Теория хирургии

редактировать

В математике, особенно в геометрической топологии, теория хирургии - это набор методов, используемых для создания одного конечномерного многообразия из другого «контролируемым» способом, введенный Джоном Милнором ( 1961). Милнор назвал эту технику хирургией, а Эндрю Уоллес назвал ее сферической модификацией. «Хирургия» на дифференцируемом многообразии М размерности, может быть описана как удаление вложенной сферы размерности р из М. Первоначально разработанные для дифференцируемых (или гладких ) многообразий, методы хирургии также применимы к кусочно линейным (PL-) и топологическим многообразиям. ${\ Displaystyle п = п + д + 1}$ ${\ Displaystyle п = п + д + 1}$

Хирургия заключается в вырезании частей коллектора и замене их частью другого коллектора, совмещая их вдоль разреза или границы. Это тесно связано с разложением корпуса ручки, но не идентично ему.

С технической точки зрения идея состоит в том, чтобы начать с хорошо изученного многообразия M и провести на нем операцию, чтобы получить многообразие M ′, обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы влияние на гомологии, гомотопические группы или другие инварианты многообразие известно. Относительно простой аргумент с использованием теории Морса показывает, что одно многообразие может быть получено из другого посредством последовательности сферических модификаций тогда и только тогда, когда эти два принадлежат одному и тому же классу кобордизмов.

Классификация экзотических сфер по Мишель Керверу и Милнору ( 1963) привел к появлению теории перестроек в качестве основного инструмента в многомерной топологии.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Хирургия на коллекторе
- 1.1 Примеры
- 1.2 Воздействие на гомотопические группы и сравнение с прикреплением клеток
2 Приложение к классификации коллекторов
- 2.1 Хирургический подход
- 2.2 Наборы структур и точная последовательность операций
3 См. Также
4 цитаты
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Хирургия на коллекторе

Если X, Y - многообразия с краем, то краем многообразия-произведения является

{\ displaystyle \ partial (X \ times Y) = (\ partial X \ times Y) \ cup (X \ times \ partial Y).}

{\ displaystyle \ partial (X \ times Y) = (\ partial X \ times Y) \ cup (X \ times \ partial Y).}

Основное наблюдение, которое оправдывает операцию, состоит в том, что пространство можно понимать либо как границу, либо как границу. В символах ${\ Displaystyle S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ displaystyle S ^ {p} \ times D ^ {q}}$ ${\ displaystyle S ^ {p} \ times D ^ {q}}$

{\ displaystyle \ partial \ left (S ^ {p} \ times D ^ {q} \ right) = S ^ {p} \ times S ^ {q-1} = \ partial \ left (D ^ {p + 1 } \ times S ^ {q-1} \ right)}

{\ displaystyle \ partial \ left (S ^ {p} \ times D ^ {q} \ right) = S ^ {p} \ times S ^ {q-1} = \ partial \ left (D ^ {p + 1 } \ times S ^ {q-1} \ right)}

где - q -мерный диск, т. е. множество точек в, которые находятся на расстоянии одного или меньше от заданной фиксированной точки (центра диска); например, то, является гомеоморфно единичному интервалу, в то время как это круг вместе с точками в его интерьере. ${\ displaystyle D ^ {q}}$ $D ^ q$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ displaystyle D ^ {1}}$ ${\ displaystyle D ^ {1}}$ ${\ displaystyle D ^ {2}}$ $D ^ {2}$

Теперь, учитывая многообразие M размерности и вложения, определим другое n -мерное многообразие как ${\ Displaystyle п = п + д}$ $п = р + д$ ${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие S ^ {p} \ times D ^ {q} \ to M}$ ${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие S ^ {p} \ times D ^ {q} \ to M}$ ${\ displaystyle M '}$ $М '$

{\ displaystyle M ': = \ left (M \ setminus \ operatorname {int} (\ operatorname {im} (\ phi)) \ right) \; \ cup _ {\ phi | _ {S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}} \ left (D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} \ right).}

{\ displaystyle M ': = \ left (M \ setminus \ operatorname {int} (\ operatorname {im} (\ phi)) \ right) \; \ cup _ {\ phi | _ {S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}} \ left (D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} \ right).}

Один говорит, что многообразие M 'производится с помощью операции вырезания и вклеивания, или по р - хирургию, если один хочет, чтобы указать число р. Строго говоря, M ′ - многообразие с углами, но есть канонический способ их сгладить. Обратите внимание, что подмногообразие, которое было заменено в M, было той же размерности, что и M (оно имело коразмерность 0). ${\ displaystyle S ^ {p} \ times D ^ {q}}$ ${\ displaystyle S ^ {p} \ times D ^ {q}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$

Хирургия тесно связана с прикреплением ручки (но не то же самое). Для ( n + 1) -многообразия с краем ( L, ∂ L) и вложения: S ^p × D ^q → ∂ L, где n = p + q, определим другое ( n + 1) -многообразие с краем L ′ к ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$

{\ displaystyle L ': = L \; \ cup _ {\ phi} \ left (D ^ {p + 1} \ times D ^ {q} \ right).}

{\ displaystyle L ': = L \; \ cup _ {\ phi} \ left (D ^ {p + 1} \ times D ^ {q} \ right).}

Многообразие L ′ получается «присоединением ( p + 1) -ручки», причем ∂ L ′ получается из ∂ L с помощью p -хирургии

{\ displaystyle \ partial L '= (\ partial L- \ operatorname {int ~ im} \ phi) \; \ cup _ {\ phi | _ {S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}} \ left (D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} \ right).}

{\ displaystyle \ partial L '= (\ partial L- \ operatorname {int ~ im} \ phi) \; \ cup _ {\ phi | _ {S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}} \ left (D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} \ right).}

Перестройка на M не только порождает новое многообразие M ′, но и кобордизм W между M и M ′. След от операции является кобордизмом ( Вт ; М, М '), с

{\ Displaystyle W: = (M \ times I) \; \ чашка _ {\ phi \ times \ {1 \}} \ left (D ^ {p + 1} \ times D ^ {q} \ right)}

{\ Displaystyle W: = (M \ times I) \; \ чашка _ {\ phi \ times \ {1 \}} \ left (D ^ {p + 1} \ times D ^ {q} \ right)}

( n + 1) -мерное многообразие с краем ∂ W = M ∪ M ′, полученное из произведения M × I присоединением ( p + 1) -ручки D ^{p +1} × D ^q.

Хирургия симметрична в том смысле, что многообразие M может быть повторно получено из M ′ с помощью ( q - 1) -хирургии, след которой совпадает со следом исходной хирургии, с точностью до ориентации.

В большинстве приложений многообразие M поставляется с дополнительной геометрической структурой, такой как карта некоторого эталонного пространства или дополнительные данные связки. Затем нужно, чтобы хирургический процесс наделил M 'такой же дополнительной структурой. Например, стандартным инструментом в теории хирургии является операция на картах нормалей : такой процесс меняет карту нормалей на другую карту нормалей в том же классе бордизмов.

Примеры

Хирургия на круге рисунок 1
Согласно приведенному выше определению, операция на окружности состоит из вырезания копии S ⁰ × D ¹ и склеивания в D ¹ × S ⁰. Рисунки на рис. 1 показывают, что результатом этого является либо (i) снова S ¹, либо (ii) две копии S ¹.
Рис. 2а Рис. 2b
Хирургия на 2-й сфере
В этом случае возможностей больше, так как мы можем начать с вырезания либо S ¹ × D ^1, либо S ⁰ × D ².
1. S ¹ × D ¹: Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останутся два диска. Мы должны снова склеить S ⁰ × D ^2, то есть два диска, и ясно, что в результате мы получим две непересекающиеся сферы. (Рис. 2а) Рис. 2в. Эта фигура не может быть встроена в 3-мерное пространство.
2. S ⁰ × D ²: Вырезав два диска S ⁰ × D ², приклеиваем обратно в цилиндр S ¹ × D ¹. Есть два возможных результата, в зависимости от того, имеют ли наши карты склейки одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных окружностях. Если ориентации одинаковы (рис. 2b), результирующее многообразие представляет собой тор S ¹ × S ¹, но если они разные, мы получаем бутылку Клейна (рис. 2c).
Хирургия на n -сфере. Если n = p + q, то. Р -surgery на S ^п поэтому. Примеры 1 и 2 выше были частным случаем этого. ${\ displaystyle S ^ {n} = \ partial D ^ {n + 1} \ приблизительно \ partial (D ^ {p + 1} \ times D ^ {q}) = S ^ {p} \ times D ^ {q } \; \ чашка \; D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ displaystyle S ^ {n} = \ partial D ^ {n + 1} \ приблизительно \ partial (D ^ {p + 1} \ times D ^ {q}) = S ^ {p} \ times D ^ {q } \; \ чашка \; D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} \; \ cup \; D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} = S ^ {p + 1} \ раз S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} \; \ cup \; D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1} = S ^ {p + 1} \ раз S ^ {q-1}}$
Функции Морса. Предположим, что f - функция Морса на ( n + 1) -мерном многообразии, и предположим, что c - критическое значение с ровно одной критической точкой в прообразе. Если индекс этой критической точки р + 1, то уровень посаженный получаются из с помощью р -surgery. Бордизм можно идентифицировать со следом этой операции. Действительно, в некоторой координатной карте вокруг критической точки функция f имеет вид, причем, и p + q + 1 = n + 1. На рис. 3 в этой локальной карте показано многообразие M синим цветом и многообразие M ′ красным. Окрашена область между М и М 'соответствуют бордизмам Вт. На рисунке видно, что W диффеоморфно объединению ${\ Displaystyle M ': = е ^ {- 1} (с + \ varepsilon)}$ ${\ Displaystyle M ': = е ^ {- 1} (с + \ varepsilon)}$ ${\ Displaystyle M: = е ^ {- 1} (c- \ varepsilon)}$ ${\ Displaystyle M: = е ^ {- 1} (c- \ varepsilon)}$ ${\ Displaystyle W: = е ^ {- 1} ([c- \ varepsilon, c + \ varepsilon])}$ ${\ Displaystyle W: = е ^ {- 1} ([c- \ varepsilon, c + \ varepsilon])}$ ${\ displaystyle - \ Vert x \ Vert ^ {2} + \ Vert y \ Vert ^ {2}}$ $- \ Vert x \ Vert ^ {2} + \ Vert y \ Vert ^ {2}$ ${\ Displaystyle х \ in R ^ {p + 1}, y \ in R ^ {q}}$ $х \ в R ^ {{p + 1}}, у \ в R ^ {q}$
${\ displaystyle W \ cong M \ times I \ cup _ {S ^ {p} \ times D ^ {q}} D ^ {p + 1} \ times D ^ {q}}$ ${\ displaystyle W \ cong M \ times I \ cup _ {S ^ {p} \ times D ^ {q}} D ^ {p + 1} \ times D ^ {q}}$
(без учета выпрямления углов), где M × I окрашен в желтый цвет, а - в зеленый. Многообразие М ', будучи граничной компонентой W, поэтому получаются из М с помощью р -surgery. Поскольку каждый бордизм между замкнутыми многообразиями имеет функцию Морса, в которой разные критические точки имеют разные критические значения, это показывает, что любой бордизм может быть разложен на следы хирургических операций ( разложение на ручки). В частности, любое многообразие M можно рассматривать как бордизм от края ∂ M (который может быть пустым) к пустому многообразию, и поэтому его можно получить из ∂ M × I, прикрепив ручки. ${\ displaystyle D ^ {p + 1} \ times D ^ {q}}$ $D ^ {{p + 1}} \ times D ^ {q}$

Влияние на гомотопические группы и сравнение с прикреплением клеток

Интуитивно процесс перестройки - это многообразный аналог присоединения клетки к топологическому пространству, где вложение φ заменяет присоединяемое отображение. Простое присоединение ( q + 1) -ячейки к n -многообразию разрушило бы структуру многообразия по причинам размерности, поэтому его нужно утолщать, пересекая с другой ячейкой.

С точностью до гомотопии процесс перестройки вложения φ: S ^p × D ^q → M можно описать как присоединение ( p + 1) -клетки, задающее гомотопический тип следа, и отсоединение q -клетки, чтобы получить N. Необходимость процесса отделения можно понять как эффект двойственности Пуанкаре.

Точно так же, как ячейка может быть присоединена к пространству, чтобы уничтожить элемент в некоторой гомотопической группе пространства, p -хирургия на многообразии M часто может использоваться для уничтожения элемента. Однако важны два момента: во-первых, элемент должен быть представлен вложением φ: S ^p × D ^q → M (что означает вложение соответствующей сферы тривиальным нормальным расслоением ). Например, невозможно выполнить операцию на петле с изменением ориентации. Во-вторых, необходимо учитывать влияние процесса отщепления, поскольку он также может влиять на рассматриваемую гомотопическую группу. Грубо говоря, это вторая точка имеет значение только, когда р является, по меньшей мере, порядка половине размерности М. ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ пи _ {р} (М)}$ $\ alpha \ in \ pi _ {p} (М)$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ пи _ {р} (М)}$ $\ alpha \ in \ pi _ {p} (М)$

Приложение к классификации коллекторов

Происхождение и основное применение теории хирургии лежат в классификации многообразий размерности больше четырех. В общих чертах, организационные вопросы теории хирургии следующие:

Является ли X многообразием?
Является ли f диффеоморфизмом?

Более формально нужно спросить, до гомотопии ли :

Имеет ли пространство X гомотопический тип гладкого многообразия той же размерности?
Является ли гомотопическая эквивалентность f: M → N двух гладких многообразий гомотопной диффеоморфизму?

Получается, что второй («единственность») вопрос является относительной версией вопроса первого («существование») типа; таким образом, оба вопроса можно рассматривать одними и теми же методами.

Обратите внимание, что теория хирургии не дает полного набора инвариантов для этих вопросов. Вместо этого он является теоретическим препятствием : есть первичное препятствие и вторичное препятствие, называемое хирургическим препятствием, которое определяется только в том случае, если первичное препятствие исчезает, и которое зависит от выбора, сделанного при проверке того, что первичное препятствие исчезает.

Хирургический подход

В классическом подходе, разработанном Уильямом Браудером, Сергеем Новиковым, Деннисом Салливаном и CTC Wall, операция выполняется на картах нормалей первой степени. С помощью хирургии вопрос «Кобордантно ли нормальное отображение f: M → X степени один гомотопической эквивалентности?» может быть переведены (в размерности больше четыре) алгебраическое утверждение о каком - то элементе в L-группе из группового кольца. Точнее, вопрос имеет положительный ответ, если и только если препятствие операции равно нуль, где п есть размерность М. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [\ pi _ {1} (X)]}$ ${\ mathbf {Z}} [\ pi _ {1} (X)]$ ${\ Displaystyle \ сигма (е) \ в L_ {п} (\ mathbf {Z} [\ pi _ {1} (X)])}$ $\ sigma (f) \ in L_ {n} ({\ mathbf {Z}} [\ pi _ {1} (X)])$

Например, рассмотрим случай, когда размерность n = 4k кратна четырем, и. Известно, что изоморфен целым числам ; при этом изоморфизме операции обструкции F карт, с точностью до скалярного множителя, разность подписей в X и M. Следовательно, нормальное отображение степени один кобордантно гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда подписи области и области совпадают. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X) = 0}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X) = 0}$ ${\ Displaystyle L_ {4k} (\ mathbf {Z})}$ $L _ {{4k}} ({\ mathbf {Z}})$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}$ ${\ Displaystyle \ sigma (X) - \ sigma (M)}$ ${\ Displaystyle \ sigma (X) - \ sigma (M)}$

Возвращаясь к вопросу о «существовании» сверху, мы видим, что пространство X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда оно получает нормальное отображение степени один, препятствие для перестройки которого равно нулю. Это приводит к многоступенчатому процессу препятствий: чтобы говорить о нормальных отображениях, X должно удовлетворять соответствующей версии двойственности Пуанкаре, которая превращает его в комплекс Пуанкаре. Предположив, что Х представляет собой комплекс Пуанкаре, в конструкции Понтрягина-Тома показывает, что нормальное отображение степени одного до X существует тогда и только тогда, когда Спивак нормальное расслоение из X имеет сведение к устойчивым векторного расслоения. Если нормальные отображения степени один в X существуют, их классы бордизмов (называемые нормальными инвариантами) классифицируются набором гомотопических классов. Каждый из этих нормальных инвариантов имеет хирургическую преграду; X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда одно из этих препятствий равно нулю. Другими словами, это означает, что существует выбор нормального инварианта с нулевым изображением при отображении препятствий к операциям ${\ displaystyle [X, G / O]}$ ${\ displaystyle [X, G / O]}$

{\ displaystyle [X, G / O] \ к L_ {n} \ left (\ mathbf {Z} \ left [\ pi _ {1} (X) \ right] \ right).}

{\ displaystyle [X, G / O] \ к L_ {n} \ left (\ mathbf {Z} \ left [\ pi _ {1} (X) \ right] \ right).}

Наборы структур и точная последовательность операций

Концепция структурного множества является объединяющей основой как для вопросов существования, так и для уникальности. Грубо говоря, структурное множество пространства X состоит из гомотопических эквивалентностей M → X из некоторого многообразия в X, где два отображения отождествляются отношением типа бордизма. Необходимым (но не в общем достаточным) условием структуры множества пространства X, чтобы быть непустым, что Х быть п - мерный комплекс Пуанкаре, то есть, что гомологии и когомологий групп связаны с изоморфизмам А. Н. п - мерный многообразие для некоторого целого n. В зависимости от точного определения и категории многообразий ( гладкие, PL или топологические ) существуют различные версии структурных множеств. Поскольку по теореме о s-кобордизме некоторые бордизмы между многообразиями изоморфны (в соответствующей категории) цилиндрам, понятие структурного множества допускает классификацию даже с точностью до диффеоморфизма. ${\ Displaystyle H ^ {*} (X) \ cong H_ {n - *} (X)}$ $H ^ {*} (X) \ cong H _ {{n - *}} (X)$

Набор структур и карта препятствий операции сводятся вместе в точной последовательности операций. Эта последовательность позволяет определить структурное множество комплекса Пуанкаре после того, как будет понятна карта препятствий к операциям (и ее относительная версия). В важных случаях гладкое или топологическое структурное множество может быть вычислено с помощью точной последовательности операций. Примерами являются классификация экзотических сфер и доказательства гипотезы Бореля для многообразий с отрицательной кривизной и многообразий с гиперболической фундаментальной группой.

В топологической категории операция точная последовательность является длинным точной последовательность индуцируется последовательностью расслоения в спектрах. Это означает, что все множества, входящие в последовательность, на самом деле являются абелевыми группами. На уровне спектра карта препятствий хирургии - это карта сборки, слой которой является пространством блочной структуры соответствующего многообразия.

Смотрите также

Цитаты

использованная литература

Милнор, Джон (2007). Сборник статей по дифференциальной топологии Джона Милнора III. AMS. ISBN 978-0-8218-4230-0.
Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0358813
Каппелл, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан, ред. (2000), Обзоры по теории хирургии. Vol. 1 (PDF), Анналы математических исследований, 145, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04938-0, MR 1746325
Каппелл, Сильвен; Раницки, Эндрю; Розенберг, Джонатан, ред. (2001), Обзоры по теории хирургии. Vol. 2 (PDF), Анналы математических исследований, 149, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08815-0, MR 1818769
Kervaire, Michel A. ; Милнор, Джон У. (1963), "Группа гомотопических сфер: I", Анналы математики, 77 (3): 504-537, DOI : 10,2307 / 1970128, JSTOR 1970128, MR 0148075
Милнор, Джон Уиллард (1961), "Процедура убийства гомотопических групп дифференцируемых многообразий", Proc. Симпози. Чистая математика. III, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 39–55, MR 0130696
Милнор, Джон Уиллард (1965), Лекции по теореме о h-кобордизме, Примечания Лорана Зибенмана и Джонатана Сондоу, Princeton University Press, MR 0190942
Постников, Микаил М. ; Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], "Хирургия Морса", Энциклопедия математики, EMS Press
Раницким, Эндрю (1980), "Алгебраическая теория хирургии I. Основы." (PDF), Труды Лондонского математического общества, 40 (3): 87-192, CiteSeerX 10.1.1.309.4753, DOI : 10.1112 / ПНИЛ /s3-40.1.87
Раниц- кий, Эндрю (1980), "Алгебраическая теория хирургии II приложения к топологии.." (PDF), Труды Лондонского математического общества, 40 (2): 193-283, DOI : 10.1112 / ПНИЛ / s3-40.2. 193
Раники, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия, Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, Руководство по ремонту 2061749
Wall, CTC (1999) [1970], Раники, Эндрю (редактор), Хирургия компактных многообразий (PDF), Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0942-6, Руководство по ремонту 1687388

внешние ссылки

Теория хирургии для любителей
Эдинбургская группа по изучению теории хирургии
2012 Обервольфахский семинар по теории хирургии в проекте Manifold Atlas
2012 Регенсбургский блок-семинар по теории хирургии в рамках проекта Manifold Atlas
Гарвардский хирургический курс Джейкоба Лурье 2011 г. Конспект лекций
Домашняя страница Эндрю Раники
Домашняя страница Шмуэля Вайнбергера