Кривая заполнения пространства

редактировать
Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является кривая заполнения пространства.

В математическом анализе кривая заполнения пространства - это кривая , диапазон содержит весь 2-мерный единичный квадрат (или, в более общем смысле, n-мерный единичный гиперкуб ). Поскольку Джузеппе Пеано (1858–1932) был первым, кто его обнаружил, кривые заполнения пространства в 2-мерной плоскости иногда называют кривыми Пеано, но эта фраза также относится к Кривая Пеано, конкретный пример кривой заполнения пространства, найденной Пеано.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 История
  • 3 Схема построения кривой, заполняющей пространство
  • 4 Свойства
  • 5 Теорема Хана – Мазуркевича
  • 6 клейновых групп
  • 7 Интеграция
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Интуитивно понятно, что кривую в двух или трех (или более высоких) измерениях можно рассматривать как путь непрерывно движущейся точки. Чтобы устранить присущую этому понятию неопределенность, Джордан в 1887 г. ввел следующее строгое определение, которое с тех пор было принято как точное описание понятия кривой:

Кривая (с endpoints) - это непрерывная функция, доменом которой является единичный интервал [0, 1].

В самом общем виде диапазон такой функции может лежать в произвольном топологическом пространстве, но в наиболее часто изучаемых случаях диапазон будет лежать в евклидовом пространстве, таком как 2-мерная плоскость (плоская кривая) или 3- пространственное пространство (пространственная кривая).

Иногда кривая идентифицируется с изображением функции (набором всех возможных значений функции), а не с самой функцией. Также возможно определить кривые без конечных точек как непрерывную функцию на реальной прямой (или на открытом единичном интервале (0, 1)).

История

В 1890 году Пеано обнаружил непрерывную кривую, теперь называемую кривой Пеано, которая проходит через каждую точку единичного квадрата ( Пеано (1890)). Его целью было построить непрерывное отображение из единичного интервала на единичный квадрат. Пеано руководствовался более ранним парадоксальным результатом Георга Кантора о том, что бесконечное количество точек в единичном интервале имеет ту же мощность, что и бесконечное количество точек в любом конечномерном коллектор, например единичный квадрат. Проблема, которую решил Пеано, заключалась в том, может ли такое отображение быть непрерывным; т.е. кривая, заполняющая пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывного взаимно-однозначного соответствия между единичным интервалом и единичным квадратом, и в действительности такое соответствие не существует (см. «Свойства» ниже).

Было принято связывать расплывчатые понятия тонкости и одномерности с кривыми; все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемыми (то есть имели кусочно-непрерывные производные), и такие кривые не могли заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, кривая Пеано, заполняющая пространство, оказалась весьма противоречивой.

Из примера Пеано было легко вывести непрерывные кривые, диапазоны которых содержат n-мерный гиперкуб (для любого положительного целого числа n). Также было легко распространить пример Пеано на непрерывные кривые без конечных точек, которые заполняли все n-мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любому другому положительному целому числу).

Наиболее известные кривые заполнения пространства строятся итеративно как предел последовательности кусочно-линейных непрерывных кривых, каждая из которых более точно приближается к пределу заполнения пространства.

Новаторская статья Пеано не содержала иллюстраций его конструкции, которая определяется в терминах троичных разложений и a. Но графическая конструкция была ему совершенно ясна - он сделал орнаментальную плитку с изображением кривой в своем доме в Турине. Статья Пеано также заканчивается замечанием о том, что этот метод, очевидно, может быть расширен и на другие нечетные основы помимо базы 3. Его выбор избежать любого обращения к графической визуализации, несомненно, был продиктован стремлением к хорошо обоснованному, совершенно незыблемое доказательство ничем не обусловленным картинками. В то время (начало основания общей топологии) графические аргументы все еще включались в доказательства, но становились препятствием для понимания часто противоречивых результатов.

Год спустя Дэвид Гильберт опубликовал в том же журнале вариант конструкции Пеано (Hilbert 1891). Статья Гильберта была первой, которая включала картинку, помогающую визуализировать технику построения, по сути такую ​​же, как проиллюстрировано здесь. Однако аналитическая форма кривой Гильберта более сложна, чем у Пеано.

Шесть итераций построения кривой Гильберта, чья предельная кривая заполнения пространства была разработана математиком Дэвидом Гильбертом.

Схема построения кривой заполнения пространства

Пусть C {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}}}\ scriptstyle \ mathcal {C} обозначает пространство Кантора 2 N {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N }}}\ scriptstyle \ mathbf {2} ^ \ mathbb {N} .

Начнем с непрерывной функции h {\ displaystyle \ scriptstyle h}\ scriptstyle h из пространства Кантора C {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}}}\ scriptstyle \ mathcal {C} на весь единичный интервал [0, 1] {\ displaystyle \ scriptstyle [0, \, 1]}\ scriptstyle [0, \, 1] . (Ограничение функции Кантора набором Кантора является примером такой функции.) Отсюда мы получаем непрерывную функцию H {\ displaystyle \ scriptstyle H }\ scriptstyle H из топологического продукта C × C {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}} \; \ times \; {\ mathcal {C}}}\ scriptstyle \ mathcal {C} \; \ times \; \ mathcal {C} на единичный квадрат целиком [0, 1] × [0, 1] {\ displaystyle \ scriptstyle [0, \, 1] \; \ times \; [0, \, 1]}\ scriptstyle [0, \, 1] \; \ times \; [0, \, 1] установив

H (x, y) = (h (x), h (y)). {\ displaystyle H (x, y) = (h (x), h (y)). \,}H (x, y) = (h (x), h (y)). \,

Поскольку множество Кантора гомеоморфно продукту C × C { \ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}}}\ scriptstyle \ mathcal {C } \ times \ mathcal {C} , существует непрерывная биекция g {\ displaystyle \ scriptstyle g}\ scriptstyle g из набора Кантора на C × C {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}} \; \ times \; {\ mathcal {C}}}\ scriptstyle \ mathcal {C} \; \ times \; \ mathcal {C} . Композиция f {\ displaystyle \ scriptstyle f}\ scriptstyle f из H {\ displaystyle \ scriptstyle H}\ scriptstyle H и g {\ displaystyle \ scriptstyle g}\ scriptstyle g - непрерывная функция, отображающая множество Кантора на весь единичный квадрат. (В качестве альтернативы мы могли бы использовать теорему о том, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным изображением множества Кантора, чтобы получить функцию f {\ displaystyle \ scriptstyle f}\ scriptstyle f .)

Наконец, можно расширить f {\ displaystyle \ scriptstyle f}\ scriptstyle f до непрерывной функции F {\ displaystyle \ scriptstyle F}\ scriptstyle F , чья домен - это весь единичный интервал [0, 1] {\ displaystyle \ scriptstyle [0, \, 1]}\ scriptstyle [0, \, 1] . Это можно сделать либо с помощью теоремы о расширении Титце для каждого из компонентов f {\ displaystyle \ scriptstyle f}\ scriptstyle f , либо просто расширив f { \ displaystyle \ scriptstyle f}\ scriptstyle f «линейно» (то есть на каждом из удаленных открытых интервалов (a, b) {\ displaystyle \ scriptstyle (a, \, b)}\ scriptstyle (a, \, b) при построении набора Кантора мы определяем часть расширения F {\ displaystyle \ scriptstyle F}\ scriptstyle F на (a, b) {\ displaystyle \ scriptstyle (a, \, b)}\ scriptstyle (a, \, b) как сегмент линии внутри единичного квадрата, соединяющий значения f (a) {\ displaystyle \ scriptstyle f (a)}\ scriptstyle f (a) и е (b) {\ displaystyle \ scriptstyle f (b)}\ scriptstyle f (b) ).

Свойства

Кривые Мортона и Гильберта уровня 6 (4 = 1024 ячейки в рекурсивном квадратном разделе ), отображающие каждый адрес разными цветами в стандарт RGB и использование меток Geohash. Окрестности имеют схожие цвета, но каждая кривая предлагает разный образец группировки схожих в меньших масштабах.

Если кривая не является инъективной, то можно найти две пересекающиеся подкривые кривой, каждая из которых получена путем рассмотрения изображений двух непересекающихся сегментов из области кривой (единичный отрезок прямой). Две вспомогательные кривые пересекаются, если пересечение двух изображений является непустым. Может возникнуть соблазн подумать, что значение пересекающихся кривых состоит в том, что они обязательно пересекают друг друга, как точка пересечения двух непараллельных прямых, от одной стороны к другой. Однако две кривые (или две подкривые одной кривой) могут касаться друг друга, не пересекаясь, как, например, касательная к окружности прямая.

Несамопересекающаяся непрерывная кривая не может заполнить единичный квадрат, потому что это сделает кривую гомеоморфизмом из единичного интервала на единичный квадрат (любая непрерывная биекция из компакта на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом). Но у единичного квадрата нет точки разреза, и поэтому он не может быть гомеоморфен единичному интервалу, в котором все точки, кроме конечных, являются точками разреза. Существуют несамопересекающиеся кривые ненулевой площади, кривые Осгуда, но они не заполняют пространство.

Для классических кривых Пеано и кривых заполнения гильбертова пространства, где две подкривые пересекаются (в техническом смысле), существует самоконтакт без самопересечения. Кривая, заполняющая пространство, может быть (везде) самопересекающейся, если ее аппроксимационные кривые являются самопересекающимися. Аппроксимации кривой заполнения пространства можно избежать, как показано на рисунках выше. В трехмерном пространстве аппроксимирующие кривые с самоизбеганием могут даже содержать узлов. Кривые аппроксимации остаются в ограниченной части n-мерного пространства, но их длина неограниченно увеличивается.

Кривые заполнения пространства - это частный случай фрактальных кривых. Никакой дифференцируемой кривой, заполняющей пространство, существовать не может. Грубо говоря, дифференцируемость ограничивает скорость поворота кривой.

Теорема Хана – Мазуркевича

Теорема Хана - Мазуркевича представляет собой следующую характеризацию пространств, которые являются непрерывным образом кривых:

Непустое Хаусдорфово топологическое пространство является непрерывным образом единичного интервала тогда и только тогда, когда оно является компактным, связанным, локально связанным, Пространство с подсчетом секунд.

Пространства, являющиеся непрерывным образом единичного интервала, иногда называют пространствами Пеано.

Во многих формулировках теоремы Хана – Мазуркевича счетность секунд заменяется метризуемыми. Эти две формулировки эквивалентны. В одном направлении компактное хаусдорфово пространство является нормальным пространством и, по теореме Урысона о метризации, счетность во втором влечет метризуемость. Наоборот, компактное метрическое пространство счетно до секунды.

Клейновы группы

В теории дважды вырожденных клейновых групп существует множество естественных примеров кривых, заполняющих пространство, или, скорее, сферических кривых. Например, Cannon Thurston (2007) показали, что бесконечно удаленная окружность универсального покрытия слоя отображающего тора псевдо-объекта -Аносова карта представляет собой кривую, заполняющую сферу. (Здесь сфера - это бесконечно удаленная сфера гиперболического 3-мерного пространства.)

Интегрирование

Винер указал в Интеграле Фурье и некоторых его приложениях, что пространство, заполняющее кривые могут использоваться для уменьшения интегрирования Лебега в более высоких измерениях до интегрирования Лебега в одном измерении.

См. Также

Литература

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с кривыми заполнения пространства.

Java-апплетах:

Последняя правка сделана 2021-06-09 01:12:13
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте