Групповой изоморфизм

В абстрактной алгебре изоморфизм группы - это функция между двумя groups, который устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами групп таким образом, чтобы соблюдались заданные групповые операции. Если между двумя группами существует изоморфизм, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и не нуждаются в различении.

Содержание

• 1 Определение и обозначение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Циклические группы
• 5 Последствия
• 6 Автоморфизмы
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Определение и обозначения

Даны две группы (G, ∗) и (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$), групповой изоморфизм из (G, ∗) в (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$) является биективным гомоморфизмом группы из G- H. Вкратце это означает, что изоморфизм групп является биективной функцией $f:\; G\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; H\}$, такой что для всех uи vв Gвыполняется

$f\; (u\; \ast \; v)\; =\; f\; (u)\; \odot \; f\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u\; *\; v)\; =\; f\; (u)\; \backslash \; odot\; f\; (v)\}$.

Две группы (G, ∗) и (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$) изоморфны, если существует изоморфизм от одного к другому. Это записывается так:

$(G,\; \ast )\; \cong \; (H,\; \odot )\; \{\backslash \; displaystyle\; (G,\; *)\; \backslash \; cong\; (H,\; \backslash \; odot)\}$

Часто могут использоваться более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции недвусмысленны, они опускаются и пишется:

$G\; \cong \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; cong\; H\}$

Иногда можно даже просто написать G= H. Возможна ли такая запись без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, если обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. Также примеры.

И наоборот, учитывая группу (G, ∗), набор Hи отклонение $f:\; G\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; H\}$, мы можем сделать Hгруппой (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$), определив

$е\; (u)\; \odot \; е\; (v)\; =\; е\; (u\; *\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u)\; \backslash \; odot\; f\; (v)\; =\; f\; (u\; *\; v)\}$.

Если H= Gи $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$= ∗, тогда биекция является автоморфизмом (qv).

Интуитивно теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента g группы G существует элемент h группы H такой, что h «ведет себя так же», как g (работает с другими элементами группы так же, как g). Например, если g порождает G, то также и h. Это, в частности, означает, что G и H находятся в взаимно однозначном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.

Изоморфизм групп может быть эквивалентно определен как обратимый морфизм в категории групп, где обратимый здесь означает наличие двух двусторонний обратный.

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительных чисел с добавлением ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, +) изоморфна группе положительные действительные числа с умножением ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, ×):

$(R,\; +)\; \cong \; (R\; +,\; \times )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; +)\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{+\},\; \backslash \; times)\}$через изоморфизм

$f\; (x)\; =\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\; x)\; =\; e\; ^\; \{x\}\}$(см. экспоненциальную функцию ).

• Группа $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$из целые числа (с добавлением) - это подгруппа из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, а группа факторов $R\; /\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$изоморфен группе $S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{1\}\}$из комплексных чисел из абсолютного значения 1 (с умножением):

$R\; /\; Z\; \cong \; S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; cong\; S\; ^\; \{1\}\}$

• Четырехгруппа Клейна изоморфна прямому произведению две копии $Z\; 2\; =\; Z\; /\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$(см. модульная арифметика ), и поэтому может быть записано $Z\; 2\; \times \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}$. Другое обозначение - Dih 2, потому что это группа диэдра.
• Обобщая это, для всех нечетных n Dih 2n изоморфна прямому произведению из Dih n и Z 2.
• Если (G, ∗) является бесконечной циклической группой, то (G, ∗) изоморфна целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что набор всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой.

Некоторые группы могут быть доказаны изоморфными, полагаясь на аксиому выбор, но в доказательстве не указывается, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа ($R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, +) изоморфна группе ($C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, +) всех комплексных чисел с добавлением.
• Группа ($C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, ·) Ненулевых комплексных чисел с операцией умножения изоморфна группе S.

Свойства

ядро ​​ изоморфизма из (G, ∗) в ( H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$), всегда равно {e G }, где e G - идентификатор группы (G, ∗)

Если (G, ∗) изоморфен (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$), и если G абелева, то так же и H.

Если (G, ∗) - группа, изоморфная (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$) [где f - изоморфизм], то если a принадлежит G и имеет порядок n, то f (a) тоже.

Если (G, ∗) является локально конечной группой, которая изоморфна (H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$), то ( H, $\odot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; odot\}$) также локально конечен.

Количество отдельных групп (когда изоморфные группы считаются равными) порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$задается последовательностью A000001 в OEIS. Первые несколько чисел - 0, 1, 1, 1 и 2, означающие, что 4 - это самый низкий порядок с более чем одной группой.

Циклические группы

Все циклические группы заданного порядка изоморфны $(Z\; n,\; +\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{n\},\; +\; \_\; \{n\})\}$.

Пусть G - циклическая группа и n - порядок группы G. Тогда G - группа, порожденная $⟨x⟩\; =\; \{e,\; x,...,\; x\; n\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; \{e,\; x,...,\; x\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \}\}$. Мы покажем, что

$G\; \cong \; (Z\; n,\; +\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{n\},\; +\; \_\; \{n\})\}$

Определить

$\phi :\; G\; \to \; Z\; n\; =\; \{0,\; 1,...,\; n\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; G\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{0,1,...,\; n-1\; \backslash \}\}$, так что $\phi \; (ха)\; =\; а\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\; ^\; \{a\})\; =\; a\}$. Ясно, что $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$биективно.

Тогда

$\phi \; (xa\; \cdot \; xb)\; =\; \phi \; (xa\; +\; b)\; =\; a\; +\; b\; =\; \phi \; (xa)\; +\; N\; \phi \; (xb)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\; ^\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{b\})\; =\; \backslash \; varphi\; (x\; ^\; \{a\; +\; b\})\; =\; a\; +\; b\; =\; \backslash \; varphi\; (x\; ^\; \{a\})\; +\; \_\; \{n\}\; \backslash \; varphi\; (x\; ^\; \{b\})\}$, что доказывает, что $G\; \cong \; (Z\; n,\; +\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{n\},\; +\; \_\; \{n\})\}$.

Последствия

Из определения следует, что любой изоморфизм $f:\; G\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; H\}$сопоставит элемент идентичности Gс элементом идентичности H,

$f\; (e\; G)\; =\; e\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (e\_\; \{G\})\; =\; e\_\; \{H\}\}$

что он будет отображать обратное на обратное,

$f\; (u\; -\; 1)\; =\; [f\; (u)]\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; \backslash \; left\; [f\; (u)\; \backslash \; right]\; ^\; \{-\; 1\}\}$

и в более общем смысле, n-я степень в n-ю степень,

$f\; (un)\; =\; [f\; (u)]\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; left\; [f\; (u)\; \backslash \; right]\; ^\; \{n\}\}$

для всех uв G, и что обратное отображение $f\; -\; 1:\; H\; \to \; G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}:\; H\; \backslash \; rightarrow\; G\}$также является групповой изоморфизм.

Отношение «быть изоморфным» удовлетворяет всем аксиомам отношения эквивалентности. Если fявляется изоморфизмом между двумя группами Gи H, тогда все, что верно в отношении G, что относится только к группе Структура может быть преобразована с помощью fв истинное то же самое утверждение о H, и наоборот.

Автоморфизмы

Изоморфизм группы (G, ∗) в себя называется автоморфизмом этой группы. Таким образом, это биекция $f:\; G\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; G\}$такая, что

$f\; (u)\; \ast \; f\; (v)\; =\; f\; (u\; \ast \; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u)\; *\; f\; (v)\; =\; f\; (u\; *\; v)\}$.

Автоморфизм всегда отображает тождество на себя. Образ при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тем же или другим). Изображение элемента имеет тот же порядок, что и этот элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и с помощью этой операции множество всех автоморфизмов группы G, обозначенное Aut (G), образует сама группа, группа автоморфизмов G.

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, который заменяет элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм, например в четырехгруппе Клейна. Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна S3и Dih 3.

в Z pдля простого числа p, одного не- элемент идентичности может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Z p- 1. Например, для n= 7 умножение всех элементов Z 7 на 3 по модулю 7 является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, потому что 3 ≡ 1 (по модулю 7), а меньшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает Z 6. Есть еще один автоморфизм с этим свойством: умножение всех элементов Z 7 на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 Z 6 в том смысле, что порядок или наоборот.

Группа автоморфизмов Z 6 изоморфна Z 2, потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 порождает Z 6, поэтому помимо идентичности мы можем только поменять их местами.

Группа автоморфизмов Z 2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 2 = Dih 2 ⊕ Z 2 имеет порядок 168, как показано ниже. Все 7 неединичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них играет роль (1,0,0). Любой из оставшихся 6 может быть выбран в качестве (0,1,0). Это определяет, что соответствует (1,1,0). Для (0,0,1) мы можем выбрать из 4, что определяет остальные. Таким образом, мы имеем 7 × 6 × 4 = 168 автоморфизмов. Они соответствуют точкам плоскости Фано, из которых 7 точек соответствуют 7 неидентичным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: a, b и c на одной линии означает a + b = c, a + c = b и b + c = a. См. Также общая линейная группа над конечными полями.

Для абелевых групп все автоморфизмы, кроме тривиального, называются внешними автоморфизмами.

Неабелевы группы имеют нетривиальный внутренний автоморфизм группа, а также, возможно, внешние автоморфизмы.

См. Также

• Биективная функция

Литература

• Херштейн, И. Н., Разделы алгебры, Wiley; 2 издание (20 июня 1975 г.), ISBN 0-471-01090-1.