Войти
| Поле | Алгебраическая геометрия |
|---|---|
| Гипотеза | Отт-Генриха Келлера |
| Гипотеза | 1939 |
| Эквивалент | гипотезе Диксмье |
В математике гипотеза о якобиане является известной нерешенной проблемой для многочленов от нескольких переменных. В нем говорится, что если полиномиальная функция из n-мерного пространства в себя имеет определитель Якоби, который является ненулевой константой, то функция имеет обратный полином. Впервые эта гипотеза была высказана в 1939 году Отт-Генрихом Келлером и широко разрекламирована Шрирамом Абхьянкаром как пример трудного вопроса из алгебраической геометрии, который может быть понимается, используя немногое, кроме знания исчисления.
Гипотеза Якоби печально известна большим количеством попыток доказательства, которые, как оказалось, содержат тонкие ошибки. По состоянию на 2018 год нет никаких правдоподобных утверждений, подтверждающих это. Даже случай с двумя переменными сопротивлялся всем усилиям. Нет никаких известных убедительных причин полагать, что это правда, и, согласно van den Essen (1997), есть некоторые подозрения, что гипотеза на самом деле неверна для большого числа переменных (на самом деле, существует равное количество также нет убедительных доказательств, подтверждающих эти подозрения). Гипотеза о якобиане была пронумерована 16 в Списке математических проблем следующего века Стивена Смейла 1998 г..
Пусть N>1 будет фиксированным целым числом и рассмотрим многочлены f 1,..., f N в переменных X 1,..., X N с коэффициентами в поле k. Затем мы определяем вектор-функцию F: k → k, задавая:
Любая карта F : k → k, возникающее таким образом, называется полиномиальным отображением.
. определитель Якоби функции F, обозначаемый J F, определяется как определитель матрицы Якоби размером N × N , состоящей из частных производных функции f i по X j:
, тогда J F само является полиномиальной функцией от N переменных X 1,..., X N.
Из правила цепочки многих переменных следует, что если F имеет полиномиальную обратную функцию G: k → k, то J F имеет полиномиальную обратную величину, поэтому является ненулевой константой. Гипотеза о якобиане - это следующее частичное обратное:
гипотеза о якобиане: Пусть k имеет характеристику 0. Если J F является ненулевой константой, то F имеет обратную функцию G: k → k, которая является регулярной, что означает, что ее компоненты являются полиномами.
Согласно van den Essen (1997), проблема была впервые высказана Келлером в 1939 году для ограниченного случая двух переменных и целых коэффициентов.
Очевидный аналог гипотезы о якобиане неверен, если k имеет характеристику p>0 даже для одной переменной. Характеристика поля должна быть простой, поэтому она должна быть не менее 2. Многочлен x - x имеет производную 1 - p x, которая равна 1 (поскольку px равно 0), но у него нет обратной функции. Однако Аджамагбо (1995) предложил расширить гипотезу о якобиане до характеристики p>0, добавив гипотезу о том, что p не делит степень расширения поля k (X) / k (F).
Условие J F ≠ 0 связано с теоремой об обратной функции в исчислении многих переменных. Фактически для гладких функций (и, в частности, для многочленов) гладкая локальная обратная функция к F существует в каждой точке, где J F не равно нулю. Например, отображение x → x + x имеет гладкое глобальное обратное, но обратное не является полиномиальным.
Ван (1980) доказал гипотезу о якобиане для многочленов степени 2, а Басс, Коннелл и Райт (1982) показали, что общий случай следует из частного случая, когда многочлены имеют степень 3 или, более конкретно, кубический однородный тип, что означает форму F = (X 1 + H 1,..., X n + H n), где каждый H i является либо нулем, либо однородной кубической структурой. Drużkowski (1983) показал, что можно дополнительно предположить, что отображение имеет кубический линейный тип, что означает, что ненулевые H i являются кубами однородных линейных многочленов. Похоже, что сокращение Дружковского - один из самых многообещающих путей продвижения вперед. Эти сокращения вводят дополнительные переменные и поэтому недоступны для фиксированного N.
Connell van den Dries (1983) доказали, что если гипотеза о якобиане неверна, то у нее есть контрпример с целыми коэффициентами и определителем якобиана 1. Следовательно, гипотеза о якобиане верна либо для всех полей характеристики 0, либо ни для одного из них. Для фиксированного N оно верно, если оно выполняется хотя бы для одного алгебраически замкнутого поля характеристики 0.
Пусть k [X] обозначает кольцо многочленов k [X 1,..., X n ] и k [F] обозначают k-подалгебру, порожденную f 1,..., f n. Для данного F гипотеза о якобиане верна тогда и только тогда, когда k [X] = k [F]. Келлер (1939) доказал бирациональный случай, то есть когда два поля k (X) и k (F) равны. Случай, когда k (X) является расширением Галуа k (F), был доказан Campbell (1973) для комплексных отображений и в целом Razar (1979) и, независимо, Райт (1981). Мо (1983) проверил гипотезу для многочленов степени не выше 100 от двух переменных.
де Бондт, ван ден Эссен и 2005, 2005 ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFde_Bondtvan_den_Essen2005, _2005 (help ) и Drukowski (2005) независимо показали, что это достаточно, чтобы доказать гипотезу о якобиане для комплексных отображений кубического однородного типа с симметричной матрицей Якоби, а также показать, что гипотеза верна для отображений линейного кубического типа с симметричной матрицей Якоби над любым полем характеристики 0.
Сильная гипотеза о вещественном якобиане состояла в том, что вещественное полиномиальное отображение с нигде не обращающимся в нуль детерминантом якобиана имеет гладкое глобальное обратное. Это равносильно вопросу, является ли такое отображение топологически правильным, и в этом случае оно является покрывающим отображением односвязного многообразия и, следовательно, обратимым. Сергей Пинчук (1994) построил два переменных контрпримера общей степени 25 и выше.
Хорошо известно, что из гипотезы Диксмье следует гипотеза о якобиане (см. Басс и др., 1982). И наоборот, Йошифуми Цучимото (2005) и независимо друг от друга Алексей Белов-Канель и Максим Концевич (2007) показывают, что гипотеза о якобиане для 2N переменные влечет гипотезу Диксмье для размерности N. Самостоятельное и чисто алгебраическое доказательство последней импликации также дано и А. ван ден Эссен (2007), который также доказал в той же статье, что эти две гипотезы эквивалентны гипотезе Пуассона.
