Пространство петли

редактировать

В топологии, ветвь математики, то пространство петель Ω X из заостренного топологического пространства X является пространством ( на основе) петель в X, т.е. непрерывные заостренные карты из заостренной окружности S 1 к X, наделенная компактно-открытой топологии. Две петли можно умножить конкатенацией. С помощью этой операции пространство петель становится A ∞ -пространством. То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно.

Набор из компонентов пути из Ом X, т.е. множества на основе-гомотопических классов эквивалентности петель, основанных на X, является группой, то фундаментальная группа π 1 ( X ).

В итерированных пространствах петель из X формируется путем применения Ом несколько раз.

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Пространство свободных петель топологического пространства X - это пространство отображений окружности S 1 в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как. L Икс {\ displaystyle {\ mathcal {L}} X}

Как функтор, конструкция свободного пространства петель сопряжена справа с декартовым произведением на окружность, а конструкция пространства петель сопряжена справа с приведенной надстройкой. Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной теории гомотопий. (Связанное с этим явление в информатике - каррирование, когда декартово произведение присоединяется к гом-функтору. ) Неформально это называется двойственностью Экмана – Хилтона.

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространство петли двойное подвесу того же самого пространства; эту двойственность иногда называют двойственностью Экмана – Хилтона. Основное наблюдение состоит в том, что

[ Σ Z , Икс ] [ Z , Ω Икс ] {\ Displaystyle [\ Sigma Z, X] \ приблизительно [Z, \ Omega X]}

где - множество гомотопических классов отображений, - надстройка A, и обозначает естественный гомеоморфизм. Этот гомеоморфизм по сути является гомеоморфизмом каррирования по модулю частных, необходимых для преобразования продуктов в восстановленные продукты. [ А , B ] {\ displaystyle [A, B]} А B {\ displaystyle A \ rightarrow B} Σ А {\ displaystyle \ Sigma A} {\ Displaystyle \ приблизительно}

В общем, не имеет групповой структуры для произвольных пространств и. Однако, можно показать, что и есть естественные групповые структуры, когда и являются остроконечными, и вышеупомянутым изоморфизм этих групп. Таким образом, установка ( сфера) дает соотношение [ А , B ] {\ displaystyle [A, B]} А {\ displaystyle A} B {\ displaystyle B} [ Σ Z , Икс ] {\ displaystyle [\ Sigma Z, X]} [ Z , Ω Икс ] {\ displaystyle [Z, \ Omega X]} Z {\ displaystyle Z} Икс {\ displaystyle X} Z знак равно S k - 1 {\ Displaystyle Z = S ^ {к-1}} k - 1 {\ displaystyle k-1}

π k ( Икс ) π k - 1 ( Ω Икс ) {\ Displaystyle \ пи _ {к} (Х) \ приблизительно \ пи _ {к-1} (\ Омега Х)}.

Это следует, так как гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены с помощью суспензий друг-друга, то есть. π k ( Икс ) знак равно [ S k , Икс ] {\ displaystyle \ pi _ {k} (X) = [S ^ {k}, X]} S k знак равно Σ S k - 1 {\ Displaystyle S ^ {k} = \ Sigma S ^ {k-1}}

Смотрите также
Рекомендации
Последняя правка сделана 2023-03-29 01:12:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте