохлиным, влечет теорему Рохлина о том, что сигнатура компактного гладкого спинового 4-многообразия делится на 16 ( Scorpan 2005).
• Стабильные гомотопические группы сфер используют для описания группы thetas ; н о ч-кобордизмах классов ориентированного гомотопности п - мерных сфер (для п ≠ 4, это группа гладких структур на п - мерных сферах, вплоть до сохраняющей ориентации диффеоморфизма, а нетривиальные элементы этой группы представлены экзотическими сферами ). Точнее, есть инъективное отображение

${\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1} \ to \ pi _ {n} ^ {S} / J, \, \!}$

где bP n +1 - циклическая подгруппа, представленная гомотопическими сферами, ограничивающими параллелизуемое многообразие, π^S _{n- n- я стабильная гомотопическая группа сфер, а J - образ J -гомоморфизма. Это изоморфизм, если только n не имеет форму 2 ^k −2, и в этом случае изображение имеет индекс 1 или 2 ( Kervaire amp; Milnor 1963).}

• Группы Θ n, указанные выше, и, следовательно, стабильные гомотопические группы сфер, используются при классификации возможных гладких структур на топологическом или кусочно-линейном многообразии ( Scorpan 2005).
• Проблема инварианта Кервера о существовании многообразий инварианта Кервера 1 в размерностях 2 ^k - 2 может быть сведена к вопросу о стабильных гомотопических группах сфер. Например, знание стабильных гомотопических групп степени до 48 было использовано для решения проблемы инварианта Кервера в размерности 2 ⁶ - 2 = 62 ( Barratt, Jones amp; Mahowald 1984). (Это было наименьшее значение k, для которого в то время был открыт вопрос.)
• Баррэтты-Придди теорема говорит о том, что стабильном гомотопических группы сфер могут быть выражены в терминах плюс конструкция применяется к классифицирующему пространству из симметрической группы, что приводит к идентификации K-теория поля с одним элементом со стабильной гомотопностью группы ( Deitmar 2006).

Таблицы гомотопических групп сфер удобнее всего организовать, указав π n + k ( S ⁿ).

В следующей таблице показаны многие группы π n + k ( S ⁿ). (Эти таблицы основаны на таблице гомотопических групп сфер в Toda (1962).) Стабильные гомотопические группы выделены синим цветом, нестабильные - красным. Каждая гомотопическая группа является продуктом циклических групп порядков, указанных в таблице, с использованием следующих соглашений:

• Запись «⋅» обозначает тривиальную группу.
• В случае, если запись является целым числом, т, гомотопическая группой является циклической группой этого порядка ( как правило, написано ℤ м).
• В случае, если запись ∞, гомотопическая группа является бесконечной циклической группой, ℤ.
• Если запись является продуктом, гомотопическая группа - это декартово произведение (то есть прямая сумма ) циклических групп этих порядков. Полномочия указывают на повторяющиеся продукты. (Обратите внимание, что, когда и б не имеют общего множителя, ℤ × ℤ б является изоморфно к ℤ аб.)

Пример: π 19 ( S ¹⁰) = π 9 + 10 ( S ¹⁰) = ℤ × ℤ 2 × ℤ 2 × ℤ 2, что в таблице обозначено как ∞⋅2 ³.

S n →	S 0	S 1	S 2	S 3	S 4	S 5	S 6	С 7	С 8	С 9	С 10	С 11	С 12	S ≥13
π lt; n ( S n)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π 0+ n ( S n)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π 1+ n ( S n)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π 2+ n ( S n)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π 3+ n ( S n)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π 4+ n ( S n)	⋅	⋅	12	2	2 2	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π 5+ n ( S n)	⋅	⋅	2	2	2 2	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π 6+ n ( S n)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π 7+ n ( S n)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π 8+ n ( S n)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2 3	2 4	2 3	2 2	2 2	2 2	2 2
π 9+ n ( S n)	⋅	⋅	2	2 2	2 3	2 3	2 3	2 4	2 5	2 4	∞⋅2 3	2 3	2 3	2 3
π 10+ n ( S n)	⋅	⋅	2 2	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24 2 ⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π 11+ n ( S n)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2 2	84⋅2 5	504⋅2 2	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π 12+ n ( S n)	⋅	⋅	84⋅2 2	2 2	2 6	2 3	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2 2	См. Ниже
π 13+ n ( S n)	⋅	⋅	2 2	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π 14+ n ( S n)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π 15+ n ( S n)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2 3	120⋅2 5	240⋅2 3	240⋅2 2	240⋅2	240⋅2
π 16+ n ( S n)	⋅	⋅	30	6⋅2	6 2 ⋅2	2 2	504⋅2 2	2 4	2 7	2 4	240⋅2	2	2
π 17+ n ( S n)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2 2	24⋅12⋅4⋅2 2	4⋅2 2	2 4	2 4	6⋅2 4	2 4	2 3	2 3	2 4
π 18+ n ( S n)	⋅	⋅	12⋅2 2	12⋅2 2	120⋅12⋅2 5	24⋅2 2	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2 2	8⋅4⋅2	480⋅4 2 ⋅2
π 19+ n ( S n)	⋅	⋅	12⋅2 2	132⋅2	132⋅2 5	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2 3	264⋅2 5

S n →	С 13	С 14	С 15	С 16	С 17	С 18	С 19	С 20	S ≥21
π 12+ n ( S n)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π 13+ n ( S n)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π 14+ n ( S n)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2 2	2 2	2 2	2 2	2 2	2 2
π 15+ n ( S n)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π 16+ n ( S n)	2	24⋅2	2 3	2 4	2 3	2 2	2 2	2 2	2 2
π 17+ n ( S n)	2 4	2 4	2 5	2 6	2 5	∞⋅2 4	2 4	2 4	2 4
π 18+ n ( S n)	8 2 ⋅2	8 2 ⋅2	8 2 ⋅2	24⋅8 2 ⋅2	8 2 ⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2 2	8⋅2	8⋅2
π 19+ n ( S n)	264⋅2 3	264⋅4⋅2	264⋅2 2	264⋅2 2	264⋅2 2	264⋅2	264⋅2	∞264⋅2	264⋅2

Стабильные гомотопические группы π k являются произведением циклических групп бесконечного или простого степенного порядка, показанных в таблице. (В основном по историческим причинам стабильные гомотопические группы обычно задаются как произведения циклических групп простого порядка мощности, в то время как таблицы нестабильных гомотопических групп часто дают их как произведения наименьшего числа циклических групп.) Основная сложность заключается в 2-, 3- и 5-компонента: для р gt; 5, то р -компонент в диапазоне таблицы объясняется J -гомоморфизмом и представляют собой циклические порядка р, если 2 ( р - 1) делит к +1 и 0 в противном случае ( Fuks 2001). (2-компоненты можно найти в Isaksen, Wang amp; Xu (2020), а 3- и 5-компоненты - в Ravenel (2003).) Поведение таблицы по модулю 8 исходит из периодичности Ботта через J-гомоморфизм, изображение которого подчеркнуто. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFuks2001 ( справка )

п →	0	1	2	3	4	5	6	7
π 0+ n S	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
π 8+ n S	2 ⋅2	2 ⋅2 2	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	2 2	32 ⋅2⋅ 3⋅5
π 16+ n S	2 ⋅2	2 ⋅2 3	8⋅2	8 ⋅2⋅ 3⋅11	8⋅3	2 2	2⋅2	16 ⋅8⋅2⋅ 9 ⋅3⋅ 5⋅7⋅13
π 24+ n S	2 ⋅2	2 ⋅2	2 2 ⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64 ⋅2 2 ⋅ 3⋅5⋅17
π 32+ n S	2 ⋅2 3	2 ⋅2 4	4⋅2 3	8 ⋅2 2 ⋅ 27⋅7⋅19	2⋅3	2 2 ⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16 ⋅2 5 ⋅3⋅ 3⋅25⋅11
π 40+ n S	2 ⋅4⋅2 4 ⋅3	2 ⋅2 4	8⋅2 2 ⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅2 3 ⋅9⋅5	2 4 ⋅3	32 ⋅4⋅2 3 ⋅ 9 ⋅3⋅ 5⋅7⋅13
π 48+ n S	2 ⋅4⋅2 3	2 ⋅2⋅3	2 3 ⋅3	8 ⋅8⋅2⋅ 3	2 3 ⋅3	2 4	4⋅2	16 ⋅3⋅ 3⋅5⋅29
π 56+ n S	2	2 ⋅2 2	2 2	8 ⋅2 2 ⋅ 9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	2 4 ⋅3	128 ⋅4⋅2 2 ⋅ 3⋅5⋅17
π 64+ n S	2 ⋅4⋅2 5	2 ⋅4⋅2 8 ⋅3	8⋅2 6	8 ⋅4⋅2 3 ⋅ 3	2 3 ⋅3	2 4	4 2 ⋅2 5	16 ⋅8⋅4⋅2 6 ⋅ 27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
π 72+ n S	2 ⋅2 7 ⋅3	2 ⋅2 6	4 3 ⋅2⋅3	8 ⋅2⋅9⋅ 3	4⋅2 2 ⋅5	4⋅2 5	4 2 ⋅2 3 ⋅3	32 ⋅4⋅2 6 ⋅ 3⋅25⋅11⋅41

• Адамс, Дж Франк (1966), "О J (X) IV групп", Топология, 5 (1): 21-71, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (66) 90004-8. См. Также Адамс, J (1968), «Исправление», Топология, 7 (3): 331, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (68) 90010-4.
• Баррат, Майкл Дж.; Джонс, Джон Д.С. Маховальд, Марк Э. (1984), «Отношения между скобками Тоды и инвариантом Кервера в размерности 62», Журнал Лондонского математического общества, 30 (3): 533–550, CiteSeerX   10.1.1.212.1163, doi : 10.1112 / jlms / s2-30.3.533, Руководство по ремонту   0810962.
• Беррик, AJ; Коэн, Фредерик Р.; Вонг, Ян Лой; Ву, Джи (2006), "Конфигурации, косички и гомотопические группы", журнал Американского математического общества, 19 (2): 265-326, DOI : 10,1090 / S0894-0347-05-00507-2, MR   2188127.
• Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952a), «Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, Paris, 234: 288–290, ISSN   0764-4442, MR   0046045.
• Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952b), «Espaces fibrés et groupes d'homotopie. II. Applications», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, Paris, 234: 393–395, ISSN   0764-4442, MR   0046046.
• Коэн, Фредерик Р.; Мур, Джон К. ; Neisendorfer, Джозеф А. (ноябрь 1979), "Двойная подвеска и показатели гомотопических групп сфер", Анналы математики, вторая серия, 110 (3): 549-565, DOI : 10,2307 / 1971238, JSTOR   1971238, М.Р.   0554384.
• Коэн, Джоэл М. (1968), "Разложение стабильных гомотопий", Анналы математики, Вторая серия, 87 (2): 305-320, DOI : 10,2307 / 1970586, JSTOR   1970586, МР   0231377, КУП   224450, PMID   16591550.
• Дейтмар, Антон (2006), «Замечания о дзета-функциях и K -теории над F 1 », Японская академия. Ход работы. Серия A. Математические науки, 82 (8): 141–146, arXiv : math / 0605429, doi : 10.3792 / pjaa.82.141, ISSN   0386-2194, MR   2279281.
• Фукс, Дмитрий Б. (2001) [1994], "Сферы, гомотопические группы", Энциклопедия математики, EMS Press.
• Исаксен, Дэниел К. (2019), «Стабильные стержни», Мемуары Американского математического общества, 262 (1269), DOI : 10.1090 / memo / 1269, ISBN   978-1-4704-3788-6, Руководство по ремонту   4046815.
• Isaksen, Daniel C.; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2020), «Более стабильные основы», arXiv : 2001.04511 [ math.AT ].
• Kervaire, Michel A. ; Милнор, Джон У. (1963), "Группа гомотопических сфер: I", Анналы математики, 77 (3): 504-537, DOI : 10,2307 / 1970128, JSTOR   1970128, MR   0148075.
• Кочман, Стэнли О. (1990), Стабильные гомотопические группы сфер. Компьютерный подход, Lecture Notes по математике, 1423, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0083795, ISBN   978-3-540-52468-7, Руководство по ремонту   1052407 Также см. Исправления в ( Kochman amp; Mahowald 1995).
• Кочман, Стэнли О.; Маховальд, Марк Э. (1995), "О вычислении стабильных основ", столетний юбилей Чеха (Бостон, Массачусетс, 1993), Contemp. Math., 181, Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 299–316, ISBN   978-0-8218-0296-0, MR   1320997
• Маховальд, Марк (1998). «К глобальному пониманию π ∗ ( S ⁿ) ». Труды Международного конгресса математиков (Берлин, 1998). Documenta Mathematica, Дополнительный том. II. С. 465–472. Руководство по ремонту   1648096. .
• Маховальд, Марк (2001) [1994], "Спектральная последовательность EHP", Энциклопедия математики, EMS Press.
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 58 (6): 804–809
• Нишиды, Горо (1973), "Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер", Журнал математического общества Японии, 25 (4): 707-732, DOI : 10,2969 / jmsj / 02540707, ISSN   0025-5645, Руководство по ремонту   0341485.
• Понтрягин, Лев, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий American Mathematical Society Translations, Сер. 2, т. 11. С. 1–114 (1959).
• Равенел, Дуглас С. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN   978-0-8218-2967-7, Руководство по ремонту   0860042.
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество, ISBN   978-0-8218-3749-8, Руководство по ремонту   2136212.
• Серра, Жан-Пьер (1951), "Homologie singulière де ESPACES fibrés Applications", Анналы математики, второй серии 54 (3): 425-505, DOI : 10,2307 / 1969485, JSTOR   1969485, МР   0045386.
• Серр, Жан-Пьер (1952), «Sur la Suspen de Freudenthal», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, Paris, 234: 1340–1342, ISSN   0764-4442, MR   0046048.
• Тода, Хироси (1962), Методы композиции в гомотопических группах сфер, Annals of Mathematics Studies, 49, Princeton University Press, ISBN   978-0-691-09586-8, Руководство по ремонту   0143217.
• Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-ствола в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics, 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184, doi : 10.4007 / annals.2017.186.2.3, Руководство по ремонту   3702672.

Справочные материалы по общей алгебраической топологии

• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-79540-1, MR   1867354.
• Мэй, Дж. Питер (1999b), Краткий курс алгебраической топологии, Чикагские лекции по математике (пересмотренная редакция), University of Chicago Press, ISBN   978-0-226-51183-2, MR   1702278.

Исторические документы

• Чех, Эдуард (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Цюрих.
• Хопфа, Хайнц (1931), "Убер умереть Abbildungen дер dreidimensionalen Sphäre ауф умереть Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104 (1): 637-665, DOI : 10.1007 / BF01457962.
• Мэй, Дж. Питер (1999a), «Стабильная алгебраическая топология 1945–1966», в IM James (ed.), History of Topology, Elsevier Science, pp. 665–723, ISBN   978-0-444-82375-5.

• Баэз, Джон (21 апреля 1997 г.), Находки по математической физике на этой неделе 102, получено 9 октября 2007 г.
• Хэтчер, Аллен, Стабильные гомотопические группы сфер, данные получены 20 октября 2007 г.
• О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, Э. Ф. (1996), История топологии, получено 14 ноября 2007 г.в архиве истории математики MacTutor.
• О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, EF (2001), Мари Эннемон Камилла Джордан, получено 14 ноября 2007 г. в архиве истории математики MacTutor.