Теорема Ботта о периодичности

редактировать

Описывает периодичность в гомотопических группах классических групп

В математике, Теорема Ботта о периодичности описывает периодичность в гомотопических группах из классических групп, обнаруженных Раулем Боттом (1957, 1959), который оказался фундаментальным для многих дальнейших исследований, в частности, в K-теории стабильных сложных векторных расслоений, а также стабильные гомотопические группы сфер. Периодичность Ботта может быть сформулирована множеством способов, причем рассматриваемая периодичность всегда проявляется как явление периода-2 по отношению к размерности в теории, связанной с унитарной группой. См., Например, топологическая K-теория.

Существуют соответствующие явления периода 8 для совпадающих теорий, (real ) KO-теория и (кватернионная ), связанные с действительной ортогональной группой и кватернионной симплектической группой, соответственно. J-гомоморфизм - это гомоморфизм от гомотопических групп ортогональных групп к стабильным гомотопическим группам сфер, который заставляет периодичность Ботта с периодом 8 быть видимой в стабильных гомотопических группах сфер..

Содержание

1 Формулировка результата
2 Контекст и значение
3 Пространства петель и классифицирующие пространства
4 Геометрическая модель пространств петель
5 Доказательства
6 Примечания
7 Ссылки

Формулировка результата

Ботт показал, что если $O (∞) {\ displaystyle O (\ infty)}$ $O (\ infty)$ определяется как предел индукции из ортогональных групп, то его гомотопические группы периодичны:

π n (O (∞)) ≃ π n + 8 (O (∞)) {\ displaystyle \ pi _ {n} (O (\ infty)) \ simeq \ pi _ {n + 8} (O (\ infty))}

{\ displaystyle \ пи _ {п} (О (\ infty)) \ simeq \ pi _ {n + 8} (O (\ infty))}

и первые 8 гомотопических групп выглядят следующим образом:

π 0 ( O (∞)) ≃ Z 2 π 1 (O (∞)) ≃ Z 2 π 2 (O (∞)) ≃ 0 π 3 (O (∞)) ≃ Z π 4 (O (∞)) ≃ 0 π 5 (О (∞)) ≃ 0 π 6 (О (∞)) ≃ 0 π 7 (O (∞)) ≃ Z {\ Displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {0} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} _ {2} \\\ pi _ {1} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} _ {2} \\\ pi _ {2} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {3} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} \\\ pi _ {4} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {5} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {6} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {7} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} \ end {выровнено}} }

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {0} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} _ {2} \\\ pi _ {1} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} _ {2} \\\ pi _ {2} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {3} (O (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} \\\ pi _ {4} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {5} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {6} (O (\ infty)) \ simeq 0 \\\ pi _ {7} ( О (\ infty)) \ simeq \ mathbb {Z} \ конец {выровнено}}}

Контекст и значение

Контекст периодичности Ботта состоит в том, что гомотопические группы из сфер, которые, как ожидается, будут играть основную роль в алгебраическая топология по аналогии с теорией гомологий оказалась неуловимой (и теория сложна). Предмет теории стабильной гомотопии был задуман как упрощение путем введения операции приостановки (продукта разрушения с кружком ), и видя то, что (грубо говоря) осталось от теории гомотопии после того, как разрешили приостановить обе части уравнения столько раз, сколько пожелаете. На практике стабильную теорию по-прежнему трудно было вычислить.

Периодичность Ботта предлагала понимание некоторых весьма нетривиальных пространств, имеющих центральный статус в топологии из-за связи их когомологий с характеристическими классами для в котором могут быть вычислены все (нестабильные) гомотопические группы. Эти пространства представляют собой (бесконечные или стабильные) унитарные, ортогональные и симплектические группы U, O и Sp. В этом контексте стабильным называется объединение U (также известное как прямой предел ) последовательности включений

U (1) ⊂ U (2) ⊂ ⋯ ⊂ U = ⋃ k = 1 ∞ U (k) {\ displaystyle U (1) \ subset U (2) \ subset \ cdots \ subset U = \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} U (k)}

U (1) \ subset U (2) \ подмножество \ cdots \ subset U = \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} U (k)

и аналогично для O и Sp. Обратите внимание, что использование Боттом слова «стабильный» в названии своей основополагающей статьи относится к этим стабильным классическим группам, а не к стабильным гомотопическим группам.

Важная связь периодичности Ботта с стабильными гомотопическими группами сфер $π n S {\ displaystyle \ pi _ {n} ^ {S}}$ $\ pi _ {n} ^ {S}$ приходит через так называемый стабильный J-гомоморфизм от (нестабильных) гомотопических групп (стабильных) классических групп к этим стабильным гомотопическим группам $π n S {\ displaystyle \ pi _ {n } ^ {S}}$ $\ pi _ {n} ^ {S}$ . Первоначально описанный Джорджем У. Уайтхедом, он стал предметом знаменитой гипотезы Адамса (1963), которая была окончательно разрешена положительно Дэниелом Куилленом (1971).).

Первоначальные результаты Ботта можно кратко изложить в:

Следствие: (нестабильные) гомотопические группы (бесконечных) классических групп периодичны:

π k (U) знак равно π К + 2 (U) π К (O) = π K + 4 (Sp) π K (Sp) = π k + 4 (O) k = 0, 1,… {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ pi _ {k} (U) = \ pi _ {k + 2} (U) \\\ pi _ {k} (O) = \ pi _ {k + 4} (\ operatorname { Sp}) \\\ pi _ {k} (\ operatorname {Sp}) = \ pi _ {k + 4} (O) k = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {k} (U) = \ pi _ {k + 2} (U) \\\ pi _ {k} (O) = \ pi _ {k + 4} (\ operatorname {Sp}) \\\ pi _ {k} (\ operatorname {Sp}) = \ pi _ {k + 4} (O) k = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

Примечание : Второй и третий из этих изоморфизмов переплетаются, давая результаты с 8-кратной периодичностью:

π k (O) = π k + 8 (O) π k (Sp) = π k + 8 (Sp), к = 0, 1,… {\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {k} (O) = \ pi _ {k + 8} (O) \\\ pi _ {k} (\ operatorname {Sp}) = \ pi _ {k + 8} (\ operatorname {Sp}), k = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ pi _ {k} (O) = \ pi _ {k + 8} (O) \\\ pi _ {k} (\ operatorname {Sp}) = \ pi _ {k + 8 } (\ operatorname {Sp}), k = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

Пространства цикла и классифицирующие пространства

Для теории, связанной с бесконечной унитарной группой, U, пространство BU является классифицирующим пространством для стабильных комплексных векторных расслоений (a Грассманиан в бесконечных измерениях). Одна формулировка периодичности Ботта описывает двумерное пространство петель ΩBU в BU. Здесь Ω представляет собой функтор пространства цикла, правое сопряжение с приостановкой и левое сопряжение с классифицирующим пространством строительство. Периодичность Ботта утверждает, что это пространство двойной петли снова по существу является BU; более точно,

Ω 2 BU ≃ Z × BU {\ displaystyle \ Omega ^ {2} BU \ simeq \ mathbb {Z} \ times BU}

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} BU \ simeq \ mathbb {Z} \ times BU}

по существу (то есть гомотопический эквивалент к) объединение счетного числа экземпляров БУ. Эквивалентная формулировка:

Ω 2 U ≃ U. {\ displaystyle \ Omega ^ {2} U \ simeq U.}

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} U \ simeq U.}

Любой из них немедленно показывает, почему (комплексная) топологическая K-теория является двумерной периодической теорией.

В соответствующей теории для бесконечной ортогональной группы, O, пространство BO является классифицирующим пространством для стабильных вещественных векторных расслоений. В этом случае периодичность Ботта утверждает, что для 8-кратного пространства петель

Ω 8 B O ≃ Z × B O; {\ displaystyle \ Omega ^ {8} BO \ simeq \ mathbb {Z} \ times BO;}

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} BO \ simeq \ mathbb {Z} \ times BO; }

или эквивалентно

Ω 8 O ≃ O, {\ displaystyle \ Omega ^ {8} O \ simeq O,}

{\ displaystyle \ Omega ^ { 8} O \ simeq O,}

откуда следует, что КО-теория является 8-кратной периодической теорией. Кроме того, для бесконечной симплектической группы, Sp пространство BSp является классифицирующим пространством для стабильных кватернионных векторных расслоений, а периодичность Ботта утверждает, что

Ω 8 BSp ≃ Z × BSp; {\ displaystyle \ Omega ^ {8} \ operatorname {BSp} \ simeq \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp};}

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} \ operatorname {BSp} \ simeq \ mathbb {Z} \ раз \ operatorname {BSp};}

или эквивалентно

Ω 8 Sp ≃ Sp. {\ displaystyle \ Omega ^ {8} \ operatorname {Sp} \ simeq \ operatorname {Sp}.}

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} \ operatorname {Sp} \ simeq \ operatorname {Sp}.}

Таким образом, как топологическая реальная K-теория (также известная как KO-теория), так и топологическая кватернионная K-теория (также известная как KSp-теория) являются 8-кратными периодическими теориями.

Геометрическая модель пространств петель

Одна изящная формулировка периодичности Ботта использует наблюдение, что существуют естественные вложения (как замкнутые подгруппы) между классическими группами. Пространства петель в периодичности Ботта тогда гомотопически эквивалентны симметрическим пространствам последовательных частных с дополнительными дискретными множителями Z.

над комплексными числами:

U × U ⊂ U ⊂ U × U. {\ displaystyle U \ times U \ subset U \ subset U \ times U.}

{\ displaystyle U \ times U \ subset U \ subset U \ times U.}

Над действительными числами и кватернионами:

O × O ⊂ O ⊂ U ⊂ Sp ⊂ Sp × Sp ⊂ Sp ⊂ U ⊂ O ⊂ O × O. {\ displaystyle O \ times O \ subset O \ subset U \ subset \ operatorname {Sp} \ subset \ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp} \ subset \ operatorname {Sp} \ subset U \ subset O \ subset O \ times O.}

{\ displaystyle O \ times O \ subset O \ subset U \ subset \ operatorname {Sp} \ subset \ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp} \ subset \ operatorname {Sp} \ subset U \ subset O \ subset O \ times O.}

Эти последовательности соответствуют последовательностям в алгебрах Клиффорда - см. классификацию алгебр Клиффорда ; над комплексными числами:

C ⊕ C ⊂ C ⊂ C ⊕ C. {\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}.}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb { C} \ oplus \ mathbb {C}.}

По действительным числам и кватернионам:

R ⊕ R ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ H ⊂ C ⊂ R ⊂ R ⊕ R, {\ displaystyle \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R},}

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {H } \ subset \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R},}

где алгебры с делением указывают «матрицы над этой алгеброй».

Поскольку они являются 2-периодическими / 8-периодическими, они могут быть расположены по кругу, где они называются часами периодичности Ботта и часами алгебры Клиффорда .

Затем результаты периодичности Ботта уточняются до последовательности гомотопических эквивалентностей :

Для комплексной K-теории:

Ω U ≃ Z × BU = Z × U / (U × U) Ω (Z × BU) ≃ U Знак равно (U × U) / U {\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega U \ simeq \ mathbb {Z} \ times BU = \ mathbb {Z} \ times U / (U \ times U) \\\ Omega (Z \ times BU) \ simeq U = (U \ times U) / U \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega U \ simeq \ mathbb {Z} \ times BU = \ mathbb {Z} \ times U / (U \ times U) \\\ Omega (Z \ times BU) \ simeq U = (U \ times U) / U \ end {align}}}

Для реальной и кватернионной KO- и KSp-теорий:

Ω (Z × BO) ≃ O = (O × O) / O Ω (Z × BSp) ≃ Sp = (Sp × Sp) / Sp Ω O ≃ O / U Ω Sp ≃ Sp ⁡ / U Ω (O / U) ≃ U / Sp Ω ( Sp ⁡ / U) ≃ U / O Ω (U / Sp) ≃ Z × BSp = Z × Sp ⁡ / (Sp × Sp) Ω (U / O) ≃ Z × BO = Z × O / (O × O) {\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega (\ mathbb {Z} \ times BO) \ simeq O = (O \ times O) / O \ Omega (\ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp}) \ simeq \ operatorname {Sp} = (\ operatorname {Sp} \ times \ oper atorname {Sp}) / \ operatorname {Sp} \\\ Omega O \ simeq O / U \ Omega \ operatorname {Sp} \ simeq \ operatorname {Sp} / U \\\ Omega (O / U) \ simeq U / \ operatorname {Sp} \ Omega (\ operatorname {Sp} / U) \ simeq U / O \\\ Omega (U / \ operatorname {Sp}) \ simeq \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp} = \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {Sp} / (\ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp}) \ Omega (U / O) \ simeq \ mathbb {Z} \ times BO = \ mathbb {Z} \ times O / (O \ times O) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega (\ mathbb {Z} \ times BO) \ simeq O = (O \ times O) / O \ Omega (\ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp}) \ simeq \ operatorname {Sp} = (\ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp}) / \ operatorname {Sp} \\\ Omega O \ simeq O / U \ Omega \ operatorname {Sp} \ simeq \ operatorname {Sp} / U \\\ Omega (O / U) \ simeq U / \ operatorname {Sp} \ Omega (\ operatorname {Sp} / U) \ simeq U / O \\\ Omega (U / \ operatorname {Sp}) \ simeq \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp} = \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {Sp} / (\ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp}) \ Omega (U / O) \ simeq \ mathbb {Z} \ times BO = \ mathbb {Z} \ times O / (O \ times O) \ end {выровнено }}}

Полученные пространства гомотопически эквивалентны классическим редуктивным симметричным пространствам и являются последовательными факторами членов часов периодичности Ботта. Эти эквивалентности немедленно дают теоремы периодичности Ботта.

Конкретные пробелы (для групп также перечислено главное однородное пространство ):

Пространство цикла	Частное	Метка Картана	Описание
$Ω 0 {\ displaystyle \ Omega ^ {0}}$ $\ Omega ^ {0}$	$Z × O / (O × O) {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times O / (O \ times O)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times O / (O \ times O)}$	BDI	Действительный Грассманиан
$Ω 1 {\ displaystyle \ Omega ^ {1}}$ $\ Omega ^ {1}$	$O = (O × O) / O {\ displaystyle O = (O \ times O) / O}$ $O = (O \ times O) / O$		Ортогональная группа (вещественное многообразие Штифеля )
$Ω 2 {\ displaystyle \ Omega ^ {2}}$ $\ Omega ^ {2}$	$O / U {\ displaystyle O / U}$ $О / U$	DIII	пространство сложных структур, совместимых с данной ортогональной структурой
$Ω 3 {\ displaystyle \ Omega ^ {3}}$ $\ Omega ^ {3}$	$U / S p {\ displaystyle U / \ mathrm {Sp}}$ $U / \ mathrm {Sp}$	AII	пространство кватернионных структур, совместимых с данной сложной структурой
$Ω 4 {\ displaystyle \ Omega ^ {4}}$ $\ Omega ^ {4}$	$Z × S p / (S p × S p) {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathrm {Sp} / (\ mathrm {Sp} \ times \ mathrm {Sp})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathrm {Sp} / (\ mathrm {Sp} \ times \ mathrm {Sp})}$	CII	Quaternionic Грассманни an
$Ω 5 {\ displaystyle \ Omega ^ {5}}$ $\ Omega ^ {5}$	$S p = (S p × S p) / S p {\ displaystyle \ mathrm {Sp} = (\ mathrm {Sp} \ times \ mathrm {Sp}) / \ mathrm {Sp}}$ $\ mathrm {Sp} = (\ mathrm {Sp} \ times \ mathrm { Sp}) / \ mathrm {Sp}$		Симплектическая группа (кватернионное многообразие Штифеля )
$Ω 6 {\ displaystyle \ Omega ^ {6}}$ $\ Omega ^ {6}$	$S p / U { \ displaystyle \ mathrm {Sp} / U}$ $\ mathrm {Sp} / U$	CI	комплексный лагранжев грассманиан
$Ω 7 {\ displaystyle \ Omega ^ {7}}$ $\ Omega ^ {7}$	$U / O {\ displaystyle U / O}$ $U / O$	AI	Лагранжиан грассманиан

Доказательства

В первоначальном доказательстве Ботта (Bott 1959) использовалась теория Морса, которую Ботт (1956) ранее использовал для изучать гомологии групп Ли. Было дано много разных доказательств.

Примечания

^Интерпретация и маркировка немного неверны и относятся к неприводимым симметричным пространствам, в то время как это более общие редуктивные пространства. Например, SU / Sp неприводимо, а U / Sp редуктивно. Как они показывают, различие можно интерпретировать как то, включает ли кто-либо ориентацию.

Ссылки

Ботт, Рауль (1956), «Применение теории Морса к топологии групп Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France, 84 : 251 –281, doi : 10.24033 / bsmf.1472, ISSN 0037-9484, MR 0087035
Ботт, Рауль ( 1957), «Стабильная гомотопия классических групп», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 43(10): 933–5, doi : 10.1073 / pnas.43.10.933, JSTOR 89403, MR 0102802, PMC 528555, PMID 16590113
Ботт, Рауль (1959), «Стабильная гомотопия классических групп», Анналы математики, Вторая серия, 70 (2): 313–337, doi : 10.2307 / 1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, MR 0110104, PMC 528555
Ботт Р. (1970), «Теорема периодичности для классических групп и некоторых своих приложений », Успехи в математике, 4 (3): 353–411, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90030-7. Разъяснительное изложение теоремы и окружающей ее математики.
Giffen, C.H. (1996), «Периодичность Ботта и Q-конструкция», в Banaszak, Grzegorz; Гайда, Войцех; Красонь, Петр (ред.), Алгебраическая K-теория, Современная математика, 199, Американское математическое общество, стр. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, MR 1409620
Милнор, Дж. (1969). Теория Морса. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.
Баэз, Джон (21 июня 1997 г.). «Неделя 105». Результаты этой недели по математической физике.