L-теория

редактировать

В математике, алгебраической L-теории K-теория квадратичных форм ; термин был придуман К. TC Wall, где L используется как буква после K. Алгебраическая L-теория, также известная как «эрмитова K-теория», важна в теории хирургии.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Четное измерение
- 1.2 Нечетное измерение
2 Примеры и применения
- 2.1 Целые числа
3 Ссылки

Определение

Можно определить L-группы для любого кольца с помощью инволюция R: квадратичные L-группы $L ∗ (R) {\ displaystyle L _ {*} (R)}$ $L _ {*} (R)$ (Wall) и симметричные L-группы $L ∗. (R) {\ displaystyle L ^ {*} (R)}$ $L ^ { *} (R)$ (Мищенко, Раницки).

Четное измерение

Четномерные L-группы $L 2 k (R) {\ displaystyle L_ {2k} (R)}$ $L_{{2k}}(R)$ определяются как группы Витта ε-квадратичных форм над кольцом R с $ϵ = (- 1) k {\ displaystyle \ epsilon = (- 1) ^ {k}}$ $\ epsilon = (- 1) ^ {k}$ . Точнее,

L 2 k (R) {\ displaystyle L_ {2k} (R)}

L_{{2k}}(R)

абелева группа классов эквивалентности $[ψ] {\ displaystyle [\ psi]}$ $[\ psi]$ невырожденных ε-квадратичных форм $ψ ∈ Q ϵ (F) {\ displaystyle \ psi \ in Q _ {\ epsilon} (F)}$ $\ psi \ in Q _ {\ epsilon} (F)$ над R, где лежащий в основе R -модули F конечно порождены свободными. Отношение эквивалентности задается стабилизацией относительно гиперболических ε-квадратичных форм :

[ψ] = [ψ ′] ⟺ n, n ′ ∈ N 0: ψ ⊕ H (- 1) k (R) n ≅ ψ ′ ⊕ H (- 1) К (R) n ′ {\ displaystyle [\ psi] = [\ psi '] \ Longleftrightarrow n, n' \ in {\ mathbb {N}} _ {0}: \ psi \ oplus H _ {(- 1) ^ {k}} (R) ^ {n} \ cong \ psi '\ oplus H _ {(- 1) ^ {k}} (R) ^ {n'}}

[\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}

Сложение в $L 2 k (R) {\ displaystyle L_ {2k} (R)}$ $L_{{2k}}(R)$ определяется как

[ψ 1] + [ψ 2]: = [ψ 1 ⊕ ψ 2]. {\ displaystyle [\ psi _ {1}] + [\ psi _ {2}]: = [\ psi _ {1} \ oplus \ psi _ {2}].}

[\ psi _ {1}] + [ \ psi _ {2}]: = [\ psi _ {1} \ oplus \ psi _ {2}].

Нулевой элемент представлен $ЧАС (- 1) k (R) n {\ displaystyle H _ {(- 1) ^ {k}} (R) ^ {n}}$ $H _ {(- 1) ^ {k}} (R) ^ {n}$ для любого $n ∈ N 0 { \ displaystyle n \ in {\ mathbb {N}} _ {0}}$ $n \ in {\ mathbb {N}} _ {0}$ . Обратное к $[ψ] {\ displaystyle [\ psi]}$ $[\ psi]$ равно $[- ψ] {\ displaystyle [- \ psi]}$ $[- \ psi]$ .

Нечетное измерение

Определение нечетномерных L-групп сложнее; дополнительные детали и определение нечетномерных L-групп можно найти в ссылках, упомянутых ниже.

Примеры и применения

L-группы группы $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - это L-группы $L ∗ (Z [π]) {\ displaystyle L _ {*} (\ mathbf {Z} [\ pi])}$ $L _ {*} (\ mathbf {Z} [\ pi])$ из группового кольца $Z [π] {\ displaystyle \ mathbf {Z} [\ pi]}$ $\ mathbf {Z} [\ pi]$ . В приложениях к топологии $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - фундаментальная группа $π 1 (X) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ $\ pi _ {1} (X)$ из пробела $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Квадратичные L-группы $L ∗ (Z [π]) {\ displaystyle L _ {*} (\ mathbf {Z} [\ pi])}$ $L _ {*} (\ mathbf {Z} [\ pi])$ играют центральную роль в классификации хирургии гомотопические типы $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерных многообразий размерности $n>4 {\ displaystyle n>4}$ $n>4$ , и в формулировке Гипотеза Новикова.

Различие между симметричными L-группами и квадратичными L-группами, обозначенное верхним и нижним индексами, отражает их использование в групповых гомологиях и когомологиях. групповые когомологии $H ∗ { \ displaystyle H ^ {*}}$ $H ^ {*}$ циклической группы $Z 2 {\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ $\ mathbf {Z} _ {2}$ имеет дело с фиксированными точками $Z 2 {\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ $\ mathbf {Z} _ {2}$ -action, в то время как гомология группы $H ∗ {\ displaystyle H _ {*}}$ $H_{*}$ имеет дело с орбитами $Z 2 {\ disp Laystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$ $\ mathbf {Z} _ {2}$ - действие; сравните $XG {\ displaystyle X ^ {G}}$ $X ^ {G}$ (фиксированные точки) и $XG = X / G {\ displaystyle X_ {G} = X / G}$ $X_ {G} = X / G$ (орбиты, частное) для обозначения верхнего / нижнего индекса.

Квадратичные L-группы: $L n (R) {\ displaystyle L_ {n} (R)}$ $L_ {n} (R)$ и симметричные L-группы: $L n ( R) {\ displaystyle L ^ {n} (R)}$ $L ^ {n} (R)$ связаны картой симметризации $L n (R) → L n (R) {\ displaystyle L_ {n} (R) \ to L ^ {n} (R)}$ $L_ {n} (R) \ to L ^ {n} (R)$ , который является изоморфизмом по модулю 2-кручения и который соответствует поляризационным тождествам.

Квадратичная и симметричная L-группы являются 4- кратно периодическая (комментарий Раницки, стр. 12, о непериодичности симметрических L-групп относится к другому типу L-групп, определенных с помощью «коротких комплексов»).

В связи с приложениями к классификации многообразий существуют обширные вычисления квадратичных $L {\ displaystyle L}$ $L$ -групп $L * (Z [π]) {\ Displaystyle L _ {*} (\ mathbf {Z} [\ pi])}$ $L _ {*} (\ mathbf {Z} [\ pi])$ . Для конечных $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ используются алгебраические методы, а для бесконечных $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

в основном геометрические методы (например, управляемая топология). в общем, можно определить L-группы для любой аддитивной категории с цепной двойственностью, как в Раницки (раздел 1).

Целые числа

односвязные L-группы также являются L-группами целых чисел, так как $L (e): = L (Z [e ]) = L (Z) {\ displaystyle L (e): = L (\ mathbf {Z} [e]) = L (\ mathbf {Z})}$ $L (e): = L (\ mathbf {Z} [e]) = L (\ mathbf { Z})$ для обоих $L { \ displaystyle L}$ $L$ = $L ∗ {\ displaystyle L ^ {*}}$ $L ^ { *}$ или $L ∗. {\ displaystyle L _ {*}.}$ $L _ {*}.$ Для квадратичных L-групп это хирургические препятствия для односвязной хирургии.

Квадратичные L-группы целых чисел:

L 4 k (Z) = Z подпись / 8 L 4 k + 1 (Z) = 0 L 4 k + 2 (Z) = Z / 2 Arf инвариант L 4 k + 3 (Z) = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} L_ {4k} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} {\ text {подпись}} / 8 \\ L_ {4k + 1} (\ mathbf {Z}) = 0 \\ L_ {4k + 2} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} / 2 {\ text {Arf инвариант }} \\ L_ {4k + 3} (\ mathbf {Z}) = 0. \ end {align}}}

{\ begin {align} L_ {4k} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} {\ text {подпись}} / 8 \\ L_ {4k + 1} (\ mathbf {Z}) = 0 \\ L_ {4k + 2} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} / 2 {\ text {Arf invariant}} \\ L_ {4k + 3} (\ mathbf { Z}) = 0. \ end {align}}

В дважды четном измерении (4k) квадратичные L-группы определить подпись ; в отдельно четном измерении (4k + 2) L-группы обнаруживают инвариант Arf (топологически инвариант Кервера ).

Симметричные L-группы целых чисел:

L 4 k (Z) = Z сигнатура L 4 k + 1 (Z) = Z / 2 инвариант де Рама L 4 k + 2 (Z) = 0 L 4 К + 3 (Z) = 0. {\ Displaystyle {\ begin {align} L ^ {4k} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} {\ text {подпись}} \\ L ^ {4k + 1} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} / 2 {\ text {инвариант де Рама}} \\ L ^ {4k + 2} (\ mathbf {Z}) = 0 \\ L ^ {4k + 3} (\ mathbf {Z}) = 0. \ end {align}}}

{\ begin {align} L ^ {4k} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} {\ text {подпись}} \\ L ^ {4k +1} (\ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} / 2 {\ text {инвариант де Рама}} \\ L ^ {4k + 2} (\ mathbf {Z}) = 0 \\ L ^ {4k + 3} (\ mathbf {Z}) = 0. \ end {align}}

В дважды четном измерении (4k) симметричные L-группы, как и квадратичные L-группы, обнаружение сигнатуры; в размерности (4k + 1) L-группы обнаруживают инвариант де Рама.

Ссылки

Lück, Wolfgang (2002), «Основное введение в теорию хирургии», Топология многомерных многообразий, № 1, 2 (Триест, 2001) (PDF), ICTP Lect. Примечания, 9, Abdus Salam Int. Cent. Теорет. Phys., Trieste, pp. 1–224, MR 1937016
Ranicki, Andrew A. (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF), Cambridge Tracts in Математика, 102, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42024-2, MR 1211640
Wall, CTC (1999) [1970], Раники, Эндрю (ред.), Хирургия компактных многообразий (PDF), Mathematical Surveys and Monographs, 69 ( 2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388