В математике, топологической K-теории - это ветвь алгебраической топологии. Он был основан для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, теперь признанных (общей) K-теорией, которые были введены Александром Гротендик. Ранние работы по топологической K-теории были сделаны Майклом Атьей и Фридрихом Хирцебрухом.
Содержание
- 1 Определения
- 2 Свойства
- 3 Периодичность Ботта
- 4 Приложения
- 5 Символ Черна
- 6 См. Также
- 7 Ссылки
Определения
Пусть X будет компактным пространством Хаусдорфа и или . Тогда определяется как группа Гротендика из коммутативного моноида классы изоморфизма конечномерных k-векторных расслоений над X при сумме Уитни. Тензорное произведение расслоений дает K-теории коммутативную кольцевую структуру. Без индексов обычно обозначает комплексную K-теорию, тогда как реальная K-теория иногда записывается как . Остальное обсуждение сосредоточено на сложной K-теории.
В качестве первого примера отметим, что K-теория точки - это целые числа. Это потому, что векторные расслоения над точкой тривиальны и, таким образом, классифицируются по их рангу, а группа Гротендика натуральных чисел - это целые числа.
Существует также сокращенная версия K-теории, , определенная для X a компактное заостренное пространство (ср. уменьшенная гомология ). Эта редуцированная теория интуитивно представляет собой K (X) по модулю тривиальных расслоения. Он определяется как группа стабильных классов эквивалентности расслоений. Два пучка E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные пучки и , так что . Это отношение эквивалентности приводит к группе, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. В качестве альтернативы можно определить как ядро карты , индуцированный включением базовой точки x 0 в X.
K-теория формирует мультипликативную (обобщенную) теорию когомологий следующим образом. короткая точная последовательность пары заостренных пространств (X, A)
расширяется до длинной точной последовательности
Пусть S будет n-й редуцированной подвеской пространства, а затем определим
Отрицательные индексы выбираются так, чтобы кограничные карты увеличивали размерность.
Часто бывает полезно иметь нередуцированную версию этих групп, просто определяя:
Здесь - это с присоединенной непересекающейся базовой точкой, помеченной '+'.
Наконец, теорема Ботта о периодичности как сформулировано ниже, распространяет теории на положительные целые числа.
Свойства
- K соответственно является контравариантным функтором из гомотопическая категория (точечных) пространств в категорию коммутативных колец. Так, например, K-теория над стягиваемыми пространствами всегда равна
- спектр K-теории равен (с дискретной топологией на ), то есть где [,] обозначает заостренные гомотопические классы, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп : Аналогично,
- Для реальной K-теории используйте BO.
- Существует естественный гомоморфизм колец символ Черна, такой, что - это изоморфизм.
- Эквивалент Операции Стинрода в K-теории - это операции Адамса. Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории.
- Принцип расщепления топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах линейных расслоений.
- Теорема Тома об изоморфизме в топологической K-теории:
- где T (E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это верно, когда E - спин-расслоение.
- Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий.
- Топологическая K-теория может быть значительно обобщена до функтора на C * -алгебрах, см. оператор K-теория и KK-теория.
периодичность Ботта
Явление периодичности названо в честь Рауля Ботта (см. Теорема Ботта о периодичности ) может быть сформулирована следующим образом:
- и где H - класс тавтологический набор на т.е. сфера Римана.
В реальной K-теории существует аналогичная периодичность, но по модулю 8.
Приложения
Два самых известных приложения топологической K-теории созданы Фрэнком Адамсом. Сначала он решил одну проблему с инвариантом Хопфа, выполнив вычисление с помощью своих операций Адамса. Затем он доказал верхнюю границу числа линейно независимых векторных полей на сферах.
Характер Черна
Майкл Атия и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, связывающую топологическую K-теорию комплекса CW с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм
такой, что
Существует алгебраический аналог, связывающий группу когерентных пучков Гротендика и Кольцо Чоу гладкого проективного многообразия .
См. Также
Ссылки
- Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория. Advanced Book Classics (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-09394-0. MR 1043170.
- Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по K-теории. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. MR 2182598.
- Каруби, Макс (1978). K-теория: введение. Классика по математике. Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
- Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : math / 0602082.
- Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и K-теория».
- (2013). «Связь K-теории с геометрией и топологией».