Локальное кольцо

В абстрактной алгебре, более конкретно теория колец, локальные кольца - это определенные кольца, которые сравнительно просты и служат для описания того, что называется «локальным поведением» в смысле функций, определенных на разновидности или коллекторы, или из полей алгебраических чисел, проверенных в конкретном месте или простом. Локальная алгебра - это ветвь коммутативной алгебры, изучающая коммутативные локальные кольца и их модули.

На практике коммутативное локальное кольцо часто возникает в результате локализация кольца на простом идеале.

Понятие местных колец было введено Вольфгангом Круллем в 1938 году под именем Стелленринге. Английский термин «локальное кольцо» происходит от Зарисского.

• 1 Определение и первые следствия
• 2 Примеры
  • 2.1 Кольцо ростков
  • 2.2 Теория оценки
  • 2.3 Некоммутативность
• 3 Некоторые факты и определения
  • 3.1 Коммутативный случай
  • 3.2 Общий случай
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 См. Также
• 7 Внешние ссылки

A кольцо R является локальным кольцом, если оно имеет одно из следующих эквивалентных свойств:

• R имеет уникальный максимальный левый идеал.
• R имеет единственный максимальный правый идеал.
• 1 0 и сумма любых двух не- единиц в R не является единицей.
• 1 ≠ 0 и если x - это любой элемент R, тогда x или 1 - x - единица.
• Если конечная сумма является единицей, то у нее есть терм, который является единицей (это, в частности, говорит о том, что пустая сумма не может - единица, следовательно, 1 ≠ 0).

Если эти свойства выполнены, то единственный максимальный левый идеал совпадает с единственным максимальным правым идеалом и с кольцом J Радикал Акобсона. Третье из перечисленных выше свойств говорит о том, что множество неединиц в локальном кольце образует (собственный) идеал, обязательно содержащийся в радикале Джекобсона. Четвертое свойство можно перефразировать следующим образом: кольцо R локально тогда и только тогда, когда не существует двух взаимно простых собственных (главных ) (левых) идеалов, где два идеала I 1, I 2 называются взаимно простыми, если R = I 1 + I 2.

В случае коммутативных колец не выполняется необходимо различать левый, правый и двусторонний идеалы: коммутативное кольцо является локальным тогда и только тогда, когда оно имеет единственный максимальный идеал. Примерно до 1960 года многие авторы требовали, чтобы локальное кольцо (слева и справа) было нётеровым, и (возможно, нётеровым) локальные кольца назывались квазилокальными кольцами . В данной статье это требование не предъявляется.

Локальное кольцо, которое является областью целостности, называется локальным доменом .

• Все поля (и скошенные поля ) являются локальными кольцами, поскольку {0} - единственный максимальный идеал в этих кольцах.
• Ненулевое кольцо, в котором каждый элемент является либо единицей, либо нильпотентным, является локальным кольцом.
• Важным классом локальных колец являются кольца дискретной оценки, которые являются локальными областями главных идеалов, которые не являются полями.
• Кольцо $C\; [[x\; ]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [[x]]\}$, элементы которого представляют собой бесконечный ряд $\sum \; i\; =\; 0\; \infty \; aixi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\}$где умножение задается как $(\sum \; i\; =\; 0\; \infty \; aixi)\; (\sum \; i\; =\; 0\; \infty \; bixi)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; cixi\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\})\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\}$такой, что $cn\; =\; \sum \; i\; +\; j\; =\; naibj\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\; \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; n\}\; a\_\; \{i\}\; b\_\; \{j\}\}$, является локальным. Его единственный максимальный идеал состоит из всех необратимых элементов. Другими словами, он состоит из всех элементов с постоянным членом 0.
• В более общем смысле, каждое кольцо формальных степенных рядов над локальным кольцом является локальным; максимальный идеал состоит из тех степенных рядов с постоянным членом в максимальном идеале базового кольца.
• Аналогично, алгебра двойственных чисел над любым полем является локальной. В более общем смысле, если F - локальное кольцо и n - натуральное число, то факторкольцо F [X] / (X) является локальным с максимальным идеалом, состоящим из классов многочленов с постоянным членом, принадлежащим максимальный идеал F, поскольку можно использовать геометрический ряд для обращения всех других многочленов по модулю X. Если F - поле, то элементы F [X] / (X) либо нильпотентны, либо обратимы. (Двойственные числа над F соответствуют случаю n = 2.)
• Ненулевые фактор-кольца локальных колец являются локальными.
• И наоборот, кольцо рациональных чисел с нечетный знаменатель является локальным; его максимальный идеал состоит из дробей с четным числителем и нечетным знаменателем. Это целые числа , локализованные в 2.
• В более общем смысле, учитывая любое коммутативное кольцо R и любой простой идеал P кольца R, локализация R в P является локальной; максимальный идеал - это идеал, порожденный P в этой локализации; то есть максимальный идеал состоит из всех элементов a / s с a ∈ P и s ∈ R - P.

Кольцо ростков

Чтобы мотивировать название "локальный" для этих колец, мы рассматриваем вещественные -значные непрерывные функции, определенные на некотором открытом интервале около 0 от вещественной линии. Нас интересует только поведение этих функций около 0 (их «локальное поведение»), и поэтому мы будем идентифицировать две функции, если они согласуются на некотором (возможно, очень маленьком) открытом интервале около 0. Эта идентификация определяет отношение эквивалентности , а классы эквивалентности - это то, что называется «ростками вещественнозначных непрерывных функций в 0». Эти ростки можно складывать и умножать, образуя коммутативное кольцо.

Чтобы увидеть, что это кольцо ростков локально, нам нужно охарактеризовать его обратимые элементы. Росток f обратим тогда и только тогда, когда f (0) ≠ 0. Причина: если f (0) ≠ 0, то по непрерывности существует открытый интервал около 0, где f не равно нулю, и мы можем сформировать функцию g (x) = 1 / f (x) на этом интервале. Функция g порождает росток, и произведение fg равно 1. (И наоборот, если f обратим, то существует некоторый g такой, что f (0) g (0) = 1, следовательно, f (0) ≠ 0.)

С этой характеристикой ясно, что сумма любых двух необратимых ростков снова необратима, и у нас есть коммутативное локальное кольцо. Максимальный идеал этого кольца состоит в точности из тех ростков f с f (0) = 0.

Точно такие же рассуждения работают для кольца ростков непрерывных вещественнозначных функций на любом топологическом пространстве в данной точке, или кольцо ростков дифференцируемых функций на любом дифференцируемом многообразии в данной точке, или кольцо ростков рациональных функций на любом алгебраическом многообразии в данный пункт. Следовательно, все эти кольца являются локальными. Эти примеры помогают объяснить, почему схемы, обобщения многообразий, определяются как специальные локально окруженные кольцами пространства.

Теория оценки

Локальные кольца играют важную роль в теории оценки. По определению, оценочное кольцо поля K - это подкольцо R такое, что для каждого ненулевого элемента x поля K по крайней мере один из x и x находится в R. Любое такое подкольцо будет локальным кольцо. Например, кольцо рациональных чисел с нечетным знаменателем (упомянутое выше) является оценочным кольцом в $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$.

Учитывая поле K, которое может быть или не быть функциональным полем, мы можем искать в нем локальные кольца. Если бы K действительно было функциональным полем алгебраического многообразия V, то для каждой точки P из V мы могли бы попытаться определить оценочное кольцо R функций, "определенных в" P. В случаях, когда V имеет размерность 2 или более, существует трудность, которая видится следующим образом: если F и G - рациональные функции на V с

F (P) = G (P) = 0,

функция

F / G

- это неопределенная форма в точке P. Рассматривая простой пример, такой как

Y / X,

приближается по линии

Y = tX,

видно, что значение at P - понятие без простого определения. Он заменяется использованием оценок.

Некоммутативные

Некоммутативные локальные кольца естественным образом возникают как кольца эндоморфизмов при изучении разложений в прямую сумму модулей над некоторыми другими кольцами. В частности, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым ; наоборот, если модуль M имеет конечную длину и неразложим, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k - это поле с характеристикой p>0, а G - конечная p-группа, то групповая алгебра кг является местным.

Коммутативный случай

Мы также пишем (R, m) для коммутативного локального кольца R с максимальным идеалом m. Каждое такое кольцо естественным образом становится топологическим кольцом, если взять степени m как базу окрестности числа 0. Это m-адическая топология на R. Если (R, m) - коммутативное нётерово локальное кольцо, то

$\bigcap \; i\; =\; 1\; \infty \; mi\; =\; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; m\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}$

(теорема Крулля о пересечении ), из чего следует, что R с m-адической топологией является хаусдорфовым пространством. Теорема является следствием леммы Артина – Риса вместе с леммой Накаямы, и, как таковое, «нетеровское» предположение имеет решающее значение. В самом деле, пусть R - кольцо ростков бесконечно дифференцируемых функций в точке 0 вещественной прямой, а m - максимальный идеал $(x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\}$. Тогда ненулевая функция $e\; -\; 1\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \{1\; \backslash \; over\; x\; ^\; \{2\}\}\}\}$принадлежит $mn\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{n\; \}\}$для любого n, поскольку эта функция, деленная на $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\}$, по-прежнему гладкая.

Что касается любого топологического кольца, можно спросить, является ли (R, m) полным (как однородное пространство ); в противном случае его завершение снова считают локальным кольцом. Полные нётеровы локальные кольца классифицируются с помощью структурной теоремы Коэна.

В алгебраической геометрии, особенно когда R является локальным кольцом схемы в некоторой точке P, R / m называется полем вычетов локального кольца или поля вычетов точки P.

Если (R, m) и (S, n) являются локальными кольцами, то локальный кольцевой гомоморфизм из R в S является кольцевой гомоморфизм f: R → S со свойством f (m) ⊆ n. Это в точности гомоморфизмы колец, которые непрерывны относительно заданных топологий на R и S. Например, рассмотрим морфизм колец $C\; [x]\; /\; (x\; 3)\; \to \; C\; [x,\; y]\; /\; (x\; 3,\; Икс\; 2\; Y,\; Y\; 4)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x]\; /\; (x\; ^\; \{3\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; /\; (x\; ^\; \{3\},\; x\; ^\; \{\; 2\}\; y,\; y\; ^\; \{4\})\}$отправка $x\; \mapsto \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\}$. Прообраз $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$равен $(x)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\}$. Другой пример локального морфизма колец - $C\; [x]\; /\; (x\; 3)\; \to \; C\; [x]\; /\; (x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x]\; /\; (x\; ^\; \{3\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x]\; /\; (x\; ^\; \{2\})\}$.

Общий случай

радикал Джекобсона m локального кольца R (который равен к единственному максимальному левому идеалу, а также к единственному максимальному правому идеалу) состоит в точности из неединиц кольца; кроме того, это единственный максимальный двусторонний идеал кольца R. Однако в некоммутативном случае наличие единственного максимального двустороннего идеала не эквивалентно тому, чтобы быть локальным.

Для элемента x из множества Для локального кольца R следующие эквиваленты:

• x имеет левую обратную
• x имеет правую обратную
• x обратимую
• x не в m.

Если (R, m) является локальным, то факторное кольцо R / m является телом. Если J ≠ R - любой двусторонний идеал в R, то фактор-кольцо R / J снова является локальным с максимальным идеалом m / J.

A глубокая теорема Ирвинга Каплански говорит, что любой проективный модуль над локальным кольцом свободен, хотя в случае, когда модуль конечно- сгенерировано является простым следствием леммы Накаямы. Это имеет интересное следствие с точки зрения эквивалентности Морита. А именно, если P является конечно порожденным проективным модулем R, то P изоморфен свободному модулю R и, следовательно, кольцо эндоморфизмов $E\; nd\; R\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{End\; \}\; \_\; \{R\}\; (P)\}$изоморфен полному кольцу матриц $M\; n\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{M\}\; \_\; \{n\}\; (R)\}$. Поскольку каждое кольцо Морита, эквивалентное локальному кольцу R, имеет вид $E\; nd\; R\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{End\}\; \_\; \{R\}\; (P)\}$для такого P, вывод состоит в том, что единственные кольца Морита, эквивалентные локальному кольцу R, являются (изоморфны) матричным кольцам над R.

1. ^Krull, Wolfgang (1938). "Теория измерений в Стелленринген". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 1938 (179): 204. doi : 10.1515 / crll.1938.179.204.
2. ^Зариски, Оскар (май 1943). «Основы общей теории бирациональных соответствий» (PDF). Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 53 (3): 490–542 [497]. DOI : 10.2307 / 1990215. JSTOR 1990215.
3. ^Лам (2001), стр. 295, Thm. 19.1.
4. ^«Тег 07BI».
5. ^Матрица 2 на 2 над полем, например, имеет уникальный максимальный идеал {0}, но имеет несколько максимальных правых и левых идеалов.

• Лам, T.Y. (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.

• Дискретное оценочное кольцо
• Полу-локальное кольцо
• Оценочное кольцо

• Философия локальных колец