Обратный элемент

редактировать

В абстрактной алгебре идея обратного элемента обобщает концепции отрицание (смена знака) (относительно сложение ) и обратное действие (относительно умножение ). Интуиция - это элемент, который может «отменить» эффект комбинации с другим данным элементом. Хотя точное определение обратного элемента меняется в зависимости от задействованной алгебраической структуры, эти определения совпадают в группе .

Слово «обратный» происходит от латинского : inversus Это означает «перевернутый», «перевернутый».

Содержание

1 Формальные определения
- 1.1 В единичной магме
- 1.2 В полугруппе
- 1.3 U-полугруппы
- 1.4 Кольца и полукольца
2 Примеры
- 2.1 Действительные числа
- 2.2 Функции и частичные функции
- 2.3 Связи Галуа
- 2.4 Матрицы
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Формальные определения

В единой магме

Пусть $S {\ displaystyle S}$ $S$ будет set закрытым при бинарной операции $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ (т. Е. магма ). Если $e {\ displaystyle e}$ $e$ является элементом идентичности из $(S, ∗) {\ displaystyle (S, *)}$ $(S, *)$ (т. е. S - единичная магма) и $a ∗ b = e {\ displaystyle a * b = e}$ $a * b = e$ , затем $a {\ displaystyle a}$ $a$ называется левым обратным $b {\ displaystyle b}$ $b$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ называется правым обратный из $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Если элемент $x {\ displaystyle x}$ $x$ является и левым обратным, и правым обратным по отношению к $y {\ displaystyle y}$ $y$ , то $x { \ displaystyle x}$ $x$ называется двусторонним обратным или просто обратным $y {\ displaystyle y}$ $y$ . Элемент с двусторонним инверсией в $S {\ displaystyle S}$ $S$ называется обратимым в $S {\ displaystyle S}$ $S$ . Элемент с инверсным элементом только на одной стороне является обратимым слева или обратимым справа . Унитальная магма, в которой все элементы обратимы, называется петлей. Цикл, бинарная операция которого удовлетворяет закону ассоциации, является группой .

Так же, как $(S, ∗) {\ displaystyle (S, *)}$ $(S, *)$ может имеют несколько левых или правых идентичностей, элемент может иметь несколько обратных слева или несколько обратных справа (но обратите внимание, что их определение выше использует двустороннюю идентичность $e {\ displaystyle e}$ $e$ ). Он может даже иметь несколько обратных слева и несколько обратных справа.

Если операция $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ является ассоциативной, тогда, если у элемента есть и левый обратный, и правый обратный, они равны. Другими словами, в моноиде (ассоциативной единичной магме) каждый элемент имеет не более одного обратного (как определено в этом разделе). В моноиде набор (левых и правых) обратимых элементов - это группа, называемая группой единиц из $S {\ displaystyle S}$ $S$ , и обозначается $U (S) {\ displaystyle U (S)}$ $U (S)$ или H 1.

. Обратимый слева элемент - left- сокращающийся, и аналогично для правый и двусторонний.

В полугруппе

Определение в предыдущем разделе обобщает понятие инверсии в группе относительно понятия идентичности. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие инверсии, отбросив единичный элемент, но сохранив ассоциативность, то есть в полугруппе .

В полугруппе S элемент x называется (фон Нейман) регулярный, если существует некоторый элемент z в S такой, что xzx = x; z иногда называют псевдообратной . Элемент y называется (просто) обратным x, если xyx = x и y = yxy. Каждый регулярный элемент имеет по крайней мере один обратный элемент: если x = xzx, то легко проверить, что y = zxz является обратным к x, как определено в этом разделе. Еще один факт, который легко доказать: если y является обратным к x, то e = xy и f = yx являются идемпотентами, то есть ee = e и ff = f. Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, причем ex = xf = x, ye = fy = y, а e действует как левое тождество на x, в то время как f действует как правое тождество, а левое / правильные роли меняются местами для y. Это простое наблюдение можно обобщить, используя отношения Грина : каждый идемпотент e в произвольной полугруппе является левым тождеством для R e и правым тождеством для L e. Интуитивно понятное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов порождает локальную левую идентичность и, соответственно, локальную правую идентичность.

В моноиде понятие инверсии, как оно определено в предыдущем разделе, строго уже, чем определение, данное в этом разделе. Только элементы в классе Green H1 имеют инверсию с точки зрения единичной магмы, тогда как для любого идемпотента e элементы H e имеют инверсию, как определено в этом разделе. Согласно этому более общему определению, обратные не обязательно должны быть уникальными (или существовать) в произвольной полугруппе или моноиде. Если все элементы регулярны, то полугруппа (или моноид) называется регулярной, и каждый элемент имеет хотя бы один обратный. Если каждый элемент имеет ровно одну инверсную, как определено в этом разделе, то полугруппа называется инверсной полугруппой. Наконец, инверсная полугруппа с одним идемпотентом - это группа. Инверсная полугруппа может иметь поглощающий элемент 0, потому что 000 = 0, тогда как группа может не иметь.

Вне теории полугрупп, уникальное обратное, как определено в этом разделе, иногда называется квазиобратным . Обычно это оправдано, потому что в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) ассоциативность сохраняется, что делает это понятие обобщением левого / правого обратного по отношению к идентичности.

U-полугруппы

Естественным обобщением обратной полугруппы является определение (произвольной) унарной операции ° такой, что (а °) ° = а для всех а в S; это наделяет S алгеброй типа ⟨2,1⟩. Полугруппа, снабженная такой операцией, называется U-полугруппой . Хотя может показаться, что а ° будет обратным а, это не обязательно так. Для получения интересных понятий, унарная операция должна каким-то образом взаимодействовать с полугрупповой операцией. Были изучены два класса U-полугрупп:

I-полугруппы, в которых аксиомой взаимодействия является aa ° a = a
* -полугруппы, в которых аксиома взаимодействия (ab) ° = b ° a °. Такая операция называется инволюцией и обычно обозначается *

. Очевидно, что группа является одновременно I-полугруппой и * -полугруппой. Важным в теории полугрупп классом полугрупп являются вполне регулярные полугруппы ; это I-полугруппы, в которых дополнительно аа ° = а ° а; другими словами, каждый элемент имеет коммутирующую псевдообратную а °. Однако конкретных примеров таких полугрупп немного; большинство из них - полностью простые полугруппы. Напротив, подкласс * -полугрупп, * -регулярные полугруппы (в смысле Дразина), дают один из наиболее известных примеров (уникальной) псевдообратной, обратной Мура – Пенроуза.. Однако в этом случае инволюция а * не является псевдообратной. Скорее, псевдообратный элемент x - это уникальный элемент y, такой что xyx = x, yxy = y, (xy) * = xy, (yx) * = yx. Поскольку * -регулярные полугруппы обобщают инверсные полугруппы, уникальный элемент, определенный таким образом в * -регулярной полугруппе, называется обобщенно-обратным или обратным Пенроуза – Мура .

Кольцами и полукольцами

Примеры

Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева / справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиинверсии для его более общей версии.

Действительные числа

Каждое действительное число $x {\ displaystyle x}$ $x$ имеет аддитивное обратное (т. Е., инверсия по отношению к сложению ), заданному как $- x {\ displaystyle -x}$ $-x$ . Каждое ненулевое действительное число $x {\ displaystyle x}$ $x$ имеет мультипликативное обратное (т. Е. Обратное по отношению к умножению ), задаваемое $1 x {\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$ ${\ frac 1 {x}}$ (или $x - 1 {\ displaystyle x ^ {- 1}}$ $x ^ {- 1}$ ). Напротив, ноль не имеет мультипликативного обратного, но он имеет уникальный квазиобратный, сам « $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ ».

Функции и частичные функции

Функция $g {\ displaystyle g}$ $g$ является левой (соответственно правой) функцией, обратной функцией $f {\ displaystyle f}$ $f$ (для композиция функций ), если и только если $g ∘ f {\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ (соответственно $f ∘ g {\ displaystyle f \ circ g}$ $f \ circ g$ ) - это функция идентичности в домене (соответственно codomain ) из $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Функция, обратная $f {\ displaystyle f}$ $f$ , часто записывается как $f - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ , но это обозначение иногда бывает двусмысленным. Только биекции имеют двусторонние инверсии, но любая функция имеет квазиобратные, т.е. моноид полного преобразования является регулярным. Моноид частичных функций также является регулярным, тогда как моноид инъективных частичных преобразований является прототипной обратной полугруппой.

Связи Галуа

Нижний и верхний сопряжения в (монотонной) связности Галуа, L и G являются квазиобратными друг другу, т.е. LGL = L и GLG = G и одно однозначно определяет другое. Однако они не противоположны друг другу слева или справа.

Матрицы

A квадратная матрица $M {\ displaystyle M}$ $M$ с записями в поле $K {\ displaystyle K}$ $K$ является обратимым (в наборе всех квадратных матриц одинакового размера при умножении матриц ) тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля. Если определитель $M {\ displaystyle M}$ $M$ равен нулю, он не может иметь односторонний обратный; следовательно, левый обратный или правый обратный подразумевает существование другого. Подробнее см. обратимая матрица.

В более общем смысле, квадратная матрица над коммутативным кольцом $R {\ displaystyle R}$ $R$ обратима тогда и только тогда, когда его определитель обратим в $R {\ displaystyle R}$ $R$ .

Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных:

Для $A: m × n ∣ m>п {\ displaystyle A: m \ times n \ mid m>n}$ $A:m\times n\mid m>n$ мы оставили обратные, например: $(ATA) - 1 AT ⏟ A left - 1 A = I n {\ displaystyle \ underbrace {\ left (A ^ {\ text {T}} A \ right) ^ {- 1} A ^ {\ text {T}}} _ {A _ {\ text {left}} ^ {- 1}} A = I_ {n}}$ ${\ displaystyle \ underbrace {\ left (A ^ { \ text {T}} A \ right) ^ {- 1} A ^ {\ text {T}}} _ {A _ {\ text {left}} ^ {- 1}} A = I_ {n}}$
Для $A: m × n ∣ m < n {\displaystyle A:m\times n\mid m$ $A: m \ times n \ mid m <n$ у нас есть обратные справа, например: $AAT (AAT) - 1 ⏟ A right - 1 = I m {\ displaystyle A \ underbrace {A ^ {\ text {T}} \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {- 1}} _ {A _ {\ text {right}} ^ {- 1}} = I_ { m}}$ ${\ displaystyle A \ underbrace {A ^ {\ text {T}} \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {- 1}} _ {A _ {\ text { right}} ^ {- 1}} = I_ {m}}$

Левый обратный может использоваться для определения решения с наименьшей нормой $A x = b {\ displaystyle Ax = b}$ $Ax = b$ , который также является формулой наименьших квадратов для регрессии и задается как $x = (A T A) - 1 A T b. {\ displaystyle x = \ left (A ^ {\ text {T}} A \ right) ^ {- 1} A ^ {\ text {T}} b.}$ ${\ displaystyle x = \ left (A ^ {\ text {T}} A \ right) ^ {- 1} A ^ {\ text {T}} b.}$

Нет недостаточного ранга матрица имеет любую (даже одностороннюю) инверсию. Однако обратное преобразование Мура – Пенроуза существует для всех матриц и совпадает с левым или правым (или истинным) обратным, если оно существует.

В качестве примера обратных матриц рассмотрим:

A: 2 × 3 = [1 2 3 4 5 6] {\ displaystyle A: 2 \ times 3 = {\ begin {bmatrix} 1 2 3 \ \ 4 5 6 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A: 2 \ times 3 = {\ begin {bmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \ end {bmatrix}}}

Итак, поскольку m A right - 1 = AT (AAT) - 1. {\ displaystyle A _ {\ text {right}} ^ {- 1} = A ^ {\ text {T}} \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {- 1}.} ${\ displaystyle A _ {\ text {right}} ^ {- 1 } = A ^ {\ text {T}} \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ { -1}.}$ По компонентам вычисляется как

AAT = [1 2 3 4 5 6] ⋅ [1 4 2 5 3 6] = [14 32 32 77] (AAT) - 1 = [14 32 32 77 ] - 1 = 1 54 [77 - 32 - 32 14] AT (AAT) - 1 = 1 54 [1 4 2 5 3 6] ⋅ [77 - 32 - 32 14] = 1 18 [- 17 8 - 2 2 13 - 4] = A right - 1 {\ displaystyle {\ begin {align} AA ^ {\ text {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 14 32 \\ 32 77 \ end {bmatrix}} \\ [3pt] \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} 14 32 \\ 32 77 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {54}} {\ begin {bmatrix} 77 - 32 \\ - 32 14 \ end {bmatrix}} \\ [3pt] A ^ {\ text {T}} \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {1} {54}} {\ begin {bmatrix} 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 77 -32 \\ - 32 14 \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {18}} {\ begin {bmatrix} -17 8 \\ - 2 2 \\ 13 -4 \ end {bmatrix}} = A _ {\ text {right}} ^ {- 1} \ end {выровнено} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} AA ^ {\ text {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 14 32 \\ 32 77 \ end {bmatrix}} \\ [3pt] \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {-1} = {\ begin {bmatrix} 14 32 \\ 32 77 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {54}} {\ begin {bmatrix} 77 -32 \\ - 32 14 \ end {bmatrix}} \\ [3pt] A ^ {\ text {T}} \ left (AA ^ {\ text {T}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {1} { 54}} {\ begin {bmatrix} 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 77 -32 \\ - 32 14 \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {18}} {\ begin {bmatrix} -17 8 \\ - 2 2 \\ 13 -4 \ end {bmatrix}} = A _ {\ text {right}} ^ {- 1} \ end {align}}}

Левая инверсия не существует, потому что

ATA = [1 4 2 5 3 6] ⋅ [1 2 3 4 5 6] = [17 22 27 22 29 36 27 36 45] {\ displaystyle A ^ {\ text {T}} A = {\ begin {bmatrix } 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 17 22 27 \\ 22 29 36 \\ 27 36 45 \ end {bmatrix }}}

{\ displaystyle A ^ {\ text {T}} A = {\ begin {bmatrix} 1 4 \\ 2 5 \\ 3 6 \ end {bmatrix} } \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 17 22 27 \\ 22 29 36 \\ 27 36 45 \ end {bmatrix}}}

, которая является сингулярной матрицей и не может быть инвертирована.

См. Также

Примечания

Ссылки

M. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7, стр. 15 (def в единичной магме) и стр. 33 (определение в полугруппе)
Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп. Кларендон Пресс. ISBN 0-19-851194-9.содержит весь материал полугруппы здесь, за исключением * -регулярных полугрупп.
Дразин, М.П., Регулярные полугруппы с инволюцией, Proc. Symp. на регулярных полугруппах (DeKalb, 1979), 29–46
Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах, Форум полугрупп, 24 (1), декабрь 1982, стр. 173–187
Нордаль, Т. Э. и Х. Scheiblich, Regular * Semigroups, Форум полугруппы, 16 (1978), 369–377.