Бесплатный модуль

редактировать

В математике, А свободный модуль является модулем, который имеет основу - то есть, порождающее множество, состоящее из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем, но если кольцо коэффициентов не является телом (не полем в коммутативном случае), то существуют несвободные модули.

Для любого множества S и кольцо R, есть свободный R - модуль с базисом S, который называется свободным модулем на S или модуль формального R - линейные комбинации элементов из S.

Свободная абелева группа именно свободный модуль над кольцом Z от целых чисел.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Формальные линейные комбинации
    • 3.1 Другая конструкция
  • 4 Универсальное свойство
  • 5 Обобщения
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 ссылки

Определение

Для кольца и - модуля набор является основой, если: р {\ displaystyle R} р {\ displaystyle R} M {\ displaystyle M} E M {\ displaystyle E \ substeq M} M {\ displaystyle M}

  • E {\ displaystyle E}является порождающим множеством для ; иными словами, каждый элемент является конечной суммой элементов, умноженных на коэффициенты в ; и M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} р {\ displaystyle R}
  • E {\ displaystyle E}является линейно независимым, то есть для каждого подмножества различных элементов из, следует, что (где - нулевой элемент и является нулевым элементом). { е 1 , е 2 , , е п } {\ Displaystyle \ {е_ {1}, е_ {2}, \ ldots, е_ {п} \}} E {\ displaystyle E} р 1 е 1 + р 2 е 2 + + р п е п знак равно 0 M {\ displaystyle r_ {1} e_ {1} + r_ {2} e_ {2} + \ cdots + r_ {n} e_ {n} = 0_ {M}} р 1 знак равно р 2 знак равно знак равно р п знак равно 0 р {\ Displaystyle r_ {1} = r_ {2} = \ cdots = r_ {n} = 0_ {R}} 0 M {\ displaystyle 0_ {M}} M {\ displaystyle M} 0 р {\ displaystyle 0_ {R}} р {\ displaystyle R}

Бесплатный модуль - это модуль с базой.

Непосредственно вытекает из второй половины определения является то, что коэффициенты в первой половине являются уникальными для каждого элемента М.

Если имеет инвариантный базисный номер, то по определению любые два базиса имеют одинаковую мощность. Например, ненулевые коммутативные кольца имеют инвариантный базисный номер. Мощность любого (а значит, и каждого) базиса называется рангом свободного модуля. Если эта мощность конечна, свободный модуль называется свободным от конечного ранга или свободным от ранга n, если известно, что ранг равен n. р {\ displaystyle R} M {\ displaystyle M}

Примеры

Пусть R - кольцо.

  • R - свободный модуль ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
  • В более общем смысле, если R коммутативен, ненулевой идеал я из R свободен тогда и только тогда, когда он является главным идеалом, порожденным nonzerodivisor с генератором быть основой.
  • Если R коммутативно, кольцо многочленов от неопределенного X является свободным модулем с возможным базисом 1, X, X 2,.... р [ Икс ] {\ Displaystyle R [X]}
  • Пусть будет кольцо многочленов над коммутативным кольцом A, F унитарный многочлен степени г там, и образ т в B. Тогда B содержит A как подкольцо и свободен как A -модуль с базисом. А [ т ] {\ Displaystyle А [т]} B знак равно А [ т ] / ( ж ) {\ Displaystyle В = А [т] / (е)} ξ {\ displaystyle \ xi} 1 , ξ , , ξ d - 1 {\ Displaystyle 1, \ xi, \ точки, \ xi ^ {d-1}}
  • Для любого неотрицательного целого числа п,, то декартово произведение из п копии R как левый R - модуль, является свободным. Если R имеет инвариантный базисный номер, то его ранг равен n. р п знак равно р × × р {\ Displaystyle R ^ {N} = R \ times \ cdots \ times R}
  • Прямая сумма свободных модулей свободна, в то время как бесконечное декартово произведение свободных модулей, как правило, не свободно (сравните группы Бэра-Шпекер. )
  • Теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Формальные линейные комбинации

Для множества E и кольца R существует свободный R -модуль, в основе которого лежит E, а именно прямая сумма копий R, индексированных E

р ( E ) знак равно е E р {\ Displaystyle R ^ {(E)} = \ bigoplus _ {е \ in E} R}.

Явно, это подмодуль декартового произведения ( R рассматривается как, скажем, левый модуль), который состоит из элементов, которые имеют только конечное число ненулевых компонентов. Можно встроить E в R (E) как подмножество, отождествив элемент e с элементом R (E), у которого e-й компонент равен 1 (единица R), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент R (E) однозначно записывается как E р {\ textstyle \ prod _ {E} R}

е E c е е , {\ displaystyle \ sum _ {е \ in E} c_ {e} e,}

где только конечное число ненулевых. Это называется формальной линейной комбинацией элементов E. c е {\ displaystyle c_ {e}}

Аналогичное рассуждение показывает, что каждый свободный левый (соответственно правый) R -модуль изоморфен прямой сумме копий R как левого (соответственно правого) модуля.

Другая конструкция

Свободный модуль R ( E) также может быть построен следующим эквивалентным способом.

Для кольца R и множества E сначала в качестве набора положим

р ( E ) знак равно { ж : E р ж ( Икс ) знак равно 0  для всех, кроме конечного множества  Икс E } . {\ displaystyle R ^ {(E)} = \ {f: E \ to R \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех, кроме конечного числа}} x \ in E \}.}

Мы снабдим его структурой левого модуля, так что сложение определяется следующим образом: для x в E,

( ж + г ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) + г ( Икс ) {\ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}

и скалярное умножение на: для r в R и x в E,

( р ж ) ( Икс ) знак равно р ( ж ( Икс ) ) {\ Displaystyle (рф) (х) = г (е (х))}

Теперь, будучи R -значной функцией на E, каждая функция f in может быть однозначно записана как р ( E ) {\ Displaystyle R ^ {(E)}}

ж знак равно е E c е δ е {\ displaystyle f = \ sum _ {e \ in E} c_ {e} \ delta _ {e}}

где находятся в R и только конечное их число ненулевых и задается как c е {\ displaystyle c_ {e}} δ е {\ displaystyle \ delta _ {e}}

δ е ( Икс ) знак равно { 1 р если  Икс знак равно е 0 р если  Икс е {\ displaystyle \ delta _ {e} (x) = {\ begin {cases} 1_ {R} \ quad {\ t_dv {if}} x = e \\ 0_ {R} \ quad {\ t_dv {if}} x \ neq e \ end {case}}}

(это вариант Кронекера. ) Сказанное означает, что подмножество из является основой. Отображение - это биекция между E и этим базисом. Благодаря этому биекция, является свободным модулем с базисом Е. { δ е е E } {\ displaystyle \ {\ delta _ {e} \ mid e \ in E \}} р ( E ) {\ Displaystyle R ^ {(E)}} р ( E ) {\ Displaystyle R ^ {(E)}} е δ е {\ displaystyle e \ mapsto \ delta _ {e}} р ( E ) {\ Displaystyle R ^ {(E)}}

Универсальная собственность

Определенное выше отображение включения универсально в следующем смысле. Для произвольной функции из множества E в левый R -модуль N существует единственный гомоморфизм модулей такой, что ; а именно, определяется формулой: ι : E р ( E ) {\ displaystyle \ iota: E \ to R ^ {(E)}} ж : E N {\ displaystyle f: E \ to N} ж ¯ : р ( E ) N {\ displaystyle {\ overline {f}}: R ^ {(E)} \ to N} ж знак равно ж ¯ ι {\ displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ \ iota} ж ¯ {\ displaystyle {\ overline {f}}}

ж ¯ ( е E р е е ) знак равно е E р е ж ( е ) {\ displaystyle {\ overline {f}} \ left (\ sum _ {e \ in E} r_ {e} e \ right) = \ sum _ {e \ in E} r_ {e} f (e)}

и говорят, что он получается продолжением по линейности. Уникальность означает, что каждый R -линейной карта однозначно определяется его ограничение на Е. ж ¯ {\ displaystyle {\ overline {f}}} ж {\ displaystyle f} р ( E ) N {\ Displaystyle R ^ {(E)} \ к N}

Как обычно для универсальных свойств, это определяет R ( E) до канонический изоморфизм. Также формирование для каждого множества E определяет функтор ι : E р ( E ) {\ displaystyle \ iota: E \ to R ^ {(E)}}

р ( - ) : Задавать р - M о d , E р ( E ) {\ Displaystyle R ^ {(-)}: {\ textbf {Set}} \ к R - {\ mathsf {Mod}}, \, E \ mapsto R ^ {(E)}},

из категории множеств в категорию левых R -модулей. Это называется свободным функтором и удовлетворяет естественное соотношение: для каждого набора E и левого модуля N,

Hom Задавать ( E , U ( N ) ) Hom р ( р ( E ) , N ) , ж ж ¯ {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ textbf {Set}} (E, U (N)) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (R ^ {(E)}, N), \, f \ mapsto {\ overline {f}}}

где - функтор забывания, то есть левый сопряженный функтора забывания. U : р - M о d Задавать {\ displaystyle U: R - {\ mathsf {Mod}} \ to {\ textbf {Set}}} р ( - ) {\ Displaystyle R ^ {(-)}}

Обобщения

Многие утверждения о свободных модулях, которые неверны для общих модулей над кольцами, остаются верными для некоторых обобщений свободных модулей. Проективные модули - это прямые слагаемые свободных модулей, поэтому можно выбрать инъекцию в свободный модуль и использовать его базис, чтобы что-то доказать для проективного модуля. Даже более слабые обобщения - это плоские модули, которые все же обладают тем свойством, что тензорное сечение с ними сохраняет точные последовательности, и модули без кручения. Если кольцо обладает особыми свойствами, эта иерархия может разрушиться, например, для любого совершенного локального дедекиндова кольца каждый модуль без кручения также является плоским, проективным и свободным. Конечно порожденный модуль коммутативного ПИД без кручения свободен. Конечно порожденный Z -модуль свободен тогда и только тогда, когда он плоский.

Свойства модуля в коммутативной алгебре

Посмотрите местное кольцо, идеальное кольцо и кольцо Дедекинда.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Keown (1975). Введение в теорию представления групп. п. 24.
  2. ^ Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, Том 4. п. 110.
  3. ^ Доказательство: предположим, чтоэто бесплатно с базой. Ибо,должно иметь уникальную линейную комбинацию в терминахи, что неверно. Таким образом, посколькусуществует только один базисный элемент, который должен быть ненулевым делителем. Обратное очевидно. я {\ displaystyle I} { Икс j | j } {\ displaystyle \ {x_ {j} | j \}} j k {\ displaystyle j \ neq k} Икс j Икс k {\ displaystyle x_ {j} x_ {k}} Икс j {\ displaystyle x_ {j}} Икс k {\ displaystyle x_ {k}} я 0 {\ displaystyle I \ neq 0} {\ Displaystyle \ квадрат}

использованная литература

Эта статья включает материалы из бесплатного векторного пространства поверх набора на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Последняя правка сделана 2024-01-05 11:31:27
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте