Базисная теорема Гильберта

редактировать

В математике, особенно в коммутативной алгебре, теорема Гильберта о базисе утверждает, что кольцо многочленов над нётеровым кольцом является нётеровым.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Заявление
2 Доказательство
- 2.1 Первое доказательство
- 2.2 Второе доказательство
3 Приложения
4 Формальные доказательства
5 ссылки
6 Дальнейшее чтение

Заявление

Если - кольцо, пусть обозначает кольцо многочленов от неопределенного над. Гильберт доказал, что if «не слишком велико» в том смысле, что если является нётеровым, то же самое должно быть верно и для. Формально, ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle R [X]}$ $R [X]$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle R [X]}$ $R [X]$

Базисная теорема Гильберта. Если - нетерово кольцо, то - нетерово кольцо. ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle R [X]}$ $R [X]$

Следствие. Если - нетерово кольцо, то - нетерово кольцо. ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle R [X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}]}$ $R [X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}]$

Это можно перевести в алгебраическую геометрию следующим образом: каждое алгебраическое множество над полем можно описать как множество общих корней конечного числа полиномиальных уравнений. Гильберт доказал теорему (для частного случая колец многочленов над полем) в ходе доказательства конечного порождения колец инвариантов.

Гильберт произвел новаторское доказательство от противного, используя математическую индукцию ; его метод не дает алгоритма для создания конечного числа базисных многочленов для данного идеала: он только показывает, что они должны существовать. Базисные полиномы можно определить методом базисов Грёбнера.

Доказательство

Теорема. Если это левое (соответственно правое) нётерово кольцо, то кольцо многочленов также является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом.

{\ displaystyle R}

р

{\ Displaystyle R [X]}

R [X]

Замечание. Мы приведем два доказательства, в обоих рассматривается только «левый» случай; доказательство для правого случая аналогично.

Первое доказательство

Предположим, что это неконечно порожденный левый идеал. Тогда путем рекурсии (с использованием аксиомы зависимого выбора ) существует последовательность многочленов такая, что если - левый идеал, порожденный then, имеет минимальную степень. Понятно, что это неубывающая последовательность натуральных чисел. Позвольте быть старшим коэффициентом и позвольте быть левым идеалом в порожденном. Поскольку нётерова цепочка идеалов ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ substeq R [X]}$ ${\ mathfrak a} \ substeq R [X]$ ${\ Displaystyle \ {е_ {0}, е_ {1}, \ ldots \}}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {0}, е_ {1}, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {n}}$ ${\ mathfrak b} _ {n}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {n-1}}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {n-1}}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {b}} _ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {b}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ {\ deg (f_ {0}), \ deg (f_ {1}), \ ldots \}}$ ${\ Displaystyle \ {\ deg (f_ {0}), \ deg (f_ {1}), \ ldots \}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $а_ {п}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_ {n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$ ${\ mathfrak {b}}$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ ldots}$ ${\ displaystyle R}$ $р$

{\ displaystyle (a_ {0}) \ subset (a_ {0}, a_ {1}) \ subset (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}) \ subset \ cdots}

{\ displaystyle (a_ {0}) \ subset (a_ {0}, a_ {1}) \ subset (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}) \ subset \ cdots}

должен прекратиться. Таким образом, для некоторого целого числа. Так, в частности, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = (а_ {0}, \ ldots, а_ {N-1})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = (а_ {0}, \ ldots, а_ {N-1})}$ ${\ displaystyle N}$ $N$

{\ displaystyle a_ {N} = \ sum _ {i lt;N} u_ {i} a_ {i}, \ qquad u_ {i} \ in R.}

{\ displaystyle a_ {N} = \ sum _ {i lt;N} u_ {i} a_ {i}, \ qquad u_ {i} \ in R.}

Теперь рассмотрим

{\ displaystyle g = \ sum _ {i lt;N} u_ {i} X ^ {\ deg (f_ {N}) - \ deg (f_ {i})} f_ {i},}

g = \ sum _ {{i lt;N}} u _ {{i}} X ^ {{\ deg (f _ {{N}}) - \ deg (f _ {{i}})}} f _ {{i} },

чей главный член равен старшему члену ; кроме того,. Однако, что означает, что имеет степень меньше, что противоречит минимальности. ${\ displaystyle f_ {N}}$ $е_ {N}$ ${\ displaystyle g \ in {\ mathfrak {b}} _ {N}}$ $g \ in {\ mathfrak b} _ {N}$ ${\ displaystyle f_ {N} \ notin {\ mathfrak {b}} _ {N}}$ $е_ {N} \ notin {\ mathfrak b} _ {N}$ ${\ displaystyle f_ {N} -g \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {b}} _ {N}}$ $f_ {N} -g \ in {\ mathfrak a} \ setminus {\ mathfrak b} _ {N}$ ${\ displaystyle f_ {N}}$ $е_ {N}$

Второе доказательство

Позвольте быть левым идеалом. Позвольте быть набор ведущих коэффициентов членов. Очевидно, что это левый идеал над, и поэтому он конечно порождается старшими коэффициентами конечного числа членов ; сказать. Позвольте быть максимумом набора, и позвольте быть набором ведущих коэффициентов членов, чья степень. Как и раньше, являются левыми идеалами над и, следовательно, конечно порождаются старшими коэффициентами конечного числа членов, скажем, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ substeq R [X]}$ ${\ mathfrak a} \ substeq R [X]$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$ ${\ mathfrak b}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {N-1}}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {N-1}}$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ Displaystyle \ {\ deg (f_ {0}), \ ldots, \ deg (f_ {N-1}) \}}$ ${\ Displaystyle \ {\ deg (f_ {0}), \ ldots, \ deg (f_ {N-1}) \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {k}}$ ${\ mathfrak b} _ {k}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ ${\ displaystyle {} \ leq k}$ ${} \ leq k$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {k}}$ ${\ mathfrak b} _ {k}$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak {a}}$

{\ displaystyle f_ {0} ^ {(k)}, \ ldots, f_ {N ^ {(k)} - 1} ^ {(k)}}

{\ displaystyle f_ {0} ^ {(k)}, \ ldots, f_ {N ^ {(k)} - 1} ^ {(k)}}

со степенями. Теперь позвольте быть левым идеалом, порожденным: ${\ displaystyle {} \ leq k}$ ${} \ leq k$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} ^ {*} \ substeq R [X]}$ ${\ mathfrak a} ^ {*} \ substeq R [X]$

{\ displaystyle \ left \ {f_ {i}, f_ {j} ^ {(k)} \: \ i lt;N, j lt;N ^ {(k)}, k lt;d \ right \}.}

\ left \ {f _ {{i}}, f _ {{j}} ^ {{(k)}} \: \ i lt;N, j lt;N ^ {{(k)}}, k lt;d \ right \ }.

У нас есть и претензии. Предположим, что это не так. Тогда пусть будет минимальной степени, и обозначим его старший коэффициент через. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} ^ {*} \ substeq {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak a} ^ {*} \ substeq {\ mathfrak a}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ substeq {\ mathfrak {а}} ^ {*}}$ ${\ mathfrak a} \ substeq {\ mathfrak a} ^ {*}$ ${\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {a}} ^ {*}}$ $ч \ ин {\ mathfrak a} \ setminus {\ mathfrak a} ^ {*}$ ${\ displaystyle a}$ $а$

Случай 1:. Независимо от этого условия, у нас есть леволинейная комбинация.

{\ Displaystyle \ град (ч) \ geq d}

\ deg (h) \ geq d

{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {b}}}

а \ ин {\ mathfrak b}

{\ displaystyle a = \ sum _ {j} u_ {j} a_ {j}}

а = \ сумма _ {j} u_ {j} a_ {j}

коэффициентов. Рассматривать

{\ displaystyle f_ {j}}

е_ {j}

{\ Displaystyle ч_ {0} \ треугольникq \ сумма _ {j} u_ {j} X ^ {\ deg (h) - \ deg (f_ {j})} f_ {j},}

h_ {0} \ треугольникq \ sum _ {{j}} u _ {j}} X ^ {{\ deg (h) - \ deg (f _ {{j}})}} f _ {{j}},

который имеет тот же главный член, что и ; кроме того пока. Следовательно, и, что противоречит минимальности.

{\ displaystyle h}

час

{\ displaystyle h_ {0} \ in {\ mathfrak {a}} ^ {*}}

h_ {0} \ in {\ mathfrak a} ^ {*}

{\ displaystyle h \ notin {\ mathfrak {a}} ^ {*}}

ч \ notin {\ mathfrak a} ^ {*}

{\ displaystyle h-h_ {0} \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {a}} ^ {*}}

ч-ч_ {0} \ in {\ mathfrak a} \ setminus {\ mathfrak a} ^ {*}

{\ Displaystyle \ град (ч-ч_ {0}) lt;\ град (ч)}

{\ Displaystyle \ град (ч-ч_ {0}) lt;\ град (ч)}

Случай 2:. Тогда и леволинейная комбинация

{\ Displaystyle \ deg (ч) = к lt;d}

\ deg (h) = k lt;d

{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {b}} _ {k}}

а \ in {\ mathfrak b} _ {k}

{\ displaystyle a = \ sum _ {j} u_ {j} a_ {j} ^ {(k)}}

а = \ сумма _ {j} u_ {j} a_ {j} ^ {{(k)}}

ведущих коэффициентов. Учитывая

{\ displaystyle f_ {j} ^ {(k)}}

е_ {j} ^ {{(k)}}

{\ Displaystyle ч_ {0} \ треугольникq \ сумма _ {j} u_ {j} X ^ {\ deg (h) - \ deg (f_ {j} ^ {(k)})} f_ {j} ^ {( k)},}

h_ {0} \ треугольникq \ sum _ {j} u_ {j} X ^ {{\ deg (h) - \ deg (f _ {{j}} ^ {{(k)}})}} f _ {{j }} ^ {{(k)}},

приходим к противоречию, аналогичному случаю 1.

Таким образом, наше утверждение верно и конечно порождено. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} = {\ mathfrak {а}} ^ {*}}$ ${\ mathfrak a} = {\ mathfrak a} ^ {*}$

Обратите внимание, что единственная причина, по которой нам пришлось разделить на два случая, заключалась в том, чтобы гарантировать, что степени умножения множителей в конструкциях были неотрицательными. ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Приложения

Позвольте быть нётеровым коммутативным кольцом. Теорема Гильберта о базисе имеет несколько непосредственных следствий. ${\ displaystyle R}$ $р$

По индукции мы видим, что это тоже будет нётеровым. ${\ Displaystyle R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}$ $R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]$
Поскольку любое аффинное многообразие над (т.е. множество множества многочленов) может быть записано как геометрическое место идеала, а затем как геометрическое место его образующих, отсюда следует, что каждое аффинное многообразие является геометрическим местом конечного числа многочленов, т. Е. пересечение конечного числа гиперповерхностей. ${\ displaystyle R ^ {n}}$ $R ^ {n}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ подмножество R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}$ ${\ mathfrak {a}} \ subset R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]$
Если - конечно порожденная -алгебра, то мы знаем, что, где - идеал. В основе теоремы следует, что должно быть конечно порожден, скажем, то есть это конечно представима. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle A \ simeq R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}] / {\ mathfrak {a}}}$ $A \ simeq R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}] / {\ mathfrak {a}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (p_ {0}, \ dotsc, p_ {N-1})}$ ${\ mathfrak {a}} = (p_ {0}, \ dotsc, p_ {N-1})$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Формальные доказательства

Формальные доказательства теоремы Гильберта о базисе были проверены в рамках проекта Mizar (см. Файл HILBASIS ) и Lean (см. Ring_theory.polynomial ).

использованная литература

дальнейшее чтение

Кокс, Литтл и О'Ши, Идеалы, разновидности и алгоритмы, Springer-Verlag, 1997.