Алгебра Вейля

редактировать

дифференциальная алгебра

В абстрактной алгебре, Алгебра Вейля - это кольцо из дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами (от одной переменной), а именно выражениями вида

fm (X) ∂ X m + fm - 1 (X) ∂ X m - 1 + ⋯ + f 1 (X) ∂ X + f 0 (X). {\ displaystyle f_ {m} (X) \ partial _ {X} ^ {m} + f_ {m-1} (X) \ partial _ {X} ^ {m-1} + \ cdots + f_ {1} (X) \ partial _ {X} + f_ {0} (X).}

{\ displaystyle f_ {m} (X) \ partial _ {X} ^ {m} + f_ {m-1} (X) \ partial _ {X} ^ {m-1} + \ cdots + f_ {1} (X) \ partial _ {X} + f_ {0} (X).}

Точнее, пусть F будет лежащим в основе полем, и пусть F [X] будет кольцом многочленов от одной переменной X с коэффициентами из F. Тогда каждый f i лежит в F [X].

∂X- производная по X. Алгебра порождается X и ∂ X.

Алгебра Вейля является примером простого кольца, которое не является матричное кольцо над делительным кольцом. Это также некоммутативный пример области и пример расширения Оре.

Алгебра Вейля изоморфна частному свободной алгебры . на двух образующих, X и Y, идеалом , порожденным элементом

YX - XY - 1. {\ displaystyle YX-XY-1 ~.}

YX - XY - 1 ~.

Алгебра Вейля - первая в бесконечном семействе алгебр, также известных как алгебры Вейля. n-я алгебра Вейля, A n, представляет собой кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от n переменных. Он генерируется X i и ∂ Xi, i = 1,..., n.

Алгебры Вейля названы в честь Германа Вейля, который представил их для изучения принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Это фактор универсальной обертывающей алгебры алгебры Гейзенберга, алгебры Ли группы Гейзенберга, установив центральный элемент алгебры Гейзенберга (а именно [X, Y]) равным единице универсальной обертывающей алгебры (названной выше 1).

Алгебра Вейля также называется симплектической алгеброй Клиффорда . Алгебры Вейля представляют ту же структуру для симплектических билинейных форм, которую алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметрических билинейных форм.

Содержание

1 Генераторы и отношения
- 1.1 Квантование
2 Свойства алгебры Вейля
- 2.1 Положительная характеристика
3 Обобщения
- 3.1 Аффинные многообразия
4 Ссылки

Генераторы и отношения

Можно дать абстрактную конструкцию алгебры A n в терминах образующих и отношений. Начнем с абстрактного векторного пространства V (размерности 2n), снабженного симплектической формой ω. Определим алгебру Вейля W (V) как

W (V): = T (V) / ((v ⊗ u - u ⊗ v - ω (v, u), для v, u ∈ V)), {\ displaystyle W (V): = T (V) / (\! (v \ otimes uu \ otimes v- \ omega (v, u), {\ text {for}} v, u \ in V) \!),}

W (V): = T (V) / (\! (v \ otimes u - u \ otimes v - \ omega (v, u), \ text {for} v, u \ in V) \!),

где T (V) - тензорная алгебра на V, а обозначение $(()) {\ displaystyle (\! () \!)}$ $(\! () \!)$ означает «идеал, порожденный».

Другими словами, W (V) - это алгебра, порожденная V, подчиненная только соотношению vu - uv = ω (v, u). Тогда W (V) изоморфна A n посредством выбора базиса Дарбу для ω.

Квантование

Алгебра W (V) - это квантование симметрической алгебры Sym (V). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W (V) естественно изоморфно лежащему в основе векторному пространству симметрической алгебры Sym (V), снабженному деформированным произведением, называемым Groenewold– Произведение Мойала (учитывая, что симметрическая алгебра является полиномиальной функцией на V, где переменные охватывают векторное пространство V, и заменяя iħ в формуле произведения Мойала на 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации из Sym (V) в W (V)

a 1 ⋯ a n ↦ 1 n! Σ ∈ S n a σ (1) ⊗ ⋯ ⊗ a σ (n). {\ displaystyle a_ {1} \ cdots a_ {n} \ mapsto {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} a _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes a _ {\ sigma (n)} ~.}

a_1 \ cdots a_n \ mapsto \ frac {1} {n!} \ Sum _ {\ sigma \ in S_n} a _ {\ sigma (1)} \ иногда \ cdots \ otimes a _ {\ sigma (n)} ~.

Если кто-то предпочитает иметь iħ и работать с комплексными числами, можно было бы вместо этого определить алгебру Вейля выше как сгенерированную X i и iħ∂ Xi(согласно использованию квантовой механики ).

Таким образом, алгебра Вейля представляет собой квантование симметрической алгебры, которое по сути то же самое, что и квантование Мойала (если последнее ограничивается полиномиальными функциями), но первое является в терминах генераторов и отношений (рассматриваемых как дифференциальные операторы), а последний - в терминах деформированного умножения.

В случае внешних алгебр квантованием, аналогичным квантованию Вейля, является алгебра Клиффорда, которую также называют ортогональной алгеброй Клиффорда.

Свойства алгебры Вейля

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, n-я алгебра Вейля является простой нётеровой домен. Он имеет глобальную размерность n, в отличие от кольца, которое оно деформирует, Sym (V), которое имеет глобальную размерность 2n.

Не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более прямо, взяв след σ (X) и σ (Y) для некоторого конечномерного представления σ (где [X, Y] = 1).

t r ([σ (X), σ (Y)]) = t r (1). {\ displaystyle tr ([\ sigma (X), \ sigma (Y)]) = tr (1) ~.}

tr ([\ sigma (X), \ sigma (Y)]) = тр (1) ~.

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след идентичности - это размерность матрица, представление должно быть нулевым.

На самом деле, есть более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Любому конечно порожденному A n -модулю M существует соответствующее подмногообразие Char (M) в V × V, называемое `` характеристическим многообразием '', размер которого примерно соответствует размеру M (конечномерный модуль имел бы нульмерное характеристическое многообразие). Тогда неравенство Бернштейна утверждает, что для M, отличного от нуля,

dim ⁡ (char ⁡ (M)) ≥ n {\ displaystyle \ dim (\ operatorname {char} (M)) \ geq n}

\ dim (\ operatorname {char} (M)) \ geq n

Еще более сильным утверждением является утверждение, что Char (M) является коизотропным подмногообразием в V × V для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристики p>0.

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D является центральным, и поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически, это конечно порожденный модуль над своим центром; более того, это алгебра Адзумая над своим центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, которые все построены из простых представлений размерности p.

Обобщения

Для получения более подробной информации об этом квантовании в случае n = 1 (и расширении с использованием преобразования Фурье до класса интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. преобразование Вигнера – Вейля.

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру * -алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры, как обсуждается в CCR и CAR-алгебрах.

Аффинные многообразия

алгебры Вейля также обобщаются в случае алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо многочленов

R = C [x 1,…, xn] I {\ displaystyle R = {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {I }}}

{\ displaystyle R = {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {I}}}

тогда дифференциальный оператор определяется как композиция $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ -линейные производные $R {\ displaystyle R}$ $R$ . Это можно явно описать как кольцо частных

Diff (R) = {D ∈ A n: D (I) ⊆ I} I ⋅ A n {\ displaystyle {\ text {Diff}} (R) = {\ frac {\ {D \ in A_ {n}: D (I) \ substeq I \}} {I \ cdot A_ {n}}}}

{\ displaystyle {\ text {Diff}} (R) = {\ frac {\ {D \ in A_ {n}: D (I) \ substeq I \}} {I \ cdot A_ {n} }}}