Кольцо многочленов

Алгебраическая структура

В математике, особенно в области алгебры, много кольцочленов или алгебра многочленов представляет собой кольцо (которое также является коммутативной алгеброй ), образованным из установить из многочленов в один или несколько неопределенных (традиционно называемых переменными ) с коэффициентами в другом кольце, часто поле.

Часто термин «кольцо многочленов» неявно относится к частному случаю кольца многочленов от одного неопределенного над полем. Важность таких колец многочленов зависит от большого числа свойств, которые у них есть общие с кольцом целых чисел.

Полиномиальные кольца встречаются и часто являются фундаментальными во многих областях математики, таких как теория чисел, коммутативная алгебра и теория колец и алгебраическая геометрия. Многие классы колец, такие как уникальные области факторизации, регулярные кольца, групповые кольца, кольца формальных степенных рядов, Многочлены Оре, градуированные кольца были введены для обобщения некоторых свойств колец многочленов.

Тесно-образные понятием являются понятие кольца полиномиальных функций в более общем смысле и, в более общем смысле, кольца регулярных функций на алгебраическом разнообразии.

• 1 Определение (одномерный случай)
  • 1.1 Терминология
  • 1.2 Полиномиальное вычисление
• 2 Одномерные многочлены над полем
  • 2.1 Вывод
    • 2.1. 1 Факторизация без квадратов
    • 2.1.2 Интерполяция Лагранжа
    • 2.1.3 Разложение полиномов
  • 2.2 Факторизация
  • 2.3 Минимальный многочлен
  • 2.4 Кольцо частных
  • 2.5 Модули
• 3 Определение (многомерное дело)
  • 3.1 Операции в K [X 1,..., X n]
  • 3.2 Полиномиальное выражение
  • 3.3 Категориальная характеристика
• 4 Градиентная структура
• 5 Одномерные по кольцу против многомерного
  • 5.1 Свойства, переходящие от R к R [X]
• 6 Несколько неопределенных над полем
  • 6.1 Нуллстеллензац Гильберта
  • 6.2 Теорема Безу
  • 6.3 Гипотеза о якобиане
• 7 Обобщения
  • 7.1 Бесконечно много чисел
  • 7.2 Обобщенные показатели
  • 7.3 Степенный ряд
  • 7.4 Некоммутативные кольца многочленов
  • 7.5 Дифференциальные и косополиномиальные кольца
  • 7.6 Полиномиальные установки
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

Кольцо многочленов, K [X], в X над полем (или, в более общем смысле, коммутативным кольцом ) K можно определить (существуют и другие эквивалентные определения, которые обычно используются) как набор выражений, называемых полиномами в X, в форме

$p\; =\; p\; 0\; +\; п\; 1\; Икс\; +\; п\; 2\; Икс\; 2\; +\; \cdots \; +\; pm\; -\; 1\; X\; m\; -\; 1\; +\; pm\; X\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; p\_\; \{0\}\; +\; p\_\; \{1\}\; X\; +\; p\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{m-\; 1\}\; X\; ^\; \{m-1\}\; +\; p\_\; \{m\}\; X\; ^\; \{m\},\}$

где p 0, p 1,..., p m, коэффициенты числа p, являются элементами K, p m ≠ 0, если m>0, и X, X,..., являются символами, которые считаются "степенями" X и следуют обычным правилам возведения в степень : X = 1, X = X и $X\; k\; X\; l\; =\; X\; k\; +\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\; k\}\; \backslash ,\; X\; ^\; \{l\}\; =\; X\; ^\; \{k\; +\; l\}\}$для любого неотрицательные целые числа k и l. Символ X называется неопределенным или переменным. (Термин «переменная» происходит от терминологии полиномиальных функций. Однако здесь X не имеет значения (кроме самого себя) и не может изменяться, будучи константой в кольце многочленов.)

Два полинома равны, если соответствующие коэффициенты каждого X равны.

Можно представить кольцо K [X] как возникшее из K путем добавления одного нового элемента X, который используется по отношению к K, коммутирует со всеми элементами K и не имеет других специфических свойств. (Это может многочленов.)

Кольцо многочленов в X над K оснащено сложено, умножением и скалярным умножением, что делает его коммутативным алгебра. Эти операции определены в соответствии с обычными правилами с алгебраическими выражениями. В частности, если

$p\; =\; p\; 0\; +\; p\; 1\; X\; +\; p\; 2\; X\; 2\; +\; \cdots \; +\; pm\; X\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; p\_\; \{0\}\; +\; p\_\; \{1\}\; X\; +\; p\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{m\}\; X\; ^\; \{m\},\}$

и

$q\; =\; q\; 0\; +\; q\; 1\; X\; +\; q\; 2\; X\; 2\; +\; \cdots \; +\; qn\; X\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; q\_\; \{0\}\; +\; q\_\; \{1\}\; X\; +\; q\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; q\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\},\}$

,

$p\; +\; q\; =\; r\; 0\; +\; r\; 1\; Икс\; +\; р\; 2\; Икс\; 2\; +\; \cdots \; +\; рк\; Икс\; К,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; +\; q\; =\; r\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{1\}\; X\; +\; r\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\_\; \{k\}\; X\; ^\; \{k\},\}$

и

$pq\; =\; s\; 0\; +\; s\; 1\; X\; +\; s\; 2\; X\; 2\; +\; \cdots \; +\; sl\; X\; l,\; \{\backslash \; displaystyle\; pq\; =\; s\_\; \{0\}\; +\; s\_\; \{1\}\; X\; +\; s\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; s\_\; \{l\}\; X\; ^\; \{l\},\}$

где k = max (m, n), l = m + n,

$ri\; =\; pi\; +\; qi\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{i\}\; =\; p\_\; \{i\}\; +\; q\_\; \{i\}\}$

и

$si\; =\; p\; 0\; qi\; +\; p\; 1\; qi\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; piq\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\; =\; p\_\; \{0\}\; q\_\; \{i\}\; +\; p\_\; \{1\}\; q\_\; \{i-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{i\}\; q\_\; \{0\}.\}$

В этих формулах многочлены p и q расширяются путем добавления «фиктивных членов» с нулевыми коэффициентами, которые проявляют все p i и q i, появляются в ф ормулах. В частности, если m < n, then pi= 0 для m < i ≤ n.

, скалярное умножение является частным случаем умножения, когда p = p 0 сводится к его постоянному члену (члену, который является независимым из X); то есть

$p\; 0\; (q\; 0\; +\; q\; 1\; X\; +\; \cdots \; +\; qn\; X\; n)\; =\; p\; 0\; q\; 0\; +\; (p\; 0\; q\; 1)\; X\; +\; \cdots \; +\; (p\; 0\; qn)\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\; \}\; \backslash \; left\; (q\_\; \{0\}\; +\; q\_\; \{1\}\; X\; +\; \backslash \; dots\; +\; q\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; p\_\; \{0\}\; q\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; left\; (p\_\; \{0\}\; q\_\; \{1\; \}\; \backslash \; right)\; X\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (p\_\; \{0\}\; q\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{n\}\}$

Несложно проверить, что эти операции выполняют аксиомам коммутативной алгебры над K. Следовательно, кольца полиномов также называются алгебрами полиномов.

Часто предпочтительнее другое эквивалентное определение, хотя и менее интуитивно понятное, поскольку его легче сделать полностью строгим, которое в определении многочлена как бесконечной последовательность (p0, p 1, p 2,…) элементов K, обладающих тем своим, что только конечное число элементов ненулевое, или, что эквивалентно, последовательность, для которой существует некоторое количество m, так что p n = 0 для п>м. В этом случае p 0 и X рассматриваются как альтернативные обозначения для последовательностей (p 0, 0, 0,...) и (0, 1, 0, 0,...) соответственно. Непосредственное использование операций показывает, что выражение

$p\; 0\; +\; p\; 1\; X\; +\; p\; 2\; X\; 2\; +\; \cdots \; +\; pm\; X\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; +\; p\_\; \{1\}\; X\; +\; p\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{m\}\; X\; ^\; \{m\}\}$

- альтернативная запись для следовать

(p0, p 1, p 2,..., р м, 0, 0,…).

Терминология

Пусть

$p\; =\; p\; 0\; +\; p\; 1\; X\; +\; p\; 2\; X\; 2\; +\; \cdots \; +\; pm\; -\; 1\; X\; m\; -\; 1\; +\; pm\; X\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; p\_\; \{0\; \}\; +\; p\_\; \{1\}\; X\; +\; p\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{m-1\}\; X\; ^\; \{m-1\}\; +\; p\_\; \{m\}\; X\; ^\; \{m\},\}$

- ненулевой полином с $pm\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{m\}\; \backslash \; neq\; 0\}$

Постоянный член p равно $p\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}.\}$Он равен нулю в случае нулевого многочлена.

Степень p, записанная deg (p), равна $m,\; \{\backslash \; displaystyle\; m,\}$наибольшее k такое, что коэффициент перед X не равен нулю.

Старший коэффициент p равен $пм.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{m\}.\}$

В частном случае нулевого многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, старший коэффициент не определен, а степень оставлена ​​неопределенной по-разному, определенной как -1, или определяется –∞.

Постоянный многочлен - это либо нулевой многочлен, либо многочлен нулевой степени.

Ненулевой многочлен равен monic, если его старший коэффициент равен $1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1.\}$

Для двух многочленов p и q один имеет

$deg\; \; (p\; +\; q)\; \le \; max\; (deg\; \; (p),\; deg\; \; (q)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (p\; +\; q)\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; (\backslash \; deg\; (p),\; \backslash \; deg\; (q)),\}$

и, над полем , или, в более общем смысле, в области целостности ,

$deg\; \; (pq)\; =\; deg\; \; (p)\; +\; deg\; \; (q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (pq)\; =\; \backslash \; deg\; (p)\; +\; \backslash \; deg\; (q).\}$

Отсюда следует немедленно, что если K является областью целостности, то K [X] тоже.

, если он является неотъемлемой частью целостности (то есть имеет мультипликативный обратный ) единица измерения в К.

Два полинома связаны, если один из них является произведением другого на единицу.

Над полем каждый ненулевой многочлен связан с уникальным моническим многочленом.

Для двух многочленов, p и q, говорят, что p делит q, p является делителем q или q делится на p, если существует многочлен r такой, что q = pr.

Многочлен является неприводимым, если он не является произведением двух непостоянных многочленов или, что эквивалентно, если его делители являются либо постоянными многочленами, либо имеют одинаковую степень.

Вычисление полинома

Пусть K - поле или, в более общем смысле, коммутативное кольцо, а R - кольцо, содержащее K. Для любого полинома p в K [X ] и любой элемент a в R замена X на a в p определяет элемент R, который является , обозначенным P (a). Этот элемент получается продолжением в R после подстановки операций, обозначенных выражением полинома. Это вычисление называется оценкой P в a. Например, если у нас есть

$P\; =\; X\; 2\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; X\; ^\; \{2\}\; -1,\}$

, мы имеем

$P\; (3)\; =\; 3\; 2-1\; =\; 8,\; П\; (Икс\; 2\; +\; 1)\; знак\; равно\; (Икс\; 2\; +\; 1)\; 2-1\; =\; Икс\; 4\; +\; 2\; Икс\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\; (3)\; =\; 3\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 8,\; \backslash \; \backslash \; P\; (X\; ^\; \{2\}\; +1)\; =\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; X\; ^\; \{4\}\; +\; 2X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

(в первом примере R = K, а во втором R = K [X]). Подстановка X вместо самого себя приводит к

$P\; =\; P\; (X),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; P\; (X),\}$

, объясняющему, почему предложения «Пусть P - многочлен» и «Пусть P (X) будет многочлен "эквивалентны.

Полиномиальная функция, определяемая полиномом P, - это функция из K в K, которая определяет как $x\; \mapsto \; P\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; P\; (x).\}$Если K - бесконечное поле, два разных полинома определяют разные полиномиальные функции, но это свойство неверно для конечных полей. Например, если K - поле с q элементами, то полиномы 0 и X - X определяют нулевую функцию. 523>

Для каждого в R оценка в a, то есть карта $P\; \mapsto \; P\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; mapsto\; P\; (a)\}$указать гомоморфизм алгебр из K [X] в R, который является единственным гомоморфизмом из K [X] в R, который фиксирует K и отображает в a. Другими словами, K [X] обладает следующим универсальным свойством. каждого кольца R, содержащего K, и элемент a из R сущес твует единственный гомоморфизм алгебр из K [X] в R, который фиксирует K и отображает X в a. Что касается всех универсальных свойств, это определяет пару (K [X], X) с точностью до единственного изоморфизма и, следовательно, может быть определение K [X].

Если K является полем, кольцо многочленов K [X] имеет много свойств, аналогичные свойстваам кольца целых чисел $Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$Большинство этих сходств является результатом сходства между делением целых чисел и полиномами.

в большой части свойств K [X], перечисленные в этом разделе не остаются верными, если K не является полем или если рассматривать многочлены от нескольких неопределенностей.

Как и для целых чисел, евклидово деление многочленов имеет свойство уникальности. То есть, для двух многочленов a и b ≠ 0 в K [X] существует единственная пара (q, r) многочленов такая, что a = bq + r, и либо r = 0, либо deg (r) < deg (b). This makes K[X] a Евклидова область. Большинство евклидовых областей (за исключением целых чисел) не имеют ни свойств уникальности для деления, ни простого алгоритма (например, деления в столбик) для вычислений евклидова деления.

Евклидово деление используется Евклидово. Здесь «наибольший» означает «имеющий максимальную степень» или, что то же самое, максимальное значение для предварительного заказа, определяемого значения. Учитывая наибольший общий делитель двух многочленов, другие наибольшие общие делители получаются умножением на ненулевую константу (то есть все наибольшие общие делители a и b связаны). В частности, два многочлена, которые не равны нулю, имеют наибольший общий делитель, который является монопольным (старший коэффициент равенства 1).

расширенный алгоритм Евклида позволяет вычислить (и доказать) личность Безу. В случае K [X] это можно указать следующим образом. Для двух многочленов p и q степеней m и n соответственно, если их монический наибольший общий делитель g имеет степень d, то существует единственная пара (a, b) многочленов такая, что

$ap\; +\; bq\; =\; g,\; \{\backslash \; displaystyle\; ap\; +\; bq\; =\; g,\}$

и

(для того, чтобы сделать это верным в предельном случае, когда m = d или n = d Более того, может иметь место равенство $deg\; \; (a)\; =\; n\; -\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (a)\; =\; nd\}$только если p и q связаны.) Свойство уникальности специфично для K [X]. В случае целых чисел то же истинное свойство, если степень заменены абсолютными значениями, но для того, чтобы иметь уникальность, нужно требовать a>0.

Лемма Евклида применима к K [X]. То есть, если a делит bc и взаимно просто с b, то a делит c. Здесь взаимно простой означает, что монический самый большой общий делитель равен 1. Доказательство: По условию и тождеству Безу существуют такие e, p и q, что ae = bc и 1 = ap + bq. Итак, $c\; =\; c\; (a\; p\; +\; b\; q)\; =\; c\; a\; p\; +\; a\; e\; q\; =\; a\; (c\; p\; +\; e\; q).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; c\; (ap\; +\; bq)\; =\; cap\; +\; aeq\; =\; a\; (cp\; +\; eq).\}$

Свойство уникальность факторизации является результатом леммы Евклида. В случае целых чисел это основная теорема арифметики. В случае K [X] это можно обозначить так: каждый непостоянный многочлен может быть выражен уникальным образом как произведение константы одного или нескольких или неприводимых одночленов; это разложение уникально до факторов. Другими словами, K [X] является уникальной областью факторизации. Если K - поле комплексных чисел, основная теорема алгебры утверждает, что одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда его степень соответствует единице. В этом случае свойства уникальной факторизации может быть переформулировано следующим образом: каждый непостоянный одномерный многочлен над комплексными числами может быть уникальным выражен как результат константы и одного или нескольких многочленов X - r; это разложение уникально до факторов. Для каждого множителя r является корнем полинома, а количество вхождений фактора - кратностью соответствующего корня.

Вывод

(формальная) производная многочлена

$a\; 0\; +\; a\; 1\; X\; +\; a\; 2\; X\; 2\; \cdots \; +\; an\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; X\; +\; a\_\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}$

- многочлен

$a\; 1\; +\; 2\; a\; 2\; X\; +\; \cdots \; +\; нан\; X\; n\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; +\; 2a\_\; \{2\}\; X\; +\; \backslash \; cdots\; +\; na\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n-1\}.\}$

В случае многочленов с вещественными или комплексными коэффициенты, это стандартная производная. Вышеприведенная формула определяет производную многочлена, даже если коэффициенты принадлежат кольцу, на котором не определено понятие limit. Производная делает кольцо многочленов дифференциальной алгеброй.

. Существование производной является одним из основных свойств кольца многочленов, которое не является общим с целыми числами, и делает некоторые вычисления более легкими для кольца многочленов, чем для целых чисел.

Факторизация без квадратов

Интерполяция Лагранжа

Полиномиальное разложение

Факторизация

За исключением факторизации, все предыдущие свойства K [X] являются эффективными, поскольку их доказательства, как показано выше, связаны с алгоритмами для проверки свойств и вычислений многочленов, существование которых утверждается. Более того, эти алгоритмы эффективны, так как их вычислительная сложность квадратичной функция ввода размера.

Ситуация совершенно иная для факторизации: доказательство уникальности факторизации не дает никаких подсказок для метода факторизации. Уже для целых чисел нет известного алгоритма факторизации их за полиномиальное время . Это основа криптосистемы RSA, широко используемой для безопасной связи в Интернете.

В случае K [X] факторы и методы их вычислений сильно зависят от K. По комплексным числам все неприводимые факторы (те, которые не могут быть разложены на множители) имеют степень 1, а над действительными числами существуют неприводимые многочлены степени 2, а над рациональными числами - неприводимые многочлены любой степени. Например, многочлен $X\; 4-2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{4\}\; -2\}$неприводим по рациональным числам, факторизуется как $(X\; -\; 2\; 4)\; (X\; +\; 2\; 4)\; (\; Икс\; 2\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{2\}\})\; (X\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{2\}\})\; (X\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\}$над действительными числами и, и как $(X\; -\; 2\; 4)\; (X\; +\; 2\; 4)\; (X\; -\; i\; 2\; 4)\; (X\; +\; i\; 2\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; -\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{2\}\})\; (X\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{2\}\})\; (Xi\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{2\}\})\; (X\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{2\}\})\}$над комплексными числами.

Существование алгоритма факторизации зависит также от основного поля. В случае действительных или комплексных чисел теорема Абеля - Руффини показывает, что корни некоторых многочленов и, следовательно, неприводимые множители не могут быть точно вычислены. Следовательно, алгоритм факторизации может вычислять только приближения факторов. Для вычислений таких приближений были разработаны различные алгоритмы, см. Нахождение корня многочленов.

. Существует пример поля K, в котором существуют точные алгоритмы для арифметических операций над K, но не может существовать никакого алгоритма для принятия решений. является ли многочлен вида $X\; p\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{p\}\; -a\}$неприводимым является произведением многочленов более низкой степени.

С другой стороны, с рациональными числами и конечными полями ситуация лучше, чем для целочисленной факторизации, поскольку есть алгоритмы факторизации, которые имеют полиномиальная сложность. Они реализованы в большинстве систем компьютерной алгебры общего назначения.

Минимальный многочлен

Если θ является элементом ассоциативной K-алгебры L, вычисление полинома в θ - это уникальный гомоморфизм алгебры φ из K [X] в L, который отображает X в θ и не влияет на элементы самого K (это тождественное отображение на К). Он состоит в замене X на θ в каждом полиноме. То есть

$\phi \; (am\; X\; m\; +\; am\; -\; 1\; X\; m\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; X\; +\; a\; 0)\; =\; am\; \theta \; m\; +\; am\; -\; 1\; \theta \; m\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; \theta \; +\; a\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (a\_\; \{m\}\; X\; ^\; \{m\}\; +\; a\_\; \{m-1\}\; X\; ^\; \{m-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; X\; +\; a\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; =\; a\_\; \{m\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{m\}\; +\; a\_\; \{m-1\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{m-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; theta\; +\; a\_\; \{0\}.\}$

Изображение этого оценочного гомоморфизма - подалгебра, порожденная x, которая обязательно коммутативна. Если φ инъективен, подалгебра, порожденная θ, изоморфна K [X]. В этом случае эту подалгебру часто обозначают K [θ]. Неоднозначность обозначений обычно безвредна из-за изоморфизма.

Если гомоморфизм оценки не является инъективным, это означает, что его ядро ​​ является ненулевым идеалом, состоящим из всех многочленов, которые становятся нулевыми, когда X заменяется θ. Этот идеал состоит из всех кратных некоторого монического многочлена, который называетсяминимальным многочленом от x. Термин минимальный мотивирован тем, что его степень минимальна среди степеней элементов идеала.

Есть два основных случая, когда рассматриваются минимальные многочлены.

В теории поля и теории чисел элемент θ поля расширения L of K алгебраическим над K, если он является некоторым образом многочлена с коэффициентами из K. Таким образом, минимальный многочлен над K для θ является моническим многочленом минимальной степени, имеющим θ в качестве корня. Минимальный многочлен (как по действительному, так и по рациональному числу) i равен Х ^ 2 + 1, предоставленный L - поле, этот минимальный многочлен обязательно неприводим над K. круговые полиномы - это минимальные полиномы от корней из единицы.

В линейной алгебре квадратные матрицы размера n × n над K образуют ассоциативная K-алгебра конечной размерности (новое пространство). Следовательно, оценочный гомоморфизм не может быть инъективным, и каждая матрица имеет минимальный многочлен (не обязательно неприводимый). Согласно теореме Кэли - Гамильтона, оценочный гомоморфизм переводит в нульический характерный многочлен матрицы. Отсюда следует, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен, следовательно, степень минимального многочлена не превосходит n.

Фактор-кольцо

В случае K [X] фактор-кольцо по идеалу может быть построено, как и в общем случае, как набор классы эквивалентности. Однако, поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно один многочлен минимальной степени, другая конструкция часто более удобна.

Для данного многочлена p степени d, фактор-кольцо K [X] по идеалу, порожденному p, можно отождествить с векторным пространством полиномов степеней меньше d, с " умножением по остатку модулю p "как умножением, умножением по модулю p, состоящее из деления на p (обычного) произведения многочленов. Это кольцо частных обозначается по-разному: $K\; [X]\; /\; p\; K\; [X],\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; pK\; [X],\}$$K\; [X]\; /\; ⟨p⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; \backslash \; langle\; p\; \backslash \; rangle,\}$$K\; [X]\; /\; (p),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; (p),\}$или просто $K\; [X]\; /\; стр.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; p.\}$

Кольцо $K\; [X]\; /\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; (p)\}$является полем, если и только если p является неприводимым многочленом. Фактически, если p неприводимо, каждый ненулевой многочлен q более низкой степени взаимно прост с p, и тождество Безу позволяет вычислить r и s такие, что sp + qr = 1; Итак, r - мультипликативный обратный q по модулю p. Наоборот, если p приводимо, существуют многочлены степени ниже deg (p) такие, что ab = p ≡ 0 (mod q); поэтому является ненулевым делителем нуля по модулю p и не может быть обратимым.

, например, стандартное определение поля комплексных чисел можно резюмировать, сказав, что это кольцо частных

$C\; =\; R\; [X]\; /\; (X\; 2\; +\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; [X]\; /\; (X\; ^\; \{2\}\; +1),\}$

и что изображение X в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$обозначается i. Фактически, согласно приведенному выше описанию, это частное состоит из всех многочленов степени один от i, которые видят a + bi, с a и b в $R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}.\}$Остаток евклидова деления, необходимое для умножения двух элементов факторного кольца, получается заменой i на –1 в их произведении как полиномах (это в точности обычное определение произведения полных чисел).

Пусть θ - алгебраический элемент в K-алгебре A. Алгебраически означает, что θ имеет минимальный многочлен p. первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что гомоморфизм подстановки индуцирует изоморфизм элемент $K\; [X]\; /\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; (p)\}$на образ K [θ] гомоморфизма подстановки. В частности, если A является общим расширением K, порожденным θ, это позволяет идентифицировать A и $K\; [X]\; /\; (p).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X]\; /\; (p).\}$Эта идентификация широко используется в теории алгебраических чисел.

Модули

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов применяется к K [X], когда K - поле. Это означает, что каждый конечно порожденный модуль над K [X] может быть разложен на прямую сумму из свободного модуля и конечного числа модулей вида $K\; [X]\; /\; ⟨P\; К\; ⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\; [X]\; /\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; P\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$, где P - неприводимый многочлен над K и ka положительное целое число.

Дано n символов $X\; 1,\dots ,\; X\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\},\}$называется определяет, моном (также называемый степенным произведением)

$X\; 1\; \alpha \; 1\; \cdots \; X\; n\; \alpha \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\}$

является формальным продуктом этих неопределенностей, возможно возведенных в неотрицательную степень. Как обычно, показатели, равными единице, и множители с нулевым показателем можно не указывать. В частности, $Икс\; 1\; 0\; \cdots \; Икс\; n\; 0\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{0\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\}\; ^\; \{0\}\; =\; 1.\}$

Кортеж показателей α = (α 1,..., α n) вектор называется мультистепени или экспоненты монома. Для менее громоздких обозначений, сокращение

$X\; \alpha \; =\; X\; 1\; \alpha \; 1\; \cdots \; X\; n\; \alpha \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\}$

часто используется. Степень монома X, часто обозначаемая как deg α или | α |, равна сумме его показателей:

$deg\; \; \alpha \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \alpha \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}.\}$

Многочлен от этих неопределенностей, с коэффициентами в поле или, в более общем смысле, кольцо, K - конечная линейная комбинация одночленов

$p\; =\; \sum \; \alpha \; p\; \alpha \; X\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

с коэффициентами в K. Степень ненулевого многочлена - это максимум из степеней его одночленов с ненулевыми коэффициентами.

Набор многочленов в $X\; 1,\dots ,\; X\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\},\}$обозначается $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n],\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}],\}$, таким образом, является векторным пространством (или свободный модуль, если K - кольцо), в основе которого лежат одночлены.

$K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}]\}$естественно снабжен (см. Ниже) умножением, которое делает кольцо и ассоциативная алгебра над K, называемая кольцом многочленов от не определенным над K (определенным артикль соответствует то, что оно однозначно определено с точностью до имени и порядка неопределенные. 391>коммутативное, $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}]\}$также является коммутативным кольцом.

Операции в K [X 1,..., X n]

Сложение и скалярное умножение многочленов аналогичны операциям в Простое пространство или свободный модуль, снабженный определенным базисом (здесь базис мономов). Явно, пусть $p\; =\; \sum \; \alpha \; \in \; I\; p\; \alpha \; X\; \alpha ,\; q\; =\; \sum \; \beta \; \in \; JQ\; \beta \; Икс\; \alpha ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; р\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; альфа\; \backslash \; в\; I\}\; п\; \_\; \{\backslash \; альфа\}\; X\; ^\; \{\backslash \; альфа\},\; \backslash \; квадр\; Q\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; бета\; \backslash \; в\; J\}\; q\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\},\}$где I и J - конечные наборы векторо в экспоненты.

Скалярный мульт Использование p и скаляра $c\; \in \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; K\}$равно

$c\; p\; =\; \sum \; \alpha \; \in \; I\; c\; p\; \alpha \; X\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; cp\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; in\; I\}\; cp\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}.\}$

Сложение p и q равно

$p\; +\; q\; =\; \sum \; \alpha \; \in \; I\; \cup \; J\; (п\; \alpha \; +\; q\; \alpha )\; Икс\; \alpha ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; p\; +\; q\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; in\; I\; \backslash \; cup\; J\}\; (p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; q\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \},\}$

где $p\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; 0\}$, если $\alpha \; \notin \; I,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; I,\}$и $q\; \beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; =\; 0\}$, если $\beta \; \notin \; J.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash \; не\; \backslash \; in\; J.\}$Более того, если у вас есть $p\; \alpha \; +\; q\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; q\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; 0\}$для некоторого $\alpha \; \in \; I\; \cap \; J,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; I\; \backslash \; cap\; J,\}$соответствующий нулевой член удаляется из результата.

Умножение:

$pq\; =\; \sum \; \gamma \; \in \; I\; +\; J\; (\sum \; \alpha ,\; \beta \; \mid \; \alpha \; +\; \beta \; =\; \gamma \; p\; \alpha \; q\; \beta )\; X\; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; pq\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; в\; I\; +\; J\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; mid\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; gamma\}\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; q\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{\backslash \; gamma\},\; \}$

где $I\; +\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; +\; J\}$- это набор сумм одного события экспоненты в I и другого вектора в J (обычная сумма векторов). В частности, произведение двух одночленов является одночленом, векторными экспонентами которого является вектором показателей факторов.

Проверка аксиом ассоциативной алгебры несложна.

Полиномиальное выражение

A Полиномиальное выражение - это выражение, построенное со скалярами (элементами K), неопределенными значениями и операторами сложения, умножения и возведения в степень до неотрицательных целых степеней.

Все эти операции используются в $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}]\}$Полиномиальное выражение представляет собой многочлен, который является элементом $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n].\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}].\}$Определение полинома как линейной комбинации одночленов - это конкретное полиномиальное выражение, которое часто называют канонической формой, нормальная форма или развернутая форма многочлена. Используя полиномиальное выражение, можно вычислить выраженную форму представленного многочлена, расширив с помощью распределения все, у есть сумма между своими множителями, а используя коммутативность (кроме для произведений двух скаляров) и ассоциативность для преобразования членов результирующей суммы в произведения скаляра и монома; тогда можно получить каноническую форму, перегруппировав похожие термины.

. Различие между полиномиальным выражением и полиномом, оно представляет, появилось сравнительно недавно и в основном мотивированное появлением компьютерной алгебры, где, например, проверка, включает ли два полиномиальных выражения один и тот же многочлен, может быть нетривиальным вычислением.

Категориальная характеристика

Если K - коммутативное кольцо, кольцо многочленов K [X 1,..., X n ] имеет следующее универсальное свойство : для каждой коммутативной K-алгебры A и каждого n- кортежа (x1,..., x n) из элементов A, существует уникальный гомоморфизм алгебр из K [X 1,..., X n ] в A, который отображает каждый $X\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{\; i\}\}$на соответствующее $xi.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}.\}$Этот гомоморфизм является оценочным гомоморфизмом, который заключается в замене $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$на $xi\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$в каждом полиноме.

Как и любое универсальное свойство, это характеризует пару $(K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n],\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n))\; \{\backslash \; displaystyle\; (K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}],\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}))\}$с точностью до уникального изоморфизма.

Это может также можно интерпретировать в терминах сопряженных функторов. Более точно, пусть SET и ALG будут соответственно категориями множеств и коммутативными K-алгебрами (здесь и далее морфизмы определены тривиально). Существует функтор забывчивости $F:\; ALG\; \to \; SET\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{F\}:\; \backslash \; mathrm\; \{ALG\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{SET\}\}$, который отображает алгебры к их базовым множествам. С другой стороны, карта $X\; \mapsto \; K\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; mapsto\; K\; [X]\}$определяет функтор $SET\; \to \; ALG\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SET\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{ALG\}\}$в другом направлении. (Если X бесконечно, K [X] - это множество всех многочленов от конечного числа элементов X.)

Универсальное свойство кольца многочленов означает, что F и POL являются присоединенными функторами. То есть существует биекция

$Hom\; S\; E\; T\; \; (X,\; F\; \; (A))\; \cong \; Hom\; A\; L\; G\; \; (K\; [X],\; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{SET\}\}\; (X,\; \backslash \; operatorname\; \{F\}\; (A))\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ALG\}\}\; (K\; [X],\; A).\}$

Это можно выразить также, сказав, что кольца полиномов являются свободными коммутативными алгебрами, поскольку они являются свободными объектами в категории коммутативных алгебр. Точно так же кольцо полиномов с целыми коэффициентами - это свободное коммутативное кольцо над своим набором переменных, поскольку коммутативные кольца и коммутативные алгебры над целыми числами - это одно и то же.

Многочлен от $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$можно рассматривать как одномерный многочлен от неопределенного $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$над кольцом $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n\; -\; 1],\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n-1\}],\}$путем перегруппировки терминов, содержащих та же степень $X\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\},\}$то есть, используя тождество

$\sum \; (\alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; n)\; \in \; I\; c\; \alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; n\; X\; 1\; \alpha \; 1\; \cdots \; X\; n\; \alpha \; n\; =\; \sum \; i\; (\sum \; (\alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; n\; -\; 1)\; \mid \; (\alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; n\; -\; 1,\; i)\; \in \; I\; c\; \alpha \; 1,\dots ,\; {\rm A}\; N\; -\; 1\; Икс\; 1\; \alpha \; 1\; \cdots \; Икс\; N\; -\; 1\; \alpha \; N\; -\; 1)\; Икс\; Ni,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\})\; \backslash \; в\; I\}\; c\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n-1\})\; \backslash \; mid\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n-1\},\; i)\; \backslash \; in\; I\}\; c\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n-1\}\}\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cd\; ots\; X\_\; \{n-1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n-1\}\}\; \backslash \; right)\; X\_\; \{n\}\; ^\; \{i\},\}$

, который является результатом дистрибутивности и ассоциативности операций с кольцом.

Это означает, что имеется изоморфизм алгебры

$K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \cong \; (K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n\; -\; 1])\; [X\; n]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\; \backslash \; cong\; (K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n-1\}])\; [X\_\; \{n\}]\}$

, который отображает каждая неопределенная сама себе. (Этот изоморфизм часто записывается как равенство, что кольца многочленов как оправдано с точностью до единственного изоморфизма.)

Другими словами, многомерное многочленов можно рассматривать как меньшее многочлен над своим многочленом. кольцо. Это обычно используется для доказательства многомерных колец многочленов с помощью индукции по количеству неопределенных.

Основные такие данные ниже.

Свойства, которые переходят от R к R [X]

В этом разделе R - коммутативное кольцо, K - поле, X - одно неопределенное, и, как обычно, $Z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$- кольцо целых чисел. Вот список основных свойств кольца, которые остаются верными при переходе от R к R [X].

• Если R является областью целостности, то то же самое верно и для R [X] (поскольку старший коэффициент произведения многочленов является, если не нулем, произведением ведущих коэффициентов множителей).
  • В частности, $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$и $Z\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$являются целыми областями.
• Если R равно уникальный факт области ориентации, то же самое верно и для R [X]. Это следует из леммы Гаусса и уникального факторизационного свойства $L\; [X],\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; [X],\}$, где L - поле дробей R.
  • В частности, $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$и $Z\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$- уникальные домены факторизации.
• Если R является нётеровым кольцом, то то же самое верно и для R [X].
  • В частности, $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$и $Z\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$- нётеровы кольца; это теорема Гильберта о базисе.
• Если R - нётерово кольцо, то $dim\; \; R\; [X]\; =\; 1\; +\; dim\; \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; R\; [X]\; =\; 1\; +\; \backslash \; dim\; R,\; \}$где "$dim\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\}$" обозначает измерение Крулля.
  • В частности, $dim\; \; K\; [X\; 1,\dots ,\; Икс\; n]\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\; =\; n\}$и $dim\; \; Z\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; =\; n\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\; =\; n\; +\; 1.\}$
• Если R - Обычное кольцо, то же самое верно и для R [X]; в данном случае

$gl\; dim\; \; R\; [X]\; =\; dim\; \; R\; [X]\; =\; 1\; +\; gl\; dim\; \; R\; =\; 1\; +\; dim\; \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gl\}\; \backslash ,\; \backslash \; dim\; R\; [X]\; =\; \backslash \; dim\; R\; [X]\; =\; 1\; +\; \backslash \; operatorname\; \{gl\}\; \backslash ,\; \backslash \; dim\; R\; =\; 1\; +\; \backslash \; dim\; R,\}$

где "$gl\; dim\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gl\}\; \backslash ,\; \backslash \; dim\; \}$"обозначает глобальное измерение.

• В частности, $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}»\; »]\}$и $Z\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$- обычные кольца, $gl\; dim\; \; Z\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; =\; n\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gl\}\; \backslash ,\; \backslash \; dim\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\; =\; n\; +\; 1,\}$и $gl\; dim\; \; K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; =\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gl\}\; \backslash ,\; \backslash \; dim\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\; =\; n.\}$Последнее равенство является теоремой Гильберта о сизигии.

Кольца многочленов от нескольких чисел над полем фундаментальными в теории инвариантов и алгебраической геометрии. Некоторые из их характеристик, например, описанные выше, могут быть сведены к случаю единственного неопределенного, но это не всегда так. В частности, из-за геометрических приложений многие интересные свойства должны быть инвариантными относительно аффинных или проективных преобразований неопределенных. Это часто означает, что нельзя выбрать одну из неопределенных для повторения на неопределенных.

Теорема Безу, Нуллстеллензац Гильберта и гипотеза о якобиане являются одними из самых известных свойств, характерных для многомерных многочленов над полем.

Nullstellensatz Гильберта

Nullstellensatz (по-немецки «теорема о нулевом геометрическом месте») - это теорема, впервые доказанная Дэвидом Гильбертом, который распространяется на многомерный случай основные теоремы алгебры. Он основан на алгебраической геометрии, устанавливает прочную связь между алгебраическими свойствами $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\; \}$и геометрические свойства алгебраических разнообразий, которые (грубо говоря) представляют собой набор точек неявными полиноми уравнениями.

Nullstellensatz, имеет три версии, каждую из которых следствием другой. Две из этих приведенных ниже. По поводу третьей версии читатель отсылается к основной статье о Nullstellensatz.

Первая версия обобщает тот факт, что ненулевой одномерный многочлен имеет комплексный ноль тогда и только тогда, когда он не является константой. Утверждение: набор полиномов S в $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}]\}$имеет общий ноль в алгебраически замкнутом поле, содержащем K, если и только 1 не принадлежит идеалу, сгенерированному S, то есть если 1 не является линейной комбинацией элементов S с полиномиальными коэффициентами.

Вторая версия обобщает тот факт, что неприводимые одномерные многочлены над комплексными числами связывают с многочленом формы $X\; -\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; X-\; \backslash \; alpha.\}$Утверждение следующего: если K алгебраически замкнуто, то максимальные идеалы из $K\; [X\; 1,\dots ,\; X\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; имеют\; \{n\}]\}$вид $⟨X\; 1\; -\; \alpha \; 1,\dots ,\; X\; n\; -\; \alpha \; n⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; X\_\; \{1\}\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle.\}$

Теорема Безу

Теорема Безу может быть Это обобщенное обобщение версии фундаментальной теоремы алгебры, утверждает, что одномерный многочлен степени имеет комплексных корней, если они считаются с их кратностями.

В случае двумерных многочленов он утверждает, что две многочлена степени d и e от двух чисел, которые не имеют общих множителей положительной степени, имеют ровно де общих нулей в алгебраически замкнутое поле, содержатее коэффициенты, если нули подсчитываются с учетом их кратности и нули на бесконечности.

Для констатации общего случая и без учета «нуля на бесконечности» как отдельные нулей, удобно работать с однородными многочленами и рассматривать нули в проективном пространстве. В этом контексте проективный нуль однородного многочлена $P\; (X\; 0,\dots ,\; X\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (X\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\}$равенство, с точностью до масштабирования a (n + 1) - кортеж $(x\; 0,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$элементы K, которые имеют другую форму (0,..., 0) и такие, что $P\; (x\; 0,\dots ,\; xn)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x\_\; \{0\}),\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; =\; 0.\}$Здесь «до масштабирования» означает, что $(x\; 0,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \}$и $(\lambda \; x\; 0,\dots ,\; \lambda \; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; lambda\; x\_\; \{n\})\}$считают одним и тем же нулем для любого ненулевого $\lambda \; \in \; K.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; K.\}$Другими словами, ноль - это набор однородных координат точки в проективном пространстве размерности n.

Затем теорема Безу гласит: даны n однородных многочленов степеней $d\; 1,\dots ,\; dn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; d\_\; \{n\}\}$в n + 1 неопределенное значение, которое имеет только конечное число общих проективных нулей в алгебраически замкнутом расширении поля K, тогда сумма кратностей этих нулей является произведением $d\; 1\; \cdots \; dn.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; d\_\; \{n\}.\}$

Гипотеза о якобиане

Кольца полиномов можно обобщить множеством способов, включая кольца полиномов с обобщенными показателями, кольца степенных рядов, кольца некоммутативных многочленов, косые кольца многочленов и полиномиальные кольца .

Бесконечно много чисел

Одно небольшое обобщение полиномиальных колец, чтобы учесть бесконечно много неопределенностей. Каждый моном по-прежнему включает только конечное число неопределенностей (так что его степень остается конечной), и каждый многочлен по-прежнему (конечной) линейной комбинацией мономов. Таким образом, любой индивидуальный многочлен включает только конечное число неопределенных, и любое конечное число неопределенных, включающее многочлены, остается внутри некоторого подкольца многочленов от конечного числа неопределенных. Это обобщение имеет то же свойство, что и обычные кольца многочленов, являясь свободным коммутативной алгеброй, с той лишь разницей, что это свободный объект над бесконечным множеством.

Можно рассматривать также строго большее кольцо, определяя как обобщенный многочлен бесконечную (или конечную) формальную сумму одночленов с ограниченной степенью. Это кольцо больше, чем обычное кольцо многочленов, поскольку оно включает бесконечные суммы числа. Однако оно, чем кольцо степенного ряда от бесконечного числа меньше. Такое кольцо используется для построения кольца симметричных функций над бесконечным множеством.

Обобщенные показатели

Простое обобщение изменяет только набор, из которого взяты стандартные характеристики. Формулы для сложения и умножения имеют смысл, пока можно складывать показатели: X · X = X. Множество, для которого имеет смысл сложение (замкнуто и ассоциативно), называется моноидом. Множеству функций от моноида N до кольца R, которые не равны нулю только в некоторых местах, можно изменить структуры, известные как R [N], моноидного кольца кольца N с коэффициентами в R. Сложение определяется покомпонентно, так что если c = a + b, то c n = a n + b n для каждого n в N. Умножение определено как произведение Коши, так что если c = a · b, то для каждого n в N c n является суммой всех a ibj, где i, j варьируются по всем парам элементов N, сумма которых равна n.

Когда N коммутативно, удобно обозначать функцию в R [N] как формальную сумму:

$\sum \; n\; \in \; N\; an\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\}$

, а формулы для сложения и умножения знакомы:

$(\sum \; n\; \in \; N\; an\; X\; n)\; +\; (\sum \; n\; \in \; N\; bn\; X\; n)\; =\; \sum \; n\; \in \; N\; (ан\; +\; bn)\; Икс\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\}\; b\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\}\; \backslash \; left\; (a\_\; \{n\}\; +\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{n\}\}$

и

$(\sum \; N\; \in \; N\; и\; XN)\; \cdot \; (\sum \; N\; \in \; N\; bn\; XN)\; =\; \sum \; N\; \in \; N\; (\sum \; я\; +\; j\; =\; naibj)\; Икс\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сумма\; \_\; \{п\; \backslash \; в\; N\}\; a\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\}\; b\_\; \{n\}\; X\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; N\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; n\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{n\}\}$

где последняя сумма берется по всем i, j в N, которая равна n.

Некоторые авторы, такие как (Lang 2002, II, §3) harv error: no target: CITEREFLang2002 (help ), заходят так далеко, что принимают это определение моноида в отправной точке, а регулярные многочлены от одного основного случая, когда N - моноидрицательных целых чисел. Многочлены от нескольких чисел просто принимают N за прямое несколько копий моноидарицательных целых чисел.

Несколько интересных примеров колец и групп образуются путем аддитивного моноидарицательных рациональных чисел (Osbourne 2000, §4.4) harv error: нет цели: CITEREFOsbourne2000 (справка ). См. Также Серия Puiseux.

Степенная серия

Степенная серия обобщает выбор экспонентов в другом направлении, допуская бесконечно много ненулевых членов. Это требует различных гипотез относительно моноида N, используемого для оценки устойчивости, что суммы в произведении Коши являются конечными суммами. В качестве альтернативы на кольцо можно ограничиться топологией, а ограничиться сходящимися бесконечными суммами. Для стандартного выбора N неотрицательных целых чисел, проблем нет и кольца формальных степенных рядов определяется набор функций от N до кольца R с покомпонентным сложением и умножением, заданной функцией Коши. товар. Кольцо степенных рядов можно также рассматривать как пополнение кольца многочленов относительно идеала, порожденного x.

Некоммутативные кольца многочленов

Для колец многочленов более чем одной одной работы X · Y и Y · X просто рассчитывать как равные. Более общее понятие кольца полиномов получается, когда сохраняется различие между этими двумя формальными произведениями. Формально кольцо многочленов от n некоммутирующих переменных с коэффициентами в кольце R - это кольцо моноидов R [N], где моноид N - это свободный моноид с n буквами, также известный как набор всех строк в алфавите из n символов с умножением, задаваемым конкатенацией. Ни коэффициенты, ни переменные не должны коммутировать между собой, но коэффициенты и переменные коммутируют друг с другом.

Так же, как кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в коммутативном кольце R является свободным коммутативной R-алгеброй ранга n, некоммутативное кольцо многочленов от n коэффициентами в коммутативном кольце R является свободной ассоциативной, унитальная R-алгебра на n образующих, которая некоммутативна при n>1.

Дифференциальные и косополиномиальные кольца

Другими обобщенными полиномовами дифференциальные и косополиномиальные кольца.

A кольцо дифференциальных многочленов представляет собой кольцо дифференциальных операторов, образованное из колец R и преобразование δ R в R. Этот вывод действует на R и будет обозначается X, если рассматривать его как оператор. Элементы R также на R умножением. Композиция операторов обозначается как обычное умножение. Отсюда следует, что соотношение δ (ab) = aδ (b) + δ (a) b можно переписать как

$X\; \cdot \; a\; =\; a\; \cdot \; X\; +\; \delta \; (a).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; cdot\; a\; =\; a\; \backslash \; cdot\; X\; +\; \backslash \; delta\; (a).\}$

Это отношение может быть расширено, чтобы определить косое умножение между двумя многочленами X с коэффициентами в R, что делает их некоммутативным кольцом.

Стандартный пример, называемый алгеброй Вейля, принимает R как (обычное) кольцо полиномов k [Y], а δ как стандартную производную полинома $\partial \; \partial \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; Y\}\}\}$. Взяв a = Y в указанном выше описании, мы получаем каноническое коммутационное соотношение, X · Y - Y · X = 1. Расширение этого отношения за счет ассоциативности и дистрибутивности позволяет явно построить алгебру Вейля. (Лам 2001, §1, пр.1.9).

Кольцо косых полиномов определяет аналогично для кольца R и кольцевого эндоморфизма кольца R путем расширения умножения с X · r = f (r) · X на производят ассоциативное умножение, которое распределяется по стандартному сложению. В более общем смысле, учитывая гомоморфизм F из моноида N натуральных чисел в кольце эндоморфизмов R, формула X · r = F (n) (r) · X позволяет построить кольцо косополиномов. (Lam 2001, §1, ex 1.11) Косые кольца многочленов связаны с алгебрами скрещенных произведений.

Полиномиальные ригели

Определение кольца полиномов можно обобщить, ослабить требование, чтобы алгебраическая структура R полем или кольцом к требованию, чтобы R был только полуполе или буровая ; Результирующая полиномиальная структура / расширение R [X] является полиномиальным ригом . Например, набор всех многомерных многочленов с коэффициентами натуральное число является полиномиальным набором.

• Аддитивный многочлен
• Многочлен Лорана

1. ^Герштейн р. 153
2. ^Herstein, Hall p. 73
3. ^Lang p. 97
4. ^Герштейн стр. 154
5. ^Лэнг с.100
6. ^Антон, Ховард; Bivens, Irl C.; Дэвис, Стивен (2012), Единственная переменная исчисления, John Wiley Sons, стр. 31, ISBN 9780470647707.
7. ^Сендра, Дж. Рафаэль; Винклер, Франц; Перес-Диас, Соня (2007), Рациональные алгебраические кривые: подход компьютерной алгебры, Алгоритмы и вычисления в математике, 22, Springer, p. 250, ISBN 9783540737247.
8. ^Ивс, Ховард Уитли (1980), Теория элементарной матрицы, Dover, p. 183, ISBN 9780486150277.
9. ^Herstein p.155, 162
10. ^Herstein p.162
11. ^Fröhlich, A.; Shepherson, JC (1955), «О факторизации многочленов за конечное число шагов», Mathematische Zeitschrift, 62 (1): 331–334, doi : 10.1007 / BF01180640, ISSN 0025-5874

• Холл, FM (1969). «Раздел 3.6». Введение в абстрактную алгебру. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521084849.
• Херштейн, И. Н. (1975). «Раздел 3.9». Темы по алгебре. Вайли. ISBN 0471010901. кольцо полиномов.
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978- 0-387-95325-0
• Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью- Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Осборн, М. Скотт (2000), Базовая гомологическая алгебра, Graduate Texts по математике, 196, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1278-2, ISBN 978-0-387-98934-1, MR 1757274