Алгебра Стинрода

В алгебраической топологии алгебра Стинрода была определена Анри Картаном (1955), чтобы быть алгеброй стабильных когомологических операций для мода $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$когомологий.

Для данного простого числа $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$алгебра Стинрода $A\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{p\}\}$- это градуированная алгебра Хопфа над полем $F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}\}$порядка $p\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\}$, состоящий из всех стабильных когомологических операций для мода $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$cohomology. Он генерируется квадратами Стинрода, введенными Норманом Стинродом (1947) для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$, и с помощью Стинрода уменьшил $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$th степеней, введенных в Steenrod (1953) harvtxt error: множественные цели (2 ×): CITEREFSteenrod1953 (help ) и гомоморфизм Бокштейна для $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$.

Термин" алгебра Стинрода " иногда используется для алгебры операций когомологий обобщенной теории когомологий.

• 1 Операции когомологий
• 2 Аксиоматическая характеристика
• 3 Отношения Ádem
  • 3.1 Тождества Буллетта – Макдональда
• 4 Вычисления
  • 4.1 Бесконечное вещественное проективное пространство
• 5 Конструкция
• 6 Структура алгебры Стинрода
• 7 Структура алгебры Хопфа Ура и базис Милнора
• 8 Связь с формальными группами
• 9 Алгебраическая конструкция
• 10 Приложения
• 11 Связь со спектральной последовательностью Адамса и гомотопическими группами сфер
• 12 См. также
• 13 Ссылки
  • 13.1 Педагогика
  • 13.2 Ссылки

Операция когомологии - это естественное преобразование между функторами когомологий. Например, если мы возьмем когомологии с коэффициентами в кольце, операция возведения в квадрат чашечного произведения даст семейство операций когомологий:

$H\; n\; (X;\; R)\; \to \; H\; 2\; N\; (Икс;\; R)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (X;\; R)\; \backslash \; к\; H\; ^\; \{2n\}\; (X;\; R)\}$

$х\; \mapsto \; x\; ⌣\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; \backslash \; smile\; x.\}$

Операции когомологий не обязательно должны быть гомоморфизмами градуированных колец; см. формулу Картана ниже.

Эти операции не переключаются с приостановкой - то есть они нестабильны. (Это потому, что если $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$является приостановкой пространства $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, произведение чашки на когомологии $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$тривиально.) Стинрод построил стабильные операции

$S\; qi:\; H\; n\; (X;\; Z\; /\; 2)\; \to \; H\; n\; +\; i\; (X;\; Z\; /\; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{i\}:\; H\; ^\; \{n\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{n\; +\; i\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\}$

для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$больше нуля. Обозначение $S\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\}$и их название, квадраты Стинрода, происходят от того факта, что $S\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{n\}\}$ограничено классами степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- квадрат чашки. Аналогичные операции выполняются для нечетных первичных коэффициентов, обычно обозначаемых $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{i\}\}$и называемых сокращенным $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$операции -й степени:

$P\; i:\; H\; n\; (X;\; Z\; /\; p)\; \to \; H\; n\; +\; 2\; i\; (p\; -\; 1)\; (X;\; Z\; /\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{i\}\; \backslash \; двоеточие\; H\; ^\; \{n\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p)\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{n\; +\; 2i\; (p-1)\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p)\}$

$S\; qi\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{i\}\}$сгенерировать связную градуированную алгебру над $Z\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\}$, где умножение задается следующим образом: состав операций. Это алгебра Стинрода по модулю 2. В случае $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$, мод $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$алгебра Стинрода генерируется с помощью $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \}\}$и операция Бокштейна $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, связанная с короткой точной последовательностью

$0\; \to \; Z\; /\; p\; \to \; Z\; /\; p\; 2\; \to \; Z\; /\; p\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; ^\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; to\; 0.\}$

В случае $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$элемент Бокштейна равен $S\; q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{1\}\}$и уменьшенная $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-я степень $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{i\}\}$равна $S\; q\; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{2i\}\}$.

Норман Стинрод и Дэвид Б.А. Эпштейн (1962) показали, что квадраты Стинрода $S\; qn:\; H\; m\; \to \; H\; m\; +\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{n\}\; \backslash \; двоеточие\; H\; ^\; \{m\}\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{m\; +\; n\}\}$характеризуются следующими 5 аксиомами:

1. Естественность: $S\; qn:\; H\; м\; (Х;\; Z\; /\; 2)\; \to \; ЧАС\; м\; +\; N\; (X;\; Z\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{n\}\; \backslash \; двоеточие\; H\; ^\; \{m\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\; \backslash \; к\; H\; ^\; \{m\; +\; n\; \}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\}$является аддитивным гомоморфизмом и функториален по отношению к любому $f:\; X\; \to \; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; к\; Y.\}$поэтому $f\; \ast \; (S\; qn\; (x))\; =\; S\; qn\; (f\; \ast \; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{*\}\; (\; Sq\; ^\; \{n\}\; (x))\; =\; Sq\; ^\; \{n\}\; (f\; ^\; \{*\}\; (x))\}$.
2. $S\; q\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{0\}\}$- идентификатор гомоморфизм.
3. $S\; qn\; (x)\; =\; x\; ⌣\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{n\}\; (x)\; =\; x\; \backslash \; smile\; x\}$для $x\; \in \; H\; n\; (X;\; Z\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{n\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\}$.
4. Если $n>deg\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; n>\backslash \; deg\; (x)\}$, затем $S\; qn\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{n\}\; (x)\; =\; 0\}$
5. Формула Картана: $S\; qn\; (x\; ⌣\; y)\; =\; \sum \; i\; +\; j\; =\; n\; (S\; qix)\; ⌣\; (S\; qjy)\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{n\}\; (x\; \backslash \; smile\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; n\}\; (Sq\; ^\; \{i\}\; x)\; \backslash \; улыбка\; (Sq\; ^\; \{j\; \}\; y)\}$

Кроме того, квадраты Стинрода обладают следующими свойствами:

• $S\; q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{1\}\}$- гомоморфизм Бокштейна $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$точной последовательности $0\; \to \; Z\; /\; 2\; \to \; Z\; /\; 4\; \to \; Z\; /\; 2\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 4\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; to\; 0.\; \}$
• $S\; qi\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{i\}\}$коммутирует со связующим морфизмом длинной точной последовательности в когомологиях. В частности, он коммутирует относительно подвески $H\; k\; (X;\; Z\; /\; 2)\; \cong \; H\; k\; +\; 1\; (\Sigma \; X;\; Z\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; (\backslash \; Sigma\; X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\}$
• Они удовлетворяют соотношениям Ádem, описанным ниже

Аналогичным образом следующие аксиомы характеризуют сокращенный $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-я степень для $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$.

1. Естественность: $P\; n:\; H\; m\; (X,\; Z\; /\; p\; Z)\; \to \; ЧАС\; м\; +\; 2\; N\; (п\; -\; 1)\; (X,\; Z\; /\; p\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{n\}:\; H\; ^\; \{m\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{m\; +\; 2n\; (p-1)\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$- аддитивный гомоморфизм и естественный.
2. $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{0\}\}$- гомоморфизм идентичности.
3. $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{n\}\}$- чашка $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-я степень по классам степени $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$.
4. Если $2\; n>deg\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n>\backslash \; deg\; (x)\}$, затем $P\; n\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{n\}\; (x)\; =\; 0\}$
5. Формула Картана: $P\; n\; (x\; ⌣\; y)\; =\; \sum \; i\; +\; j\; =\; n\; (P\; ix)\; ⌣\; (P\; jy)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{n\}\; (x\; \backslash \; smile\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\; +\; j\; =\; n\}\; (P\; ^\; \{i\}\; x)\; \backslash \; smile\; (P\; ^\; \{j\}\; y)\}$

Как и раньше, приведенные p-ые степени также удовлетворяют соотношениям Ádem и коммутируют с операторами подвески и границы.

Отношения Ádem для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$были предположены Вэнь-цюнь Ву (1952) и установлен Хосе Адем (1952). Они задаются формулой

$S\; qi\; S\; qj\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \lfloor \; i\; /\; 2\; \rfloor \; (j\; -\; k\; -\; 1\; i\; -\; 2\; k)\; S\; qi\; +\; j\; -\; k\; S\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{i\}\; Sq\; ^\; \{j\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; lfloor\; i\; /\; 2\; \backslash \; rfloor\}\; \{jk-1\; \backslash \; choose\; i-2k\}\; Sq\; ^\; \{i\; +\; jk\}\; Sq\; ^\; \{k\}\}$

для всех $i,\; j>0\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j>0\}$такой, что . (Биномиальные коэффициенты следует интерпретировать по модулю 2.) Соотношения Ádem позволяют записать произвольную композицию квадратов Стинрода в виде суммы базисных элементов Серра – Картана.

Для нечетного $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$отношения Ádem следующие:

$P\; a\; P\; b\; =\; \sum \; i\; (-\; 1)\; a\; +\; я\; ((п\; -\; 1)\; (б\; -\; я)\; -\; 1\; а\; -\; пи)\; п\; а\; +\; б\; -\; я\; п\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{a\}\; P\; ^\; \{b\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\}\; (-\; 1)\; ^\; \{a\; +\; i\}\; \{(p-1)\; (bi)\; -1\; \backslash \; выберите\; a-pi\}\; P\; ^\; \{a\; +\; bi\}\; P\; ^\; \{i\}\}$

для a

$P\; a\; \beta \; P\; b\; =\; \sum \; i\; (-\; 1)\; a\; +\; i\; ((p\; -\; 1)\; (b\; -\; i)\; a\; -\; pi)\; \beta \; P\; a\; +\; b\; -\; i\; P\; i\; +\; \sum \; i\; (-\; 1)\; a\; +\; i\; +\; 1\; ((p\; -\; 1)\; (б\; -\; я)\; -\; 1\; а\; -\; р\; я\; -\; 1)\; п\; a\; +\; б\; -\; я\; \beta \; п\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{a\}\; \backslash \; бета\; P\; ^\; \{b\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; (-\; 1)\; ^\; \{a\; +\; i\}\; \{(p-1)\; (bi)\; \backslash \; choose\; a-pi\}\; \backslash \; beta\; P\; ^\; \{a\; +\; bi\}\; P\; ^\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; (-\; 1)\; ^\; \{a\; +\; i\; +\; 1\}\; \{(p-1)\; (\; bi)\; -1\; \backslash \; выберите\; a-pi-1\}\; P\; ^\; \{a\; +\; bi\}\; \backslash \; beta\; P\; ^\; \{i\}\}$

для $a\; \le \; pb\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; leq\; pb\}$.

Bullett– Тождества Макдональда

Шон Р. Буллет и Ян Г. Макдональд (1982) переформулировали отношения Адема как следующие идентичности.

Для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$положите

$P\; (t)\; =\; \sum \; i\; \ge \; 0\; ti\; Sq\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; 0\}\; t\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; text\; \{Sq\}\}\; ^\; \{i\}\}$

тогда отношения Ádem эквивалентны

$P\; (s\; 2\; +\; st)\; \cdot \; P\; (t\; 2)\; знак\; равно\; п\; (t\; 2\; +\; st)\; \cdot \; п\; (s\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; st)\; \backslash \; cdot\; P\; (t\; ^\; \{2\})\; =\; P\; (t\; ^\; \{2\}\; +\; st)\; \backslash \; cdot\; P\; (s\; ^\; \{2\})\}$

Для $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$положим

$P\; (t)\; =\; \sum \; i\; \ge \; 0\; ti\; P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; 0\}\; t\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; text\; \{P\}\}\; ^\; \{i\}\}$

то отношения Ádem эквивалентны утверждению, что

$(1\; +\; s\; Ad\; \beta )\; P\; (TP\; +\; TP\; -\; 1\; s\; +\; \cdots \; +\; tsp\; -\; 1)\; P\; (sp)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; s\; \{\backslash \; text\; \{Ad\}\}\; \backslash \; beta)\; P\; (t\; ^\; \{p\}\; +\; t\; ^\; \{p-1\}\; s\; +\; \backslash \; cdots\; +\; ts\; ^\; \{p-1\})\; P\; (s\; ^\; \{p\})\}$

симметричен в $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$и $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Здесь $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$- операция Бокштейна и $(Ad\; \; \beta )\; P\; =\; \beta \; P\; -\; P\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; operatorname\; \{Ad\}\; \backslash \; beta)\; P\; =\; \backslash \; beta\; PP\; \backslash \; beta\}$.

Бесконечное реальное проективное пространство

Операции Стинрода для реального проективного пространства можно легко вычислить, используя формальные свойства квадратов Стинрода. Напомним, что

$H\; \ast \; (RP\; \infty ;\; Z\; /\; 2)\; \cong \; Z\; /\; 2\; [x],\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; mathbb\; \{RP\}\; ^\; \{\backslash \; infty\};\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; [x],\}$

где $deg\; \; (x)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (x)\; =\; 1.\}$Для операции с $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\}$мы знаем, что

$S\; q\; 0\; (x)\; =\; x\; S\; q\; 1\; (x)\; =\; x\; 2\; S\; qk\; (x)\; =\; 0\; для\; любого\; k>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Sq\; ^\; \{0\}\; (x)\; =\; x\; \backslash \backslash \; Sq\; ^\; \{1\}\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; Sq\; ^\; \{k\; \}\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{для\; любого\}\}\; k>1\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

Использование операции

$S\; q:\; =\; S\; q\; 0\; +\; S\; q\; 1\; +\; S\; q\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; Sq:\; =\; Sq\; ^\; \{0\}\; +\; Sq\; ^\; \{1\}\; +\; Sq\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

заметим, что соотношение Картана подразумевает, что

$S\; q:\; H\; \ast \; (X)\; \to \; H\; \ast \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; \backslash \; двоеточие\; H\; ^\; \{*\}\; (X)\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{*\}\; (X)\}$

- морфизм кольца. Следовательно,

$S\; q\; (xn)\; =\; (S\; q\; (x))\; n\; =\; (x\; +\; x\; 2)\; n\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; (ni)\; xn\; +\; i\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; Sq\; (x\; ^\; \{n\})\; =\; (Sq\; (x))\; ^\; \{n\}\; =\; (x\; +\; x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; выберите\; i\}\; x\; ^\; \{n\; +\; i\}\}$

Поскольку существует только одна степень $n\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; i\}$компонент предыдущей суммы, мы имеем, что

$S\; qi\; (xn)\; =\; (ni)\; xn\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{i\}\; (x\; ^\; \{n\})\; =\; \{n\; \backslash \; choose\; i\}\; x\; ^\; \{n\; +\; i\}\}$

Предположим, что $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$является любой степенью $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$подгруппой симметричной группы на $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$points, $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$класс когомологии в $H\; q\; (X,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{q\}\; (\; X,\; B)\}$, $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$абелева группа, на которую действует $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$класс когомологии в $H\; i\; (\pi ,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{i\}\; (\backslash \; pi,\; A)\}$. Steenrod (1953) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFSteenrod1953 (help ) показал, как построить уменьшенную мощность $un\; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{n\}\; /\; c\}$i n $ЧАС\; nq\; -\; я\; (Икс,\; (A\; \otimes \; B\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; B)\; /\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{nq-i\}\; (X,\; (A\; \backslash \; otimes\; B\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; B)\; /\; \backslash \; pi)\}$следующим образом.

1. Если взять внешнее произведение $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$на себя $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$раз, мы получим эквивариантный коцикл на $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}\}$с коэффициентами в $B\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; B\}$.
2. Выберите $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$должно быть сжимаемым пространством, на котором $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$действует свободно, и эквивариантной картой из $E\; \times \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; times\; X\}\; от$до $X\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}.\}$Оттягивание $un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{n\}\}$по этой карте дает эквивариантный коцикл на $E\; \times \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; times\; X\}$и, следовательно, коцикл $E\; /\; \pi \; \times \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; /\; \backslash \; pi\; \backslash \; times\; X\}$с коэффициентами в $B\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; B\}$.
3. Взятие наклонного произведения с $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$в $H\; i\; (E\; /\; \pi ,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{i\}\; (E\; /\; \backslash \; pi,\; A)\}$дает коцикл $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с коэффициентами в $H\; 0\; (\pi ,\; A\; \otimes \; B\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; (\backslash \; pi,\; A\; \backslash \; otimes\; B\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; B)\}$.

квадраты Стинрода и уменьшенные степени являются частными случаями этой конструкции, где $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$- циклическая группа простого порядка $p\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; n\}$действует как циклическая перестановка элементов $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и групп $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; B\}$являются циклическими порядка $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, так что $H\; 0\; (\pi ,\; A\; \otimes \; B\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; (\backslash \; pi,\; A\; \backslash \; otimes\; B\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; B)\}$также является циклом порядка $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

Жан-Пьер Серр (1953) (для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$) и Анри Картан (1954, 1955) (для $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$) описал структуру алгебры Стинрода стабильного мода $p\}\; \{\backslash \; displaystyle$операции когомологий, показывающие, что они порождаются гомоморфизмом Бокштейна вместе с приведенными степенями Стинрода, а отношения Адема порождают идеал отношений между этими генераторами. В частности, они нашли явную основу для алгебры Стинрода. Эта основа опирается на определенное понятие допустимости целочисленных последовательностей. Мы говорим, что последовательность

$i\; 1,\; i\; 2,\dots ,\; in\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{1\},\; i\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; i\_\; \{n\}\}$

допустима, если для каждого $j\; \{\; \backslash \; displaystyle\; j\}$, мы имеем, что $ij\; \ge \; 2\; ij\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{j\}\; \backslash \; geq\; 2i\_\; \{j\; +\; 1\}\}$. Тогда элементы

$S\; q\; I\; =\; S\; qi\; 1\; \cdots \; S\; qin,\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{I\}\; =\; Sq\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; Sq\; ^\; \{i\_\; \{n\}\},\}$

где $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- допустимая последовательность, образующая базис (базис Серра – Картана) для алгебры Стинрода mod 2. Аналогичное основание существует и для случая $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$, состоящий из элементов

$S\; qp\; I\; =\; S\; qpi\; 1\; \cdots \; S\; qpin,\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\_\; \{p\}\; ^\; \{I\}\; =\; Sq\_\; \{p\}\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; Sq\_\; \{p\}\; ^\; \{i\_\; \{n\}\},\}$

такой, что

$ij\; \ge \; pij\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{j\}\; \backslash \; geq\; pi\_\; \{j\; +1\}\}$

$ij\; \equiv \; 0,\; 1\; mod\; 2\; (p\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{j\}\; \backslash \; Equiv\; 0,1\; \{\backslash \; bmod\; \{2\}\}\; (p-1)\}$

$S\; qp\; 2\; К\; (п\; -\; 1)\; знак\; равно\; п\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; Sq\_\; \{p\}\; ^\; \{2k\; (р-1)\}\; =\; P\; ^\; \{k\}\}$

$S\; qp\; 2\; k\; (p\; -\; 1)\; +\; 1\; =\; \beta \; P\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\_\; \{p\}\; ^\; \{2k\; (p-1)\; +1\}\; =\; \backslash \; beta\; P\; ^\; \{k\}\}$

Алгебра Стинрода имеет больше структуры, чем градуированная $F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{p\}\}$-алгебра. Это также алгебра Хопфа, так что, в частности, имеется диагональ или коумножение карта

$\psi :\; A\; \to \; A\; \otimes \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; to\; Иногда\; A.\}$

индуцировано формулой Картана для действия алгебры Стинрода на чашечное произведение. Его проще описать, чем карту продукта, и он задается следующим образом:

$\psi \; (S\; qk)\; =\; \sum \; i\; +\; j\; =\; k\; S\; qi\; \otimes \; S\; qj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (Sq\; ^\; \{k\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; k\}\; Sq\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; Sq\; ^\; \{j\}\}$

$\psi \; (P\; k)\; =\; \sum \; i\; +\; j\; =\; k\; P\; i\; \otimes \; P\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (P\; ^\; \{k\; \})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; k\}\; P\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; P\; ^\; \{j\}\}$

$\psi \; (\beta )\; =\; \beta \; \otimes \; 1\; +\; 1\; \otimes \; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; beta)\; =\; \backslash \; beta\; \backslash \; otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash \; otimes\; \backslash \; beta.\}$

Из этих формул следует, что алгебра Стинрода ко-коммутативна.

Линейная двойственная к $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$превращает (градуированный) линейный двойственный $A\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{*\}\}$в алгебру. Джон Милнор (1958) доказал для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$, что $A\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{*\}\}$- алгебра многочленов с одним образующим $\xi \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{k\}\}$степени $2\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{k\}\; -1\}$для каждого k и для $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$двойная алгебра Стинрода {<\458>A displaystyle A _ {*}}- тензорное произведение алгебры полиномов в образующих $\xi \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{k\}\}$степени $2\; pk.\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2p\; ^\; \{k\}\; -2\}$$(k\; \ge \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (k\; \backslash \; geq\; 1)\}$и внешняя алгебра в генераторах τ k степени $2\; pk\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2p\; ^\; \{k\}\; -1\}$$(k\; \ge \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (k\; \backslash \; geq\; 0)\}$. Мономиальная основа для $A\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{*\}\}$тогда дает другой выбор базиса для A, называемый базисом Милнора. С двойственной алгебре Стинрода часто удобнее работать, потому что умножение (супер) коммутативно. Коумножение для $A\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{*\}\}$является двойным произведением на A; он задается формулой

$\psi \; (\xi \; n)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; \xi \; n\; -\; i\; p\; i\; \otimes \; \xi \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; xi\; \_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{ni\}\; ^\; \{p\; ^\; \{i\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; xi\; \_\; \{i\}.\}$, где ξ 0 = 1, и

$\psi \; (\tau \; n)\; =\; \tau \; n\; \otimes \; 1\; +\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; \xi \; n\; -\; ipi\; \otimes \; \tau \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; tau\; \_\; \{n\})\; =\; \backslash \; tau\; \_\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{ni\}\; ^\; \{p\; ^\; \{i\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; tau\; \_\; \{i\}\}$если p>2

Единственными примитивными элементами из A * для p = 2 являются $\xi \; 1\; 2\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\; ^\; \{i\}\}\}$, и они двойственны $S\; q\; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{2\; ^\; \{i\}\}\}$(единственные неразложимые элементы A).

Двойственные алгебры Стинрода являются суперкоммутативными алгебрами Хопфа, поэтому их спектры представляют собой схемы супергрупп алгебр. Эти групповые схемы тесно связаны с автоморфизмами одномерных аддитивных формальных групп. Например, если p = 2, то двойственная алгебра Стинрода является групповой схемой автоморфизмов одномерной аддитивной формальной групповой схемы x + y, тождественных первому порядку. Эти автоморфизмы имеют вид

$x\; \to \; x\; +\; \xi \; 1\; x\; 2\; +\; \xi \; 2\; x\; 4\; +\; \xi \; 3\; x\; 8\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; rightarrow\; x\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; x\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{3\}\; x\; ^\; \{8\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Ларри Смит (2007) дал следующее алгебраическое построение алгебры Стинрода над конечным полем $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$порядка q. Если V является векторным пространством над $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$, тогда напишите SV для симметричной алгебры of V. Существует гомоморфизм алгебр

$\{P\; (x):\; SV\; [[x]]\; \to \; SV\; [[x]]\; P\; (x)\; (v)\; =\; v\; +\; F\; (v)\; x\; =\; v\; +\; vqxv\; \in \; V\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; P\; (x)\; \backslash \; двоеточие\; SV\; [[x]]\; \backslash \; SV\; [[x]]\; \backslash \backslash \; P\; (x)\; (v)\; =\; v\; +\; F\; (v)\; x\; =\; v\; +\; v\; ^\; \{q\}\; x\; v\; \backslash \; in\; V\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где F - эндоморфизм Фробениуса SV. Если мы положим

$P\; (x)\; (f)\; =\; \sum \; P\; i\; (f)\; xip>2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x)\; (f)\; =\; \backslash \; sum\; P\; ^\; \{i\}\; (f)\; x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; p>2\}$

или

$P\; (x)\; (f)\; =\; \sum \; S\; q\; 2\; i\; (f)\; xip\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x)\; (f)\; =\; \backslash \; sum\; Sq\; ^\; \{2i\}\; (f)\; x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; p\; =\; 2\}$

для $f\; \in \; SV\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; SV\}$тогда, если V бесконечномерно, элементы $PI\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{I\}\}$генерирует изоморфизм алгебры к подалгебре алгебры Стинрода, порожденный уменьшенной p'-й степенью для нечетного p или четными квадратами Стинрода $S\; q\; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{2i\}\}$для $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$.

Ранние приложения алгебры Стинрода были вычислены Джин -Пьер Серр некоторых гомотопических групп сфер, используя совместимость трансгрессивных дифференциалов в спектральной последовательности Серра с S операции тинрода и классификация Рене Тома гладких многообразий с точностью до кобордизма посредством отождествления градуированного кольца классов бордизмов с гомотопическими группами комплексов Тома в стабильном диапазоне. Последнее было уточнено до случая ориентированных многообразий С. Т. К. Уолл. Известное применение операций Стинрода, включающее факторизацию через операции вторичных когомологий, связанных с соответствующими отношениями Адема, было решением Дж. Фрэнк Адамс из проблемы с инвариантом Хопфа. Одним из довольно элементарных приложений алгебры Стинрода mod 2 является следующая теорема.

Теорема . Если есть карта $S\; 2\; n\; -\; 1\; \to \; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2n-1\}\; \backslash \; to\; S\; ^\; \{n\}\}$из инвариантной единицы Хопфа, то n является степенью 2.

Доказательство использует тот факт, что каждый $S\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; Sq\; ^\; \{k\}\}$разложим для k, которое не является степень 2; то есть такой элемент представляет собой произведение квадратов строго меньшей степени.

Когомология алгебры Стинрода - это $E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\}$член для (p-локальной ) спектральной последовательности Адамса, упор которой является p-компонентой стабильных гомотопических групп сфер. Более конкретно, член $E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\}$этой спектральной последовательности может быть идентифицирован как

$E\; x\; t\; A\; s,\; t\; (F\; p,\; F\; p).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Ext\}\; \_\; \{A\}\; ^\; \{s,\; t\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\},\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}).\}$

Вот что подразумевается под афоризм «когомологии алгебры Стинрода есть приближение к стабильным гомотопическим группам сфер».

• операция когомологии Понтрягина

Педагогический

• Малкевич, Кэри, Алгебра Стинрода (PDF), заархивировано с оригинала на 2017-08-15 CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (ссылка )

Ссылки

• Ádem, José (1952), «Повторение квадратов Стинрода в алгебраической топологии. ", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 38(8): 720–726, Bibcode : 1952PNAS... 38..720A, doi : 10.1073 / pnas.38.8.720, ISSN 0027-8424, JSTOR 88494, MR 0050278, PMC 1063640, PMID 16589167
• Bullett, Shaun R.; Macdonald, Ян Г. (1982), «Об отношениях Адема», Топология. Международный журнал математики, 21(3): 329–332, doi : 10.1016 / 0040-9383 (82) 90015-5, ISSN 0040-9383, MR 0649764
• Картан, Анри (1954), "Sur les groupes d ' Эйл Enberg-Mac Lane. II ", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 40(8): 704–707, Bibcode : 1954PNAS... 40..704C, doi : 10.1073 / pnas.40.8.704, ISSN 0027-8424, JSTOR 88981, MR 0065161, PMC 534145, PMID 16589542
• Картан, Анри (1955), "Sur l'itération des opérations de Steenrod", Commentarii Mathematici Helvetici, 29(1): 40–58, doi : 10.1007 / BF02564270, ISSN 0010-2571, MR 0068219
• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, 2002. Доступно бесплатно в Интернете на домашней странице автора .
• Малыгин, С.Н.; Постников, MM (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Малыгин, С.Н.; Постников, М.М. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Мэй, Дж. Питер (1970), «Общий алгебраический подход к операциям Стинрода» (PDF), T Алгебра Стинрода и ее приложения (Proc. Конф. в честь шестидесятилетия Н.Э. Стинрода, Battelle Memorial Inst., Колумбус, Огайо, 1970), Lecture Notes in Mathematics, 168, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 153 –231, CiteSeerX 10.1.1.205.6640, doi : 10.1007 / BFb0058524, ISBN 978-3-540-05300-2, MR 0281196
• Милнор, Джон Уиллард (1958), «Алгебра Стинрода и двойственная ей», Анналы математики, Вторая серия, 67 (1): 150–171, doi : 10.2307 / 1969932, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969932, MR 0099653
• Мошер, Роберт Э.; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978- 0-486-46664-4, MR 0226634
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1953), "Cohomologie modulo 2 des complex d'Eilenberg-MacLane", Commentarii Mathematici Helvetici, 27(1): 198–232, doi : 10.1007 / BF02564562, ISSN 0010-2571, MR 0060234
• Смит, Ларри (2007). "Алгебраическое введение в алгебру Стинрода". В Хаббаке, Джон; Hu'ng, Nguyễn H.V.; Шварц, Лайонел (ред.). Труды школы и конференции по алгебраической топологии. Монографии по геометрии и топологии. 11 . С. 327–348. arXiv : 0903.4997. doi : 10.2140 / gtm.2007.11.327. MR 2402812.
• Стинрод, Норман Э. (1947), «Продукты коциклов и расширения отображений», Annals of Mathematics, Second Series, 48 (2): 290–320, doi : 10.2307 / 1969172, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969172, MR 0022071
• Стинрод, Норман Э. (1953), «Группы гомологии симметрических групп и операции с пониженной степенью ", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 39(3): 213–217, Bibcode : 1953PNAS... 39..213S, doi : 10.1073 / pnas.39.3.213, ISSN 0027-8424, JSTOR 88780, MR 0054964, PMC 1063756, PMID 16589250
• Стинрод, Норман Э. (1953), «Циклические приведенные степени классов когомологий», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 39(3): 217–223, Bibcode : 1953PNAS...39..21 7S, doi : 10.1073 / pnas.39.3.217, ISSN 0027-8424, JSTOR 88781, MR 0054965, PMC 1063757, PMID 16589251
• Стинрод, Норман Э. (1962), Эпштейн, Дэвид Б.А. (ред.), Операции когомологии, Annals of Mathematics Studies, 50, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07924-0, MR 0145525
• Wu, Wen-tsün (1952), Sur les puissances de Steenrod, Colloque de Topologie de Strasbourg, IX, La Bibliothèque Nationale et Universitaire de Strasbourg, MR 0051510