Войти
В алгебраической геометрии, область математики, AF + BG теорема(также известная как фундаментальная теорема Макса Нётер) является результатом Макса Нётер, который утверждает, что, если уравнение алгебраической кривой в комплексной проективной плоскости принадлежит локально (в каждой точке пересечения) идеалу, порожденному уравнения двух других алгебраических кривых, то он глобально принадлежит этому идеалу.
Пусть F, G и H являются однородными полиномами по трем переменным, причем H имеет более высокую степень, чем F и G; пусть a = deg H - deg F и b = deg H - deg G (оба положительные целые числа) - разности степеней многочленов. Предположим, что наибольший общий делитель F и G является константой, что означает, что проективные кривые, которые они определяют в проективной плоскости P, имеют пересечение, состоящее из в конечном числе точек. Для каждой точки P этого пересечения многочлены F и G порождают идеал (F, G) P локального кольца из Pв P (это локальное кольцо является кольцом дробей n / d, где n и d - многочлены от трех переменных и d (P) ≠ 0). Теорема утверждает, что если H лежит в (F, G) P для любой точки пересечения P, то H лежит в идеале (F, G); то есть существуют однородные многочлены A и B степеней a и b соответственно такие, что H = AF + BG. Более того, любые два варианта выбора A отличаются на кратное G, и аналогично любые два варианта выбора B отличаются на кратное F.
Эту теорему можно рассматривать как обобщение тождества Безу, которое обеспечивает условие, при котором целое число или одномерный многочлен h может быть выражено как элемент идеального, порожденного двумя другими целыми числами или одномерными многочленами f и g: такое представление существует в точности, когда h делится на наибольший общий делитель чисел f и g. Условие AF + BG выражает в терминах делителей (наборов точек с кратностями) аналогичное условие, при котором однородный многочлен H от трех переменных может быть записан как элемент идеала, порожденного двумя другими многочленами F и G.
Эта теорема также является уточнением для данного конкретного случая Nullstellensatz Гильберта, который обеспечивает условие, выражающее некоторую степень многочлен h (от любого числа переменных) принадлежит идеалу, порожденному конечным набором многочленов.
