Прямая сумма модулей

редактировать

В абстрактной алгебре прямая сумма - это конструкция, которая объединяет несколько модули в новый, больший модуль. Прямая сумма модулей - это наименьший модуль, который содержит данные модули как подмодули без «лишних» ограничений, что делает его примером сопродукта. Сравните с прямым произведением, которое является двойным понятием.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модули над полем ) и абелевых групп (модули над кольцом Z из целых чисел ). Конструкция также может быть расширена для охвата банаховых пространств и гильбертовых пространств.

Содержание

1 Конструкция для векторных пространств и абелевых групп
- 1.1 Конструкция для двух векторных пространств
- 1.2 Конструкция для двух абелевых групп
2 Конструкция для произвольного семейства модулей
3 Свойства
4 Внутренняя прямая сумма
5 Универсальное свойство
6 Группа Гротендика
7 Прямая сумма модулей с дополнительными структура
- 7.1 Прямая сумма алгебр
- 7.2 Композиционные алгебры
- 7.3 Прямая сумма банаховых пространств
- 7.4 Прямая сумма модулей с билинейными формами
- 7.5 Прямая сумма гильбертовых пространств
8 См. также
9 Ссылки

Конструкция для векторных пространств и абелевых групп

Сначала мы даем конструкцию в этих двух случаях, в предположении, что у нас есть только два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции более четко определяются при более глубоком рассмотрении этих двух случаев.

Конструкция для двух векторных пространств

Предположим, что V и W являются векторными пространствами над полем K. декартово произведение V × W может быть задано структурой векторного пространства над K (Halmos 1974, §18) путем определения операций покомпонентно:

(v1, w 1) + (v 2, w 2) = (v 1 + v 2, w 1 + w 2)
α (v, w) = (α v, α w)

для v, v 1, v 2 ∈ V, w, w 1, w 2 ∈ W и α ∈ K.

Результирующее векторное пространство называется прямой суммой V и W и обычно обозначается символ плюс внутри круга:

V ⊕ W {\ displaystyle V \ oplus W}

V \ oplus W

Принято записывать элементы упорядоченной суммы не как упорядоченные пары (v, w), а как сумму v + w.

Подпространство V × {0} в V ⊕ W изоморфно V и часто отождествляется с V; аналогично для {0} × W и W. (См. внутреннюю прямую сумму ниже). идентификации, каждый элемент V ⊕ W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента V и элемента W. Размерность V ⊕ W равна суммеразмерности V и W. Одним из элементарных способов использования является восстановление конечного векторного пространства из любого подпространства W и его ортогонального дополнения:

R n = W ⊕ W ⊥ {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} = W \ oplus W ^ {\ perp}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} = W \ oplus W ^ {\ perp }}

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число векторных пространств.

Конструкция для двух абелевых групп

Для абелевых групп G и H, которые записываются аддитивно, прямое произведение групп G и H также называется прямая сумма (Mac Lane Birkhoff 1999, §V.6). Таким образом, декартово произведение G × H снабжено структурой абелевой группы путем покомпонентного определения операций:

(g1, h 1) + (g 2, h 2) = (g 1 + g 2, h 1 + h 2)

для g 1, g 2 в G, и h 1, h 2 в H.

Целые кратные аналогично определяются покомпонентно как

n (g, h) = (ng, nh)

для g в G, h в H и n целое число. Это аналогично расширению скалярного произведения векторных пространств на прямая сумма выше.

Результирующая абелева группа называется прямой суммой G и H и обычно обозначается знаком плюс внутри круга:

G ⊕ H {\ displaystyle G \ oplus H}

G \ oplus H

Принято записывать элементы упорядоченной суммы не как упорядоченные пары (g, h), а как сумму g + h.

Подгруппа G × {0} G ⊕ H изоморфна G и часто отождествляется с G; аналогично для {0} × H и H. (См. внутреннюю прямую сумму ниже). Это отождествление, верно, что каждый элемент G ⊕ H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента G и элемента H. rank G ⊕ H равен сумме рангов групп G и H.

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число абелевых групп.

Конструкция для произвольного семейства модулей

Следует заметить явное сходство между определениями прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп. Фактически, каждый является частным случаем построения прямой суммы двух модулей. Кроме того, изменяя определение, можно учесть прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение приводится ниже (Бурбаки 1989, §II.1.6).

Пусть R кольцо, и {M i : i ∈ I} семейство левых R-модулей, индексированных набором Я. Прямая сумма {M i } затем определяется как набор всех последовательностей $(α i) {\ displaystyle (\ alpha _ {i})}$ $(\ alpha_i)$ где $α я ∈ М я {\ Displaystyle \ альфа _ {я} \ в M_ {i}}$ $\ alpha_i \ in M_i$ и $α я = 0 {\ Displaystyle \ alpha _ {i} = 0}$ $\ alpha_i = 0$ для бесконечного числа индексов i. (прямое произведение аналогично, но индексы не обязательно должны постоянно исчезать.)

Его также можно определить как функции α от I до дизъюнктное объединение модулей M i таких, что α (i) ∈ M i для всех i ∈ I и α (i) = 0 для коконечно многих индексы i. Эти функции можно эквивалентно рассматривать как секции с конечными опорами пучка волокон над индексным множеством I, с волокном над $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ $M i {\ displaystyle M_ {i}}$ $M_{i}$ .

Этот набор наследует структуру модуля посредством покомпонентного сложения и скалярного умножения. Явно две такие последовательности (или функции) α и β можно сложить, написав $(α + β) i = α i + β i {\ displaystyle (\ alpha + \ beta) _ {i} = \ alpha _ {i} + \ beta _ {i}}$ $(\ alpha + \ beta) _i = \ alpha_i + \ beta_i$ для всех i (обратите внимание, что это снова ноль для всех, кроме конечного числа индексов), и такую функцию можно умножить на элемент r из R, определив $r (α) я знак равно (r α) i {\ displaystyle r (\ alpha) _ {i} = (r \ alpha) _ {i}}$ $r (\ alpha) _i = (r \ alpha) _i$ для всех i. Таким образом, прямая сумма становится левым R-модулем и обозначается

⨁ i ∈ I M i. {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}.}

\ bigoplus_ {i \ in I} M_i.

Обычно записывают последовательность $(α i) {\ displaystyle (\ alpha _ {i})}$ $(\ alpha_i)$ в виде суммы $Σ α i {\ displaystyle \ Sigma \ alpha _ {i}}$ $\ Sigma \ alpha_i$ . Иногда суммирование со штрихом $Σ ′ α i {\ displaystyle \ Sigma '\ alpha _ {i}}$ $\Sigma ' \alpha_i$ используется, чтобы указать, что бесконечно много членов равны нулю.

Свойства

Прямая сумма - это подмодуль из прямого произведения модулей M i(Бурбаки 1989, §II.1.7). Прямое произведение - это набор всех функций α из I в несвязное объединение модулей M i с α (i) ∈M i, но не обязательно исчезающих для всех, кроме конечного многие я. Если индексное множество I конечно, то прямая сумма и прямое произведение равны.
Каждый из модулей M i может быть отождествлен с подмодулем прямой суммы, состоящей из этих модулей. функции, которые обращаются в нуль по всем индексам, отличным от i. С помощью этих отождествлений каждый элемент x прямой суммы может быть записан одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов из модулей M i.
Если M i на самом деле являются векторными пространствами, то размерность прямой суммы равна сумме размеров M i. То же самое верно для ранга абелевых групп и длины модулей.
Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточного количества копий K, поэтому в в смысле, следует учитывать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.
тензорное произведение распределяется по прямым суммам в следующем смысле: если N - некоторый правый R-модуль, то прямая сумма тензора произведения N с M i (которые являются абелевыми группами) естественно изоморфны тензорному произведению N на прямую сумму M i.
Прямые суммы коммутативны и ассоциативный (с точностью до изоморфизма), означающий, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямая сумма.
Абелева группа R- линейных гомоморфизмов из прямых сумма некоторого левого R-модуля L естественно изоморфна прямому произведению абелевых групп R-линейных гомоморфизмов из M i в L:
$Hom R ⁡ (⨁ i ∈ IM i, L) ≅ ∏ i ∈ I Hom R ⁡ (M i, L). {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} {\ biggl (} \ bigoplus _ {я \ in I} M_ {i}, L {\ biggr)} \ cong \ prod _ {я \ in I} \ operatorname {Hom} _ {R} \ left (M_ {i}, L \ right).}$ $\ operatorname {Hom} _R \ biggl (\ bigoplus_ {i \ in I} M_i, L \ biggr) \ cong \ prod_ {i \ in I} \ operatorname {Hom} _R \ left (M_i, L \ right).$
Действительно, очевидно, что существует гомоморфизм τ из левой части в правую, где τ (θ) (i) - это R-линейный гомоморфизм, переводящий x∈M i в θ (x) (с использованием естественного включения M i в прямую сумму). Обратное к гомоморфизму τ определяется следующим образом:
$τ - 1 (β) (α) = ∑ i ∈ I β (i) (α (i)) {\ displaystyle \ tau ^ {- 1} (\ beta) (\ alpha) = \ sum _ {i \ in I} \ beta (i) (\ alpha (i))}$ $\ tau ^ {- 1} (\ beta) (\ alpha) = \ sum_ {i \ in I} \ beta (i) ( \ alpha (i))$
для любого α в прямой сумме модулей M i. Ключевым моментом является то, что определение τ имеет смысл, потому что α (i) равно нулю для всех, кроме конечного числа i, и поэтому сумма конечна.
В частности, двойное векторное пространство прямой суммы векторных пространств изоморфно прямому произведению двойников этих пространств.
Конечная прямая сумма модулей является двойным произведением : Если
$pk: A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n → A k {\ displaystyle p_ {k}: A_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus A_ {n} \ to A_ {k}}$ $p_k: A_1 \ oplus \ cdots \ oplus A_n \ to A_k$
- это канонические отображения проекций и
$ik: A k ↦ A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\ displaystyle i_ {k}: A_ {k} \ mapsto A_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus A_ {n}}$ $i_k: A_k \ mapsto A_1 \ oplus \ cdots \ oplus A_n$
являются включением сопоставлений, то
$i 1 ∘ p 1 + ⋯ + in ∘ pn {\ displaystyle i_ {1} \ circ p_ {1} + \ cdots + i_ {n} \ circ p_ {n}}$ $i_1 \ circ p_1 + \ cdots + i_n \ circ p_n$
равно тождественный морфизм A 1 ⊕ ··· ⊕ A n и
$pk ∘ il {\ displaystyle p_ {k} \ circ i_ {l}}$ $p_k \ circ i_l$
является тождественный морфизм A k в случае l = k, и является нулевым отображением в противном случае.

Внутренняя прямая сумма

Предположим, что M является некоторым R-модулем e, и M i является подмодулем модуля M для каждого i в I. Если каждый x в M может быть записан одним и только одним способом как сумма конечного числа элементов M i, то мы говорим, что M является внутренней прямой суммой подмодулей M i(Halmos 1974, §18). В этом случае M естественно изоморфен (внешней) прямой сумме M i, как определено выше (Adamson 1972, p.61) harv error: no target: CITEREFAdamson1972 ( справка ).

Подмодуль N модуля M является прямым слагаемым модуля M, если существует некоторый другой подмодуль N ′ модуля M такой, что M является внутренней прямой суммой N и N ′. В этом случае N и N 'являются дополнительными подмодулями .

Универсальным свойством

На языке теории категорий прямая сумма является копродуктом и, следовательно, копредел в категории левых R-модулей, что означает, что он характеризуется следующим универсальным свойством. Для каждого i в I рассмотрим естественное вложение

ji: M i → ⨁ i ∈ IM i {\ displaystyle j_ {i}: M_ {i} \ rightarrow \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i} }

{\ displaystyle j_ {i}: M_ {i} \ rightarrow \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i}}

, который отправляет элементы M i тем функциям, которые равны нулю для всех аргументов, кроме i. Если f i : M i → M - произвольные R-линейные отображения для любого i, то существует ровно одно R-линейное отображение

f: ⨁ i ∈ IM i → M {\ displaystyle f: \ bigoplus _ {i \ in I} M_ {i} \ rightarrow M}

f: \ bigoplus_ {i \ in I} M_i \ rightarrow M

такой, что foj i = f i для всех i.

Группа Гротендика

Прямая сумма дает совокупности объектов структуру коммутативного моноида, в котором определяется сложение объектов, но не вычитание. Фактически, вычитание может быть определено, и каждый коммутативный моноид может быть расширен до абелевой группы. Это расширение известно как группа Гротендика. Расширение осуществляется путем определения классов эквивалентности пар объектов, что позволяет рассматривать определенные пары как обратные. Конструкция, подробно описанная в статье о группе Гротендика, является «универсальной» в том смысле, что она обладает универсальным свойством единственности и гомоморфности любому другому вложению коммутативного моноида в абелеву группу.

Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

Если рассматриваемые нами модули несут некоторую дополнительную структуру (например, norm или внутренний продукт ), то прямая сумма модулей часто может также содержать эту дополнительную структуру. В этом случае мы получаем копродукт в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два ярких примера встречаются для банаховых пространств и гильбертовых пространств.

В некоторых классических текстах также вводится понятие прямой суммы алгебр над полем. Эта конструкция, однако, дает не копроизведение в категории алгебр, а прямое произведение (см. Примечание ниже и замечание о прямых суммах колец ).

Прямая сумма алгебр

Прямая сумма алгебр X и Y - это прямая сумма в виде векторных пространств с произведением

(x 1 + y 1) (x 2 + y 2) = (x 1 x 2 + y 1 y 2). {\ displaystyle (x_ {1} + y_ {1}) (x_ {2} + y_ {2}) = (x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2}).}

(x_1 + y_1) (x_2 + y_2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2).

Рассмотрим эти классические примеры:

R ⊕ R {\ displaystyle \ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}}

\ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}

кольцо, изоморфное комплексным числам с разбиением., также используется в интервальном анализе..

C ⊕ C {\ displaystyle \ mathbf {C} \ oplus \ mathbf {C}}

\ mathbf {C} \ oplus \ mathbf {C}

- алгебра тессаринов введен Джеймсом Коклом в 1848 году.

H ⊕ H {\ displaystyle \ mathbf {H} \ oplus \ mathbf {H}}

\ mathbf {H} \ oplus \ mathbf {H}

, названный split- бикватернионы были введены Уильямом Кингдоном Клиффордом в 1873 году.

Джозеф Веддерберн использовал концепцию прямой суммы алгебр в своей классификации гиперкомплексных чисел. См. Его «Лекции по матрицам» (1934), стр. 151. Веддерберн разъясняет различие между прямой суммой и прямым произведением алгебр: Для прямой суммы поле скаляров действует совместно на обе части: $λ (x ⊕ y) = λ Икс ⊕ λ Y {\ Displaystyle \ lambda (x \ oplus y) = \ lambda x \ oplus \ lambda y}$ $\ lambda (x \ oplus y) = \ lambda x \ oplus \ lambda y$ , в то время как для прямого произведения скалярный множитель может собираться попеременно с частями, но не оба: $λ (x, y) = (λ x, y) = (x, λ y) {\ displaystyle \ lambda (x, y) = (\ lambda x, y) = (x, \ lambda y) \!}$ $\ lambda (x, y) = ( \ lambda x, y) = (x, \ lambda y) \!$ . Ян Р. Портеус использует три указанные выше прямые суммы, обозначая их $2 R, 2 C, 2 H {\ displaystyle ^ {2} R, \ ^ {2} C, \ ^ {2} H \!}$ $^ 2 R, \ ^ 2 C, \ ^ 2 H \!$ , как кольца скаляров в его анализе алгебр Клиффорда и классических групп (1995).

Конструкция, описанная выше, а также использование Уэддерберном терминов прямая сумма и прямой продукт следуют соглашению, отличному от принятого в теории категорий. В категориальном выражении прямая сумма Веддерберна является категориальным произведением, в то время как прямое произведение Уэдерберна - это копроизведение (или категориальная сумма), что (для коммутативных алгебр) фактически соответствует тензорное произведение алгебр.

Композиционные алгебры

Композиционная алгебра (A, *, n) - это алгебра над полем A, инволюция * и «норма» п (х) = хх *. Любое поле K порождает серию композиционных алгебр, начинающуюся с K, и тривиальную инволюцию, так что n (x) = x. Индуктивный шаг в ряду включает формирование прямой суммы A ⊕ A и использование новой инволюции $(x, y) ∗ = x ∗ - y. {\ displaystyle (x, y) ^ {*} = x ^ {*} - y.}$ ${\ displaystyle (x, y) ^ {*} = x ^ {* } -y.}$

Леонард Диксон разработал эту конструкцию, удваивающую кватернионы для чисел Кэли, а метод удвоения, использующий прямую сумму A ⊕ A, называется конструкцией Кэли – Диксона. В экземпляре, начинающемся с K = ℝ, серия генерирует комплексные числа, кватернионы, октонионы и седенионы. Начиная с K = ℂ и нормы n (z) = z, серия продолжается с бикомплексными числами, бикватернионами и биоктонионами.

Макс Цорн реализован. что классическая конструкция Кэли – Диксона не учитывает построение некоторых композиционных алгебр, которые возникают как вещественные подалгебры в серии (ℂ, z), в частности, расщепленных октонионов. модифицированная конструкция Кэли-Диксона, по-прежнему основанная на использовании прямой суммы A ⊕ A базовой алгебры A, с тех пор использовалась для отображения ряда ℝ, разделенных комплексных чисел, разделенные кватернионы и разделенные октонионы.

Прямая сумма банаховых пространств

Прямая сумма двух банаховых пространств X и Y является прямой суммой X и Y, рассматриваемых как векторные пространства, с нормой || (x, y) || = || x || X + || y || Y для всех x в X и y в Y.

Обычно, если X i - это набор банаховых пространств, где i пересекает индексный набор I, тогда прямая сумма ⨁ i∈I Xi- это модуль, состоящий из всех определенных функций x по I, такое что x (i) ∈ X i для всех i ∈ I и

∑ i ∈ I ‖ x (i) ‖ X i < ∞. {\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty.}

\ sum_ {i \ in I} \ | х (я) \ | _ {X_i} <\ infty.

Норма задается сумма выше. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

Например, если мы возьмем набор индексов I = N и X i= R, то прямая сумма ⨁ i∈NXiбудет пространством l 1, который состоит из всех последовательностей (a i) вещественных чисел с конечной нормой || a || = ∑ i|ai|.

Замкнутое подпространство A банахова пространства X дополняется, если существует другое замкнутое подпространство B в X такое, что X равно внутренней прямой сумме $A ⊕ B {\ стиль отображения A \ oplus B}$ $A \ oplus B$ . Обратите внимание, что не каждое замкнутое подпространство дополняется, например c0 не дополняется в $ℓ ∞ {\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ $\ ell ^ \ infty$ .

Прямая сумма модулей с билинейными формами

Пусть {(M i,bi): i ∈ I} быть семейством, индексируемым I модулей, оснащенных билинейными формами. Ортогональная прямая сумма - это модульная прямая сумма с билинейной формой B, определяемая как

B ((xi), (yi)) = ∑ i ∈ I bi (xi, yi) {\ displaystyle B \ left ({\ left ({x_ {i}} \ right), \ left ({y_ {i}} \ right)} \ right) = \ sum _ {i \ in I} b_ {i} \ left ({ x_ {i}, y_ {i}} \ right)}

B \ left ({\ left ({x_i} \ right), \ left ({y_i} \ right)} \ right) = \ сумма_ {i \ in I} b_i \ left ({x_i, y_i} \ right)

, в котором суммирование имеет смысл даже для бесконечных наборов индексов I, потому что только конечное число членов ненулевое.

Прямая сумма гильбертовых пространств

Если задано конечное число гильбертовых пространств H1,..., H n, можно построить их ортогональные прямые sum, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), определяя внутренний продукт как:

⟨(x 1,..., xn), (y 1,..., yn)⟩ = ⟨x 1, y 1 ⟩ +... + ⟨X n, y n⟩. {\ displaystyle \ langle (x_ {1},..., x_ {n}), (y_ {1},..., y_ {n}) \ rangle = \ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle +... + \ langle x_ {n}, y_ {n} \ rangle.}

\ langle (x_1,..., x_n), (y_1,..., y_n) \ rangle = \ langle x_1, y_1 \ rangle +... + \ langle x_n, y_n \ rangle.

Результирующая прямая сумма - это гильбертово пространство, которое содержит данные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

Если дано бесконечно много гильбертовых пространств H i для i в I, мы можем выполнить ту же конструкцию; обратите внимание, что при определении внутреннего продукта только конечное число слагаемых будет отличным от нуля. Однако результатом будет только внутреннее пространство продукта, и оно не обязательно будет полным. Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств H i как пополнение этого внутреннего пространства продукта.

Альтернативно и эквивалентно, можно определить прямую сумму гильбертовых пространств H i как пространство всех функций α с областью определения I, таких, что α (i) является элементом H i для каждого i в I и:

∑ i ‖ α (i) ‖ 2 < ∞. {\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty.}

\ sum_i \ left \ | \ alpha _ {(i)} \ right \ | ^ 2 <\ infty.

Тогда внутреннее произведение двух таких функций α и β определяется как:

⟨α, β⟩ знак равно ∑ я ⟨α я, β я⟩. {\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ sum _ {i} \ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {i} \ rangle.}

\ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ sum_i \ langle \ alpha_i, \ beta_i \ rangle.

Это пространство заполнено, и мы получаем Гильберта Космос.

Например, если мы возьмем набор индексов I = N и X i= R, тогда прямая сумма ⨁ i∈NXiбудет пространством l 2, который состоит из всех последовательностей (a i) вещественных чисел с конечной нормой $‖ a ‖ = ∑ я ‖ ai ‖ 2 {\ displaystyle \ left \ | a \ right \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i} \ left \ | a_ {i} \ right \ | ^ {2}}}}$ $\ влево \ | а \ право \ | = \ sqrt {\ sum_i \ left \ | a_i \ right \ | ^ 2}$ . Сравнивая это с примером для банаховых пространств, мы видим, что прямая сумма банахова пространства и прямая сумма гильбертова пространства не обязательно совпадают. Но если слагаемых только конечное число, то прямая сумма банахова пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства, хотя норма будет другой.

Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточного количества копий базового поля (либо R, либо C ). Это эквивалентно утверждению, что каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис. В более общем смысле, каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняется: оно допускает ортогональное дополнение. Наоборот, утверждает, что если каждое замкнутое подпространство банахова пространства дополняется, то банахово пространство изоморфно (топологически) гильбертову пространству.

См. Также

Ссылки

Иэн Т. Адамсон (1972 г.)), Элементарные кольца и модули, Университетские математические тексты, Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002192-3
Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебра I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Dummit, David S.; Фут, Ричард М. (1991), Абстрактная алгебра, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
Халмос, Пол ( 1974), Конечномерные векторные пространства, Springer, ISBN 0-387-90093-4
Mac Lane, S. ; Биркгоф, Г. (1999), Алгебра, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.