Личность Безу

Здесь наибольший общий делитель 0 и 0 взят равным 0. Целые числа x и y называются коэффициентами Безу для ( a, b); они не уникальны. Пара коэффициентов Безу может быть вычислена с помощью расширенного алгоритма Евклида, и эта пара является одной из двух пар таких, что и. Равенство возникает только в том случае, если одно из значений a и b кратно другому. ${\ Displaystyle | х | \ Leq | б / д |}$${\ Displaystyle | у | \ leq | а / д |}$

Например, наибольший общий делитель 15 и 69 равен 3, а 3 можно записать как комбинацию 15 и 69 как 3 = 15 × (−9) + 69 × 2 с коэффициентами Безу −9 и 2.

Многие другие теоремы элементарной теории чисел, такие как лемма Евклида или китайская теорема об остатках, являются результатом тождества Безу.

Безу домен является областью целостности, в которой имеет место соотношение беза. В частности, тождество Безу выполняется в областях главных идеалов. Таким образом, каждая теорема, вытекающая из тождества Безу, верна во всех областях главных идеалов.

• 1 Структура решений
  • 1.1 Пример
• 2 Доказательство
• 3 Обобщения
  • 3.1 Для трех и более целых чисел
  • 3.2 Для многочленов
  • 3.3 Для областей главных идеалов
• 4 История
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Внешние ссылки

Если a и b одновременно не равны нулю и была вычислена одна пара коэффициентов Безу ( x, y) (например, с использованием расширенного алгоритма Евклида ), все пары могут быть представлены в виде

${\ displaystyle \ left (xk {\ frac {b} {d}}, \ y + k {\ frac {a} {d}} \ right),}$

где k - произвольное целое число, d - наибольший общий делитель a и b, а дроби упрощаются до целых чисел.

Если a и b оба ненулевые, то ровно две из этих пар пар коэффициентов Безу удовлетворяют

${\ displaystyle | x | \ leq \ left | {\ frac {b} {d}} \ right | \ quad {\ text {and}} \ quad | y | \ leq \ left | {\ frac {a} { d}} \ right |,}$

и равенство может иметь место, только если одно из a и b делит другое.

Это основано на свойстве евклидова деления : для двух ненулевых целых чисел c и d, если d не делит c, существует ровно одна пара ( q, r) такая, что c = dq + r и 0 lt; r lt;| d |, и еще один такой, что c = dq + r и - | d | lt; г lt;0.

Две пары малых коэффициентов Безу получаются из заданного ( x, y) путем выбора в качестве k в приведенной выше формуле одного из двух целых чисел рядом с. ${\ displaystyle {\ frac {x} {b / d}}}$

Расширенный алгоритм Евклида всегда производит одну из этих двух минимальных пар.

Пример

Пусть a = 12 и b = 42, тогда НОД (12, 42) = 6. Затем используются следующие тождества Безу с коэффициентами Безу, записанными красным для минимальных пар и синим - для остальных.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vdots \\ 12 amp; \ times ({\ color {blue} {- 10}}) amp; + \; \; 42 amp; \ times \ color {blue} {3} amp; = 6 \ \ 12 amp; \ times ({\ color {red} {- 3}}) amp; + \; \; 42 amp; \ times \ color {red} {1} amp; = 6 \\ 12 amp; \ times \ color {red} {4} amp; + \; \; 42 amp; \ times ({\ color {red} {- 1}}) amp; = 6 \\ 12 amp; \ times \ color {blue} {11} amp; + \; \; 42 amp; \ times ({\ color {blue} {- 3}}) amp; = 6 \\ 12 amp; \ times \ color {blue} {18} amp; + \; \; 42 amp; \ times ({\ color {blue} {- 5}}) amp; = 6 \\\ vdots \ end {align}}}$

Если (x, y) = (18, -5) - исходная пара коэффициентов Безу, то дает минимальные пары через k = 2, соответственно k = 3 ; то есть (18-2 7, -5 + 2 2) = (4, -1) и (18-3 7, -5 + 3 ⋅ 2) = (-3, 1). ${\ displaystyle {\ frac {18} {42/6}} \ in [2,3]}$

Для любых ненулевых целых чисел a и b пусть множество S непусто, поскольку оно содержит либо a, либо - a (с x = ± 1 и y = 0). Поскольку S - непустое множество натуральных чисел, оно имеет минимальный элемент по принципу хорошего порядка. Для того, чтобы доказать, что d наибольший общий делитель и Ь, оно должно быть доказано, что d является общим делителем и б, и что для любой другой общий делитель с, один имеет гр ≤ d. ${\ displaystyle S = \ {ax + by \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} {\ text {and}} ax + bygt; 0 \}.}$${\ displaystyle d = as + bt}$

Евклидово деление на от д может быть записана

${\ displaystyle a = dq + r \ quad {\ text {with}} \ quad 0 \ leq r lt;d.}$

Остаток r находится в, потому что ${\ Displaystyle S \ чашка \ {0 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r amp; = a-qd \\ amp; = aq (as + bt) \\ amp; = a (1-qs) -bqt. \ end {align}}}$

Таким образом, r имеет форму, а значит. Однако 0 ≤ r lt; d, и d является наименьшим положительным целым числом в S: остаток r не может быть в S, поэтому r обязательно 0. Это означает, что d является делителем a. Точно так же d также является делителем b, а d является общим делителем a и b. ${\ displaystyle ax + by}$${\ Displaystyle г \ в С \ чашка \ {0 \}}$

Пусть теперь c - любой общий делитель a и b ; то есть существуют такие u и v, что a = cu и b = cv. Таким образом

${\ displaystyle {\ begin {align} d amp; = as + bt \\ amp; = cus + cvt \\ amp; = c (us + vt). \ end {align}}}$

То есть c является делителем d и, следовательно, c ≤ d.

Для трех и более целых чисел

Личность Безу может быть расширена до более чем двух целых чисел: если

${\ displaystyle \ gcd (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = d}$

то есть такие целые числа, что ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ displaystyle d = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}}$

обладает следующими свойствами:

• d - наименьшее натуральное число этой формы
• каждое число в этой форме кратно d

Для полиномов

Тождество Безу работает для одномерных многочленов над полем точно так же, как и для целых чисел. В частности, коэффициенты Безу и наибольший общий делитель могут быть вычислены с помощью расширенного алгоритма Евклида.

Поскольку общие корни двух многочленов являются корнями их наибольшего общего делителя, тождество Безу и основная теорема алгебры влекут следующий результат:

Для одномерных многочленов f и g с коэффициентами в поле существуют многочлены a и b такие, что af + bg = 1 тогда и только тогда, когда f и g не имеют общего корня в любом алгебраически замкнутом поле (обычно поле комплексных чисел ).

Обобщение этого результата на любое количество многочленов и неопределенных - это Nullstellensatz Гильберта.

Для основных идеальных областей

Как отмечалось во введении, тождество Безу работает не только в кольце целых чисел, но и в любой другой области главных идеалов (PID). То есть, если R - PID, а a и b - элементы R, а d - наибольший общий делитель a и b, то есть элементы x и y в R такие, что ax + by = d. Причина в том, что идеал Ra + Rb является главным и равен Rd.

Область целостности, в которой выполняется тождество Безу, называется областью Безу.

Французский математик Этьен Безу (1730–1783) доказал это тождество для многочленов. Однако это утверждение для целых чисел можно найти уже в работах более раннего французского математика Клода Гаспара Баше де Мезириак (1581–1638).

• Теорема AF + BG, аналог тождества Безу для однородных многочленов от трех неопределенных
• Основная теорема арифметики
• Лемма евклида

• Онлайн-калькулятор личности Безу.
• Вайсштейн, Эрик В. "Личность Безу". MathWorld.