Пространство петли

редактировать

В топологии, ветвь математики, то пространство петель Ω X из заостренного топологического пространства X является пространством ( на основе) петель в X, т.е. непрерывные заостренные карты из заостренной окружности S ¹ к X, наделенная компактно-открытой топологии. Две петли можно умножить конкатенацией. С помощью этой операции пространство петель становится A ∞ -пространством. То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно.

Набор из компонентов пути из Ом X, т.е. множества на основе-гомотопических классов эквивалентности петель, основанных на X, является группой, то фундаментальная группа π 1 ( X ).

В итерированных пространствах петель из X формируется путем применения Ом несколько раз.

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Пространство свободных петель топологического пространства X - это пространство отображений окружности S ¹ в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} X}$

Как функтор, конструкция свободного пространства петель сопряжена справа с декартовым произведением на окружность, а конструкция пространства петель сопряжена справа с приведенной надстройкой. Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной теории гомотопий. (Связанное с этим явление в информатике - каррирование, когда декартово произведение присоединяется к гом-функтору. ) Неформально это называется двойственностью Экмана – Хилтона.

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространство петли двойное подвесу того же самого пространства; эту двойственность иногда называют двойственностью Экмана – Хилтона. Основное наблюдение состоит в том, что

{\ Displaystyle [\ Sigma Z, X] \ приблизительно [Z, \ Omega X]}

[\ Sigma Z, X] \ приблизительно [Z, \ Omega X]

где - множество гомотопических классов отображений, - надстройка A, и обозначает естественный гомеоморфизм. Этот гомеоморфизм по сути является гомеоморфизмом каррирования по модулю частных, необходимых для преобразования продуктов в восстановленные продукты. ${\ displaystyle [A, B]}$ $[A, B]$ ${\ displaystyle A \ rightarrow B}$ $A \ rightarrow B$ ${\ displaystyle \ Sigma A}$ $\ Sigma A$ ${\ Displaystyle \ приблизительно}$ $\ приблизительно$

В общем, не имеет групповой структуры для произвольных пространств и. Однако, можно показать, что и есть естественные групповые структуры, когда и являются остроконечными, и вышеупомянутым изоморфизм этих групп. Таким образом, установка ( сфера) дает соотношение ${\ displaystyle [A, B]}$ $[A, B]$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle [\ Sigma Z, X]}$ $[\ Sigma Z, X]$ ${\ displaystyle [Z, \ Omega X]}$ $[Z, \ Omega X]$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle Z = S ^ {к-1}}$ $Z = S ^ {{k-1}}$ ${\ displaystyle k-1}$ $к-1$

{\ Displaystyle \ пи _ {к} (Х) \ приблизительно \ пи _ {к-1} (\ Омега Х)}

\ pi _ {k} (X) \ приблизительно \ pi _ {{k-1}} (\ Omega X)

Это следует, так как гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены с помощью суспензий друг-друга, то есть. ${\ displaystyle \ pi _ {k} (X) = [S ^ {k}, X]}$ ${\ displaystyle \ pi _ {k} (X) = [S ^ {k}, X]}$ ${\ Displaystyle S ^ {k} = \ Sigma S ^ {k-1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {k} = \ Sigma S ^ {k-1}}$

Пространство петли

Двойственность Экмана – Хилтона

Смотрите также

Рекомендации