Инвариант Кервера

В математике инвариант Кервера является инвариантом кадрированного $(4\; k\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (4k\; +\; 2)\}$-мерное многообразие, которое измеряет, можно ли хирургическим путем преобразовать многообразие в сферу. Этот инвариант принимает значение 0, если многообразие можно преобразовать в сферу, и 1 в противном случае. Этот инвариант был назван в честь Мишеля Кервера, который построил на работе Кахит Арф.

. Инвариант Кервера определяется как инвариант Арфа косо-квадратичной формы . на среднемерной группе гомологий. Его можно рассматривать как односвязную квадратичную L- группу $L\; 4\; k\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{4k\; +\; 2\}\}$, и, следовательно, аналог другие инварианты из L-теории: сигнатура, $4\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 4k\}$-мерный инвариант (симметричный или квадратичный, $L\; 4\; k\; \cong \; L\; 4\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{4k\}\; \backslash \; cong\; L\_\; \{4k\}\}$) и инвариант де Рама, a $(4\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (4k\; +\; 1)\}$-мерный симметричный инвариант $L\; 4\; k\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{4k\; +\; 1\}\}$.

В любом заданном измерении есть только две возможности: либо все многообразия имеют инвариант Арфа – Кервера, равный 0, или половина имеют инвариант Арфа – Кервера 0, а другая половина имеет инвариант Арфа – Кервера 1.

Проблема инварианта Кервера - это проблема определение того, в каких размерностях инвариант Кервера может быть отличным от нуля. Для дифференцируемых многообразий это может происходить в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. Последний случай размерности 126 остается открытым.

• 1 Определение
• 2 История
• 3 Примеры
• 4 Проблема инварианта Кервера
  • 4.1 История
• 5 Инвариант Кервера – Милнора
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки
  • 8.1 Популярные новости

Инвариант Кервера - это инвариант Arf квадратичной формы, определяемой кадрированием на среднемерном $Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$группа гомологий

$q:\; H\; 2\; m\; +\; 1\; (M\; ;\; Z\; /\; 2\; Z)\; \to \; Z\; /\; 2\; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; двоеточие\; H\_\; \{2m\; +\; 1\}\; (M;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$

и поэтому иногда его называют инвариантом Арфа – Кервера . Квадратичная форма (собственно, косоквадратичная форма ) является квадратичным уточнением обычной ε-симметричной формы на гомологиях средней размерности (без каркаса) четномерное многообразие; оснащение дает квадратичное уточнение.

Квадратичная форма q может быть определена алгебраической топологией с использованием функционала квадратов Стинрода, а геометрически - через самопересечения погружений $S\; 2\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2m\; +\; 1\}\}$$\to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; to\}$$M\; 4\; m\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{4m\; +\; 2\}\}$определяется обрамлением, или тривиальностью / нетривиальностью нормальных связок вложений $S\; 2\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2m\; +\; 1\}\}$$\to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; to\}$$M\; 4\; m\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{4m\; +\; 2\}\}$(для $m\; \ne \; 0,\; 1,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; neq\; 0,1,3\}$) и по модулю 2 инвариант Хопфа карт $S\; 4\; m\; +\; 2\; +\; k\; \to \; S\; 2\; m\; +\; 1\; +\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{4m\; +\; 2\; +\; k\}\; \backslash \; to\; S\; ^\; \{2m\; +\; 1\; +\; k\}\}$(для $m\; =\; 0,\; 1,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0,1,3\}$).

Инвариант Кервера является обобщением инварианта Арфа оснащенной поверхности (т. Е. Двумерного многообразия со стабильно тривиализованным касательным расслоением), который использовал Лев Понтрягиным в 1950 г. для вычисления гомотопической группы $\pi \; n\; +\; 2\; (S\; n)\; =\; Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\; +\; 2\}\; (S\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$карт $S\; n\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\; +\; 2\}\}$$\to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; to\; \}$$S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\}$(для $n\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$), которая является группой кобордизма поверхностей, вложенных в $S\; n\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\; +\; 2\}\}$с тривиализированным нормальным пучком.

Кервер (1960) использовал свой инвариант для n = 10, чтобы построить многообразие Кервера, 10-мерное PL-многообразие без дифференцируемой структуры, первый пример такого многообразия, показывая, что его инвариант не обращается в нуль на этом PL-многообразии, но обращается в нуль на всех гладких многообразиях размерности 10.

Kervaire Milnor (1963) вычисляет группу экзотические сферы (с размерностью больше 4), с одним шагом в вычислении, зависящим от задачи инварианта Кервера. В частности, они показывают, что набор экзотических сфер размерности n - в частности, моноид гладких структур на стандартной n-сфере - изоморфен группе $\Theta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{n\}\}$из h-кобордизмов классов ориентированных гомотопических n-сфер. Они вычисляют это последнее в терминах карты

$\Theta \; n\; /\; b\; P\; n\; +\; 1\; \to \; \pi \; n\; S\; /\; J,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{n\}\; /\; bP\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; to\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\; \}\; ^\; \{S\}\; /\; J,\; \backslash ,\}$

где $b\; P\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; bP\_\; \{n\; +\; 1\}\}$- циклическая подгруппа n-сфер, ограничивающих распараллеливаемый коллектор размерности $n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; 1\}$, $\pi \; n\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; ^\; \{S\}\}$n-я стабильная гомотопическая группа сфер, а J - образ J-гомоморфизма, который также является циклической группой. Группы $b\; P\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; bP\_\; \{n\; +\; 1\}\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$имеют легко понимаемые циклические факторы, которые тривиальные или второго порядка, за исключением измерения $n\; =\; 4\; k\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 4k\; +\; 3\}$, в этом случае они большие, с порядком, связанным с числами Бернулли. Факторы - это сложные части групп. Отображение между этими фактор-группами является либо изоморфизмом, либо инъективным и имеет образ индекса 2. Он будет последним тогда и только тогда, когда существует n-мерное оснащенное многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, и, таким образом, классификация экзотических сфер зависит от с точностью до множителя 2 в проблеме инвариантов Кервера.

Для стандартного встроенного тора кососимметричная форма задается как $(0\; 1\; -\; 1\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$(относительно стандартного симплектического базиса ), а косоквадратичное уточнение задается как $xy\; \{\; \backslash \; displaystyle\; xy\}$относительно этой основы: $Q\; (1,\; 0)\; =\; Q\; (0,\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (1,0)\; =\; Q\; (0,1)\; =\; 0\}$: базисные кривые не связаны между собой; и $Q\; (1,\; 1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (1,1)\; =\; 1\}$: a (1,1) самосвязь, как в расслоении Хопфа. Таким образом, эта форма имеет инвариант Arf 0 (большинство его элементов имеет норму 0; он имеет индекс изотропии 1), и, таким образом, стандартный вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.

Вопрос о том, в каких размерностях n существуют n-мерные оснащенные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера, называется проблемой инварианта Кервера . Это возможно только в том случае, если n равно 2 по модулю 4, и действительно, одно должно иметь вид n $2\; k\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{k\}\; -2\}$(на два меньше, чем степень двойки). Вопрос почти полностью решен; на 2019 год открыт только случай размерности 126: есть многообразия с ненулевым инвариантом Кервера в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и ни одного во всех других измерениях, кроме, возможно, 126.

Основное результаты принадлежат Уильяму Браудеру (1969), который свел проблему с дифференциальной топологии к теории стабильной гомотопии и показал, что единственными возможными измерениями являются $2\; k\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{k\}\; -2\}$, а также Майкла А. Хилла, Майкла Дж. Хопкинса и Дугласа К. Равенеля (2016), который показал отсутствие таких многообразий для $k\; \ge \; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; geq\; 8\}$($n\; \ge \; 254\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 254\}$). Вместе с явными конструкциями для более низких измерений (до 62) это оставляет открытым только измерение 126.

Майкл Атия высказал предположение, что такое многообразие существует в размерности 126, и что многомерные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера связаны с хорошо известными экзотическими многообразиями на два измерения выше, в размерностях 16, 32, 64 и 128, а именно с проективной плоскостью Кэли $OP\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{O\}\; P\; ^\; \{2\}\}$(размерность 16, октонионная проективная плоскость) и аналогичные проективные плоскости Розенфельда (биоктонионная проективная плоскость в размерности 32, кватероктонионная проективная плоскость в размерности 64 и октооктонионная проективная плоскость в размерности 128), в частности, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и производит многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже.

История

• Кервэр (1960) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для m для многообразий размерности 10, 18
• Кервэр и Милнор (1963) доказали, что инвариант Кервера может быть ненулевым для многообразий размерности 6, 14
• Андерсон, Браун и Петерсон (1966) ошибка: нет цели: CITEREFAndersonBrownPeterson1966 (help ) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 8n + 2 при n>1
• Mahowald Tangora (1967) доказали, что инвариант Кервера может быть отлична от нуля для многообразий размерности 30
• Браудер (1969) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности n, не имеющей формы 2 - 2.
• Barratt, Jones Mahowald (1984) показали, что инвариант Кервера отличен от нуля для некоторого многообразия размерности 62. Альтернативное доказательство было дано позже Xu (2016).
• Hill, Hopkins Ravenel (2016) показало, что инвариант Кервера равен нулю для n-мерные оснащенные многообразия для n = 2 - 2 с k ≥ 8. Они построили теорию когомологий Ω со следующими свойствами, из которых немедленно следует их результат. y:
  • Группы коэффициентов Ω (точка) имеют период 2 = 256 в n
  • Группы коэффициентов Ω (точка) имеют «пробел»: они исчезают при n = -1, - 2 и -3
  • Группы коэффициентов Ω (точка) могут обнаруживать отличные от нуля инварианты Кервера: точнее, если инвариант Кервера для многообразий размерности n отличен от нуля, то он имеет ненулевой образ в Ω (точка)

Инвариант Кервера – Милнора - это тесно связанный инвариант оснащенной перестройки 2-, 6- или 14-мерного оснащенного многообразия, который дает изоморфизмы из 2-го и 6-я стабильная гомотопическая группа сфер от до $Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, и гомоморфизм из 14-го стабильная гомотопическая группа сфер на $Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. Для n = 2, 6, 14 существует экзотическое обрамление на $S\; n\; /\; 2\; \times \; S\; n\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\; /\; 2\}\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{n\; /\; 2\}\}$с инвариантом Кервера – Милнора 1.

• Подпись, 4k-мерный инвариант
• инвариант Де Рама, (4k + 1) -мерный инвариант

• Слайды и видео лекции Хопкинса в Эдинбурге, 21 апреля 2009 г.
• Домашняя страница Arf-Kervaire Дуга Равенеля
• Летний семинар Гарварда-Массачусетского технологического института по Керверу Инвариант
• «Инвариантная одна проблема Кервера» решена, 23 апреля 2009 г., сообщение в блоге Джона Баэза и обсуждение, Кафе n-категорий
• Экзотические сферы в многообразном атласе

Популярные новости рассказы

• Гиперсфера экзотика: проблема инварианта Кервера имеет решение! Решена 45-летняя проблема о сферах многомерных измерений - вероятно,, Давид Кастельвекки, август 2009 г. Scientific American
• Болл, Филип (2009). «Скрытая загадка форм разгадана». Природа. doi : 10.1038 / news.2009.427.
• Математики решают загадку 45-летнего инварианта Кервера, Эрика Кларрайх, 20 июля 2009 г.