Экзотическая сфера

редактировать

В дифференциальной топологии экзотическая сфера - это дифференцируемое многообразие M, который гомеоморфен, но не диффеоморфен стандартной евклидовой n-сфере. То есть M является сферой с точки зрения всех своих топологических свойств, но несёт гладкую структуру, которая не является привычной (отсюда и название «экзотика»).

Первые экзотические сферы были созданы Джоном Милнором (1956) в измерении $n = 7 {\ displaystyle n = 7}$ ${\ displaystyle n = 7}$ как $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ -связывает на $S 4 {\ displaystyle S ^ {4}}$ $S ^ 4$ . Он показал, что на 7-сфере существует не менее 7 дифференцируемых структур. В любой размерности Милнор (1959) показал, что классы диффеоморфизма ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелевого моноида относительно связной суммы, которая является конечной абелева группа, если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер Мишелем Кервером и Милнором (1963) показала, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами циклической группы порядка 28 при операции связной суммы.

Содержание

1 Введение
2 Классификация
- 2.1 Параллелизуемые многообразия
- 2.2 Отображение частных
- 2.3 Порядок Θ n
3 Явные примеры экзотических сфер
4 Скрученные сферы
5 Приложения
6 4-мерных экзотических сфер и скручивания Глюка
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Введение

Единичная n-сфера, $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ , это набор всех (n+1)- наборов $(x 1, x 2,… xn + 1) {\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n + 1})}$ действительных чисел, так что сумма $x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn + 1 2 = 1 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1}$ . ( $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ - круг; $S 2 {\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ - поверхность обычный шар радиуса один в 3-х измерениях.) Топологи считают пространство X n-сферой, если каждая точка в X может быть отнесена к ровно одной точке единичной n-сферы в непрерывной Это означает, что достаточно близкие точки в X назначаются ближайшим точкам в S и наоборот. Например, точка x на n-сфере радиуса r может быть сопоставлена с точкой на единичной n-сфере, изменив ее расстояние от начала координат на $1 / r {\ displaystyle 1 / r}$ $1 / r$ .

В дифференциальной топологии добавлено более жесткое условие, согласно которому функции, сопоставляющие точки в X с точками в $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ , должны быть smooth, то есть везде должны иметь производные всех порядков. Чтобы вычислить производные, нужно иметь локальные системы координат, последовательно определенные в X. Математики были удивлены в 1956 году, когда Милнор показал, что согласованные системы координат могут быть установлены на 7-сфере двумя разными способами, которые были эквивалентны в непрерывном смысле, но не в дифференцируемом смысле. Милнор и другие начали пытаться выяснить, сколько таких экзотических сфер может существовать в каждом измерении, и понять, как они соотносятся друг с другом. Никакие экзотические структуры невозможны на 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- или 61-сферах. Некоторые сферы более высоких измерений имеют только две возможные дифференцируемые структуры, другие - тысячи. Существуют ли экзотические 4-сферы, и если да, то сколько - вопрос нерешенный.

Классификация

Моноид гладких структур на n-сферах - это совокупность ориентированных гладких n-многообразий, гомеоморфных n-сфере с точностью до ориентации -сохраняющий диффеоморфизм. Операция моноида - это связная сумма. При условии $n ≠ 4 {\ displaystyle n \ neq 4}$ ${\ displaystyle n \ neq 4}$ этот моноид является группой и изоморфен группе $Θ n {\ displaystyle \ Theta _ {n}}$ $\ Theta _ {n}$ классов h-кобордизмов ориентированных гомотопических n-сфер, который является конечным и абелевым. В размерности 4 о моноиде гладких сфер почти ничего не известно, за исключением того факта, что он конечен или счетно бесконечен и абелев, хотя предполагается, что он бесконечен; см. раздел Глюковские скрутки. Все гомотопические n-сферы гомеоморфны n-сфере согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре, доказанной Стивеном Смейлом в размерностях больше 4, Майкл Фридман в размерностях 4 и Григорий Перельман в размерности 3. В размерности 3 Эдвин Э. Моис доказал, что каждое топологическое многообразие имеет по существу уникальную гладкую структуру (см. теорему Моиза ), поэтому моноид гладких структур на 3-сфере тривиален.

Параллелизуемые многообразия

Группа $Θ n {\ displaystyle \ Theta _ {n}}$ $\ Theta _ {n}$ имеет циклическую подгруппу

b P n + 1 { \ displaystyle bP_ {n + 1}}

{\ displaystyle bP_ {n + 1}}

, представленный n-сферами, которые ограничивают распараллеливаемые многообразия. Структуры $b P n + 1 {\ displaystyle bP_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle bP_ {n + 1}}$ и частного

Θ n / b P n + 1 {\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}

\ Theta_n / bP_ {n + 1}

описаны отдельно в статье (Kervaire Milnor 1963), которая оказала влияние на развитие теория хирургии. Фактически, эти вычисления могут быть сформулированы на современном языке в терминах точной последовательности операций, как указано здесь.

Группа $b P n + 1 {\ displaystyle bP_ {n +1}}$ ${\ displaystyle bP_ {n + 1}}$ является циклической группой и является тривиальной или порядка 2, за исключением случая $n = 4 k + 3 {\ displaystyle n = 4k + 3}$ ${\ displaystyle n = 4k +3}$ в в этом случае он может быть большим, с порядком, связанным с числами Бернулли. Это тривиально, если n четно. Если n равно 1 по модулю 4, он имеет порядок 1 или 2; в частности, он имеет порядок 1, если n равно 1, 5, 13, 29 или 61, и Уильям Браудер (1969) доказал, что он имеет порядок 2, если $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ mod 4 не имеет формы $2 k - 3 {\ displaystyle 2 ^ {k} -3}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k} -3}$ . Из теперь почти полностью решенной проблемы инварианта Кервера следует, что он имеет порядок 2 для всех n больше 125; дело $n = 125 {\ displaystyle n = 125}$ ${\ displaystyle n = 125}$ все еще открыто. Порядок $b P 4 k {\ displaystyle bP_ {4k}}$ ${ \ displaystyle bP_ {4k}}$ для $k ≥ 2 {\ displaystyle k \ geq 2}$ ${\ displaystyle k \ geq 2}$ равен

2 2 k - 2 (2 2 k - 1 - 1) B, {\ displaystyle 2 ^ {2k-2} (2 ^ {2k-1} -1) B,}

{\ displayst yle 2 ^ {2k-2} (2 ^ {2k-1} -1) B,}

где B числитель $4 B 2 k / k {\ displaystyle 4B_ {2k} / k}$ ${\ displaystyle 4B_ {2k} / k}$ и $B 2 k {\ displaystyle B_ {2k}}$ $B_{{2k}}$ - это Число Бернулли. (Формула в топологической литературе немного отличается, поскольку топологи используют другое соглашение для именования чисел Бернулли; в этой статье используется соглашение теоретиков чисел.)

Карта между частными

Факторная группа $Θ n / b P n + 1 {\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}$ $\ Theta_n / bP_ {n + 1}$ имеет описание в терминах стабильных гомотопических групп сфер по модулю образ J-гомоморфизма ; это либо частное, либо индекс 2. Точнее, существует инъективное отображение

Θ n / b P n + 1 → π n S / J {\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1 } \ to \ pi _ {n} ^ {S} / J \,}

\ Theta_n / bP_ {n + 1} \ to \ pi_n ^ S / J \,

где $π n S {\ displaystyle \ pi _ {n} ^ {S}}$ $\ pi _ {n} ^ {S}$ - это n-я стабильная гомотопическая группа сфер, J - образ J-гомоморфизма. Как и в случае с $b P n + 1 {\ displaystyle bP_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle bP_ {n + 1}}$ , изображение J является циклической группой и является тривиальным или вторым порядком, за исключением случая $n = 4 k + 3 {\ displaystyle n = 4k + 3}$ ${\ displaystyle n = 4k +3}$ , в этом случае он может быть большим, а его порядок связан с числами Бернулли. Фактор-группа $π n S / J {\ displaystyle \ pi _ {n} ^ {S} / J}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n} ^ {S} / J}$ является «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер, и соответственно $Θ n / b P n + 1 {\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1}}$ $\ Theta_n / bP_ {n + 1}$ - сложная часть экзотических сфер, но почти полностью сводится к вычислению гомотопических групп сфер. Карта является либо изоморфизмом (изображение представляет собой всю группу), либо инъективной картой с индексом 2. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует n-мерное оснащенное многообразие с инвариантом Кервера 1, которое известно как проблема инварианта Кервера. Таким образом, коэффициент 2 при классификации экзотических сфер зависит от проблемы инварианта Кервера.

По состоянию на 2012 год проблема инварианта Кервера почти полностью решена, остается открытым только случай $n = 126 {\ displaystyle n = 126}$ ${\ displaystyle n = 126}$ ; подробности см. в этой статье. В первую очередь это работа Браудера (1969), который доказал, что такие многообразия существуют только в размерности $n = 2 j - 2 {\ displaystyle n = 2 ^ {j} -2}$ ${\ displaystyle n = 2 ^ {j} -2}$ и Hill, Hopkins Ravenel (2016), которые доказали отсутствие таких многообразий для измерения $254 = 2 8–2 {\ displaystyle 254 = 2 ^ {8} -2}$ ${\ displaystyle 254 = 2 ^ {8} -2}$ и выше. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62, но размерность 126 открыта, и ни одно многообразие не было построено или опровергнуто.

Порядок n
Порядок группы Θ n приведен в этой таблице (последовательность A001676 в OEIS ) из (Kervaire Milnor 1963) (за исключением того, что запись для n = 19 в их статье неверна в два раза; см. Исправление в томе III, стр. 97 собрания сочинений Милнора).
Размер n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
порядок Θ n 1 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 523264 24
bPn + 1 1 1 1 1 1 1 28 1 2 1 992 1 1 1 8128 1 2 1 261632 1
Θn/ bP n + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 × 2 6 1 1 3 2 2 2 2 × 2 × 2 8 × 2 2 24
πn/ J 1 2 1 1 1 2 1 2 2 × 2 6 1 1 3 2 × 2 2 2 2 × 2 ×2 8 × 2 2 24
индекс – 2 – – – 2 – – – – – – – 2 – – – – – –
Обратите внимание, что для dim n = 4k - 1, тогда Θ n равны 28 = 2 (2-1), 992 = 2 (2-1), 16256 = 2 (2-1) и 523264 = 2 (2-1). Дальнейшие записи в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических групп сфер.

. Вычисляя стабильные гомотопические группы сфер, Wang Xu (2017) доказывает что сфера S имеет уникальную гладкую структуру, и это последняя нечетномерная сфера - единственными являются S, S, S и S.

Явные примеры экзотических сфер

Когда я наткнулся на такой пример в середине 50-х, я был очень озадачен и не знал, что с ним делать. Сначала мне показалось, что я нашел контрпример к обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности семь. Но тщательное изучение показало, что многообразие действительно гомеоморфно S. Таким образом, существует дифференцируемая структура на S, не диффеоморфная стандартной.

Джон Милнор (2009, с.12)

Одним из первых примеров экзотической сферы, найденной Милнором (1956, раздел 3), был следующий: Возьмите две копии B × S, каждая с границей S × S, и склеиваем их вместе, идентифицируя (a, b) на границе с (a, aba), (где мы идентифицируем каждый S с группой единиц кватернионов ). Полученное многообразие имеет естественную гладкую структуру и гомеоморфно S, но не диффеоморфно S. Милнор показал, что это не граница любого гладкого 8-многообразия с нулевым 4-м числом Бетти и не имеет обращающего ориентацию диффеоморфизма к самому себе. ; любое из этих свойств означает, что это не стандартная 7-сфера. Милнор показал, что это многообразие имеет функцию Морса только с двумя критическими точками, обе невырожденные, что означает, что оно топологически является сферой.

Как показано Эгбертом Брискорном (1966, 1966b) (см. Также (Hirzebruch Mayer 1968)), пересечение комплексное многообразие точек в C, удовлетворяющее

a 2 + b 2 + c 2 + d 3 + e 6 k - 1 = 0 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {3} + e ^ {6k-1} = 0 \}

a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 3 + e ^ {6k-1} = 0 \

с небольшой сферой вокруг начала координат для k = 1, 2,..., 28 дает все 28 возможных гладких структур на ориентированной 7-сфере. Подобные многообразия называются сферами Брискорна.

Скрученными сферами

Учитывая (сохраняющий ориентацию) диффеоморфизм f: S → S, склейка границ двух копий стандартного диска D вместе с помощью f дает многообразие называется скрученной сферой (с твистом f). Это гомотопически эквивалентно стандартной n-сфере, потому что отображение склейки гомотопно тождеству (сохраняющему ориентацию диффеоморфизму, следовательно, степень 1), но в общем случае не диффеоморфно стандартной сфере. (Milnor 1959b) Задавая $Γ n {\ displaystyle \ Gamma _ {n}}$ $\ Gamma_n$ как группу скрученных n-сфер (под суммой соединения), мы получаем точная последовательность

π 0 Diff + ⁡ (D n) → π 0 Diff + ⁡ (S n - 1) → Γ n → 0. {\ displaystyle \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (D ^ {n}) \ to \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (S ^ {n-1}) \ to \ Gamma _ {n} \ to 0.}

{\ displaystyle \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (D ^ {n}) \ to \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (S ^ {n-1}) \ to \ Gamma _ {n} \ to 0.}

Для n>5, каждая экзотическая n-сфера диффеоморфна скрученной сфере, результат, доказанный Стивеном Смейлом, можно рассматривать как следствие теоремы о h-кобордизме. (Напротив, в настройке кусочно-линейной крайнее левое отображение находится на переходе радиального расширения : каждая кусочно-линейно-скрученная сфера является стандартной.) Группа Γ n скрученных сфер всегда изоморфна группе Θ n. Обозначения различны, потому что сначала не было известно, что они одинаковы для n = 3 или 4; например, случай n = 3 эквивалентен гипотезе Пуанкаре.

В 1970 году Жан Серф доказал теорему о псевдоизотопии, из которой следует, что $π 0 Diff + ⁡ (D n) { \ displaystyle \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (D ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (D ^ { n})}$ - это тривиальная группа при условии $n ≥ 6 {\ displaystyle n \ geq 6}$ $n \ geq 6$ , поэтому $Γ n ≃ π 0 Diff + ⁡ (S n - 1) {\ displaystyle \ Gamma _ {n} \ simeq \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+ } (S ^ {n-1})}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {n} \ simeq \ pi _ {0} \ operatorname {Diff} ^ {+} (S ^ {n-1})}$ при условии $n ≥ 6 {\ displaystyle n \ geq 6}$ $n \ geq 6$ .

Applications

Если M - кусочно линейное многообразие, то проблема поиска совместимых гладких структур на M зависит от знания групп Γ k = Θ k. Точнее, препятствия к существованию любой гладкой структуры лежат в группах H k + 1 (M, Γ k) для различных значений k, а если такая гладкая структура существует, то все такие гладкие структуры можно классифицировать с помощью групп H k (M, Γ k). В частности, группы Γ k обращаются в нуль, если k < 7, so all PL manifolds of dimension at most 7 have a smooth structure, which is essentially unique if the manifold has dimension at most 6.

Следующие конечные абелевы группы по существу одинаковы:

Группа Θ n классов h-кобордизмов ориентированных гомотопий n -сферы.
Группа классов h-кобордизмов ориентированных n-сфер.
Группа Γ n скрученных ориентированных n-сфер.
Гомотопическая группа π n (PL / DIFF)
Если n ≠ 3, гомотопия π n (TOP / DIFF) (если n = 3, эта группа имеет порядок 2; см. инвариант Кирби – Зибенмана ).
Группа гладких структур ориентированной n-мерной PL-сферы.
Если n 4, группа гладких структур ориентированной топологической n-сферы. сфера.
Если n ≠ 5, группа компонентов группы всех сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S.

4-мерных экзотических сфер и скручиваний Глюка

В 4-х измерениях это Неизвестно, существуют ли на 4-сфере какие-либо экзотические гладкие структуры. Утверждение о том, что их не существует, известно как «гипотеза Пуанкаре о гладкости», и обсуждается Майклом Фридманом, Робертом Гомпфом и Скоттом Моррисоном и др. (2010), которые говорят, что это считается ложью.

Некоторыми кандидатами, предложенными для экзотических 4-сфер, являются сферы Каппелла – Шейнсона (Сильвен Каппелл и Джулиус Шейнсон (1976)) и те получено с помощью Глюк повороты (Глюк 1962). Твист-сферы Глюка строятся путем вырезания трубчатой окрестности двумерной сферы S в S и ее склеивания обратно с помощью диффеоморфизма ее границы S × S. Результат всегда гомеоморфен S. Многие случаи за прошедшие годы были исключены как возможные контрпримеры к гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре. Например, Кэмерон Гордон (1976), Хосе Монтесинос (1983), Стивен П. Плотник (1984), Гомпф (1991), Хабиро, Марумото и Ямада (2000), Селман Акбулут (2010), Гомпф (2010), Ким и Ямада (2017).

См. Также

Ссылки

Акбулут, Селман (2010), «Гомотопические сферы Каппелла – Шейнсона являются стандартными», Annals of Mathematics, 171 (3): 2171–2175, arXiv : 0907.0136, doi : 10.4007 / annals.2010.171.2171
Брискорн, Эгберт В. (1966), «Примеры единственного нормального комплексные пространства, являющиеся топологическими многообразиями ", Proceedings of the National Academy of Sciences, 55(6): 1395–1397, Bibcode : 1966PNAS... 55.1395B, doi : 10.1073 / pnas.55.6.1395, MR 0198497, PMC 224331, PMID 1657863 6
Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Math., 2 (1): 1–14, Bibcode : 1966InMat... 2.... 1B, doi : 10.1007 / BF01403388, MR 0206972
Уильям Браудер (1969), «Инвариант Кервера оснащенных многообразий и его обобщение», Annals of Mathematics, 90(1): 157 –186, doi : 10.2307 / 1970686, JSTOR 1970686, MR 0251736
Cappell, Sylvain E. ; Шанезон, Джулиус Л. (1976), «Некоторые новые четырехмерные многообразия», Annals of Mathematics, 104 (1): 61–72, doi : 10.2307 / 1971056, JSTOR 1971056
Фридман, Майкл ; Гомпф, Роберт; Моррисон, Скотт; Уокер, Кевин (2010), «Человек и машина думают о гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре», Квантовая топология, 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177, doi : 10.4171 / qt / 5
Глюк, Герман (1962), «Вложение двух сфер в четырехмерную», Транзакции Американского математического общества, 104 (2): 308–333, doi : 10.2307 / 1993581, JSTOR 1993581, MR 0146807
Хьюз, Марк; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги (2018), Глюк: Twists Of S диффеоморфны S, arXiv : 1804.09169v1
Gompf, Robert E (1991), «Killing the Akbulut-Kirby 4 -сфера, имеющая отношение к проблемам Андрес-Кертиса и Шенфлиса », Топология, 30: 123–136, doi : 10.1016 / 0040-9383 (91) 90036-4
Гомпф, Роберт Э. (2010), «Больше сфер Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Алгебраическая и геометрическая топология, 10(3): 1665–1681, arXiv : 0908.1914, doi : 10.2140 / agt.2010.10.1665
Гордон, Кэмерон МакА. (1976), «Узлы в 4-сфере», Commentarii Mathematici Helvetici, 51: 585–596, doi : 10.1007 / BF02568175
Хабиро, Кадзуо; Марумото, Ёсихико; Ямада, Юичи (2000), «Хирургия Глюка и обрамленные связи в 4-многообразиях», Серия по узлам и всему, World Scientific, 24 : 80–93, ISBN 978-9810243401
Hill, Michael A.; Хопкинс, Майкл Дж. ; Равенел, Дуглас К. (2016) [Впервые опубликовано как arXiv 2009]. «Об отсутствии элементов инвариантной единицы Кервера». Анналы математики. 184 (1): 1–262. arXiv : 0908.3724. doi : 10.4007 / annals.2016.184.1.1. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Хирцебрух, Фридрих; Майер, Карл Хайнц (1968), O (n) -Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten, Lecture Notes in Mathematics, 57, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0074355, ISBN 978-3-540-04227-3, MR 0229251 Эта книга описывает работу Брискорна, связывающую экзотические сферы с особенностями сложных многообразий. 444>Кервер, Мишель А. ; Милнор, Джон У. (1963). «Группы гомотопических сфер: I» (PDF). Анналы математики. 77(3): 504–537. doi : 10.2307 / 1970128. JSTOR 1970128. MR 0148075.- Эта статья описывает структуру группы гладких структур на n-сфере для n>4. К сожалению, обещанная статья "Группы гомотопических сфер: II" так и не появилась, но лекционные заметки Левина содержат материал, который, как можно было ожидать, должен содержать
Ким, Мин Хун; Ямада, Шохей (2017), Идеальные классы и гомотопические 4-сферы Каппелла-Шейнсона, arXiv : 1707.03860v1
Левин, Джером П. (1985), "Лекции по группам гомотопических сфер », Алгебраическая и геометрическая топология, Lecture Notes in Mathematics, 1126, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi : 10.1007 / BFb0074439, ISBN 978-3-540-15235-4, MR 8757031
Милнор, Джон У. (1956), «На коллекторах, гомеоморфных 7-сфера », Annals of Mathematics, 64(2): 399–405, doi : 10.2307 / 1969983, JSTOR 1969983, MR 0082103, S2CID 18780087
Милнор, Джон У. (1959), «Различия в различных вариациях и различных структурах сфер», Bulletin de la Société Mathématique de France, 87: 439–444, doi : 10.24033 / bsmf.1538, MR 0117744
Милнор, Джон У. (1959b), «Дифференцируемые структуры на сферах», American Journal of Mathematics, 81(4): 962–972, doi : 10.2307 / 2372998, JSTOR 2372998, MR 0110107
Милнор, Джон (2000), «Классификация $(n - 1) {\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -connected $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ -мерных многообразий и открытие экзотических сфер », в Каппелл, Сильвен ; Раники, Эндрю ; Розенберг, Джонатан (ред.), Surveys on Survey on Surgery Theory: Volume 1, Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, стр. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528.
Милнор, Джон Уиллард (2009), «Пятьдесят лет назад: топология многообразий в 50-х и 60-х годах» (PDF), в Mrowka, Tomasz S. ; Озсват, Питер С. (ред.), Низкоразмерная топология. Конспект лекций 15-й летней школы выпускников Математического института Парк-Сити (PCMI), проведенной в Парк-Сити, штат Юта, летом 2006 г., IAS / Park City Math. Сер., 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
Милнор, Джон У. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 58(6): 804– 809
Монтесинос, Хосе М. (1983), «О близнецах в четырехмерной сфере I» (PDF), The Quarterly Journal of Mathematics, 34(6): 171– 199, doi : 10.1093 / qmath / 34.2.171
Плотник, Стивен П. (1984), Гордон, Кэмерон МакА. (ред.), Волокнистые узлы в $S 4 {\ displaystyle S ^ {4}}$ $S ^ 4$ - скручивание, вращение, вращение, хирургия и ветвление, Американское математическое общество, Contemporary Mathematics Volume 35, pp. 437–459, ISBN 978-0-8218-5033-6.
Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-стержня в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics, 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184, doi : 10.4007 / annals.2017.186.2.3, MR 3702672.
Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994 ], Энциклопедия математики, EMS Press

Внешние ссылки

Экзотические сферы на Атласе многообразий
Домашняя страница экзотических сфер на домашней странице Эндрю Раницки. Различные исходные материалы, относящиеся к экзотическим сферам.
Анимация экзотических 7-сфер Видео с презентации Найлза Джонсона на Второй конференции Абеля в честь Джон Милнор.
Конструкция Глюка на Атласе Манифольдов

Размер n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
порядок Θ n	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
bPn + 1	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
Θn/ bP n + 1	1	1	1	1	1	1	1	2	2 × 2	6	1	1	3	2	2	2	2 × 2 × 2	8 × 2	2	24
πn/ J	1	2	1	1	1	2	1	2	2 × 2	6	1	1	3	2 × 2	2	2	2 × 2 ×2	8 × 2	2	24
индекс	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–